Properties

Degree 100
Conductor $ 2^{150} \cdot 751^{50} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 0

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 6·3-s + 23·5-s + 12·7-s − 29·9-s − 5·11-s + 36·13-s + 138·15-s + 14·17-s + 9·19-s + 72·21-s + 3·23-s + 175·25-s − 244·27-s + 61·29-s + 27·31-s − 30·33-s + 276·35-s + 56·37-s + 216·39-s + 10·41-s + 19·43-s − 667·45-s + 3·47-s − 62·49-s + 84·51-s + 56·53-s − 115·55-s + ⋯
L(s)  = 1  + 3.46·3-s + 10.2·5-s + 4.53·7-s − 9.66·9-s − 1.50·11-s + 9.98·13-s + 35.6·15-s + 3.39·17-s + 2.06·19-s + 15.7·21-s + 0.625·23-s + 35·25-s − 46.9·27-s + 11.3·29-s + 4.84·31-s − 5.22·33-s + 46.6·35-s + 9.20·37-s + 34.5·39-s + 1.56·41-s + 2.89·43-s − 99.4·45-s + 0.437·47-s − 8.85·49-s + 11.7·51-s + 7.69·53-s − 15.5·55-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{150} \cdot 751^{50}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{50} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{150} \cdot 751^{50}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{50} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(100\)
\( N \)  =  \(2^{150} \cdot 751^{50}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{6008} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  0
Selberg data  =  $(100,\ 2^{150} \cdot 751^{50} ,\ ( \ : [1/2]^{50} ),\ 1 )$
$L(1)$  $\approx$  $1.747344448e8$
$L(\frac12)$  $\approx$  $1.747344448e8$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, for $p \notin \{2,\;751\}$, \(F_p\) is a polynomial of degree 100. If $p \in \{2,\;751\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 99.
$p$$F_p$
bad2 \( 1 \)
751 \( ( 1 + T )^{50} \)
good3 \( 1 - 2 p T + 65 T^{2} - 320 T^{3} + 680 p T^{4} - 8660 T^{5} + 42032 T^{6} - 158912 T^{7} + 647170 T^{8} - 2228408 T^{9} + 8002357 T^{10} - 25502839 T^{11} + 83174210 T^{12} - 248280463 T^{13} + 749668261 T^{14} - 2115191587 T^{15} + 5992231207 T^{16} - 16093755884 T^{17} + 43191758956 T^{18} - 37013433305 p T^{19} + 284362028480 T^{20} - 234309591523 p T^{21} + 63974384702 p^{3} T^{22} - 4120593722147 T^{23} + 9758657914453 T^{24} - 22534234852046 T^{25} + 51614254306589 T^{26} - 115658909416225 T^{27} + 256945565989222 T^{28} - 186639972305794 p T^{29} + 403106303059693 p T^{30} - 2567300944751786 T^{31} + 5401170093492832 T^{32} - 3729159925822724 p T^{33} + 22963703533302401 T^{34} - 46467788703491122 T^{35} + 3451299930697250 p^{3} T^{36} - 184413629459763535 T^{37} + 361709748585427723 T^{38} - 700709271257891141 T^{39} + 448496874259035973 p T^{40} - 2553379319839247297 T^{41} + 533726387305178426 p^{2} T^{42} - 8935428424363136159 T^{43} + 16478709013445581594 T^{44} - 10020248044003448137 p T^{45} + 54370692690704995583 T^{46} - 32433064339530423869 p T^{47} + 57550057125202229590 p T^{48} - \)\(30\!\cdots\!35\)\( T^{49} + \)\(52\!\cdots\!52\)\( T^{50} - \)\(30\!\cdots\!35\)\( p T^{51} + 57550057125202229590 p^{3} T^{52} - 32433064339530423869 p^{4} T^{53} + 54370692690704995583 p^{4} T^{54} - 10020248044003448137 p^{6} T^{55} + 16478709013445581594 p^{6} T^{56} - 8935428424363136159 p^{7} T^{57} + 533726387305178426 p^{10} T^{58} - 2553379319839247297 p^{9} T^{59} + 448496874259035973 p^{11} T^{60} - 700709271257891141 p^{11} T^{61} + 361709748585427723 p^{12} T^{62} - 184413629459763535 p^{13} T^{63} + 3451299930697250 p^{17} T^{64} - 46467788703491122 p^{15} T^{65} + 22963703533302401 p^{16} T^{66} - 3729159925822724 p^{18} T^{67} + 5401170093492832 p^{18} T^{68} - 2567300944751786 p^{19} T^{69} + 403106303059693 p^{21} T^{70} - 186639972305794 p^{22} T^{71} + 256945565989222 p^{22} T^{72} - 115658909416225 p^{23} T^{73} + 51614254306589 p^{24} T^{74} - 22534234852046 p^{25} T^{75} + 9758657914453 p^{26} T^{76} - 4120593722147 p^{27} T^{77} + 63974384702 p^{31} T^{78} - 234309591523 p^{30} T^{79} + 284362028480 p^{30} T^{80} - 37013433305 p^{32} T^{81} + 43191758956 p^{32} T^{82} - 16093755884 p^{33} T^{83} + 5992231207 p^{34} T^{84} - 2115191587 p^{35} T^{85} + 749668261 p^{36} T^{86} - 248280463 p^{37} T^{87} + 83174210 p^{38} T^{88} - 25502839 p^{39} T^{89} + 8002357 p^{40} T^{90} - 2228408 p^{41} T^{91} + 647170 p^{42} T^{92} - 158912 p^{43} T^{93} + 42032 p^{44} T^{94} - 8660 p^{45} T^{95} + 680 p^{47} T^{96} - 320 p^{47} T^{97} + 65 p^{48} T^{98} - 2 p^{50} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
