Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 2-s − 116·4-s − 500·5-s − 167·7-s − 146·8-s − 1.63e3·9-s − 500·10-s − 769·13-s − 167·14-s + 5.18e3·16-s + 2.98e3·17-s − 1.63e3·18-s − 5.82e3·19-s + 5.80e4·20-s − 695·23-s + 1.31e5·25-s − 769·26-s + 1.97e3·27-s + 1.93e4·28-s − 1.12e4·29-s − 1.14e4·31-s + 1.08e4·32-s + 2.98e3·34-s + 8.35e4·35-s + 1.89e5·36-s − 3.05e3·37-s − 5.82e3·38-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.176·2-s − 3.62·4-s − 8.94·5-s − 1.28·7-s − 0.806·8-s − 6.71·9-s − 1.58·10-s − 1.26·13-s − 0.227·14-s + 5.06·16-s + 2.50·17-s − 1.18·18-s − 3.70·19-s + 32.4·20-s − 0.273·23-s + 42·25-s − 0.223·26-s + 0.521·27-s + 4.66·28-s − 2.48·29-s − 2.14·31-s + 1.87·32-s + 0.443·34-s + 11.5·35-s + 24.3·36-s − 0.367·37-s − 0.654·38-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{20} \cdot 11^{40}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{20} \cdot 11^{40}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(40\) |
| Conductor: | \(5^{20} \cdot 11^{40}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(5.47417\times 10^{39}\) |
| Root analytic conductor: | \(9.85049\) |
| Motivic weight: | \(5\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(20\) |
| Selberg data: | \((40,\ 5^{20} \cdot 11^{40} ,\ ( \ : [5/2]^{20} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(3)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 5 | \( ( 1 + p^{2} T )^{20} \) |
| 11 | \( 1 \) | |
| good | 2 | \( 1 - T + 117 T^{2} - 87 T^{3} + 4165 p T^{4} - 7027 T^{5} + 483541 T^{6} - 449473 T^{7} + 24554399 T^{8} - 7427537 p^{2} T^{9} + 284669771 p^{2} T^{10} - 107007583 p^{4} T^{11} + 1492042983 p^{5} T^{12} - 1269013207 p^{6} T^{13} + 7267714511 p^{8} T^{14} - 13428399201 p^{8} T^{15} + 133681689115 p^{9} T^{16} - 64229507535 p^{11} T^{17} + 2326005198283 p^{10} T^{18} - 1146786620389 p^{12} T^{19} + 19191679097783 p^{12} T^{20} - 1146786620389 p^{17} T^{21} + 2326005198283 p^{20} T^{22} - 64229507535 p^{26} T^{23} + 133681689115 p^{29} T^{24} - 13428399201 p^{33} T^{25} + 7267714511 p^{38} T^{26} - 1269013207 p^{41} T^{27} + 1492042983 p^{45} T^{28} - 107007583 p^{49} T^{29} + 284669771 p^{52} T^{30} - 7427537 p^{57} T^{31} + 24554399 p^{60} T^{32} - 449473 p^{65} T^{33} + 483541 p^{70} T^{34} - 7027 p^{75} T^{35} + 4165 p^{81} T^{36} - 87 p^{85} T^{37} + 117 p^{90} T^{38} - p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) |
| 3 | \( 1 + 1631 T^{2} - 1975 T^{3} + 1408280 T^{4} - 3417800 T^{5} + 283742939 p T^{6} - 965082440 p T^{7} + 399443894638 T^{8} - 1676173719485 T^{9} + 152478953722093 T^{10} - 756780674477950 T^{11} + 48720413975992103 T^{12} - 31464599126476100 p^{2} T^{13} + 1488150605830407203 p^{2} T^{14} - 1125011705888820650 p^{4} T^{15} + 40570099968426152596 p^{4} T^{16} - 35809231670788591375 p^{6} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!44\)\( p^{6} T^{18} - \)\(31\!\cdots\!55\)\( p^{7} T^{19} + \)\(27\!\cdots\!44\)\( p^{8} T^{20} - \)\(31\!\cdots\!55\)\( p^{12} T^{21} + \)\(10\!\cdots\!44\)\( p^{16} T^{22} - 35809231670788591375 p^{21} T^{23} + 40570099968426152596 p^{24} T^{24} - 1125011705888820650 p^{29} T^{25} + 1488150605830407203 p^{32} T^{26} - 31464599126476100 p^{37} T^{27} + 48720413975992103 p^{40} T^{28} - 756780674477950 p^{45} T^{29} + 152478953722093 p^{50} T^{30} - 1676173719485 p^{55} T^{31} + 399443894638 p^{60} T^{32} - 965082440 p^{66} T^{33} + 283742939 p^{71} T^{34} - 3417800 p^{75} T^{35} + 1408280 p^{80} T^{36} - 1975 p^{85} T^{37} + 1631 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} \) | |
| 7 | \( 1 + 167 T + 180535 T^{2} + 30126466 T^{3} + 16394757228 T^{4} + 2705826421157 T^{5} + 999934372335179 T^{6} + 160784266807591368 T^{7} + 45976975004689807888 T^{8} + \)\(10\!\cdots\!29\)\( p T^{9} + \)\(16\!\cdots\!90\)\( T^{10} + \)\(24\!\cdots\!52\)\( T^{11} + \)\(51\!\cdots\!90\)\( T^{12} + \)\(72\!\cdots\!91\)\( T^{13} + \)\(13\!\cdots\!49\)\( T^{14} + \)\(17\!\cdots\!25\)\( T^{15} + \)\(30\!\cdots\!60\)\( T^{16} + \)\(38\!\cdots\!45\)\( T^{17} + \)\(61\!\cdots\!75\)\( T^{18} + \)\(72\!\cdots\!60\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!06\)\( T^{20} + \)\(72\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{21} + \)\(61\!\cdots\!75\)\( p^{10} T^{22} + \)\(38\!\cdots\!45\)\( p^{15} T^{23} + \)\(30\!\cdots\!60\)\( p^{20} T^{24} + \)\(17\!\cdots\!25\)\( p^{25} T^{25} + \)\(13\!