Properties

Degree 32
Conductor $ 2^{16} \cdot 5^{16} \cdot 601^{16} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 16

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 16·2-s − 8·3-s + 136·4-s + 16·5-s − 128·6-s − 10·7-s + 816·8-s + 7·9-s + 256·10-s − 14·11-s − 1.08e3·12-s − 20·13-s − 160·14-s − 128·15-s + 3.87e3·16-s − 27·17-s + 112·18-s − 17·19-s + 2.17e3·20-s + 80·21-s − 224·22-s − 9·23-s − 6.52e3·24-s + 136·25-s − 320·26-s + 119·27-s − 1.36e3·28-s + ⋯
L(s)  = 1  + 11.3·2-s − 4.61·3-s + 68·4-s + 7.15·5-s − 52.2·6-s − 3.77·7-s + 288.·8-s + 7/3·9-s + 80.9·10-s − 4.22·11-s − 314.·12-s − 5.54·13-s − 42.7·14-s − 33.0·15-s + 969·16-s − 6.54·17-s + 26.3·18-s − 3.90·19-s + 486.·20-s + 17.4·21-s − 47.7·22-s − 1.87·23-s − 1.33e3·24-s + 27.1·25-s − 62.7·26-s + 22.9·27-s − 257.·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{16} \cdot 5^{16} \cdot 601^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{16} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{16} \cdot 5^{16} \cdot 601^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{16} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(32\)
\( N \)  =  \(2^{16} \cdot 5^{16} \cdot 601^{16}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{6010} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  16
Selberg data  =  $(32,\ 2^{16} \cdot 5^{16} \cdot 601^{16} ,\ ( \ : [1/2]^{16} ),\ 1 )$
$L(1)$  $=$  $0$
$L(\frac12)$  $=$  $0$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, for $p \notin \{2,\;5,\;601\}$, \(F_p\) is a polynomial of degree 32. If $p \in \{2,\;5,\;601\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 31.
$p$$F_p$
bad2 \( ( 1 - T )^{16} \)
5 \( ( 1 - T )^{16} \)
601 \( ( 1 + T )^{16} \)
good3 \( 1 + 8 T + 19 p T^{2} + 281 T^{3} + 418 p T^{4} + 4685 T^{5} + 16162 T^{6} + 49691 T^{7} + 47668 p T^{8} + 41945 p^{2} T^{9} + 941243 T^{10} + 2186116 T^{11} + 4823804 T^{12} + 10001048 T^{13} + 19768774 T^{14} + 36880364 T^{15} + 65707223 T^{16} + 36880364 p T^{17} + 19768774 p^{2} T^{18} + 10001048 p^{3} T^{19} + 4823804 p^{4} T^{20} + 2186116 p^{5} T^{21} + 941243 p^{6} T^{22} + 41945 p^{9} T^{23} + 47668 p^{9} T^{24} + 49691 p^{9} T^{25} + 16162 p^{10} T^{26} + 4685 p^{11} T^{27} + 418 p^{13} T^{28} + 281 p^{13} T^{29} + 19 p^{15} T^{30} + 8 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
7 \( 1 + 10 T + 118 T^{2} + 806 T^{3} + 5690 T^{4} + 30245 T^{5} + 161206 T^{6} + 711125 T^{7} + 3121801 T^{8} + 11874467 T^{9} + 917104 p^{2} T^{10} + 151206868 T^{11} + 507467739 T^{12} + 1537856119 T^{13} + 4662653269 T^{14} + 1839371395 p T^{15} + 35644712104 T^{16} + 1839371395 p^{2} T^{17} + 4662653269 p^{2} T^{18} + 1537856119 p^{3} T^{19} + 507467739 p^{4} T^{20} + 151206868 p^{5} T^{21} + 917104 p^{8} T^{22} + 11874467 p^{7} T^{23} + 3121801 p^{8} T^{24} + 711125 p^{9} T^{25} + 161206 p^{10} T^{26} + 30245 p^{11} T^{27} + 5690 p^{12} T^{28} + 806 p^{13} T^{29} + 118 p^{14} T^{30} + 10 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
