# Properties

 Degree 16 Conductor $3^{8} \cdot 7^{16} \cdot 41^{8}$ Sign $1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 0

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 2-s + 8·3-s − 4-s + 7·5-s + 8·6-s + 36·9-s + 7·10-s + 11·11-s − 8·12-s + 10·13-s + 56·15-s − 9·16-s + 3·17-s + 36·18-s + 6·19-s − 7·20-s + 11·22-s + 14·23-s + 17·25-s + 10·26-s + 120·27-s + 2·29-s + 56·30-s + 16·31-s − 13·32-s + 88·33-s + 3·34-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 0.707·2-s + 4.61·3-s − 1/2·4-s + 3.13·5-s + 3.26·6-s + 12·9-s + 2.21·10-s + 3.31·11-s − 2.30·12-s + 2.77·13-s + 14.4·15-s − 9/4·16-s + 0.727·17-s + 8.48·18-s + 1.37·19-s − 1.56·20-s + 2.34·22-s + 2.91·23-s + 17/5·25-s + 1.96·26-s + 23.0·27-s + 0.371·29-s + 10.2·30-s + 2.87·31-s − 2.29·32-s + 15.3·33-s + 0.514·34-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{8} \cdot 7^{16} \cdot 41^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned}
\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{8} \cdot 7^{16} \cdot 41^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{8} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$16$$ $$N$$ = $$3^{8} \cdot 7^{16} \cdot 41^{8}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{6027} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = 0 Selberg data = $(16,\ 3^{8} \cdot 7^{16} \cdot 41^{8} ,\ ( \ : [1/2]^{8} ),\ 1 )$ $L(1)$ $\approx$ $3906.095601$ $L(\frac12)$ $\approx$ $3906.095601$ $L(\frac{3}{2})$ not available $L(1)$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$ where, for $p \notin \{3,\;7,\;41\}$, $$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 16. If $p \in \{3,\;7,\;41\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 15.
$p$$F_p(T)$
bad3 $$( 1 - T )^{8}$$
7 $$1$$
41 $$( 1 - T )^{8}$$
good2 $$1 - T + p T^{2} - 3 T^{3} + 7 p T^{4} - 13 T^{5} + 5 p^{2} T^{6} - 15 p T^{7} + 81 T^{8} - 15 p^{2} T^{9} + 5 p^{4} T^{10} - 13 p^{3} T^{11} + 7 p^{5} T^{12} - 3 p^{5} T^{13} + p^{7} T^{14} - p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
5 $$1 - 7 T + 32 T^{2} - 104 T^{3} + 291 T^{4} - 739 T^{5} + 1773 T^{6} - 4004 T^{7} + 8963 T^{8} - 4004 p T^{9} + 1773 p^{2} T^{10} - 739 p^{3} T^{11} + 291 p^{4} T^{12} - 104 p^{5} T^{13} + 32 p^{6} T^{14} - 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
11 $$1 - p T + 109 T^{2} - 722 T^{3} + 4327 T^{4} - 21132 T^{5} + 94519 T^{6} - 364514 T^{7} + 1293423 T^{8} - 364514 p T^{9} + 94519 p^{2} T^{10} - 21132 p^{3} T^{11} + 4327 p^{4} T^{12} - 722 p^{5} T^{13} + 109 p^{6} T^{14} - p^{8} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
13 $$( 1 - 5 T + 42 T^{2} - 151 T^{3} + 803 T^{4} - 151 p T^{5} + 42 p^{2} T^{6} - 5 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
17 $$1 - 3 T + 88 T^{2} - 249 T^{3} + 3628 T^{4} - 10429 T^{5} + 97377 T^{6} - 16168 p T^{7} + 1911047 T^{8} - 16168 p^{2} T^{9} + 97377 p^{2} T^{10} - 10429 p^{3} T^{11} + 3628 p^{4} T^{12} - 249 p^{5} T^{13} + 88 p^{6} T^{14} - 3 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
19 $$1 - 6 T + 67 T^{2} - 389 T^{3} + 2468 T^{4} - 11408 T^{5} + 61405 T^{6} - 240975 T^{7} + 1214249 T^{8} - 240975 p T^{9} + 61405 p^{2} T^{10} - 11408 p^{3} T^{11} + 2468 p^{4} T^{12} - 389 p^{5} T^{13} + 67 p^{6} T^{14} - 6 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
23 $$1 - 14 T + 188 T^{2} - 1660 T^{3} + 13785 T^{4} - 92987 T^{5} + 590823 T^{6} - 3228139 T^{7} + 16594745 T^{8} - 3228139 p T^{9} + 590823 p^{2} T^{10} - 92987 p^{3} T^{11} + 13785 p^{4} T^{12} - 1660 p^{5} T^{13} + 188 p^{6} T^{14} - 14 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
29 $$1 - 2 T + 86 T^{2} - 153 T^{3} + 3409 T^{4} - 670 T^{5} + 83827 T^{6} + 239476 T^{7} + 1987143 T^{8} + 239476 p T^{9} + 83827 p^{2} T^{10} - 670 p^{3} T^{11} + 3409 p^{4} T^{12} - 153 p^{5} T^{13} + 86 p^{6} T^{14} - 2 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
31 $$1 - 16 T + 266 T^{2} - 2949 T^{3} + 29580 T^{4} - 246472 T^{5} + 59579 p T^{6} - 12083235 T^{7} + 71657915 T^{8} - 12083235 p T^{9} + 59579 p^{3} T^{10} - 246472 p^{3} T^{11} + 29580 p^{4} T^{12} - 2949 p^{5} T^{13} + 266 p^{6} T^{14} - 16 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