\cdots\!49\)\( p^{30} T^{26} + \)\(72\!\cdots\!91\)\( p^{35} T^{27} + \)\(51\!\cdots\!90\)\( p^{40} T^{28} + \)\(24\!\cdots\!52\)\( p^{45} T^{29} + \)\(16\!\cdots\!90\)\( p^{50} T^{30} + \)\(10\!\cdots\!29\)\( p^{56} T^{31} + 45976975004689807888 p^{60} T^{32} + 160784266807591368 p^{65} T^{33} + 999934372335179 p^{70} T^{34} + 2705826421157 p^{75} T^{35} + 16394757228 p^{80} T^{36} + 30126466 p^{85} T^{37} + 180535 p^{90} T^{38} + 167 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 13 | \( 1 + 769 T + 3958521 T^{2} + 2859850884 T^{3} + 7856736536794 T^{4} + 5464496582661813 T^{5} + 10518204575313382117 T^{6} + \)\(71\!\cdots\!22\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( T^{8} + \)\(70\!\cdots\!89\)\( T^{9} + \)\(88\!\cdots\!66\)\( T^{10} + \)\(55\!\cdots\!58\)\( T^{11} + \)\(60\!\cdots\!08\)\( T^{12} + \)\(36\!\cdots\!77\)\( T^{13} + \)\(35\!\cdots\!27\)\( T^{14} + \)\(20\!\cdots\!95\)\( T^{15} + \)\(18\!\cdots\!56\)\( T^{16} + \)\(10\!\cdots\!31\)\( T^{17} + \)\(82\!\cdots\!41\)\( T^{18} + \)\(42\!\cdots\!18\)\( T^{19} + \)\(32\!\cdots\!58\)\( T^{20} + \)\(42\!\cdots\!18\)\( p^{5} T^{21} + \)\(82\!\cdots\!41\)\( p^{10} T^{22} + \)\(10\!\cdots\!31\)\( p^{15} T^{23} + \)\(18\!\cdots\!56\)\( p^{20} T^{24} + \)\(20\!\cdots\!95\)\( p^{25} T^{25} + \)\(35\!\cdots\!27\)\( p^{30} T^{26} + \)\(36\!\cdots\!77\)\( p^{35} T^{27} + \)\(60\!\cdots\!08\)\( p^{40} T^{28} + \)\(55\!\cdots\!58\)\( p^{45} T^{29} + \)\(88\!\cdots\!66\)\( p^{50} T^{30} + \)\(70\!\cdots\!89\)\( p^{55} T^{31} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( p^{60} T^{32} + \)\(71\!\cdots\!22\)\( p^{65} T^{33} + 10518204575313382117 p^{70} T^{34} + 5464496582661813 p^{75} T^{35} + 7856736536794 p^{80} T^{36} + 2859850884 p^{85} T^{37} + 3958521 p^{90} T^{38} + 769 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 17 | \( 1 - 2989 T + 20106028 T^{2} - 3143224593 p T^{3} + 201111536843581 T^{4} - 474415959644995349 T^{5} + \)\(13\!\cdots\!01\)\( T^{6} - \)\(27\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(63\!\cdots\!06\)\( T^{8} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(23\!\cdots\!59\)\( T^{10} - \)\(40\!\cdots\!52\)\( T^{11} + \)\(42\!\cdots\!22\)\( p T^{12} - \)\(11\!\cdots\!89\)\( T^{13} + \)\(17\!\cdots\!06\)\( T^{14} - \)\(26\!\cdots\!75\)\( T^{15} + \)\(37\!\cdots\!54\)\( T^{16} - \)\(50\!\cdots\!72\)\( T^{17} + \)\(67\!\cdots\!38\)\( T^{18} - \)\(83\!\cdots\!05\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( T^{20} - \)\(83\!\cdots\!05\)\( p^{5} T^{21} + \)\(67\!\cdots\!38\)\( p^{10} T^{22} - \)\(50\!\cdots\!72\)\( p^{15} T^{23} + \)\(37\!\cdots\!54\)\( p^{20} T^{24} - \)\(26\!\cdots\!75\)\( p^{25} T^{25} + \)\(17\!\cdots\!06\)\( p^{30} T^{26} - \)\(11\!\cdots\!89\)\( p^{35} T^{27} + \)\(42\!\cdots\!22\)\( p^{41} T^{28} - \)\(40\!\cdots\!52\)\( p^{45} T^{29} + \)\(23\!\cdots\!59\)\( p^{50} T^{30} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{55} T^{31} + \)\(63\!\cdots\!06\)\( p^{60} T^{32} - \)\(27\!\cdots\!40\)\( p^{65} T^{33} + \)\(13\!\cdots\!01\)\( p^{70} T^{34} - 474415959644995349 p^{75} T^{35} + 201111536843581 p^{80} T^{36} - 3143224593 p^{86} T^{37} + 20106028 p^{90} T^{38} - 2989 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 19 | \( 1 + 5828 T + 43869568 T^{2} + 190767803279 T^{3} + 870825382534136 T^{4} + 3080374755924119047 T^{5} + \)\(10\!\cdots\!97\)\( T^{6} + \)\(32\!\cdots\!77\)\( T^{7} + \)\(95\!\cdots\!76\)\( T^{8} + \)\(25\!\cdots\!74\)\( T^{9} + \)\(65\!\cdots\!67\)\( T^{10} + \)\(15\!\cdots\!45\)\( T^{11} + \)\(35\!\cdots\!65\)\( T^{12} + \)\(76\!\cdots\!40\)\( T^{13} + \)\(15\!\cdots\!75\)\( T^{14} + \)\(31\!\cdots\!34\)\( T^{15} + \)\(59\!\cdots\!17\)\( T^{16} + \)\(10\!\cdots\!42\)\( T^{17} + \)\(18\!\cdots\!16\)\( T^{18} + \)\(31\!\cdots\!99\)\( T^{19} + \)\(50\!\cdots\!89\)\( T^{20} + \)\(31\!\cdots\!99\)\( p^{5} T^{21} + \)\(18\!\cdots\!16\)\( p^{10} T^{22} + \)\(10\!\cdots\!42\)\( p^{15} T^{23} + \)\(59\!\cdots\!17\)\( p^{20} T^{24} + \)\(31\!\cdots\!34\)\( p^{25} T^{25} + \)\(15\!\cdots\!75\)\( p^{30} T^{26} + \)\(76\!\cdots\!40\)\( p^{35} T^{27} + \)\(35\!\cdots\!65\)\( p^{40} T^{28} + \)\(15\!\cdots\!45\)\( p^{45} T^{29} + \)\(65\!\cdots\!67\)\( p^{50} T^{30} + \)\(25\!\cdots\!74\)\( p^{55} T^{31} + \)\(95\!\cdots\!76\)\( p^{60} T^{32} + \)\(32\!\cdots\!77\)\( p^{65} T^{33} + \)\(10\!