11 \( 1 + 14 T + 206 T^{2} + 1890 T^{3} + 1520 p T^{4} + 117103 T^{5} + 782197 T^{6} + 4497985 T^{7} + 24724320 T^{8} + 121847359 T^{9} + 576830634 T^{10} + 2504819032 T^{11} + 10496872857 T^{12} + 40889363569 T^{13} + 154224172953 T^{14} + 49500953939 p T^{15} + 1864540396174 T^{16} + 49500953939 p^{2} T^{17} + 154224172953 p^{2} T^{18} + 40889363569 p^{3} T^{19} + 10496872857 p^{4} T^{20} + 2504819032 p^{5} T^{21} + 576830634 p^{6} T^{22} + 121847359 p^{7} T^{23} + 24724320 p^{8} T^{24} + 4497985 p^{9} T^{25} + 782197 p^{10} T^{26} + 117103 p^{11} T^{27} + 1520 p^{13} T^{28} + 1890 p^{13} T^{29} + 206 p^{14} T^{30} + 14 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
13 \( 1 + 20 T + 313 T^{2} + 3506 T^{3} + 33864 T^{4} + 276888 T^{5} + 2038693 T^{6} + 13439079 T^{7} + 81710659 T^{8} + 456934474 T^{9} + 2391229326 T^{10} + 11682785938 T^{11} + 53889393551 T^{12} + 18002962132 p T^{13} + 964433576632 T^{14} + 3757940186918 T^{15} + 13924887105996 T^{16} + 3757940186918 p T^{17} + 964433576632 p^{2} T^{18} + 18002962132 p^{4} T^{19} + 53889393551 p^{4} T^{20} + 11682785938 p^{5} T^{21} + 2391229326 p^{6} T^{22} + 456934474 p^{7} T^{23} + 81710659 p^{8} T^{24} + 13439079 p^{9} T^{25} + 2038693 p^{10} T^{26} + 276888 p^{11} T^{27} + 33864 p^{12} T^{28} + 3506 p^{13} T^{29} + 313 p^{14} T^{30} + 20 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
17 \( 1 + 27 T + 500 T^{2} + 397 p T^{3} + 75881 T^{4} + 725535 T^{5} + 6154083 T^{6} + 46807141 T^{7} + 325583454 T^{8} + 2084535307 T^{9} + 12422492128 T^{10} + 69190714506 T^{11} + 362723475236 T^{12} + 1794195007725 T^{13} + 8411202177539 T^{14} + 37407922994307 T^{15} + 158212935030678 T^{16} + 37407922994307 p T^{17} + 8411202177539 p^{2} T^{18} + 1794195007725 p^{3} T^{19} + 362723475236 p^{4} T^{20} + 69190714506 p^{5} T^{21} + 12422492128 p^{6} T^{22} + 2084535307 p^{7} T^{23} + 325583454 p^{8} T^{24} + 46807141 p^{9} T^{25} + 6154083 p^{10} T^{26} + 725535 p^{11} T^{27} + 75881 p^{12} T^{28} + 397 p^{14} T^{29} + 500 p^{14} T^{30} + 27 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
19 \( 1 + 17 T + 327 T^{2} + 3664 T^{3} + 41421 T^{4} + 347995 T^{5} + 2882425 T^{6} + 19146171 T^{7} + 125016961 T^{8} + 668348993 T^{9} + 3537389525 T^{10} + 15073727168 T^{11} + 65267623081 T^{12} + 11220384047 p T^{13} + 791849657816 T^{14} + 2042124568060 T^{15} + 9835891477592 T^{16} + 2042124568060 p T^{17} + 791849657816 p^{2} T^{18} + 11220384047 p^{4} T^{19} + 65267623081 p^{4} T^{20} + 15073727168 p^{5} T^{21} + 3537389525 p^{6} T^{22} + 668348993 p^{7} T^{23} + 125016961 p^{8} T^{24} + 19146171 p^{9} T^{25} + 2882425 p^{10} T^{26} + 347995 p^{11} T^{27} + 41421 p^{12} T^{28} + 3664 p^{13} T^{29} + 327 p^{14} T^{30} + 17 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