5 \( 1 - 23 T + 354 T^{2} - 819 p T^{3} + 7921 p T^{4} - 331816 T^{5} + 2486244 T^{6} - 3389349 p T^{7} + 106642483 T^{8} - 625657303 T^{9} + 138045551 p^{2} T^{10} - 18011152928 T^{11} + 89419341229 T^{12} - 424148608876 T^{13} + 1929493922684 T^{14} - 337783132816 p^{2} T^{15} + 7131117079362 p T^{16} - 5823542529842 p^{2} T^{17} + 576098351364803 T^{18} - 2213301466823689 T^{19} + 1653903553504339 p T^{20} - 30092309242738347 T^{21} + 106793296323948378 T^{22} - 370052553420474784 T^{23} + 1253382227702744057 T^{24} - 830727968132135853 p T^{25} + 13479883200248003527 T^{26} - 42875268673219234664 T^{27} + \)\(13\!\cdots\!29\)\( T^{28} - \)\(40\!\cdots\!59\)\( T^{29} + \)\(24\!\cdots\!93\)\( p T^{30} - \)\(36\!\cdots\!63\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!02\)\( T^{32} - \)\(30\!\cdots\!12\)\( T^{33} + \)\(84\!\cdots\!73\)\( T^{34} - \)\(23\!\cdots\!68\)\( T^{35} + \)\(64\!\cdots\!12\)\( T^{36} - \)\(17\!\cdots\!57\)\( T^{37} + \)\(45\!\cdots\!17\)\( T^{38} - \)\(11\!\cdots\!63\)\( T^{39} + \)\(30\!\cdots\!22\)\( T^{40} - \)\(77\!\cdots\!24\)\( T^{41} + \)\(19\!\cdots\!22\)\( T^{42} - \)\(47\!\cdots\!66\)\( T^{43} + \)\(11\!\cdots\!24\)\( T^{44} - \)\(27\!\cdots\!11\)\( T^{45} + \)\(13\!\cdots\!44\)\( p T^{46} - \)\(15\!\cdots\!59\)\( T^{47} + \)\(35\!\cdots\!99\)\( T^{48} - \)\(16\!\cdots\!73\)\( p T^{49} + \)\(73\!\cdots\!96\)\( p^{2} T^{50} - \)\(16\!\cdots\!73\)\( p^{2} T^{51} + \)\(35\!\cdots\!99\)\( p^{2} T^{52} - \)\(15\!\cdots\!59\)\( p^{3} T^{53} + \)\(13\!\cdots\!44\)\( p^{5} T^{54} - \)\(27\!\cdots\!11\)\( p^{5} T^{55} + \)\(11\!\cdots\!24\)\( p^{6} T^{56} - \)\(47\!\cdots\!66\)\( p^{7} T^{57} + \)\(19\!\cdots\!22\)\( p^{8} T^{58} - \)\(77\!\cdots\!24\)\( p^{9} T^{59} + \)\(30\!\cdots\!22\)\( p^{10} T^{60} - \)\(11\!\cdots\!63\)\( p^{11} T^{61} + \)\(45\!\cdots\!17\)\( p^{12} T^{62} - \)\(17\!\cdots\!57\)\( p^{13} T^{63} + \)\(64\!\cdots\!12\)\( p^{14} T^{64} - \)\(23\!\cdots\!68\)\( p^{15} T^{65} + \)\(84\!\cdots\!73\)\( p^{16} T^{66} - \)\(30\!\cdots\!12\)\( p^{17} T^{67} + \)\(10\!\cdots\!02\)\( p^{18} T^{68} - \)\(36\!\cdots\!63\)\( p^{19} T^{69} + \)\(24\!\cdots\!93\)\( p^{21} T^{70} - \)\(40\!\cdots\!59\)\( p^{21} T^{71} + \)\(13\!\cdots\!29\)\( p^{22} T^{72} - 42875268673219234664 p^{23} T^{73} + 13479883200248003527 p^{24} T^{74} - 830727968132135853 p^{26} T^{75} + 1253382227702744057 p^{26} T^{76} - 370052553420474784 p^{27} T^{77} + 106793296323948378 p^{28} T^{78} - 30092309242738347 p^{29} T^{79} + 1653903553504339 p^{31} T^{80} - 2213301466823689 p^{31} T^{81} + 576098351364803 p^{32} T^{82} - 5823542529842 p^{35} T^{83} + 7131117079362 p^{35} T^{84} - 337783132816 p^{37} T^{85} + 1929493922684 p^{36} T^{86} - 424148608876 p^{37} T^{87} + 89419341229 p^{38} T^{88} - 18011152928 p^{39} T^{89} + 138045551 p^{42} T^{90} - 625657303 p^{41} T^{91} + 106642483 p^{42} T^{92} - 3389349 p^{44} T^{93} + 2486244 p^{44} T^{94} - 331816 p^{45} T^{95} + 7921 p^{47} T^{96} - 819 p^{48} T^{97} + 354 p^{48} T^{98} - 23 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
7 \( 1 - 12 T + 206 T^{2} - 1894 T^{3} + 19646 T^{4} - 21458 p T^{5} + 1201565 T^{6} - 1142766 p T^{7} + 54005838 T^{8} - 322283713 T^{9} + 1921951001 T^{10} - 10484935505 T^{11} + 56743156259 T^{12} - 40997602183 p T^{13} + 1434518752286 T^{14} - 6796614298484 T^{15} + 31767956852136 T^{16} - 142128875608317 T^{17} + 626815202208107 T^{18} - 2664753744603435 T^{19} + 1594953342211374 p T^{20} - 45327821574052750 T^{21} + 181386794613553177 T^{22} - 706152789382509673 T^{23} + 2710466580254419881 T^{24} - 10152559531169806573 T^{25} + 37508666582484110483 T^{26} - \)\(13\!\cdots\!96\)\( T^{27} + 69061439089053274625 p T^{28} - \)\(16\!\cdots\!64\)\( T^{29} + \)\(58\!\cdots\!74\)\( T^{30} - \)\(19\!\cdots\!94\)\( T^{31} + \)\(66\!\cdots\!09\)\( T^{32} - \)\(31\!\cdots\!89\)\( p T^{33} + \)\(70\!\cdots\!10\)\( T^{34} - \)\(22\!\cdots\!99\)\( T^{35} + \)\(10\!\cdots\!62\)\( p T^{36} - \)\(22\!\cdots\!28\)\( T^{37} + \)\(68\!\cdots\!13\)\( T^{38} - \)\(29\!\cdots\!86\)\( p T^{39} + \)\(62\!\cdots\!45\)\( T^{40} - \)\(26\!\cdots\!23\)\( p T^{41} + \)\(53\!\cdots\!68\)\( T^{42} - \)\(22\!\cdots\!22\)\( p T^{43} + \)\(90\!\cdots\!54\)\( p^{2} T^{44} - \)\(12\!\cdots\!24\)\( T^{45} + \)\(34\!\cdots\!57\)\( T^{46} - \)\(95\!\cdots\!06\)\( T^{47} + \)\(26\!\cdots\!36\)\( T^{48} - \)\(70\!\cdots\!16\)\( T^{49} + \)\(18\!\cdots\!38\)\( T^{50} - \)\(70\!\cdots\!16\)\( p T^{51} + \)\(26\!\cdots\!36\)\( p^{2} T^{52} - \)\(95\!\cdots\!06\)\( p^{3} T^{53} + \)\(34\!\cdots\!57\)\( p^{4} T^{54} - \)\(12\!\cdots\!24\)\( p^{5} T^{55} + \)\(90\!\cdots\!54\)\( p^{8} T^{56} - \)\(22\!\cdots\!22\)\( p^{8} T^{57} + \)\(53\!\cdots\!68\)\( p^{8} T^{58} - \)\(26\!\cdots\!23\)\( p^{10} T^{59} + \)\(62\!\cdots\!45\)\( p^{10} T^{60} - \)\(29\!\cdots\!86\)\( p^{12} T^{61} + \)\(68\!\cdots\!13\)\( p^{12} T^{62} - \)\(22\!\cdots\!28\)\( p^{13} T^{63} + \)\(10\!\cdots\!62\)\( p^{15} T^{64} - \)\(22\!\cdots\!99\)\( p^{15} T^{65} + \)\(70\!\cdots\!10\)\( p^{16} T^{66} - \)\(31\!\cdots\!89\)\( p^{18} T^{67} + \)\(66\!\cdots\!09\)\( p^{18} T^{68} - \)\(19\!\cdots\!94\)\( p^{19} T^{69} + \)\(58\!\cdots\!74\)\( p^{20} T^{70} - \)\(16\!\cdots\!64\)\( p^{21} T^{71} + 69061439089053274625 p^{23} T^{72} - \)\(13\!\cdots\!96\)\( p^{23} T^{73} + 37508666582484110483 p^{24} T^{74} - 10152559531169806573 p^{25} T^{75} + 2710466580254419881 p^{26} T^{76} - 706152789382509673 p^{27} T^{77} + 181386794613553177 p^{28} T^{78} - 45327821574052750 p^{29} T^{79} + 1594953342211374 p^{31} T^{80} - 2664753744603435 p^{31} T^{81} + 626815202208107 p^{32} T^{82} - 142128875608317 p^{33} T^{83} + 31767956852136 p^{34} T^{84} - 6796614298484 p^{35} T^{85} + 1434518752286 p^{36} T^{86} - 40997602183 p^{38} T^{87} + 56743156259 p^{38} T^{88} - 10484935505 p^{39} T^{89} + 1921951001 p^{40} T^{90} - 322283713 p^{41} T^{91} + 54005838 p^{42} T^{92} - 1142766 p^{44} T^{93} + 1201565 p^{44} T^{94} - 21458 p^{46} T^{95} + 19646 p^{46} T^{96} - 1894 p^{47} T^{97} + 206 p^{48} T^{98} - 12 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