37 $$1 + 20 T + 325 T^{2} + 3627 T^{3} + 34697 T^{4} + 274640 T^{5} + 1965177 T^{6} + 12776670 T^{7} + 79575859 T^{8} + 12776670 p T^{9} + 1965177 p^{2} T^{10} + 274640 p^{3} T^{11} + 34697 p^{4} T^{12} + 3627 p^{5} T^{13} + 325 p^{6} T^{14} + 20 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
43 $$1 - 7 T + 176 T^{2} - 1539 T^{3} + 17898 T^{4} - 148602 T^{5} + 1313572 T^{6} - 8856203 T^{7} + 1587107 p T^{8} - 8856203 p T^{9} + 1313572 p^{2} T^{10} - 148602 p^{3} T^{11} + 17898 p^{4} T^{12} - 1539 p^{5} T^{13} + 176 p^{6} T^{14} - 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
47 $$1 - 14 T + 344 T^{2} - 3788 T^{3} + 52751 T^{4} - 468163 T^{5} + 4734300 T^{6} - 34338524 T^{7} + 273639553 T^{8} - 34338524 p T^{9} + 4734300 p^{2} T^{10} - 468163 p^{3} T^{11} + 52751 p^{4} T^{12} - 3788 p^{5} T^{13} + 344 p^{6} T^{14} - 14 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
53 $$1 - 7 T + 329 T^{2} - 2227 T^{3} + 52589 T^{4} - 315438 T^{5} + 5144510 T^{6} - 26357108 T^{7} + 331902573 T^{8} - 26357108 p T^{9} + 5144510 p^{2} T^{10} - 315438 p^{3} T^{11} + 52589 p^{4} T^{12} - 2227 p^{5} T^{13} + 329 p^{6} T^{14} - 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
59 $$1 - 22 T + 451 T^{2} - 5987 T^{3} + 76223 T^{4} - 765180 T^{5} + 7510827 T^{6} - 62437904 T^{7} + 516169223 T^{8} - 62437904 p T^{9} + 7510827 p^{2} T^{10} - 765180 p^{3} T^{11} + 76223 p^{4} T^{12} - 5987 p^{5} T^{13} + 451 p^{6} T^{14} - 22 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
61 $$1 + 235 T^{2} - 219 T^{3} + 22651 T^{4} - 72714 T^{5} + 1207263 T^{6} - 9201786 T^{7} + 57784175 T^{8} - 9201786 p T^{9} + 1207263 p^{2} T^{10} - 72714 p^{3} T^{11} + 22651 p^{4} T^{12} - 219 p^{5} T^{13} + 235 p^{6} T^{14} + p^{8} T^{16}$$
67 $$1 - 12 T + 382 T^{2} - 3513 T^{3} + 69384 T^{4} - 542920 T^{5} + 8067795 T^{6} - 53363601 T^{7} + 642294989 T^{8} - 53363601 p T^{9} + 8067795 p^{2} T^{10} - 542920 p^{3} T^{11} + 69384 p^{4} T^{12} - 3513 p^{5} T^{13} + 382 p^{6} T^{14} - 12 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
71 $$1 + 5 T + 470 T^{2} + 2248 T^{3} + 101408 T^{4} + 446526 T^{5} + 13192902 T^{6} + 50973626 T^{7} + 1136623295 T^{8} + 50973626 p T^{9} + 13192902 p^{2} T^{10} + 446526 p^{3} T^{11} + 101408 p^{4} T^{12} + 2248 p^{5} T^{13} + 470 p^{6} T^{14} + 5 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
73 $$1 - 2 T + 327 T^{2} + 241 T^{3} + 51485 T^{4} + 107105 T^{5} + 5880012 T^{6} + 11437223 T^{7} + 507231001 T^{8} + 11437223 p T^{9} + 5880012 p^{2} T^{10} + 107105 p^{3} T^{11} + 51485 p^{4} T^{12} + 241 p^{5} T^{13} + 327 p^{6} T^{14} - 2 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
79 $$1 + 15 T + 567 T^{2} + 6821 T^{3} + 142715 T^{4} + 1421020 T^{5} + 21217240 T^{6} + 175433474 T^{7} + 2051476003 T^{8} + 175433474 p T^{9} + 21217240 p^{2} T^{10} + 1421020 p^{3} T^{11} + 142715 p^{4} T^{12} + 6821 p^{5} T^{13} + 567 p^{6} T^{14} + 15 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
83 $$1 - 15 T + 621 T^{2} - 7591 T^{3} + 170269 T^{4} - 1716666 T^{5} + 27194354 T^{6} - 225973994 T^{7} + 2783475951 T^{8} - 225973994 p T^{9} + 27194354 p^{2} T^{10} - 1716666 p^{3} T^{11} + 170269 p^{4} T^{12} - 7591 p^{5} T^{13} + 621 p^{6} T^{14} - 15 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
89 $$1 - 29 T + 745 T^{2} - 12702 T^{3} + 197115 T^{4} - 2469540 T^{5} + 29311002 T^{6} - 301308421 T^{7} + 3020587875 T^{8} - 301308421 p T^{9} + 29311002 p^{2} T^{10} - 2469540 p^{3} T^{11} + 197115 p^{4} T^{12} - 12702 p^{5} T^{13} + 745 p^{6} T^{14} - 29 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
97 $$1 - 19 T + 746 T^{2} - 10988 T^{3} + 243141 T^{4} - 2884285 T^{5} + 45851095 T^{6} - 443206010 T^{7} + 5504083913 T^{8} - 443206010 p T^{9} + 45851095 p^{2} T^{10} - 2884285 p^{3} T^{11} + 243141 p^{4} T^{12} - 10988 p^{5} T^{13} + 746 p^{6} T^{14} - 19 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}