\cdots\!97\)\( p^{70} T^{34} + 3080374755924119047 p^{75} T^{35} + 870825382534136 p^{80} T^{36} + 190767803279 p^{85} T^{37} + 43869568 p^{90} T^{38} + 5828 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 23 | \( 1 + 695 T + 54608636 T^{2} + 16140498945 T^{3} + 1552583138310745 T^{4} - 37833341261859155 T^{5} + \)\(30\!\cdots\!77\)\( T^{6} - \)\(84\!\cdots\!50\)\( T^{7} + \)\(48\!\cdots\!68\)\( T^{8} - \)\(22\!\cdots\!30\)\( T^{9} + \)\(62\!\cdots\!73\)\( T^{10} - \)\(37\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(69\!\cdots\!58\)\( T^{12} - \)\(47\!\cdots\!95\)\( T^{13} + \)\(66\!\cdots\!52\)\( T^{14} - \)\(49\!\cdots\!45\)\( T^{15} + \)\(57\!\cdots\!86\)\( T^{16} - \)\(43\!\cdots\!20\)\( T^{17} + \)\(43\!\cdots\!66\)\( T^{18} - \)\(32\!\cdots\!15\)\( T^{19} + \)\(29\!\cdots\!84\)\( T^{20} - \)\(32\!\cdots\!15\)\( p^{5} T^{21} + \)\(43\!\cdots\!66\)\( p^{10} T^{22} - \)\(43\!\cdots\!20\)\( p^{15} T^{23} + \)\(57\!\cdots\!86\)\( p^{20} T^{24} - \)\(49\!\cdots\!45\)\( p^{25} T^{25} + \)\(66\!\cdots\!52\)\( p^{30} T^{26} - \)\(47\!\cdots\!95\)\( p^{35} T^{27} + \)\(69\!\cdots\!58\)\( p^{40} T^{28} - \)\(37\!\cdots\!00\)\( p^{45} T^{29} + \)\(62\!\cdots\!73\)\( p^{50} T^{30} - \)\(22\!\cdots\!30\)\( p^{55} T^{31} + \)\(48\!\cdots\!68\)\( p^{60} T^{32} - \)\(84\!\cdots\!50\)\( p^{65} T^{33} + \)\(30\!\cdots\!77\)\( p^{70} T^{34} - 37833341261859155 p^{75} T^{35} + 1552583138310745 p^{80} T^{36} + 16140498945 p^{85} T^{37} + 54608636 p^{90} T^{38} + 695 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 29 | \( 1 + 11268 T + 326668832 T^{2} + 3038309520951 T^{3} + 49833108148392909 T^{4} + \)\(39\!\cdots\!63\)\( T^{5} + \)\(48\!\cdots\!95\)\( T^{6} + \)\(34\!\cdots\!14\)\( T^{7} + \)\(33\!\cdots\!22\)\( T^{8} + \)\(21\!\cdots\!27\)\( T^{9} + \)\(18\!\cdots\!44\)\( T^{10} + \)\(10\!\cdots\!90\)\( T^{11} + \)\(78\!\cdots\!17\)\( T^{12} + \)\(42\!\cdots\!42\)\( T^{13} + \)\(28\!\cdots\!50\)\( T^{14} + \)\(14\!\cdots\!79\)\( T^{15} + \)\(85\!\cdots\!41\)\( T^{16} + \)\(39\!\cdots\!04\)\( T^{17} + \)\(21\!\cdots\!99\)\( T^{18} + \)\(94\!\cdots\!06\)\( T^{19} + \)\(48\!\cdots\!80\)\( T^{20} + \)\(94\!\cdots\!06\)\( p^{5} T^{21} + \)\(21\!\cdots\!99\)\( p^{10} T^{22} + \)\(39\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{23} + \)\(85\!\cdots\!41\)\( p^{20} T^{24} + \)\(14\!\cdots\!79\)\( p^{25} T^{25} + \)\(28\!\cdots\!50\)\( p^{30} T^{26} + \)\(42\!\cdots\!42\)\( p^{35} T^{27} + \)\(78\!\cdots\!17\)\( p^{40} T^{28} + \)\(10\!\cdots\!90\)\( p^{45} T^{29} + \)\(18\!\cdots\!44\)\( p^{50} T^{30} + \)\(21\!\cdots\!27\)\( p^{55} T^{31} + \)\(33\!\cdots\!22\)\( p^{60} T^{32} + \)\(34\!\cdots\!14\)\( p^{65} T^{33} + \)\(48\!\cdots\!95\)\( p^{70} T^{34} + \)\(39\!\cdots\!63\)\( p^{75} T^{35} + 49833108148392909 p^{80} T^{36} + 3038309520951 p^{85} T^{37} + 326668832 p^{90} T^{38} + 11268 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 31 | \( 1 + 11465 T + 306772330 T^{2} + 2711294568877 T^{3} + 42450935734749597 T^{4} + \)\(31\!\cdots\!19\)\( T^{5} + \)\(37\!\cdots\!81\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!15\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!50\)\( T^{8} + \)\(14\!\cdots\!72\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!35\)\( T^{10} + \)\(76\!\cdots\!71\)\( T^{11} + \)\(64\!\cdots\!99\)\( T^{12} + \)\(34\!\cdots\!49\)\( T^{13} + \)\(26\!\cdots\!13\)\( T^{14} + \)\(13\!\cdots\!48\)\( T^{15} + \)\(99\!\cdots\!53\)\( T^{16} + \)\(47\!\cdots\!42\)\( T^{17} + \)\(33\!\cdots\!13\)\( T^{18} + \)\(15\!\cdots\!48\)\( T^{19} + \)\(99\!\cdots\!44\)\( T^{20} + \)\(15\!\cdots\!48\)\( p^{5} T^{21} + \)\(33\!\cdots\!13\)\( p^{10} T^{22} + \)\(47\!\cdots\!42\)\( p^{15} T^{23} + \)\(99\!\cdots\!53\)\( p^{20} T^{24} + \)\(13\!\cdots\!48\)\( p^{25} T^{25} + \)\(26\!\cdots\!13\)\( p^{30} T^{26} + \)\(34\!\cdots\!49\)\( p^{35} T^{27} + \)\(64\!\cdots\!99\)\( p^{40} T^{28} + \)\(76\!\cdots\!71\)\( p^{45} T^{29} + \)\(13\!\cdots\!35\)\( p^{50} T^{30} + \)\(14\!\cdots\!72\)\( p^{55} T^{31} + \)\(25\!\cdots\!50\)\( p^{60} T^{32} + \)\(24\!\cdots\!15\)\( p^{65} T^{33} + \)\(37\!\cdots\!81\)\( p^{70} T^{34} + \)\(31\!\cdots\!19\)\( p^{75} T^{35} + 42450935734749597 p^{80} T^{36} + 2711294568877 p^{85} T^{37} + 306772330 p^{90} T^{38} + 11465 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 37 | \( 1 + 3057 T + 729849548 T^{2} + 1980844043011 T^{3} + 260229414395956471 T^{4} + \)\(62\!