11 \( 1 + 5 T + 247 T^{2} + 1304 T^{3} + 31110 T^{4} + 169199 T^{5} + 2657513 T^{6} + 14607633 T^{7} + 172726887 T^{8} + 945950634 T^{9} + 826100226 p T^{10} + 49081275839 T^{11} + 402179793693 T^{12} + 2127659769186 T^{13} + 15375183967039 T^{14} + 79323866322442 T^{15} + 517653850013286 T^{16} + 2598043882967825 T^{17} + 15579791846274672 T^{18} + 75978305393572350 T^{19} + 424198035047528703 T^{20} + 2009582920692556767 T^{21} + 10551363847290948926 T^{22} + 48573027351235677174 T^{23} + \)\(24\!\cdots\!82\)\( T^{24} + \)\(10\!\cdots\!89\)\( T^{25} + \)\(46\!\cdots\!80\)\( p T^{26} + \)\(22\!\cdots\!27\)\( T^{27} + \)\(10\!\cdots\!06\)\( T^{28} + \)\(43\!\cdots\!85\)\( T^{29} + \)\(18\!\cdots\!86\)\( T^{30} + \)\(78\!\cdots\!01\)\( T^{31} + \)\(33\!\cdots\!49\)\( T^{32} + \)\(13\!\cdots\!70\)\( T^{33} + \)\(54\!\cdots\!34\)\( T^{34} + \)\(19\!\cdots\!73\)\( p T^{35} + \)\(85\!\cdots\!02\)\( T^{36} + \)\(32\!\cdots\!47\)\( T^{37} + \)\(12\!\cdots\!07\)\( T^{38} + \)\(47\!\cdots\!71\)\( T^{39} + \)\(17\!\cdots\!59\)\( T^{40} + \)\(66\!\cdots\!45\)\( T^{41} + \)\(24\!\cdots\!54\)\( T^{42} + \)\(79\!\cdots\!54\)\( p T^{43} + \)\(31\!\cdots\!01\)\( T^{44} + \)\(10\!\cdots\!35\)\( T^{45} + \)\(38\!\cdots\!09\)\( T^{46} + \)\(13\!\cdots\!66\)\( T^{47} + \)\(45\!\cdots\!81\)\( T^{48} + \)\(15\!\cdots\!33\)\( T^{49} + \)\(50\!\cdots\!02\)\( T^{50} + \)\(15\!\cdots\!33\)\( p T^{51} + \)\(45\!\cdots\!81\)\( p^{2} T^{52} + \)\(13\!\cdots\!66\)\( p^{3} T^{53} + \)\(38\!\cdots\!09\)\( p^{4} T^{54} + \)\(10\!\cdots\!35\)\( p^{5} T^{55} + \)\(31\!\cdots\!01\)\( p^{6} T^{56} + \)\(79\!\cdots\!54\)\( p^{8} T^{57} + \)\(24\!\cdots\!54\)\( p^{8} T^{58} + \)\(66\!\cdots\!45\)\( p^{9} T^{59} + \)\(17\!\cdots\!59\)\( p^{10} T^{60} + \)\(47\!\cdots\!71\)\( p^{11} T^{61} + \)\(12\!\cdots\!07\)\( p^{12} T^{62} + \)\(32\!\cdots\!47\)\( p^{13} T^{63} + \)\(85\!\cdots\!02\)\( p^{14} T^{64} + \)\(19\!\cdots\!73\)\( p^{16} T^{65} + \)\(54\!\cdots\!34\)\( p^{16} T^{66} + \)\(13\!\cdots\!70\)\( p^{17} T^{67} + \)\(33\!\cdots\!49\)\( p^{18} T^{68} + \)\(78\!\cdots\!01\)\( p^{19} T^{69} + \)\(18\!\cdots\!86\)\( p^{20} T^{70} + \)\(43\!\cdots\!85\)\( p^{21} T^{71} + \)\(10\!\cdots\!06\)\( p^{22} T^{72} + \)\(22\!\cdots\!27\)\( p^{23} T^{73} + \)\(46\!\cdots\!80\)\( p^{25} T^{74} + \)\(10\!\cdots\!89\)\( p^{25} T^{75} + \)\(24\!\cdots\!82\)\( p^{26} T^{76} + 48573027351235677174 p^{27} T^{77} + 10551363847290948926 p^{28} T^{78} + 2009582920692556767 p^{29} T^{79} + 424198035047528703 p^{30} T^{80} + 75978305393572350 p^{31} T^{81} + 15579791846274672 p^{32} T^{82} + 2598043882967825 p^{33} T^{83} + 517653850013286 p^{34} T^{84} + 79323866322442 p^{35} T^{85} + 15375183967039 p^{36} T^{86} + 2127659769186 p^{37} T^{87} + 402179793693 p^{38} T^{88} + 49081275839 p^{39} T^{89} + 826100226 p^{41} T^{90} + 945950634 p^{41} T^{91} + 172726887 p^{42} T^{92} + 14607633 p^{43} T^{93} + 2657513 p^{44} T^{94} + 169199 p^{45} T^{95} + 31110 p^{46} T^{96} + 1304 p^{47} T^{97} + 247 p^{48} T^{98} + 5 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
13 \( 1 - 36 T + 937 T^{2} - 1392 p T^{3} + 296045 T^{4} - 4176556 T^{5} + 52816588 T^{6} - 605636308 T^{7} + 6405468422 T^{8} - 62967327121 T^{9} + 580721339963 T^{10} - 5051661750648 T^{11} + 41693434372349 T^{12} - 327770197851568 T^{13} + 2464327192257399 T^{14} - 17772557347895306 T^{15} + 123315625792461598 T^{16} - 825132612364057398 T^{17} + 5336625156135167175 T^{18} - 33425255808421870905 T^{19} + 15624504441596789502 p T^{20} - \)\(11\!\cdots\!12\)\( T^{21} + \)\(68\!\cdots\!69\)\( T^{22} - \)\(38\!\cdots\!10\)\( T^{23} + \)\(16\!\cdots\!16\)\( p T^{24} - \)\(11\!\cdots\!73\)\( T^{25} + \)\(45\!\cdots\!11\)\( p T^{26} - \)\(23\!\cdots\!43\)\( p T^{27} + \)\(15\!\cdots\!58\)\( T^{28} - \)\(73\!\cdots\!50\)\( T^{29} + \)\(35\!\cdots\!86\)\( T^{30} - \)\(16\!\cdots\!25\)\( T^{31} + \)\(78\!\cdots\!20\)\( T^{32} - \)\(35\!\cdots\!09\)\( T^{33} + \)\(16\!\cdots\!49\)\( T^{34} - \)\(71\!\cdots\!54\)\( T^{35} + \)\(31\!\cdots\!89\)\( T^{36} - \)\(13\!\cdots\!33\)\( T^{37} + \)\(56\!\cdots\!65\)\( T^{38} - \)\(23\!\cdots\!07\)\( T^{39} + \)\(97\!\cdots\!06\)\( T^{40} - \)\(39\!\cdots\!48\)\( T^{41} + \)\(15\!\cdots\!47\)\( T^{42} - \)\(63\!\cdots\!19\)\( T^{43} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( T^{44} - \)\(95\!\cdots\!29\)\( T^{45} + \)\(36\!\cdots\!15\)\( T^{46} - \)\(10\!\cdots\!76\)\( p T^{47} + \)\(50\!\cdots\!66\)\( T^{48} - \)\(18\!\cdots\!58\)\( T^{49} + \)\(67\!\cdots\!68\)\( T^{50} - \)\(18\!\cdots\!58\)\( p T^{51} + \)\(50\!\cdots\!66\)\( p^{2} T^{52} - \)\(10\!\cdots\!76\)\( p^{4} T^{53} + \)\(36\!\cdots\!15\)\( p^{4} T^{54} - \)\(95\!\cdots\!29\)\( p^{5} T^{55} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{6} T^{56} - \)\(63\!\cdots\!19\)\( p^{7} T^{57} + \)\(15\!