# Properties

 Degree 16 Conductor $2^{8} \cdot 31^{8}$ Sign $1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 0

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 2·2-s − 2·3-s + 4-s − 4·6-s − 4·7-s − 9-s + 6·11-s − 2·12-s + 7·13-s − 8·14-s + 5·17-s − 2·18-s − 2·19-s + 8·21-s + 12·22-s − 15·23-s − 12·25-s + 14·26-s + 14·27-s − 4·28-s − 19·29-s + 13·31-s − 2·32-s − 12·33-s + 10·34-s − 36-s − 40·37-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 1.41·2-s − 1.15·3-s + 1/2·4-s − 1.63·6-s − 1.51·7-s − 1/3·9-s + 1.80·11-s − 0.577·12-s + 1.94·13-s − 2.13·14-s + 1.21·17-s − 0.471·18-s − 0.458·19-s + 1.74·21-s + 2.55·22-s − 3.12·23-s − 2.39·25-s + 2.74·26-s + 2.69·27-s − 0.755·28-s − 3.52·29-s + 2.33·31-s − 0.353·32-s − 2.08·33-s + 1.71·34-s − 1/6·36-s − 6.57·37-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 31^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 31^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$16$$ $$N$$ = $$2^{8} \cdot 31^{8}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{62} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = 0 Selberg data = $(16,\ 2^{8} \cdot 31^{8} ,\ ( \ : [1/2]^{8} ),\ 1 )$ $L(1)$ $\approx$ $0.437408$ $L(\frac12)$ $\approx$ $0.437408$ $L(\frac{3}{2})$ not available $L(1)$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$where, for $p \notin \{2,\;31\}$,$$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 16. If $p \in \{2,\;31\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 15.
$p$$F_p(T)$
bad2 $$( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} )^{2}$$
31 $$1 - 13 T + 48 T^{2} + 319 T^{3} - 3835 T^{4} + 319 p T^{5} + 48 p^{2} T^{6} - 13 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
good3 $$1 + 2 T + 5 T^{2} - 2 T^{3} - 16 T^{4} - 44 T^{5} - 7 p T^{6} + 32 p T^{7} + 271 T^{8} + 32 p^{2} T^{9} - 7 p^{3} T^{10} - 44 p^{3} T^{11} - 16 p^{4} T^{12} - 2 p^{5} T^{13} + 5 p^{6} T^{14} + 2 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
5 $$( 1 + 6 T^{2} + 3 p T^{3} + 19 T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + 6 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
7 $$( 1 + 2 T - 3 T^{2} + 10 T^{3} + 71 T^{4} + 10 p T^{5} - 3 p^{2} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
11 $$1 - 6 T + 3 p T^{2} - 201 T^{3} + 937 T^{4} - 3825 T^{5} + 16437 T^{6} - 5448 p T^{7} + 18005 p T^{8} - 5448 p^{2} T^{9} + 16437 p^{2} T^{10} - 3825 p^{3} T^{11} + 937 p^{4} T^{12} - 201 p^{5} T^{13} + 3 p^{7} T^{14} - 6 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
13 $$1 - 7 T + 24 T^{2} - 109 T^{3} + 496 T^{4} - 1996 T^{5} + 9030 T^{6} - 37400 T^{7} + 135607 T^{8} - 37400 p T^{9} + 9030 p^{2} T^{10} - 1996 p^{3} T^{11} + 496 p^{4} T^{12} - 109 p^{5} T^{13} + 24 p^{6} T^{14} - 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
17 $$1 - 5 T - 7 T^{2} + 30 T^{3} + 485 T^{4} - 530 T^{5} - 11652 T^{6} + 23475 T^{7} + 69679 T^{8} + 23475 p T^{9} - 11652 p^{2} T^{10} - 530 p^{3} T^{11} + 485 p^{4} T^{12} + 30 p^{5} T^{13} - 7 p^{6} T^{14} - 5 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
19 $$1 + 2 T + 5 T^{2} - 25 T^{3} - 105 T^{4} - 1189 T^{5} + 4287 T^{6} + 11220 T^{7} + 135775 T^{8} + 11220 p T^{9} + 4287 p^{2} T^{10} - 1189 p^{3} T^{11} - 105 p^{4} T^{12} - 25 p^{5} T^{13} + 5 p^{6} T^{14} + 2 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
23 $$1 + 15 T + 114 T^{2} + 495 T^{3} + 592 T^{4} - 2490 T^{5} + 13632 T^{6} + 349800 T^{7} + 2485405 T^{8} + 349800 p T^{9} + 13632 p^{2} T^{10} - 2490 p^{3} T^{11} + 592 p^{4} T^{12} + 495 p^{5} T^{13} + 114 p^{6} T^{14} + 15 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