\cdots\!63\)\( T^{5} + \)\(60\!\cdots\!01\)\( T^{6} + \)\(13\!\cdots\!44\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!86\)\( T^{8} + \)\(21\!\cdots\!58\)\( T^{9} + \)\(14\!\cdots\!09\)\( T^{10} + \)\(29\!\cdots\!64\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!24\)\( T^{12} + \)\(35\!\cdots\!03\)\( T^{13} + \)\(15\!\cdots\!86\)\( T^{14} + \)\(37\!\cdots\!29\)\( T^{15} + \)\(13\!\cdots\!84\)\( T^{16} + \)\(36\!\cdots\!04\)\( T^{17} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( T^{18} + \)\(29\!\cdots\!87\)\( T^{19} + \)\(77\!\cdots\!68\)\( T^{20} + \)\(29\!\cdots\!87\)\( p^{5} T^{21} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( p^{10} T^{22} + \)\(36\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{23} + \)\(13\!\cdots\!84\)\( p^{20} T^{24} + \)\(37\!\cdots\!29\)\( p^{25} T^{25} + \)\(15\!\cdots\!86\)\( p^{30} T^{26} + \)\(35\!\cdots\!03\)\( p^{35} T^{27} + \)\(15\!\cdots\!24\)\( p^{40} T^{28} + \)\(29\!\cdots\!64\)\( p^{45} T^{29} + \)\(14\!\cdots\!09\)\( p^{50} T^{30} + \)\(21\!\cdots\!58\)\( p^{55} T^{31} + \)\(10\!\cdots\!86\)\( p^{60} T^{32} + \)\(13\!\cdots\!44\)\( p^{65} T^{33} + \)\(60\!\cdots\!01\)\( p^{70} T^{34} + \)\(62\!\cdots\!63\)\( p^{75} T^{35} + 260229414395956471 p^{80} T^{36} + 1980844043011 p^{85} T^{37} + 729849548 p^{90} T^{38} + 3057 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 41 | \( 1 - 839 T + 766692307 T^{2} - 2031603705646 T^{3} + 306506673745131518 T^{4} - \)\(10\!\cdots\!37\)\( T^{5} + \)\(88\!\cdots\!77\)\( T^{6} - \)\(29\!\cdots\!63\)\( T^{7} + \)\(20\!\cdots\!20\)\( T^{8} - \)\(58\!\cdots\!98\)\( T^{9} + \)\(40\!\cdots\!66\)\( T^{10} - \)\(22\!\cdots\!86\)\( p T^{11} + \)\(69\!\cdots\!15\)\( T^{12} - \)\(11\!\cdots\!97\)\( T^{13} + \)\(10\!\cdots\!75\)\( T^{14} - \)\(12\!\cdots\!77\)\( T^{15} + \)\(14\!\cdots\!35\)\( T^{16} - \)\(10\!\cdots\!14\)\( T^{17} + \)\(18\!\cdots\!03\)\( T^{18} - \)\(97\!\cdots\!17\)\( T^{19} + \)\(22\!\cdots\!19\)\( T^{20} - \)\(97\!\cdots\!17\)\( p^{5} T^{21} + \)\(18\!\cdots\!03\)\( p^{10} T^{22} - \)\(10\!\cdots\!14\)\( p^{15} T^{23} + \)\(14\!\cdots\!35\)\( p^{20} T^{24} - \)\(12\!\cdots\!77\)\( p^{25} T^{25} + \)\(10\!\cdots\!75\)\( p^{30} T^{26} - \)\(11\!\cdots\!97\)\( p^{35} T^{27} + \)\(69\!\cdots\!15\)\( p^{40} T^{28} - \)\(22\!\cdots\!86\)\( p^{46} T^{29} + \)\(40\!\cdots\!66\)\( p^{50} T^{30} - \)\(58\!\cdots\!98\)\( p^{55} T^{31} + \)\(20\!\cdots\!20\)\( p^{60} T^{32} - \)\(29\!\cdots\!63\)\( p^{65} T^{33} + \)\(88\!\cdots\!77\)\( p^{70} T^{34} - \)\(10\!\cdots\!37\)\( p^{75} T^{35} + 306506673745131518 p^{80} T^{36} - 2031603705646 p^{85} T^{37} + 766692307 p^{90} T^{38} - 839 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 43 | \( 1 + 43671 T + 2437894179 T^{2} + 77576567123746 T^{3} + 2633319831004576172 T^{4} + \)\(67\!\cdots\!13\)\( T^{5} + \)\(17\!\cdots\!11\)\( T^{6} + \)\(38\!\cdots\!96\)\( T^{7} + \)\(85\!\cdots\!36\)\( T^{8} + \)\(16\!\cdots\!15\)\( T^{9} + \)\(31\!\cdots\!26\)\( T^{10} + \)\(55\!\cdots\!72\)\( T^{11} + \)\(94\!\cdots\!02\)\( T^{12} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( T^{13} + \)\(23\!\cdots\!21\)\( T^{14} + \)\(34\!\cdots\!21\)\( T^{15} + \)\(50\!\cdots\!16\)\( T^{16} + \)\(68\!\cdots\!33\)\( T^{17} + \)\(91\!\cdots\!19\)\( T^{18} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( T^{19} + \)\(14\!\cdots\!46\)\( T^{20} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{21} + \)\(91\!\cdots\!19\)\( p^{10} T^{22} + \)\(68\!\cdots\!33\)\( p^{15} T^{23} + \)\(50\!\cdots\!16\)\( p^{20} T^{24} + \)\(34\!\cdots\!21\)\( p^{25} T^{25} + \)\(23\!\cdots\!21\)\( p^{30} T^{26} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( p^{35} T^{27} + \)\(94\!\cdots\!02\)\( p^{40} T^{28} + \)\(55\!\cdots\!72\)\( p^{45} T^{29} + \)\(31\!\cdots\!26\)\( p^{50} T^{30} + \)\(16\!\cdots\!15\)\( p^{55} T^{31} + \)\(85\!\cdots\!36\)\( p^{60} T^{32} + \)\(38\!\cdots\!96\)\( p^{65} T^{33} + \)\(17\!\cdots\!11\)\( p^{70} T^{34} + \)\(67\!\cdots\!13\)\( p^{75} T^{35} + 2633319831004576172 p^{80} T^{36} + 77576567123746 p^{85} T^{37} + 2437894179 p^{90} T^{38} + 43671 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 47 | \( 1 - 32245 T + 2372963857 T^{2} - 58348066494030 T^{3} + 53383251142203218 p T^{4} - \)\(50\!\cdots\!35\)\( T^{5} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( T^{6} - \)\(29\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(84\!