\cdots\!47\)\( p^{8} T^{58} - \)\(39\!\cdots\!48\)\( p^{9} T^{59} + \)\(97\!\cdots\!06\)\( p^{10} T^{60} - \)\(23\!\cdots\!07\)\( p^{11} T^{61} + \)\(56\!\cdots\!65\)\( p^{12} T^{62} - \)\(13\!\cdots\!33\)\( p^{13} T^{63} + \)\(31\!\cdots\!89\)\( p^{14} T^{64} - \)\(71\!\cdots\!54\)\( p^{15} T^{65} + \)\(16\!\cdots\!49\)\( p^{16} T^{66} - \)\(35\!\cdots\!09\)\( p^{17} T^{67} + \)\(78\!\cdots\!20\)\( p^{18} T^{68} - \)\(16\!\cdots\!25\)\( p^{19} T^{69} + \)\(35\!\cdots\!86\)\( p^{20} T^{70} - \)\(73\!\cdots\!50\)\( p^{21} T^{71} + \)\(15\!\cdots\!58\)\( p^{22} T^{72} - \)\(23\!\cdots\!43\)\( p^{24} T^{73} + \)\(45\!\cdots\!11\)\( p^{25} T^{74} - \)\(11\!\cdots\!73\)\( p^{25} T^{75} + \)\(16\!\cdots\!16\)\( p^{27} T^{76} - \)\(38\!\cdots\!10\)\( p^{27} T^{77} + \)\(68\!\cdots\!69\)\( p^{28} T^{78} - \)\(11\!\cdots\!12\)\( p^{29} T^{79} + 15624504441596789502 p^{31} T^{80} - 33425255808421870905 p^{31} T^{81} + 5336625156135167175 p^{32} T^{82} - 825132612364057398 p^{33} T^{83} + 123315625792461598 p^{34} T^{84} - 17772557347895306 p^{35} T^{85} + 2464327192257399 p^{36} T^{86} - 327770197851568 p^{37} T^{87} + 41693434372349 p^{38} T^{88} - 5051661750648 p^{39} T^{89} + 580721339963 p^{40} T^{90} - 62967327121 p^{41} T^{91} + 6405468422 p^{42} T^{92} - 605636308 p^{43} T^{93} + 52816588 p^{44} T^{94} - 4176556 p^{45} T^{95} + 296045 p^{46} T^{96} - 1392 p^{48} T^{97} + 937 p^{48} T^{98} - 36 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
17 \( 1 - 14 T + 480 T^{2} - 5648 T^{3} + 110400 T^{4} - 1133005 T^{5} + 16436492 T^{6} - 150760482 T^{7} + 1795619610 T^{8} - 14974434599 T^{9} + 154268408480 T^{10} - 1184456956752 T^{11} + 10891109000052 T^{12} - 77718676100314 T^{13} + 38306598995580 p T^{14} - 4350441698149463 T^{15} + 33709583018940684 T^{16} - 212006539553171546 T^{17} + 1535805614488232229 T^{18} - 9132252951999652533 T^{19} + 3669098442578983618 p T^{20} - \)\(35\!\cdots\!50\)\( T^{21} + \)\(22\!\cdots\!74\)\( T^{22} - \)\(12\!\cdots\!16\)\( T^{23} + \)\(75\!\cdots\!87\)\( T^{24} - \)\(38\!\cdots\!12\)\( T^{25} + \)\(22\!\cdots\!61\)\( T^{26} - \)\(11\!\cdots\!22\)\( T^{27} + \)\(63\!\cdots\!81\)\( T^{28} - \)\(29\!\cdots\!51\)\( T^{29} + \)\(16\!\cdots\!79\)\( T^{30} - \)\(71\!\cdots\!26\)\( T^{31} + \)\(38\!\cdots\!42\)\( T^{32} - \)\(16\!\cdots\!78\)\( T^{33} + \)\(85\!\cdots\!94\)\( T^{34} - \)\(33\!\cdots\!04\)\( T^{35} + \)\(17\!\cdots\!75\)\( T^{36} - \)\(63\!\cdots\!95\)\( T^{37} + \)\(32\!\cdots\!99\)\( T^{38} - \)\(66\!\cdots\!43\)\( p T^{39} + \)\(58\!\cdots\!83\)\( T^{40} - \)\(18\!\cdots\!91\)\( T^{41} + \)\(97\!\cdots\!19\)\( T^{42} - \)\(15\!\cdots\!36\)\( p T^{43} + \)\(15\!\cdots\!11\)\( T^{44} - \)\(37\!\cdots\!74\)\( T^{45} + \)\(23\!\cdots\!36\)\( T^{46} - \)\(51\!\cdots\!81\)\( T^{47} + \)\(37\!\cdots\!44\)\( T^{48} - \)\(73\!\cdots\!13\)\( T^{49} + \)\(61\!\cdots\!14\)\( T^{50} - \)\(73\!\cdots\!13\)\( p T^{51} + \)\(37\!\cdots\!44\)\( p^{2} T^{52} - \)\(51\!\cdots\!81\)\( p^{3} T^{53} + \)\(23\!\cdots\!36\)\( p^{4} T^{54} - \)\(37\!\cdots\!74\)\( p^{5} T^{55} + \)\(15\!\cdots\!11\)\( p^{6} T^{56} - \)\(15\!\cdots\!36\)\( p^{8} T^{57} + \)\(97\!\cdots\!19\)\( p^{8} T^{58} - \)\(18\!\cdots\!91\)\( p^{9} T^{59} + \)\(58\!\cdots\!83\)\( p^{10} T^{60} - \)\(66\!\cdots\!43\)\( p^{12} T^{61} + \)\(32\!\cdots\!99\)\( p^{12} T^{62} - \)\(63\!\cdots\!95\)\( p^{13} T^{63} + \)\(17\!\cdots\!75\)\( p^{14} T^{64} - \)\(33\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{65} + \)\(85\!\cdots\!94\)\( p^{16} T^{66} - \)\(16\!\cdots\!78\)\( p^{17} T^{67} + \)\(38\!\cdots\!42\)\( p^{18} T^{68} - \)\(71\!\cdots\!26\)\( p^{19} T^{69} + \)\(16\!\cdots\!79\)\( p^{20} T^{70} - \)\(29\!\cdots\!51\)\( p^{21} T^{71} + \)\(63\!\cdots\!81\)\( p^{22} T^{72} - \)\(11\!\cdots\!22\)\( p^{23} T^{73} + \)\(22\!\cdots\!61\)\( p^{24} T^{74} - \)\(38\!\cdots\!12\)\( p^{25} T^{75} + \)\(75\!\cdots\!87\)\( p^{26} T^{76} - \)\(12\!\cdots\!16\)\( p^{27} T^{77} + \)\(22\!\cdots\!74\)\( p^{28} T^{78} - \)\(35\!\cdots\!50\)\( p^{29} T^{79} + 3669098442578983618 p^{31} T^{80} - 9132252951999652533 p^{31} T^{81} + 1535805614488232229 p^{32} T^{82} - 212006539553171546 p^{33} T^{83} + 33709583018940684 p^{34} T^{84} - 4350441698149463 p^{35} T^{85} + 38306598995580 p^{37} T^{86} - 77718676100314 p^{37} T^{87} + 10891109000052 p^{38} T^{88} - 1184456956752 p^{39} T^{89} + 154268408480 p^{40} T^{90} - 14974434599 p^{41} T^{91} + 1795619610 p^{42} T^{92} - 150760482 p^{43} T^{93} + 16436492 p^{44} T^{94} - 1133005 p^{45} T^{95} + 110400 p^{46} T^{96} - 5648 p^{47} T^{97} + 480 p^{48} T^{98} - 14 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