29 $$1 + 19 T + 101 T^{2} - 510 T^{3} - 8767 T^{4} - 36410 T^{5} + 33084 T^{6} + 1024269 T^{7} + 6539383 T^{8} + 1024269 p T^{9} + 33084 p^{2} T^{10} - 36410 p^{3} T^{11} - 8767 p^{4} T^{12} - 510 p^{5} T^{13} + 101 p^{6} T^{14} + 19 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
37 $$( 1 + 20 T + 284 T^{2} + 2565 T^{3} + 18487 T^{4} + 2565 p T^{5} + 284 p^{2} T^{6} + 20 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
41 $$1 + 7 T - 37 T^{2} + 66 T^{3} + 4757 T^{4} + 13960 T^{5} - 40728 T^{6} + 470187 T^{7} + 7783975 T^{8} + 470187 p T^{9} - 40728 p^{2} T^{10} + 13960 p^{3} T^{11} + 4757 p^{4} T^{12} + 66 p^{5} T^{13} - 37 p^{6} T^{14} + 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
43 $$1 - 12 T + 14 T^{2} + 236 T^{3} + 991 T^{4} - 9516 T^{5} - 85540 T^{6} + 935280 T^{7} - 4999843 T^{8} + 935280 p T^{9} - 85540 p^{2} T^{10} - 9516 p^{3} T^{11} + 991 p^{4} T^{12} + 236 p^{5} T^{13} + 14 p^{6} T^{14} - 12 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
47 $$( 1 + 6 T - 11 T^{2} + 222 T^{3} + 3559 T^{4} + 222 p T^{5} - 11 p^{2} T^{6} + 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
53 $$1 - 9 T - 96 T^{2} + 1230 T^{3} + 406 T^{4} - 70077 T^{5} + 497550 T^{6} + 1453452 T^{7} - 39269633 T^{8} + 1453452 p T^{9} + 497550 p^{2} T^{10} - 70077 p^{3} T^{11} + 406 p^{4} T^{12} + 1230 p^{5} T^{13} - 96 p^{6} T^{14} - 9 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
59 $$1 + 18 T + 107 T^{2} + 102 T^{3} + 102 T^{4} + 69300 T^{5} + 840883 T^{6} + 3496446 T^{7} + 10651475 T^{8} + 3496446 p T^{9} + 840883 p^{2} T^{10} + 69300 p^{3} T^{11} + 102 p^{4} T^{12} + 102 p^{5} T^{13} + 107 p^{6} T^{14} + 18 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
61 $$( 1 - 6 T + 216 T^{2} - 1012 T^{3} + 19161 T^{4} - 1012 p T^{5} + 216 p^{2} T^{6} - 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
67 $$( 1 + 13 T + 282 T^{2} + 2445 T^{3} + 28981 T^{4} + 2445 p T^{5} + 282 p^{2} T^{6} + 13 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
71 $$1 + 25 T + 170 T^{2} - 1410 T^{3} - 35806 T^{4} - 314705 T^{5} - 659400 T^{6} + 21181560 T^{7} + 295190251 T^{8} + 21181560 p T^{9} - 659400 p^{2} T^{10} - 314705 p^{3} T^{11} - 35806 p^{4} T^{12} - 1410 p^{5} T^{13} + 170 p^{6} T^{14} + 25 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
73 $$1 - 35 T + 424 T^{2} - 1075 T^{3} - 16678 T^{4} + 61060 T^{5} + 844832 T^{6} + 592550 T^{7} - 87991445 T^{8} + 592550 p T^{9} + 844832 p^{2} T^{10} + 61060 p^{3} T^{11} - 16678 p^{4} T^{12} - 1075 p^{5} T^{13} + 424 p^{6} T^{14} - 35 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
79 $$1 - 6 T - 103 T^{2} + 683 T^{3} + 12157 T^{4} - 23205 T^{5} - 1606927 T^{6} + 723636 T^{7} + 131466275 T^{8} + 723636 p T^{9} - 1606927 p^{2} T^{10} - 23205 p^{3} T^{11} + 12157 p^{4} T^{12} + 683 p^{5} T^{13} - 103 p^{6} T^{14} - 6 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
83 $$( 1 - 12 T - 29 T^{2} + 774 T^{3} - 2741 T^{4} + 774 p T^{5} - 29 p^{2} T^{6} - 12 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
89 $$1 + 7 T + 200 T^{2} - 420 T^{3} + 6050 T^{4} - 161339 T^{5} + 1081842 T^{6} + 1450050 T^{7} + 229631995 T^{8} + 1450050 p T^{9} + 1081842 p^{2} T^{10} - 161339 p^{3} T^{11} + 6050 p^{4} T^{12} - 420 p^{5} T^{13} + 200 p^{6} T^{14} + 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
97 $$1 - 26 T + 216 T^{2} - 1178 T^{3} + 24961 T^{4} - 207098 T^{5} - 1010280 T^{6} + 10171100 T^{7} + 45612217 T^{8} + 10171100 p T^{9} - 1010280 p^{2} T^{10} - 207098 p^{3} T^{11} + 24961 p^{4} T^{12} - 1178 p^{5} T^{13} + 216 p^{6} T^{14} - 26 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}