\cdots\!52\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!65\)\( T^{9} + \)\(35\!\cdots\!92\)\( T^{10} - \)\(51\!\cdots\!80\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!48\)\( T^{12} - \)\(17\!\cdots\!65\)\( T^{13} + \)\(39\!\cdots\!97\)\( T^{14} - \)\(51\!\cdots\!95\)\( T^{15} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( T^{16} - \)\(14\!\cdots\!15\)\( T^{17} + \)\(30\!\cdots\!07\)\( T^{18} - \)\(35\!\cdots\!40\)\( T^{19} + \)\(72\!\cdots\!98\)\( T^{20} - \)\(35\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{21} + \)\(30\!\cdots\!07\)\( p^{10} T^{22} - \)\(14\!\cdots\!15\)\( p^{15} T^{23} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( p^{20} T^{24} - \)\(51\!\cdots\!95\)\( p^{25} T^{25} + \)\(39\!\cdots\!97\)\( p^{30} T^{26} - \)\(17\!\cdots\!65\)\( p^{35} T^{27} + \)\(12\!\cdots\!48\)\( p^{40} T^{28} - \)\(51\!\cdots\!80\)\( p^{45} T^{29} + \)\(35\!\cdots\!92\)\( p^{50} T^{30} - \)\(13\!\cdots\!65\)\( p^{55} T^{31} + \)\(84\!\cdots\!52\)\( p^{60} T^{32} - \)\(29\!\cdots\!80\)\( p^{65} T^{33} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( p^{70} T^{34} - \)\(50\!\cdots\!35\)\( p^{75} T^{35} + 53383251142203218 p^{81} T^{36} - 58348066494030 p^{85} T^{37} + 2372963857 p^{90} T^{38} - 32245 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 53 | \( 1 - 27981 T + 3840015979 T^{2} - 99455290680798 T^{3} + 7346401419454607340 T^{4} - \)\(17\!\cdots\!87\)\( T^{5} + \)\(94\!\cdots\!93\)\( T^{6} - \)\(20\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(91\!\cdots\!88\)\( T^{8} - \)\(18\!\cdots\!13\)\( T^{9} + \)\(72\!\cdots\!52\)\( T^{10} - \)\(13\!\cdots\!14\)\( T^{11} + \)\(48\!\cdots\!98\)\( T^{12} - \)\(84\!\cdots\!17\)\( T^{13} + \)\(28\!\cdots\!83\)\( T^{14} - \)\(46\!\cdots\!21\)\( T^{15} + \)\(14\!\cdots\!06\)\( T^{16} - \)\(23\!\cdots\!31\)\( T^{17} + \)\(71\!\cdots\!09\)\( T^{18} - \)\(10\!\cdots\!58\)\( T^{19} + \)\(31\!\cdots\!14\)\( T^{20} - \)\(10\!\cdots\!58\)\( p^{5} T^{21} + \)\(71\!\cdots\!09\)\( p^{10} T^{22} - \)\(23\!\cdots\!31\)\( p^{15} T^{23} + \)\(14\!\cdots\!06\)\( p^{20} T^{24} - \)\(46\!\cdots\!21\)\( p^{25} T^{25} + \)\(28\!\cdots\!83\)\( p^{30} T^{26} - \)\(84\!\cdots\!17\)\( p^{35} T^{27} + \)\(48\!\cdots\!98\)\( p^{40} T^{28} - \)\(13\!\cdots\!14\)\( p^{45} T^{29} + \)\(72\!\cdots\!52\)\( p^{50} T^{30} - \)\(18\!\cdots\!13\)\( p^{55} T^{31} + \)\(91\!\cdots\!88\)\( p^{60} T^{32} - \)\(20\!\cdots\!56\)\( p^{65} T^{33} + \)\(94\!\cdots\!93\)\( p^{70} T^{34} - \)\(17\!\cdots\!87\)\( p^{75} T^{35} + 7346401419454607340 p^{80} T^{36} - 99455290680798 p^{85} T^{37} + 3840015979 p^{90} T^{38} - 27981 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 59 | \( 1 + 56847 T + 9887519382 T^{2} + 471963137401449 T^{3} + 45635218628738894248 T^{4} + \)\(18\!\cdots\!12\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!77\)\( T^{6} + \)\(49\!\cdots\!44\)\( T^{7} + \)\(28\!\cdots\!74\)\( T^{8} + \)\(95\!\cdots\!62\)\( T^{9} + \)\(77\!\cdots\!96\)\( p T^{10} + \)\(14\!\cdots\!81\)\( T^{11} + \)\(60\!\cdots\!61\)\( T^{12} + \)\(18\!\cdots\!55\)\( T^{13} + \)\(68\!\cdots\!03\)\( T^{14} + \)\(19\!\cdots\!81\)\( T^{15} + \)\(66\!\cdots\!27\)\( T^{16} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( T^{17} + \)\(56\!\cdots\!38\)\( T^{18} + \)\(14\!\cdots\!66\)\( T^{19} + \)\(42\!\cdots\!25\)\( T^{20} + \)\(14\!\cdots\!66\)\( p^{5} T^{21} + \)\(56\!\cdots\!38\)\( p^{10} T^{22} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( p^{15} T^{23} + \)\(66\!\cdots\!27\)\( p^{20} T^{24} + \)\(19\!\cdots\!81\)\( p^{25} T^{25} + \)\(68\!\cdots\!03\)\( p^{30} T^{26} + \)\(18\!\cdots\!55\)\( p^{35} T^{27} + \)\(60\!\cdots\!61\)\( p^{40} T^{28} + \)\(14\!\cdots\!81\)\( p^{45} T^{29} + \)\(77\!\cdots\!96\)\( p^{51} T^{30} + \)\(95\!\cdots\!62\)\( p^{55} T^{31} + \)\(28\!\cdots\!74\)\( p^{60} T^{32} + \)\(49\!\cdots\!44\)\( p^{65} T^{33} + \)\(13\!\cdots\!77\)\( p^{70} T^{34} + \)\(18\!\cdots\!12\)\( p^{75} T^{35} + 45635218628738894248 p^{80} T^{36} + 471963137401449 p^{85} T^{37} + 9887519382 p^{90} T^{38} + 56847 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 61 | \( 1 + 85616 T + 10968224341 T^{2} + 687702823963522 T^{3} + 52780324931925202900 T^{4} + \)\(27\!\cdots\!38\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( T^{6} + \)\(71\!