19 \( 1 - 9 T + 447 T^{2} - 187 p T^{3} + 98115 T^{4} - 697987 T^{5} + 14158630 T^{6} - 90871086 T^{7} + 1515180148 T^{8} - 8807748769 T^{9} + 6762978480 p T^{10} - 676795510872 T^{11} + 9008676846399 T^{12} - 42858970794229 T^{13} + 537756850365456 T^{14} - 2294765313391013 T^{15} + 1470571258697873 p T^{16} - 5562698074729302 p T^{17} + 1285854567661472312 T^{18} - 4233901940859659637 T^{19} + 53178791570091977517 T^{20} - \)\(14\!\cdots\!41\)\( T^{21} + \)\(20\!\cdots\!45\)\( T^{22} - \)\(45\!\cdots\!90\)\( T^{23} + \)\(69\!\cdots\!23\)\( T^{24} - \)\(11\!\cdots\!75\)\( T^{25} + \)\(22\!\cdots\!24\)\( T^{26} - \)\(26\!\cdots\!98\)\( T^{27} + \)\(67\!\cdots\!73\)\( T^{28} - \)\(40\!\cdots\!57\)\( T^{29} + \)\(19\!\cdots\!30\)\( T^{30} - \)\(11\!\cdots\!39\)\( T^{31} + \)\(53\!\cdots\!75\)\( T^{32} + \)\(23\!\cdots\!57\)\( T^{33} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( T^{34} + \)\(12\!\cdots\!13\)\( T^{35} + \)\(35\!\cdots\!37\)\( T^{36} + \)\(44\!\cdots\!32\)\( T^{37} + \)\(85\!\cdots\!84\)\( T^{38} + \)\(70\!\cdots\!56\)\( p T^{39} + \)\(20\!\cdots\!53\)\( T^{40} + \)\(35\!\cdots\!67\)\( T^{41} + \)\(45\!\cdots\!27\)\( T^{42} + \)\(87\!\cdots\!53\)\( T^{43} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( T^{44} + \)\(19\!\cdots\!84\)\( T^{45} + \)\(21\!\cdots\!79\)\( T^{46} + \)\(42\!\cdots\!74\)\( T^{47} + \)\(42\!\cdots\!28\)\( T^{48} + \)\(84\!\cdots\!57\)\( T^{49} + \)\(82\!\cdots\!78\)\( T^{50} + \)\(84\!\cdots\!57\)\( p T^{51} + \)\(42\!\cdots\!28\)\( p^{2} T^{52} + \)\(42\!\cdots\!74\)\( p^{3} T^{53} + \)\(21\!\cdots\!79\)\( p^{4} T^{54} + \)\(19\!\cdots\!84\)\( p^{5} T^{55} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( p^{6} T^{56} + \)\(87\!\cdots\!53\)\( p^{7} T^{57} + \)\(45\!\cdots\!27\)\( p^{8} T^{58} + \)\(35\!\cdots\!67\)\( p^{9} T^{59} + \)\(20\!\cdots\!53\)\( p^{10} T^{60} + \)\(70\!\cdots\!56\)\( p^{12} T^{61} + \)\(85\!\cdots\!84\)\( p^{12} T^{62} + \)\(44\!\cdots\!32\)\( p^{13} T^{63} + \)\(35\!\cdots\!37\)\( p^{14} T^{64} + \)\(12\!\cdots\!13\)\( p^{15} T^{65} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( p^{16} T^{66} + \)\(23\!\cdots\!57\)\( p^{17} T^{67} + \)\(53\!\cdots\!75\)\( p^{18} T^{68} - \)\(11\!\cdots\!39\)\( p^{19} T^{69} + \)\(19\!\cdots\!30\)\( p^{20} T^{70} - \)\(40\!\cdots\!57\)\( p^{21} T^{71} + \)\(67\!\cdots\!73\)\( p^{22} T^{72} - \)\(26\!\cdots\!98\)\( p^{23} T^{73} + \)\(22\!\cdots\!24\)\( p^{24} T^{74} - \)\(11\!\cdots\!75\)\( p^{25} T^{75} + \)\(69\!\cdots\!23\)\( p^{26} T^{76} - \)\(45\!\cdots\!90\)\( p^{27} T^{77} + \)\(20\!\cdots\!45\)\( p^{28} T^{78} - \)\(14\!\cdots\!41\)\( p^{29} T^{79} + 53178791570091977517 p^{30} T^{80} - 4233901940859659637 p^{31} T^{81} + 1285854567661472312 p^{32} T^{82} - 5562698074729302 p^{34} T^{83} + 1470571258697873 p^{35} T^{84} - 2294765313391013 p^{35} T^{85} + 537756850365456 p^{36} T^{86} - 42858970794229 p^{37} T^{87} + 9008676846399 p^{38} T^{88} - 676795510872 p^{39} T^{89} + 6762978480 p^{41} T^{90} - 8807748769 p^{41} T^{91} + 1515180148 p^{42} T^{92} - 90871086 p^{43} T^{93} + 14158630 p^{44} T^{94} - 697987 p^{45} T^{95} + 98115 p^{46} T^{96} - 187 p^{48} T^{97} + 447 p^{48} T^{98} - 9 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
23 \( 1 - 3 T + 559 T^{2} - 1728 T^{3} + 157110 T^{4} - 496472 T^{5} + 29601768 T^{6} - 94962184 T^{7} + 4205751758 T^{8} - 13616289859 T^{9} + 480514510477 T^{10} - 1562386613719 T^{11} + 45973578062245 T^{12} - 149538689428524 T^{13} + 3787459729298427 T^{14} - 12286289613617705 T^{15} + 274186050158342671 T^{16} - 884972145578172802 T^{17} + 17713722564169528058 T^{18} - 56788634300440057122 T^{19} + \)\(10\!\cdots\!73\)\( T^{20} - \)\(32\!\cdots\!36\)\( T^{21} + \)\(55\!\cdots\!79\)\( T^{22} - \)\(17\!\cdots\!18\)\( T^{23} + \)\(26\!\cdots\!53\)\( T^{24} - \)\(84\!\cdots\!83\)\( T^{25} + \)\(12\!\cdots\!02\)\( T^{26} - \)\(37\!\cdots\!21\)\( T^{27} + \)\(51\!\cdots\!07\)\( T^{28} - \)\(15\!\cdots\!22\)\( T^{29} + \)\(20\!\cdots\!09\)\( T^{30} - \)\(61\!\cdots\!53\)\( T^{31} + \)\(75\!\cdots\!58\)\( T^{32} - \)\(22\!\cdots\!54\)\( T^{33} + \)\(26\!\cdots\!19\)\( T^{34} - \)\(78\!\cdots\!70\)\( T^{35} + \)\(87\!\cdots\!00\)\( T^{36} - \)\(25\!\cdots\!74\)\( T^{37} + \)\(27\!\cdots\!83\)\( T^{38} - \)\(79\!\cdots\!59\)\( T^{39} + \)\(81\!\cdots\!78\)\( T^{40} - \)\(23\!\cdots\!47\)\( T^{41} + \)\(10\!\cdots\!56\)\( p T^{42} - \)\(28\!\cdots\!11\)\( p T^{43} + \)\(62\!\cdots\!83\)\( T^{44} - \)\(17\!\cdots\!39\)\( T^{45} + \)\(16\!\cdots\!30\)\( T^{46} - \)\(44\!\cdots\!72\)\( T^{47} + \)\(39\!\cdots\!15\)\( T^{48} - \)\(10\!\cdots\!93\)\( T^{49} + \)\(93\!\cdots\!26\)\( T^{50} - \)\(10\!\cdots\!93\)\( p T^{51} + \)\(39\!\cdots\!15\)\( p^{2} T^{52} - \)\(44\!\cdots\!72\)\( p^{3} T^{53} + \)\(16\!\cdots\!30\)\( p^{4} T^{54} - \)\(17\!\cdots\!39\)\( p^{5} T^{55} + \)\(62\!\cdots\!83\)\( p^{6} T^{56} - \)\(28\!\cdots\!11\)\( p^{8} T^{57} + \)\(10\!\cdots\!56\)\( p^{9} T^{58} - \)\(23\!\cdots\!47\)\( p^{9} T^{59} + \)\(81\!\cdots\!78\)\( p^{10} T^{60} - \)\(79\!\cdots\!59\)\( p^{11} T^{61} + \)\(27\!\cdots\!83\)\( p^{12} T^{62} - \)\(25\!\cdots\!74\)\( p^{13} T^{63} + \)\(87\!\cdots\!00\)\( p^{14} T^{64} - \)\(78\!\cdots\!70\)\( p^{15} T^{65} + \)\(26\!\cdots\!19\)\( p^{16} T^{66} - \)\(22\!\cdots\!54\)\( p^{17} T^{67} + \)\(75\!\cdots\!58\)\( p^{18} T^{68} - \)\(61\!\cdots\!53\)\( p^{19} T^{69} + \)\(20\!\cdots\!09\)\( p^{20} T^{70} - \)\(15\!\cdots\!22\)\( p^{21} T^{71} + \)\(51\!\cdots\!07\)\( p^{22} T^{72} - \)\(37\!\cdots\!21\)\( p^{23} T^{73} + \)\(12\!