23 \( 1 + 9 T + 237 T^{2} + 1668 T^{3} + 25173 T^{4} + 144102 T^{5} + 1647056 T^{6} + 7839001 T^{7} + 76598936 T^{8} + 306625254 T^{9} + 2764786114 T^{10} + 408038528 p T^{11} + 82645544743 T^{12} + 242143582184 T^{13} + 2160591783873 T^{14} + 248209654411 p T^{15} + 51561782179826 T^{16} + 248209654411 p^{2} T^{17} + 2160591783873 p^{2} T^{18} + 242143582184 p^{3} T^{19} + 82645544743 p^{4} T^{20} + 408038528 p^{6} T^{21} + 2764786114 p^{6} T^{22} + 306625254 p^{7} T^{23} + 76598936 p^{8} T^{24} + 7839001 p^{9} T^{25} + 1647056 p^{10} T^{26} + 144102 p^{11} T^{27} + 25173 p^{12} T^{28} + 1668 p^{13} T^{29} + 237 p^{14} T^{30} + 9 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
29 \( 1 + 23 T + 489 T^{2} + 245 p T^{3} + 93596 T^{4} + 1030547 T^{5} + 10453324 T^{6} + 94787388 T^{7} + 803782159 T^{8} + 6294926398 T^{9} + 46619896638 T^{10} + 324745781394 T^{11} + 74298962670 p T^{12} + 13582048934175 T^{13} + 81857640164297 T^{14} + 470924233426233 T^{15} + 2593957059143673 T^{16} + 470924233426233 p T^{17} + 81857640164297 p^{2} T^{18} + 13582048934175 p^{3} T^{19} + 74298962670 p^{5} T^{20} + 324745781394 p^{5} T^{21} + 46619896638 p^{6} T^{22} + 6294926398 p^{7} T^{23} + 803782159 p^{8} T^{24} + 94787388 p^{9} T^{25} + 10453324 p^{10} T^{26} + 1030547 p^{11} T^{27} + 93596 p^{12} T^{28} + 245 p^{14} T^{29} + 489 p^{14} T^{30} + 23 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
31 \( 1 + 21 T + 485 T^{2} + 7222 T^{3} + 102711 T^{4} + 1206611 T^{5} + 13272274 T^{6} + 130135654 T^{7} + 1198353921 T^{8} + 10143279239 T^{9} + 81148138328 T^{10} + 605640943981 T^{11} + 4293843883418 T^{12} + 28630425417982 T^{13} + 181887472875013 T^{14} + 1091456003324614 T^{15} + 6248429943176185 T^{16} + 1091456003324614 p T^{17} + 181887472875013 p^{2} T^{18} + 28630425417982 p^{3} T^{19} + 4293843883418 p^{4} T^{20} + 605640943981 p^{5} T^{21} + 81148138328 p^{6} T^{22} + 10143279239 p^{7} T^{23} + 1198353921 p^{8} T^{24} + 130135654 p^{9} T^{25} + 13272274 p^{10} T^{26} + 1206611 p^{11} T^{27} + 102711 p^{12} T^{28} + 7222 p^{13} T^{29} + 485 p^{14} T^{30} + 21 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
37 \( 1 + 16 T + 381 T^{2} + 4500 T^{3} + 1801 p T^{4} + 664615 T^{5} + 7711576 T^{6} + 67965331 T^{7} + 667463365 T^{8} + 5309263545 T^{9} + 45898688075 T^{10} + 333632041417 T^{11} + 2595110754065 T^{12} + 17346318997023 T^{13} + 122987155212956 T^{14} + 758118044827282 T^{15} + 4936852544954080 T^{16} + 758118044827282 p T^{17} + 122987155212956 p^{2} T^{18} + 17346318997023 p^{3} T^{19} + 2595110754065 p^{4} T^{20} + 333632041417 p^{5} T^{21} + 45898688075 p^{6} T^{22} + 5309263545 p^{7} T^{23} + 667463365 p^{8} T^{24} + 67965331 p^{9} T^{25} + 7711576 p^{10} T^{26} + 664615 p^{11} T^{27} + 1801 p^{13} T^{28} + 4500 p^{13} T^{29} + 381 p^{14} T^{30} + 16 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