\cdots\!66\)\( T^{7} + \)\(35\!\cdots\!91\)\( T^{8} + \)\(14\!\cdots\!22\)\( T^{9} + \)\(63\!\cdots\!88\)\( T^{10} + \)\(23\!\cdots\!06\)\( T^{11} + \)\(94\!\cdots\!57\)\( T^{12} + \)\(33\!\cdots\!94\)\( T^{13} + \)\(12\!\cdots\!42\)\( T^{14} + \)\(40\!\cdots\!50\)\( T^{15} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( T^{16} + \)\(43\!\cdots\!66\)\( T^{17} + \)\(13\!\cdots\!63\)\( T^{18} + \)\(41\!\cdots\!44\)\( T^{19} + \)\(12\!\cdots\!46\)\( T^{20} + \)\(41\!\cdots\!44\)\( p^{5} T^{21} + \)\(13\!\cdots\!63\)\( p^{10} T^{22} + \)\(43\!\cdots\!66\)\( p^{15} T^{23} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{20} T^{24} + \)\(40\!\cdots\!50\)\( p^{25} T^{25} + \)\(12\!\cdots\!42\)\( p^{30} T^{26} + \)\(33\!\cdots\!94\)\( p^{35} T^{27} + \)\(94\!\cdots\!57\)\( p^{40} T^{28} + \)\(23\!\cdots\!06\)\( p^{45} T^{29} + \)\(63\!\cdots\!88\)\( p^{50} T^{30} + \)\(14\!\cdots\!22\)\( p^{55} T^{31} + \)\(35\!\cdots\!91\)\( p^{60} T^{32} + \)\(71\!\cdots\!66\)\( p^{65} T^{33} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( p^{70} T^{34} + \)\(27\!\cdots\!38\)\( p^{75} T^{35} + 52780324931925202900 p^{80} T^{36} + 687702823963522 p^{85} T^{37} + 10968224341 p^{90} T^{38} + 85616 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 67 | \( 1 + 31091 T + 12722673742 T^{2} + 352850262259037 T^{3} + 80657800395194292189 T^{4} + \)\(21\!\cdots\!61\)\( T^{5} + \)\(34\!\cdots\!75\)\( T^{6} + \)\(89\!\cdots\!62\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( T^{8} + \)\(29\!\cdots\!66\)\( T^{9} + \)\(30\!\cdots\!31\)\( T^{10} + \)\(79\!\cdots\!40\)\( T^{11} + \)\(68\!\cdots\!36\)\( T^{12} + \)\(18\!\cdots\!77\)\( T^{13} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( T^{14} + \)\(35\!\cdots\!95\)\( T^{15} + \)\(23\!\cdots\!16\)\( T^{16} + \)\(61\!\cdots\!12\)\( T^{17} + \)\(37\!\cdots\!52\)\( T^{18} + \)\(94\!\cdots\!65\)\( T^{19} + \)\(53\!\cdots\!68\)\( T^{20} + \)\(94\!\cdots\!65\)\( p^{5} T^{21} + \)\(37\!\cdots\!52\)\( p^{10} T^{22} + \)\(61\!\cdots\!12\)\( p^{15} T^{23} + \)\(23\!\cdots\!16\)\( p^{20} T^{24} + \)\(35\!\cdots\!95\)\( p^{25} T^{25} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{30} T^{26} + \)\(18\!\cdots\!77\)\( p^{35} T^{27} + \)\(68\!\cdots\!36\)\( p^{40} T^{28} + \)\(79\!\cdots\!40\)\( p^{45} T^{29} + \)\(30\!\cdots\!31\)\( p^{50} T^{30} + \)\(29\!\cdots\!66\)\( p^{55} T^{31} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( p^{60} T^{32} + \)\(89\!\cdots\!62\)\( p^{65} T^{33} + \)\(34\!\cdots\!75\)\( p^{70} T^{34} + \)\(21\!\cdots\!61\)\( p^{75} T^{35} + 80657800395194292189 p^{80} T^{36} + 352850262259037 p^{85} T^{37} + 12722673742 p^{90} T^{38} + 31091 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 71 | \( 1 + 106431 T + 25320189065 T^{2} + 2247186625057154 T^{3} + \)\(30\!\cdots\!97\)\( T^{4} + \)\(23\!\cdots\!10\)\( T^{5} + \)\(24\!\cdots\!56\)\( T^{6} + \)\(16\!\cdots\!49\)\( T^{7} + \)\(13\!\cdots\!42\)\( T^{8} + \)\(84\!\cdots\!75\)\( T^{9} + \)\(61\!\cdots\!91\)\( T^{10} + \)\(34\!\cdots\!33\)\( T^{11} + \)\(22\!\cdots\!11\)\( T^{12} + \)\(11\!\cdots\!27\)\( T^{13} + \)\(67\!\cdots\!61\)\( T^{14} + \)\(32\!\cdots\!45\)\( T^{15} + \)\(17\!\cdots\!69\)\( T^{16} + \)\(77\!\cdots\!44\)\( T^{17} + \)\(38\!\cdots\!83\)\( T^{18} + \)\(16\!\cdots\!78\)\( T^{19} + \)\(75\!\cdots\!56\)\( T^{20} + \)\(16\!\cdots\!78\)\( p^{5} T^{21} + \)\(38\!\cdots\!83\)\( p^{10} T^{22} + \)\(77\!\cdots\!44\)\( p^{15} T^{23} + \)\(17\!\cdots\!69\)\( p^{20} T^{24} + \)\(32\!\cdots\!45\)\( p^{25} T^{25} + \)\(67\!\cdots\!61\)\( p^{30} T^{26} + \)\(11\!\cdots\!27\)\( p^{35} T^{27} + \)\(22\!\cdots\!11\)\( p^{40} T^{28} + \)\(34\!\cdots\!33\)\( p^{45} T^{29} + \)\(61\!\cdots\!91\)\( p^{50} T^{30} + \)\(84\!\cdots\!75\)\( p^{55} T^{31} + \)\(13\!\cdots\!42\)\( p^{60} T^{32} + \)\(16\!\cdots\!49\)\( p^{65} T^{33} + \)\(24\!\cdots\!56\)\( p^{70} T^{34} + \)\(23\!\cdots\!10\)\( p^{75} T^{35} + \)\(30\!\cdots\!97\)\( p^{80} T^{36} + 2247186625057154 p^{85} T^{37} + 25320189065 p^{90} T^{38} + 106431 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 73 | \( 1 + 117959 T + 32469702294 T^{2} + 3259188462644691 T^{3} + \)\(50\!\cdots\!23\)\( T^{4} + \)\(44\!\cdots\!79\)\( T^{5} + \)\(50\!\cdots\!95\)\( T^{6} + \)\(39\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(36\!\cdots\!68\)\( T^{8} + \)\(25\!\cdots\!72\)\( T^{9} + \)\(20\!