\cdots\!02\)\( p^{24} T^{74} - \)\(84\!\cdots\!83\)\( p^{25} T^{75} + \)\(26\!\cdots\!53\)\( p^{26} T^{76} - \)\(17\!\cdots\!18\)\( p^{27} T^{77} + \)\(55\!\cdots\!79\)\( p^{28} T^{78} - \)\(32\!\cdots\!36\)\( p^{29} T^{79} + \)\(10\!\cdots\!73\)\( p^{30} T^{80} - 56788634300440057122 p^{31} T^{81} + 17713722564169528058 p^{32} T^{82} - 884972145578172802 p^{33} T^{83} + 274186050158342671 p^{34} T^{84} - 12286289613617705 p^{35} T^{85} + 3787459729298427 p^{36} T^{86} - 149538689428524 p^{37} T^{87} + 45973578062245 p^{38} T^{88} - 1562386613719 p^{39} T^{89} + 480514510477 p^{40} T^{90} - 13616289859 p^{41} T^{91} + 4205751758 p^{42} T^{92} - 94962184 p^{43} T^{93} + 29601768 p^{44} T^{94} - 496472 p^{45} T^{95} + 157110 p^{46} T^{96} - 1728 p^{47} T^{97} + 559 p^{48} T^{98} - 3 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
29 \( 1 - 61 T + 2615 T^{2} - 83234 T^{3} + 2227777 T^{4} - 51337939 T^{5} + 1056762932 T^{6} - 19691008785 T^{7} + 337657031004 T^{8} - 5373130202378 T^{9} + 80076032563417 T^{10} - 1123954051820811 T^{11} + 14944388050827141 T^{12} - 188988060510580610 T^{13} + 2282139404783750510 T^{14} - 26393426395366326450 T^{15} + \)\(29\!\cdots\!77\)\( T^{16} - \)\(31\!\cdots\!56\)\( T^{17} + \)\(32\!\cdots\!25\)\( T^{18} - \)\(32\!\cdots\!30\)\( T^{19} + \)\(31\!\cdots\!44\)\( T^{20} - \)\(29\!\cdots\!56\)\( T^{21} + \)\(26\!\cdots\!68\)\( T^{22} - \)\(23\!\cdots\!69\)\( T^{23} + \)\(20\!\cdots\!71\)\( T^{24} - \)\(16\!\cdots\!34\)\( T^{25} + \)\(13\!\cdots\!46\)\( T^{26} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( p^{2} T^{27} + \)\(85\!\cdots\!10\)\( T^{28} - \)\(65\!\cdots\!82\)\( T^{29} + \)\(48\!\cdots\!58\)\( T^{30} - \)\(35\!\cdots\!57\)\( T^{31} + \)\(25\!\cdots\!36\)\( T^{32} - \)\(17\!\cdots\!36\)\( T^{33} + \)\(12\!\cdots\!61\)\( T^{34} - \)\(82\!\cdots\!77\)\( T^{35} + \)\(54\!\cdots\!50\)\( T^{36} - \)\(35\!\cdots\!40\)\( T^{37} + \)\(22\!\cdots\!18\)\( T^{38} - \)\(14\!\cdots\!05\)\( T^{39} + \)\(88\!\cdots\!06\)\( T^{40} - \)\(53\!\cdots\!24\)\( T^{41} + \)\(32\!\cdots\!73\)\( T^{42} - \)\(19\!\cdots\!97\)\( T^{43} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( T^{44} - \)\(64\!\cdots\!65\)\( T^{45} + \)\(36\!\cdots\!50\)\( T^{46} - \)\(70\!\cdots\!34\)\( p T^{47} + \)\(11\!\cdots\!63\)\( T^{48} - \)\(62\!\cdots\!22\)\( T^{49} + \)\(33\!\cdots\!50\)\( T^{50} - \)\(62\!\cdots\!22\)\( p T^{51} + \)\(11\!\cdots\!63\)\( p^{2} T^{52} - \)\(70\!\cdots\!34\)\( p^{4} T^{53} + \)\(36\!\cdots\!50\)\( p^{4} T^{54} - \)\(64\!\cdots\!65\)\( p^{5} T^{55} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( p^{6} T^{56} - \)\(19\!\cdots\!97\)\( p^{7} T^{57} + \)\(32\!\cdots\!73\)\( p^{8} T^{58} - \)\(53\!\cdots\!24\)\( p^{9} T^{59} + \)\(88\!\cdots\!06\)\( p^{10} T^{60} - \)\(14\!\cdots\!05\)\( p^{11} T^{61} + \)\(22\!\cdots\!18\)\( p^{12} T^{62} - \)\(35\!\cdots\!40\)\( p^{13} T^{63} + \)\(54\!\cdots\!50\)\( p^{14} T^{64} - \)\(82\!\cdots\!77\)\( p^{15} T^{65} + \)\(12\!\cdots\!61\)\( p^{16} T^{66} - \)\(17\!\cdots\!36\)\( p^{17} T^{67} + \)\(25\!\cdots\!36\)\( p^{18} T^{68} - \)\(35\!\cdots\!57\)\( p^{19} T^{69} + \)\(48\!\cdots\!58\)\( p^{20} T^{70} - \)\(65\!\cdots\!82\)\( p^{21} T^{71} + \)\(85\!\cdots\!10\)\( p^{22} T^{72} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( p^{25} T^{73} + \)\(13\!\cdots\!46\)\( p^{24} T^{74} - \)\(16\!\cdots\!34\)\( p^{25} T^{75} + \)\(20\!\cdots\!71\)\( p^{26} T^{76} - \)\(23\!\cdots\!69\)\( p^{27} T^{77} + \)\(26\!\cdots\!68\)\( p^{28} T^{78} - \)\(29\!\cdots\!56\)\( p^{29} T^{79} + \)\(31\!\cdots\!44\)\( p^{30} T^{80} - \)\(32\!\cdots\!30\)\( p^{31} T^{81} + \)\(32\!\cdots\!25\)\( p^{32} T^{82} - \)\(31\!\cdots\!56\)\( p^{33} T^{83} + \)\(29\!\cdots\!77\)\( p^{34} T^{84} - 26393426395366326450 p^{35} T^{85} + 2282139404783750510 p^{36} T^{86} - 188988060510580610 p^{37} T^{87} + 14944388050827141 p^{38} T^{88} - 1123954051820811 p^{39} T^{89} + 80076032563417 p^{40} T^{90} - 5373130202378 p^{41} T^{91} + 337657031004 p^{42} T^{92} - 19691008785 p^{43} T^{93} + 1056762932 p^{44} T^{94} - 51337939 p^{45} T^{95} + 2227777 p^{46} T^{96} - 83234 p^{47} T^{97} + 2615 p^{48} T^{98} - 61 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
31 \( 1 - 27 T + 1125 T^{2} - 24017 T^{3} + 595382 T^{4} - 10670312 T^{5} + 202003199 T^{6} - 3153971703 T^{7} + 49997559945 T^{8} - 22491750393 p T^{9} + 9693140627796 T^{10} - 122892716679132 T^{11} + 1539624092558115 T^{12} - 17980405178181842 T^{13} + 206631968590701587 T^{14} - 2245265454970957037 T^{15} + 23964020246452256499 T^{16} - \)\(24\!\cdots\!65\)\( T^{17} + \)\(24\!\cdots\!85\)\( T^{18} - \)\(23\!\cdots\!47\)\( T^{19} + \)\(22\!\cdots\!15\)\( T^{20} - \)\(20\!\cdots\!32\)\( T^{21} + \)\(18\!\cdots\!32\)\( T^{22} - \)\(15\!\cdots\!74\)\( T^{23} + \)\(13\!\cdots\!52\)\( T^{24} - \)\(11\!\cdots\!94\)\( T^{25} + \)\(29\!\cdots\!52\)\( p T^{26} - \)\(73\!\cdots\!27\)\( T^{27} + \)\(57\!\cdots\!98\)\( T^{28} - \)\(43\!\cdots\!49\)\( T^{29} + \)\(33\!\cdots\!94\)\( T^{30} - \)\(24\!\cdots\!70\)\( T^{31} + \)\(17\!\cdots\!05\)\( T^{32} - \)\(12\!\cdots\!61\)\( T^{33} + \)\(90\!