# Properties

 Degree 10 Conductor $2^{5} \cdot 3^{5} \cdot 17^{5} \cdot 59^{5}$ Sign $1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 0

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 5·2-s + 5·3-s + 15·4-s − 5-s − 25·6-s − 7-s − 35·8-s + 15·9-s + 5·10-s + 6·11-s + 75·12-s − 2·13-s + 5·14-s − 5·15-s + 70·16-s − 5·17-s − 75·18-s + 4·19-s − 15·20-s − 5·21-s − 30·22-s + 12·23-s − 175·24-s − 10·25-s + 10·26-s + 35·27-s − 15·28-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 3.53·2-s + 2.88·3-s + 15/2·4-s − 0.447·5-s − 10.2·6-s − 0.377·7-s − 12.3·8-s + 5·9-s + 1.58·10-s + 1.80·11-s + 21.6·12-s − 0.554·13-s + 1.33·14-s − 1.29·15-s + 35/2·16-s − 1.21·17-s − 17.6·18-s + 0.917·19-s − 3.35·20-s − 1.09·21-s − 6.39·22-s + 2.50·23-s − 35.7·24-s − 2·25-s + 1.96·26-s + 6.73·27-s − 2.83·28-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{5} \cdot 3^{5} \cdot 17^{5} \cdot 59^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned}
\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{5} \cdot 3^{5} \cdot 17^{5} \cdot 59^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$10$$ $$N$$ = $$2^{5} \cdot 3^{5} \cdot 17^{5} \cdot 59^{5}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{6018} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = 0 Selberg data = $(10,\ 2^{5} \cdot 3^{5} \cdot 17^{5} \cdot 59^{5} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$ $L(1)$ $\approx$ $13.72274697$ $L(\frac12)$ $\approx$ $13.72274697$ $L(\frac{3}{2})$ not available $L(1)$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$ where, for $p \notin \{2,\;3,\;17,\;59\}$, $$F_p$$ is a polynomial of degree 10. If $p \in \{2,\;3,\;17,\;59\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 9.
$p$$\Gal(F_p)$$F_p$
bad2$C_1$ $$( 1 + T )^{5}$$
3$C_1$ $$( 1 - T )^{5}$$
17$C_1$ $$( 1 + T )^{5}$$
59$C_1$ $$( 1 + T )^{5}$$
good5$C_2 \wr S_5$ $$1 + T + 11 T^{2} + 2 p T^{3} + 3 p^{2} T^{4} + 82 T^{5} + 3 p^{3} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + 11 p^{3} T^{8} + p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
7$C_2 \wr S_5$ $$1 + T + 24 T^{2} + 27 T^{3} + 276 T^{4} + 282 T^{5} + 276 p T^{6} + 27 p^{2} T^{7} + 24 p^{3} T^{8} + p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
11$C_2 \wr S_5$ $$1 - 6 T + 37 T^{2} - 177 T^{3} + 739 T^{4} - 2490 T^{5} + 739 p T^{6} - 177 p^{2} T^{7} + 37 p^{3} T^{8} - 6 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
13$C_2 \wr S_5$ $$1 + 2 T + 42 T^{2} + 66 T^{3} + 918 T^{4} + 1182 T^{5} + 918 p T^{6} + 66 p^{2} T^{7} + 42 p^{3} T^{8} + 2 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
19$C_2 \wr S_5$ $$1 - 4 T + 81 T^{2} - 240 T^{3} + 147 p T^{4} - 6276 T^{5} + 147 p^{2} T^{6} - 240 p^{2} T^{7} + 81 p^{3} T^{8} - 4 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
23$C_2 \wr S_5$ $$1 - 12 T + 127 T^{2} - 867 T^{3} + 5287 T^{4} - 26424 T^{5} + 5287 p T^{6} - 867 p^{2} T^{7} + 127 p^{3} T^{8} - 12 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