\cdots\!39\)\( T^{10} + \)\(12\!\cdots\!12\)\( T^{11} + \)\(89\!\cdots\!82\)\( T^{12} + \)\(52\!\cdots\!43\)\( T^{13} + \)\(33\!\cdots\!30\)\( T^{14} + \)\(17\!\cdots\!93\)\( T^{15} + \)\(10\!\cdots\!22\)\( T^{16} + \)\(50\!\cdots\!80\)\( T^{17} + \)\(26\!\cdots\!14\)\( T^{18} + \)\(12\!\cdots\!03\)\( T^{19} + \)\(60\!\cdots\!08\)\( T^{20} + \)\(12\!\cdots\!03\)\( p^{5} T^{21} + \)\(26\!\cdots\!14\)\( p^{10} T^{22} + \)\(50\!\cdots\!80\)\( p^{15} T^{23} + \)\(10\!\cdots\!22\)\( p^{20} T^{24} + \)\(17\!\cdots\!93\)\( p^{25} T^{25} + \)\(33\!\cdots\!30\)\( p^{30} T^{26} + \)\(52\!\cdots\!43\)\( p^{35} T^{27} + \)\(89\!\cdots\!82\)\( p^{40} T^{28} + \)\(12\!\cdots\!12\)\( p^{45} T^{29} + \)\(20\!\cdots\!39\)\( p^{50} T^{30} + \)\(25\!\cdots\!72\)\( p^{55} T^{31} + \)\(36\!\cdots\!68\)\( p^{60} T^{32} + \)\(39\!\cdots\!00\)\( p^{65} T^{33} + \)\(50\!\cdots\!95\)\( p^{70} T^{34} + \)\(44\!\cdots\!79\)\( p^{75} T^{35} + \)\(50\!\cdots\!23\)\( p^{80} T^{36} + 3259188462644691 p^{85} T^{37} + 32469702294 p^{90} T^{38} + 117959 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 79 | \( 1 + 215138 T + 49171029772 T^{2} + 6636903526555577 T^{3} + \)\(90\!\cdots\!69\)\( T^{4} + \)\(92\!\cdots\!47\)\( T^{5} + \)\(96\!\cdots\!43\)\( T^{6} + \)\(81\!\cdots\!14\)\( T^{7} + \)\(72\!\cdots\!50\)\( T^{8} + \)\(54\!\cdots\!91\)\( T^{9} + \)\(43\!\cdots\!00\)\( T^{10} + \)\(29\!\cdots\!46\)\( T^{11} + \)\(21\!\cdots\!97\)\( T^{12} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( T^{13} + \)\(95\!\cdots\!42\)\( T^{14} + \)\(58\!\cdots\!97\)\( T^{15} + \)\(37\!\cdots\!01\)\( T^{16} + \)\(22\!\cdots\!58\)\( T^{17} + \)\(13\!\cdots\!11\)\( T^{18} + \)\(74\!\cdots\!18\)\( T^{19} + \)\(43\!\cdots\!28\)\( T^{20} + \)\(74\!\cdots\!18\)\( p^{5} T^{21} + \)\(13\!\cdots\!11\)\( p^{10} T^{22} + \)\(22\!\cdots\!58\)\( p^{15} T^{23} + \)\(37\!\cdots\!01\)\( p^{20} T^{24} + \)\(58\!\cdots\!97\)\( p^{25} T^{25} + \)\(95\!\cdots\!42\)\( p^{30} T^{26} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( p^{35} T^{27} + \)\(21\!\cdots\!97\)\( p^{40} T^{28} + \)\(29\!\cdots\!46\)\( p^{45} T^{29} + \)\(43\!\cdots\!00\)\( p^{50} T^{30} + \)\(54\!\cdots\!91\)\( p^{55} T^{31} + \)\(72\!\cdots\!50\)\( p^{60} T^{32} + \)\(81\!\cdots\!14\)\( p^{65} T^{33} + \)\(96\!\cdots\!43\)\( p^{70} T^{34} + \)\(92\!\cdots\!47\)\( p^{75} T^{35} + \)\(90\!\cdots\!69\)\( p^{80} T^{36} + 6636903526555577 p^{85} T^{37} + 49171029772 p^{90} T^{38} + 215138 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 83 | \( 1 + 66761 T + 49082778651 T^{2} + 3050326081454498 T^{3} + \)\(11\!\cdots\!06\)\( T^{4} + \)\(69\!\cdots\!91\)\( T^{5} + \)\(19\!\cdots\!79\)\( T^{6} + \)\(10\!\cdots\!28\)\( T^{7} + \)\(22\!\cdots\!86\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!21\)\( T^{9} + \)\(21\!\cdots\!04\)\( T^{10} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( T^{11} + \)\(16\!\cdots\!92\)\( T^{12} + \)\(72\!\cdots\!77\)\( T^{13} + \)\(10\!\cdots\!59\)\( T^{14} + \)\(44\!\cdots\!55\)\( T^{15} + \)\(61\!\cdots\!12\)\( T^{16} + \)\(22\!\cdots\!87\)\( T^{17} + \)\(29\!\cdots\!11\)\( T^{18} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{19} + \)\(12\!\cdots\!46\)\( T^{20} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{21} + \)\(29\!\cdots\!11\)\( p^{10} T^{22} + \)\(22\!\cdots\!87\)\( p^{15} T^{23} + \)\(61\!\cdots\!12\)\( p^{20} T^{24} + \)\(44\!\cdots\!55\)\( p^{25} T^{25} + \)\(10\!\cdots\!59\)\( p^{30} T^{26} + \)\(72\!\cdots\!77\)\( p^{35} T^{27} + \)\(16\!\cdots\!92\)\( p^{40} T^{28} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{45} T^{29} + \)\(21\!\cdots\!04\)\( p^{50} T^{30} + \)\(11\!\cdots\!21\)\( p^{55} T^{31} + \)\(22\!\cdots\!86\)\( p^{60} T^{32} + \)\(10\!\cdots\!28\)\( p^{65} T^{33} + \)\(19\!\cdots\!79\)\( p^{70} T^{34} + \)\(69\!\cdots\!91\)\( p^{75} T^{35} + \)\(11\!\cdots\!06\)\( p^{80} T^{36} + 3050326081454498 p^{85} T^{37} + 49082778651 p^{90} T^{38} + 66761 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 89 | \( 1 - 3040 p T + 88824381204 T^{2} - 16441541281508784 T^{3} + \)\(32\!\cdots\!60\)\( T^{4} - \)\(47\!\cdots\!44\)\( T^{5} + \)\(70\!\cdots\!02\)\( T^{6} - \)\(85\!\cdots\!28\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!46\)\( T^{8} - \)\(11\!\cdots\!88\)\( T^{9} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( T^{10} - \)\(11\!