41 \( 1 + 35 T + 918 T^{2} + 16953 T^{3} + 265894 T^{4} + 3462826 T^{5} + 40228682 T^{6} + 411359916 T^{7} + 3868417020 T^{8} + 33137711708 T^{9} + 268064983137 T^{10} + 2030644003787 T^{11} + 14882307580052 T^{12} + 104241616709409 T^{13} + 716854118767773 T^{14} + 4748163995608115 T^{15} + 30972925423677248 T^{16} + 4748163995608115 p T^{17} + 716854118767773 p^{2} T^{18} + 104241616709409 p^{3} T^{19} + 14882307580052 p^{4} T^{20} + 2030644003787 p^{5} T^{21} + 268064983137 p^{6} T^{22} + 33137711708 p^{7} T^{23} + 3868417020 p^{8} T^{24} + 411359916 p^{9} T^{25} + 40228682 p^{10} T^{26} + 3462826 p^{11} T^{27} + 265894 p^{12} T^{28} + 16953 p^{13} T^{29} + 918 p^{14} T^{30} + 35 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
43 \( 1 - 3 T + 354 T^{2} - 1113 T^{3} + 64244 T^{4} - 211484 T^{5} + 7976330 T^{6} - 26847813 T^{7} + 758139324 T^{8} - 2539386149 T^{9} + 58296039761 T^{10} - 190085305456 T^{11} + 3735486959641 T^{12} - 11658127381433 T^{13} + 202833349633862 T^{14} - 596501842164914 T^{15} + 9417908409262430 T^{16} - 596501842164914 p T^{17} + 202833349633862 p^{2} T^{18} - 11658127381433 p^{3} T^{19} + 3735486959641 p^{4} T^{20} - 190085305456 p^{5} T^{21} + 58296039761 p^{6} T^{22} - 2539386149 p^{7} T^{23} + 758139324 p^{8} T^{24} - 26847813 p^{9} T^{25} + 7976330 p^{10} T^{26} - 211484 p^{11} T^{27} + 64244 p^{12} T^{28} - 1113 p^{13} T^{29} + 354 p^{14} T^{30} - 3 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
47 \( 1 + 25 T + 826 T^{2} + 14891 T^{3} + 291686 T^{4} + 4187199 T^{5} + 1312476 p T^{6} + 742437886 T^{7} + 8969985253 T^{8} + 93282920111 T^{9} + 964317209983 T^{10} + 8825889445727 T^{11} + 79925527883701 T^{12} + 650963278176669 T^{13} + 5234242779291429 T^{14} + 38159276068392131 T^{15} + 274399066247815802 T^{16} + 38159276068392131 p T^{17} + 5234242779291429 p^{2} T^{18} + 650963278176669 p^{3} T^{19} + 79925527883701 p^{4} T^{20} + 8825889445727 p^{5} T^{21} + 964317209983 p^{6} T^{22} + 93282920111 p^{7} T^{23} + 8969985253 p^{8} T^{24} + 742437886 p^{9} T^{25} + 1312476 p^{11} T^{26} + 4187199 p^{11} T^{27} + 291686 p^{12} T^{28} + 14891 p^{13} T^{29} + 826 p^{14} T^{30} + 25 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
53 \( 1 + 39 T + 1231 T^{2} + 27480 T^{3} + 534272 T^{4} + 8776504 T^{5} + 130274242 T^{6} + 1733054869 T^{7} + 21271112460 T^{8} + 240527691552 T^{9} + 2541484963057 T^{10} + 25116215063922 T^{11} + 233797384267797 T^{12} + 2053197049645603 T^{13} + 321991684023969 p T^{14} + 134434383159445269 T^{15} + 1004577971299609801 T^{16} + 134434383159445269 p T^{17} + 321991684023969 p^{3} T^{18} + 2053197049645603 p^{3} T^{19} + 233797384267797 p^{4} T^{20} + 25116215063922 p^{5} T^{21} + 2541484963057 p^{6} T^{22} + 240527691552 p^{7} T^{23} + 21271112460 p^{8} T^{24} + 1733054869 p^{9} T^{25} + 130274242 p^{10} T^{26} + 8776504 p^{11} T^{27} + 534272 p^{12} T^{28} + 27480 p^{13} T^{29} + 1231 p^{14} T^{30} + 39 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