\cdots\!51\)\( T^{34} - \)\(62\!\cdots\!63\)\( T^{35} + \)\(42\!\cdots\!54\)\( T^{36} - \)\(28\!\cdots\!76\)\( T^{37} + \)\(18\!\cdots\!67\)\( T^{38} - \)\(12\!\cdots\!82\)\( T^{39} + \)\(78\!\cdots\!65\)\( T^{40} - \)\(49\!\cdots\!88\)\( T^{41} + \)\(31\!\cdots\!92\)\( T^{42} - \)\(19\!\cdots\!02\)\( T^{43} + \)\(11\!\cdots\!93\)\( T^{44} - \)\(69\!\cdots\!24\)\( T^{45} + \)\(40\!\cdots\!77\)\( T^{46} - \)\(23\!\cdots\!65\)\( T^{47} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( T^{48} - \)\(77\!\cdots\!26\)\( T^{49} + \)\(43\!\cdots\!50\)\( T^{50} - \)\(77\!\cdots\!26\)\( p T^{51} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( p^{2} T^{52} - \)\(23\!\cdots\!65\)\( p^{3} T^{53} + \)\(40\!\cdots\!77\)\( p^{4} T^{54} - \)\(69\!\cdots\!24\)\( p^{5} T^{55} + \)\(11\!\cdots\!93\)\( p^{6} T^{56} - \)\(19\!\cdots\!02\)\( p^{7} T^{57} + \)\(31\!\cdots\!92\)\( p^{8} T^{58} - \)\(49\!\cdots\!88\)\( p^{9} T^{59} + \)\(78\!\cdots\!65\)\( p^{10} T^{60} - \)\(12\!\cdots\!82\)\( p^{11} T^{61} + \)\(18\!\cdots\!67\)\( p^{12} T^{62} - \)\(28\!\cdots\!76\)\( p^{13} T^{63} + \)\(42\!\cdots\!54\)\( p^{14} T^{64} - \)\(62\!\cdots\!63\)\( p^{15} T^{65} + \)\(90\!\cdots\!51\)\( p^{16} T^{66} - \)\(12\!\cdots\!61\)\( p^{17} T^{67} + \)\(17\!\cdots\!05\)\( p^{18} T^{68} - \)\(24\!\cdots\!70\)\( p^{19} T^{69} + \)\(33\!\cdots\!94\)\( p^{20} T^{70} - \)\(43\!\cdots\!49\)\( p^{21} T^{71} + \)\(57\!\cdots\!98\)\( p^{22} T^{72} - \)\(73\!\cdots\!27\)\( p^{23} T^{73} + \)\(29\!\cdots\!52\)\( p^{25} T^{74} - \)\(11\!\cdots\!94\)\( p^{25} T^{75} + \)\(13\!\cdots\!52\)\( p^{26} T^{76} - \)\(15\!\cdots\!74\)\( p^{27} T^{77} + \)\(18\!\cdots\!32\)\( p^{28} T^{78} - \)\(20\!\cdots\!32\)\( p^{29} T^{79} + \)\(22\!\cdots\!15\)\( p^{30} T^{80} - \)\(23\!\cdots\!47\)\( p^{31} T^{81} + \)\(24\!\cdots\!85\)\( p^{32} T^{82} - \)\(24\!\cdots\!65\)\( p^{33} T^{83} + 23964020246452256499 p^{34} T^{84} - 2245265454970957037 p^{35} T^{85} + 206631968590701587 p^{36} T^{86} - 17980405178181842 p^{37} T^{87} + 1539624092558115 p^{38} T^{88} - 122892716679132 p^{39} T^{89} + 9693140627796 p^{40} T^{90} - 22491750393 p^{42} T^{91} + 49997559945 p^{42} T^{92} - 3153971703 p^{43} T^{93} + 202003199 p^{44} T^{94} - 10670312 p^{45} T^{95} + 595382 p^{46} T^{96} - 24017 p^{47} T^{97} + 1125 p^{48} T^{98} - 27 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
37 \( 1 - 56 T + 69 p T^{2} - 83964 T^{3} + 2412617 T^{4} - 59364625 T^{5} + 1325671368 T^{6} - 26803754236 T^{7} + 503005977523 T^{8} - 8775615804232 T^{9} + 144169678045240 T^{10} - 2235640192813900 T^{11} + 32971074193164748 T^{12} - 463522836386886921 T^{13} + 6242043704838665220 T^{14} - 80682461595021915294 T^{15} + \)\(10\!\cdots\!23\)\( T^{16} - \)\(12\!\cdots\!97\)\( T^{17} + \)\(14\!\cdots\!98\)\( T^{18} - \)\(15\!\cdots\!96\)\( T^{19} + \)\(17\!\cdots\!38\)\( T^{20} - \)\(18\!\cdots\!21\)\( T^{21} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{22} - \)\(18\!\cdots\!89\)\( T^{23} + \)\(18\!\cdots\!97\)\( T^{24} - \)\(17\!\cdots\!39\)\( T^{25} + \)\(16\!\cdots\!87\)\( T^{26} - \)\(15\!\cdots\!44\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!97\)\( T^{28} - \)\(11\!\cdots\!28\)\( T^{29} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{30} - \)\(84\!\cdots\!84\)\( T^{31} + \)\(69\!\cdots\!88\)\( T^{32} - \)\(56\!\cdots\!44\)\( T^{33} + \)\(44\!\cdots\!52\)\( T^{34} - \)\(34\!\cdots\!74\)\( T^{35} + \)\(26\!\cdots\!09\)\( T^{36} - \)\(20\!\cdots\!09\)\( T^{37} + \)\(14\!\cdots\!29\)\( T^{38} - \)\(10\!\cdots\!54\)\( T^{39} + \)\(77\!\cdots\!56\)\( T^{40} - \)\(54\!\cdots\!04\)\( T^{41} + \)\(37\!\cdots\!97\)\( T^{42} - \)\(25\!\cdots\!09\)\( T^{43} + \)\(17\!\cdots\!49\)\( T^{44} - \)\(11\!\cdots\!32\)\( T^{45} + \)\(74\!\cdots\!02\)\( T^{46} - \)\(47\!\cdots\!55\)\( T^{47} + \)\(30\!\cdots\!30\)\( T^{48} - \)\(18\!\cdots\!61\)\( T^{49} + \)\(11\!\cdots\!98\)\( T^{50} - \)\(18\!\cdots\!61\)\( p T^{51} + \)\(30\!\cdots\!30\)\( p^{2} T^{52} - \)\(47\!\cdots\!55\)\( p^{3} T^{53} + \)\(74\!\cdots\!02\)\( p^{4} T^{54} - \)\(11\!\cdots\!32\)\( p^{5} T^{55} + \)\(17\!\cdots\!49\)\( p^{6} T^{56} - \)\(25\!\cdots\!09\)\( p^{7} T^{57} + \)\(37\!\cdots\!97\)\( p^{8} T^{58} - \)\(54\!\cdots\!04\)\( p^{9} T^{59} + \)\(77\!\cdots\!56\)\( p^{10} T^{60} - \)\(10\!\cdots\!54\)\( p^{11} T^{61} + \)\(14\!\cdots\!29\)\( p^{12} T^{62} - \)\(20\!\cdots\!09\)\( p^{13} T^{63} + \)\(26\!\cdots\!09\)\( p^{14} T^{64} - \)\(34\!\cdots\!74\)\( p^{15} T^{65} + \)\(44\!\cdots\!52\)\( p^{16} T^{66} - \)\(56\!\cdots\!44\)\( p^{17} T^{67} + \)\(69\!\cdots\!88\)\( p^{18} T^{68} - \)\(84\!\cdots\!84\)\( p^{19} T^{69} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{20} T^{70} - \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{21} T^{71} + \)\(13\!\cdots\!97\)\( p^{22} T^{72} - \)\(15\!\cdots\!44\)\( p^{23} T^{73} + \)\(16\!\cdots\!87\)\( p^{24} T^{74} - \)\(17\!\cdots\!39\)\( p^{25} T^{75} + \)\(18\!\cdots\!97\)\( p^{26} T^{76} - \)\(18\!\cdots\!89\)\( p^{27} T^{77} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( p^{28} T^{78} - \)\(18\!\cdots\!21\)\( p^{29} T^{79} + \)\(17\!\cdots\!38\)\( p^{30} T^{80} - \)\(15\!\cdots\!96\)\( p^{31} T^{81} + \)\(14\!\cdots\!98\)\( p^{32} T^{82} - \)\(12\!\cdots\!97\)\( p^{33} T^{83} + \)\(10\!\cdots\!23\)\( p^{34} T^{84} - 80682461595021915294 p^{35} T^{85} + 6242043704838665220 p^{36} T^{86} - 463522836386886921 p^{37} T^{87} + 32971074193164748 p^{38} T^{88} - 2235640192813900 p^{39} T^{89} + 144169678045240 p^{40} T^{90} - 8775615804232 p^{41} T^{91} + 503005977523 p^{42} T^{92} - 26803754236 p^{43} T^{93} + 1325671368 p^{44} T^{94} - 59364625 p^{45} T^{95} + 2412617 p^{46} T^{96} - 83964 p^{47} T^{97} + 69 p^{49} T^{98} - 56 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