\cdots\!36\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!99\)\( T^{12} - \)\(91\!\cdots\!08\)\( T^{13} + \)\(79\!\cdots\!24\)\( T^{14} - \)\(62\!\cdots\!52\)\( T^{15} + \)\(51\!\cdots\!59\)\( T^{16} - \)\(38\!\cdots\!64\)\( T^{17} + \)\(29\!\cdots\!96\)\( T^{18} - \)\(21\!\cdots\!08\)\( T^{19} + \)\(16\!\cdots\!95\)\( T^{20} - \)\(21\!\cdots\!08\)\( p^{5} T^{21} + \)\(29\!\cdots\!96\)\( p^{10} T^{22} - \)\(38\!\cdots\!64\)\( p^{15} T^{23} + \)\(51\!\cdots\!59\)\( p^{20} T^{24} - \)\(62\!\cdots\!52\)\( p^{25} T^{25} + \)\(79\!\cdots\!24\)\( p^{30} T^{26} - \)\(91\!\cdots\!08\)\( p^{35} T^{27} + \)\(10\!\cdots\!99\)\( p^{40} T^{28} - \)\(11\!\cdots\!36\)\( p^{45} T^{29} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( p^{50} T^{30} - \)\(11\!\cdots\!88\)\( p^{55} T^{31} + \)\(10\!\cdots\!46\)\( p^{60} T^{32} - \)\(85\!\cdots\!28\)\( p^{65} T^{33} + \)\(70\!\cdots\!02\)\( p^{70} T^{34} - \)\(47\!\cdots\!44\)\( p^{75} T^{35} + \)\(32\!\cdots\!60\)\( p^{80} T^{36} - 16441541281508784 p^{85} T^{37} + 88824381204 p^{90} T^{38} - 3040 p^{96} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 97 | \( 1 - 45338 T + 75921833457 T^{2} - 2407554337711296 T^{3} + \)\(28\!\cdots\!82\)\( T^{4} - \)\(58\!\cdots\!10\)\( T^{5} + \)\(74\!\cdots\!04\)\( T^{6} - \)\(78\!\cdots\!06\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!69\)\( T^{8} - \)\(39\!\cdots\!34\)\( T^{9} + \)\(24\!\cdots\!60\)\( T^{10} + \)\(88\!\cdots\!90\)\( T^{11} + \)\(34\!\cdots\!76\)\( T^{12} + \)\(29\!\cdots\!88\)\( T^{13} + \)\(43\!\cdots\!19\)\( T^{14} + \)\(50\!\cdots\!38\)\( T^{15} + \)\(47\!\cdots\!93\)\( T^{16} + \)\(65\!\cdots\!28\)\( T^{17} + \)\(47\!\cdots\!12\)\( T^{18} + \)\(68\!\cdots\!52\)\( T^{19} + \)\(43\!\cdots\!58\)\( T^{20} + \)\(68\!\cdots\!52\)\( p^{5} T^{21} + \)\(47\!\cdots\!12\)\( p^{10} T^{22} + \)\(65\!\cdots\!28\)\( p^{15} T^{23} + \)\(47\!\cdots\!93\)\( p^{20} T^{24} + \)\(50\!\cdots\!38\)\( p^{25} T^{25} + \)\(43\!\cdots\!19\)\( p^{30} T^{26} + \)\(29\!\cdots\!88\)\( p^{35} T^{27} + \)\(34\!\cdots\!76\)\( p^{40} T^{28} + \)\(88\!\cdots\!90\)\( p^{45} T^{29} + \)\(24\!\cdots\!60\)\( p^{50} T^{30} - \)\(39\!\cdots\!34\)\( p^{55} T^{31} + \)\(14\!\cdots\!69\)\( p^{60} T^{32} - \)\(78\!\cdots\!06\)\( p^{65} T^{33} + \)\(74\!\cdots\!04\)\( p^{70} T^{34} - \)\(58\!\cdots\!10\)\( p^{75} T^{35} + \)\(28\!\cdots\!82\)\( p^{80} T^{36} - 2407554337711296 p^{85} T^{37} + 75921833457 p^{90} T^{38} - 45338 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| show more | ||
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\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.31706684229850094106265017212, −2.25425037253733396763549763013, −2.24569934583637234231202975957, −2.21673385739504400631449456103, −2.19864896143925543898800200818, −2.11330138077538106593964782655, −1.81915461663920200159192823663, −1.77306898618183591877753133374, −1.61572085434880599035771792742, −1.60171163490787029478832892953, −1.56782602432724486953063062787, −1.51427520273682314486264169093, −1.41154800683074077634611514554, −1.23455740042346775826500278631, −1.22380166522064969468665578873, −1.22067888476632216203530617966, −1.15418963302489794563599457215, −1.13219797210304473747838243250, −1.07992856531623303727493413947, −1.00419234812487514647275982277, −0.880026032108602975536509337710, −0.846641666340298577124236891482, −0.77699842994379580279313125811, −0.76007388029912403045838516062, −0.64845576297369395686046654229, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.64845576297369395686046654229, 0.76007388029912403045838516062, 0.77699842994379580279313125811, 0.846641666340298577124236891482, 0.880026032108602975536509337710, 1.00419234812487514647275982277, 1.07992856531623303727493413947, 1.13219797210304473747838243250, 1.15418963302489794563599457215, 1.22067888476632216203530617966, 1.22380166522064969468665578873, 1.23455740042346775826500278631, 1.41154800683074077634611514554, 1.51427520273682314486264169093, 1.56782602432724486953063062787, 1.60171163490787029478832892953, 1.61572085434880599035771792742, 1.77306898618183591877753133374, 1.81915461663920200159192823663, 2.11330138077538106593964782655, 2.19864896143925543898800200818, 2.21673385739504400631449456103, 2.24569934583637234231202975957, 2.25425037253733396763549763013, 2.31706684229850094106265017212
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.