59 \( 1 + 32 T + 983 T^{2} + 19540 T^{3} + 366535 T^{4} + 5498224 T^{5} + 78577823 T^{6} + 965605537 T^{7} + 11429639059 T^{8} + 120485947854 T^{9} + 1237084034994 T^{10} + 11552879250744 T^{11} + 106325909342398 T^{12} + 903389276357180 T^{13} + 7651720191074063 T^{14} + 60453390771496632 T^{15} + 479843599712766792 T^{16} + 60453390771496632 p T^{17} + 7651720191074063 p^{2} T^{18} + 903389276357180 p^{3} T^{19} + 106325909342398 p^{4} T^{20} + 11552879250744 p^{5} T^{21} + 1237084034994 p^{6} T^{22} + 120485947854 p^{7} T^{23} + 11429639059 p^{8} T^{24} + 965605537 p^{9} T^{25} + 78577823 p^{10} T^{26} + 5498224 p^{11} T^{27} + 366535 p^{12} T^{28} + 19540 p^{13} T^{29} + 983 p^{14} T^{30} + 32 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
61 \( 1 + 38 T + 1295 T^{2} + 30011 T^{3} + 10270 p T^{4} + 10856077 T^{5} + 172651410 T^{6} + 2437497950 T^{7} + 32038642080 T^{8} + 385823989688 T^{9} + 4368737882993 T^{10} + 46102639836199 T^{11} + 460384541326451 T^{12} + 4325555972001790 T^{13} + 38601174150957933 T^{14} + 325667276808755064 T^{15} + 2614044405016921478 T^{16} + 325667276808755064 p T^{17} + 38601174150957933 p^{2} T^{18} + 4325555972001790 p^{3} T^{19} + 460384541326451 p^{4} T^{20} + 46102639836199 p^{5} T^{21} + 4368737882993 p^{6} T^{22} + 385823989688 p^{7} T^{23} + 32038642080 p^{8} T^{24} + 2437497950 p^{9} T^{25} + 172651410 p^{10} T^{26} + 10856077 p^{11} T^{27} + 10270 p^{13} T^{28} + 30011 p^{13} T^{29} + 1295 p^{14} T^{30} + 38 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
67 \( 1 - 5 T + 6 p T^{2} - 1602 T^{3} + 74350 T^{4} - 169243 T^{5} + 7767398 T^{6} + 2498004 T^{7} + 453831496 T^{8} + 2197391981 T^{9} + 12154540398 T^{10} + 171390935532 T^{11} + 332235246970 T^{12} - 3893732693746 T^{13} + 84000552760227 T^{14} - 1543979087410183 T^{15} + 8882609109952675 T^{16} - 1543979087410183 p T^{17} + 84000552760227 p^{2} T^{18} - 3893732693746 p^{3} T^{19} + 332235246970 p^{4} T^{20} + 171390935532 p^{5} T^{21} + 12154540398 p^{6} T^{22} + 2197391981 p^{7} T^{23} + 453831496 p^{8} T^{24} + 2498004 p^{9} T^{25} + 7767398 p^{10} T^{26} - 169243 p^{11} T^{27} + 74350 p^{12} T^{28} - 1602 p^{13} T^{29} + 6 p^{15} T^{30} - 5 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
71 \( 1 + 16 T + 526 T^{2} + 6928 T^{3} + 137047 T^{4} + 1567044 T^{5} + 23635059 T^{6} + 240945062 T^{7} + 3015281495 T^{8} + 27888700314 T^{9} + 303183651837 T^{10} + 2592926994325 T^{11} + 25416086053769 T^{12} + 206209951235329 T^{13} + 1896794466723343 T^{14} + 15052634697965535 T^{15} + 135344181343551961 T^{16} + 15052634697965535 p T^{17} + 1896794466723343 p^{2} T^{18} + 206209951235329 p^{3} T^{19} + 25416086053769 p^{4} T^{20} + 2592926994325 p^{5} T^{21} + 303183651837 p^{6} T^{22} + 27888700314 p^{7} T^{23} + 3015281495 p^{8} T^{24} + 240945062 p^{9} T^{25} + 23635059 p^{10} T^{26} + 1567044 p^{11} T^{27} + 137047 p^{12} T^{28} + 6928 p^{13} T^{29} + 526 p^{14} T^{30} + 16 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