29$C_2 \wr S_5$ $$1 - 19 T + 215 T^{2} - 1792 T^{3} + 12537 T^{4} - 73546 T^{5} + 12537 p T^{6} - 1792 p^{2} T^{7} + 215 p^{3} T^{8} - 19 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
31$C_2 \wr S_5$ $$1 - 5 T + 99 T^{2} - 300 T^{3} + 4311 T^{4} - 9180 T^{5} + 4311 p T^{6} - 300 p^{2} T^{7} + 99 p^{3} T^{8} - 5 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
37$C_2 \wr S_5$ $$1 + 11 T + 165 T^{2} + 1122 T^{3} + 10035 T^{4} + 51894 T^{5} + 10035 p T^{6} + 1122 p^{2} T^{7} + 165 p^{3} T^{8} + 11 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
41$C_2 \wr S_5$ $$1 - 6 T + 187 T^{2} - 849 T^{3} + 353 p T^{4} - 49488 T^{5} + 353 p^{2} T^{6} - 849 p^{2} T^{7} + 187 p^{3} T^{8} - 6 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
43$C_2 \wr S_5$ $$1 - 2 T + 93 T^{2} - 81 T^{3} + 4347 T^{4} - 1014 T^{5} + 4347 p T^{6} - 81 p^{2} T^{7} + 93 p^{3} T^{8} - 2 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
47$C_2 \wr S_5$ $$1 - 22 T + 293 T^{2} - 3031 T^{3} + 25605 T^{4} - 183682 T^{5} + 25605 p T^{6} - 3031 p^{2} T^{7} + 293 p^{3} T^{8} - 22 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
53$C_2 \wr S_5$ $$1 - 15 T + 292 T^{2} - 2799 T^{3} + 31312 T^{4} - 213858 T^{5} + 31312 p T^{6} - 2799 p^{2} T^{7} + 292 p^{3} T^{8} - 15 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
61$C_2 \wr S_5$ $$1 - 16 T + 321 T^{2} - 3165 T^{3} + 36369 T^{4} - 261786 T^{5} + 36369 p T^{6} - 3165 p^{2} T^{7} + 321 p^{3} T^{8} - 16 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
67$C_2 \wr S_5$ $$1 - 25 T + 312 T^{2} - 1953 T^{3} + 5250 T^{4} + 8760 T^{5} + 5250 p T^{6} - 1953 p^{2} T^{7} + 312 p^{3} T^{8} - 25 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
71$C_2 \wr S_5$ $$1 + 259 T^{2} + 243 T^{3} + 30943 T^{4} + 31680 T^{5} + 30943 p T^{6} + 243 p^{2} T^{7} + 259 p^{3} T^{8} + p^{5} T^{10}$$
73$C_2 \wr S_5$ $$1 + 10 T + 189 T^{2} + 1767 T^{3} + 17205 T^{4} + 159624 T^{5} + 17205 p T^{6} + 1767 p^{2} T^{7} + 189 p^{3} T^{8} + 10 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
79$C_2 \wr S_5$ $$1 - 10 T + 201 T^{2} - 1224 T^{3} + 16233 T^{4} - 68586 T^{5} + 16233 p T^{6} - 1224 p^{2} T^{7} + 201 p^{3} T^{8} - 10 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
83$C_2 \wr S_5$ $$1 - 19 T + 455 T^{2} - 5380 T^{3} + 74511 T^{4} - 630862 T^{5} + 74511 p T^{6} - 5380 p^{2} T^{7} + 455 p^{3} T^{8} - 19 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
89$C_2 \wr S_5$ $$1 - 23 T + 563 T^{2} - 8012 T^{3} + 108639 T^{4} - 1058708 T^{5} + 108639 p T^{6} - 8012 p^{2} T^{7} + 563 p^{3} T^{8} - 23 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
97$C_2 \wr S_5$ $$1 - 8 T + 468 T^{2} - 2808 T^{3} + 88296 T^{4} - 393462 T^{5} + 88296 p T^{6} - 2808 p^{2} T^{7} + 468 p^{3} T^{8} - 8 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}