73 \( 1 + 17 T + 556 T^{2} + 97 p T^{3} + 144872 T^{4} + 1566328 T^{5} + 25483539 T^{6} + 247130981 T^{7} + 3488766241 T^{8} + 31287429462 T^{9} + 398799856772 T^{10} + 3352212666941 T^{11} + 39357196665648 T^{12} + 4270323534142 p T^{13} + 3414522244375559 T^{14} + 25552881000882903 T^{15} + 263564644611155338 T^{16} + 25552881000882903 p T^{17} + 3414522244375559 p^{2} T^{18} + 4270323534142 p^{4} T^{19} + 39357196665648 p^{4} T^{20} + 3352212666941 p^{5} T^{21} + 398799856772 p^{6} T^{22} + 31287429462 p^{7} T^{23} + 3488766241 p^{8} T^{24} + 247130981 p^{9} T^{25} + 25483539 p^{10} T^{26} + 1566328 p^{11} T^{27} + 144872 p^{12} T^{28} + 97 p^{14} T^{29} + 556 p^{14} T^{30} + 17 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
79 \( 1 + 40 T + 1414 T^{2} + 34396 T^{3} + 762120 T^{4} + 14088318 T^{5} + 242425320 T^{6} + 3710981623 T^{7} + 53592229522 T^{8} + 709191792584 T^{9} + 8928044506566 T^{10} + 104622541303753 T^{11} + 1172423954448043 T^{12} + 12337003849558400 T^{13} + 124524935747908654 T^{14} + 1185545136155475404 T^{15} + 10842313620985010147 T^{16} + 1185545136155475404 p T^{17} + 124524935747908654 p^{2} T^{18} + 12337003849558400 p^{3} T^{19} + 1172423954448043 p^{4} T^{20} + 104622541303753 p^{5} T^{21} + 8928044506566 p^{6} T^{22} + 709191792584 p^{7} T^{23} + 53592229522 p^{8} T^{24} + 3710981623 p^{9} T^{25} + 242425320 p^{10} T^{26} + 14088318 p^{11} T^{27} + 762120 p^{12} T^{28} + 34396 p^{13} T^{29} + 1414 p^{14} T^{30} + 40 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
83 \( 1 + 22 T + 753 T^{2} + 13577 T^{3} + 284515 T^{4} + 4373625 T^{5} + 71313698 T^{6} + 966845185 T^{7} + 13359298838 T^{8} + 163128798226 T^{9} + 1992200753793 T^{10} + 22222733647137 T^{11} + 245584559524393 T^{12} + 2525956690794771 T^{13} + 25620092390282092 T^{14} + 244236171327730249 T^{15} + 2291614794037582042 T^{16} + 244236171327730249 p T^{17} + 25620092390282092 p^{2} T^{18} + 2525956690794771 p^{3} T^{19} + 245584559524393 p^{4} T^{20} + 22222733647137 p^{5} T^{21} + 1992200753793 p^{6} T^{22} + 163128798226 p^{7} T^{23} + 13359298838 p^{8} T^{24} + 966845185 p^{9} T^{25} + 71313698 p^{10} T^{26} + 4373625 p^{11} T^{27} + 284515 p^{12} T^{28} + 13577 p^{13} T^{29} + 753 p^{14} T^{30} + 22 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
89 \( 1 + 46 T + 1859 T^{2} + 50844 T^{3} + 1258616 T^{4} + 25614133 T^{5} + 482866054 T^{6} + 7998133233 T^{7} + 124655146668 T^{8} + 1762933364465 T^{9} + 23716682648774 T^{10} + 294851095385419 T^{11} + 3513368509717137 T^{12} + 39107608206469575 T^{13} + 4710561870272867 p T^{14} + 533118707392198 p^{2} T^{15} + 41060968152247598033 T^{16} + 533118707392198 p^{3} T^{17} + 4710561870272867 p^{3} T^{18} + 39107608206469575 p^{3} T^{19} + 3513368509717137 p^{4} T^{20} + 294851095385419 p^{5} T^{21} + 23716682648774 p^{6} T^{22} + 1762933364465 p^{7} T^{23} + 124655146668 p^{8} T^{24} + 7998133233 p^{9} T^{25} + 482866054 p^{10} T^{26} + 25614133 p^{11} T^{27} + 1258616 p^{12} T^{28} + 50844 p^{13} T^{29} + 1859 p^{14} T^{30} + 46 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
97 \( 1 + 21 T + 818 T^{2} + 13020 T^{3} + 314631 T^{4} + 4271050 T^{5} + 81488077 T^{6} + 987240827 T^{7} + 16148746124 T^{8} + 178735883258 T^{9} + 2612735716840 T^{10} + 26785355520465 T^{11} + 357743623579067 T^{12} + 3421075873165877 T^{13} + 42324738100511689 T^{14} + 379141757202932689 T^{15} + 4380977082083325178 T^{16} + 379141757202932689 p T^{17} + 42324738100511689 p^{2} T^{18} + 3421075873165877 p^{3} T^{19} + 357743623579067 p^{4} T^{20} + 26785355520465 p^{5} T^{21} + 2612735716840 p^{6} T^{22} + 178735883258 p^{7} T^{23} + 16148746124 p^{8} T^{24} + 987240827 p^{9} T^{25} + 81488077 p^{10} T^{26} + 4271050 p^{11} T^{27} + 314631 p^{12} T^{28} + 13020 p^{13} T^{29} + 818 p^{14} T^{30} + 21 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \)
show more
show less
\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{32} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.48071262002277702703620117053, −2.46901537625911401857021284938, −2.40389098770670513202946977181, −2.39113271055716841462225442808, −2.38948869987546424625466755598, −2.23031106235009458147512756455, −2.22068903692760228475007785831, −2.19409978676937454846516888588, −2.19123661290156541978071275975, −2.00171943079084645692501644078, −1.92201665217933396262740860895, −1.83211497999609680517250477100, −1.73692362804224493196362655001, −1.72724761137716556074125977196, −1.67607687832385629344424609082, −1.62991744800477580005902871612, −1.61391756827453644507911255741, −1.49374951023143691191529119945, −1.41828144640829974511381546583, −1.39974209077554728840810092960, −1.35764252188763488969668886337, −1.35579958479508762978357782730, −1.29936114242102690669681516635, −1.29340191557793768935033068759, −1.19298505667726138047473667191, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.19298505667726138047473667191, 1.29340191557793768935033068759, 1.29936114242102690669681516635, 1.35579958479508762978357782730, 1.35764252188763488969668886337, 1.39974209077554728840810092960, 1.41828144640829974511381546583, 1.49374951023143691191529119945, 1.61391756827453644507911255741, 1.62991744800477580005902871612, 1.67607687832385629344424609082, 1.72724761137716556074125977196, 1.73692362804224493196362655001, 1.83211497999609680517250477100, 1.92201665217933396262740860895, 2.00171943079084645692501644078, 2.19123661290156541978071275975, 2.19409978676937454846516888588, 2.22068903692760228475007785831, 2.23031106235009458147512756455, 2.38948869987546424625466755598, 2.39113271055716841462225442808, 2.40389098770670513202946977181, 2.46901537625911401857021284938, 2.48071262002277702703620117053

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.