41 \( 1 - 10 T + 1098 T^{2} - 9780 T^{3} + 591378 T^{4} - 4746547 T^{5} + 209140406 T^{6} - 1526844536 T^{7} + 54787310918 T^{8} - 366756792251 T^{9} + 11362630179574 T^{10} - 70262439163038 T^{11} + 1946164862877161 T^{12} - 11196519015860919 T^{13} + 283444038154076939 T^{14} - 1528242619483186685 T^{15} + 35862651015111087876 T^{16} - \)\(18\!\cdots\!66\)\( T^{17} + \)\(40\!\cdots\!15\)\( T^{18} - \)\(47\!\cdots\!08\)\( p T^{19} + \)\(40\!\cdots\!12\)\( T^{20} - \)\(18\!\cdots\!90\)\( T^{21} + \)\(36\!\cdots\!26\)\( T^{22} - \)\(16\!\cdots\!54\)\( T^{23} + \)\(29\!\cdots\!44\)\( T^{24} - \)\(13\!\cdots\!15\)\( T^{25} + \)\(22\!\cdots\!51\)\( T^{26} - \)\(98\!\cdots\!64\)\( T^{27} + \)\(15\!\cdots\!32\)\( T^{28} - \)\(68\!\cdots\!96\)\( T^{29} + \)\(10\!\cdots\!49\)\( T^{30} - \)\(44\!\cdots\!22\)\( T^{31} + \)\(64\!\cdots\!07\)\( T^{32} - \)\(27\!\cdots\!95\)\( T^{33} + \)\(37\!\cdots\!46\)\( T^{34} - \)\(16\!\cdots\!61\)\( T^{35} + \)\(20\!\cdots\!88\)\( T^{36} - \)\(89\!\cdots\!59\)\( T^{37} + \)\(11\!\cdots\!97\)\( T^{38} - \)\(47\!\cdots\!66\)\( T^{39} + \)\(55\!\cdots\!08\)\( T^{40} - \)\(23\!\cdots\!65\)\( T^{41} + \)\(26\!\cdots\!35\)\( T^{42} - \)\(11\!\cdots\!71\)\( T^{43} + \)\(12\!\cdots\!05\)\( T^{44} - \)\(53\!\cdots\!65\)\( T^{45} + \)\(56\!\cdots\!19\)\( T^{46} - \)\(23\!\cdots\!17\)\( T^{47} + \)\(24\!\cdots\!54\)\( T^{48} - \)\(10\!\cdots\!96\)\( T^{49} + \)\(10\!\cdots\!50\)\( T^{50} - \)\(10\!\cdots\!96\)\( p T^{51} + \)\(24\!\cdots\!54\)\( p^{2} T^{52} - \)\(23\!\cdots\!17\)\( p^{3} T^{53} + \)\(56\!\cdots\!19\)\( p^{4} T^{54} - \)\(53\!\cdots\!65\)\( p^{5} T^{55} + \)\(12\!\cdots\!05\)\( p^{6} T^{56} - \)\(11\!\cdots\!71\)\( p^{7} T^{57} + \)\(26\!\cdots\!35\)\( p^{8} T^{58} - \)\(23\!\cdots\!65\)\( p^{9} T^{59} + \)\(55\!\cdots\!08\)\( p^{10} T^{60} - \)\(47\!\cdots\!66\)\( p^{11} T^{61} + \)\(11\!\cdots\!97\)\( p^{12} T^{62} - \)\(89\!\cdots\!59\)\( p^{13} T^{63} + \)\(20\!\cdots\!88\)\( p^{14} T^{64} - \)\(16\!\cdots\!61\)\( p^{15} T^{65} + \)\(37\!\cdots\!46\)\( p^{16} T^{66} - \)\(27\!\cdots\!95\)\( p^{17} T^{67} + \)\(64\!\cdots\!07\)\( p^{18} T^{68} - \)\(44\!\cdots\!22\)\( p^{19} T^{69} + \)\(10\!\cdots\!49\)\( p^{20} T^{70} - \)\(68\!\cdots\!96\)\( p^{21} T^{71} + \)\(15\!\cdots\!32\)\( p^{22} T^{72} - \)\(98\!\cdots\!64\)\( p^{23} T^{73} + \)\(22\!\cdots\!51\)\( p^{24} T^{74} - \)\(13\!\cdots\!15\)\( p^{25} T^{75} + \)\(29\!\cdots\!44\)\( p^{26} T^{76} - \)\(16\!\cdots\!54\)\( p^{27} T^{77} + \)\(36\!\cdots\!26\)\( p^{28} T^{78} - \)\(18\!\cdots\!90\)\( p^{29} T^{79} + \)\(40\!\cdots\!12\)\( p^{30} T^{80} - \)\(47\!\cdots\!08\)\( p^{32} T^{81} + \)\(40\!\cdots\!15\)\( p^{32} T^{82} - \)\(18\!\cdots\!66\)\( p^{33} T^{83} + 35862651015111087876 p^{34} T^{84} - 1528242619483186685 p^{35} T^{85} + 283444038154076939 p^{36} T^{86} - 11196519015860919 p^{37} T^{87} + 1946164862877161 p^{38} T^{88} - 70262439163038 p^{39} T^{89} + 11362630179574 p^{40} T^{90} - 366756792251 p^{41} T^{91} + 54787310918 p^{42} T^{92} - 1526844536 p^{43} T^{93} + 209140406 p^{44} T^{94} - 4746547 p^{45} T^{95} + 591378 p^{46} T^{96} - 9780 p^{47} T^{97} + 1098 p^{48} T^{98} - 10 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
43 \( 1 - 19 T + 1282 T^{2} - 21398 T^{3} + 793662 T^{4} - 11856391 T^{5} + 317989606 T^{6} - 4311141054 T^{7} + 93104035942 T^{8} - 1157830725627 T^{9} + 21308706606423 T^{10} - 245120887841844 T^{11} + 3980279195025856 T^{12} - 42639283812586084 T^{13} + 625387464583426910 T^{14} - 6273311230123655197 T^{15} + 1965878176712812656 p T^{16} - \)\(79\!\cdots\!92\)\( T^{17} + \)\(10\!\cdots\!95\)\( T^{18} - \)\(89\!\cdots\!98\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( T^{20} - \)\(88\!\cdots\!70\)\( T^{21} + \)\(99\!\cdots\!87\)\( T^{22} - \)\(79\!\cdots\!24\)\( T^{23} + \)\(19\!\cdots\!37\)\( p T^{24} - \)\(64\!\cdots\!21\)\( T^{25} + \)\(66\!\cdots\!22\)\( T^{26} - \)\(48\!\cdots\!44\)\( T^{27} + \)\(48\!\cdots\!33\)\( T^{28} - \)\(33\!\cdots\!10\)\( T^{29} + \)\(32\!\cdots\!48\)\( T^{30} - \)\(21\!\cdots\!99\)\( T^{31} + \)\(20\!\cdots\!23\)\( T^{32} - \)\(13\!\cdots\!95\)\( T^{33} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( T^{34} - \)\(75\!\cdots\!42\)\( T^{35} + \)\(69\!\cdots\!38\)\( T^{36} - \)\(40\!\cdots\!42\)\( T^{37} + \)\(37\!\cdots\!13\)\( T^{38} - \)\(21\!\cdots\!05\)\( T^{39} + \)\(19\!\cdots\!95\)\( T^{40} - \)\(10\!\cdots\!50\)\( T^{41} + \)\(96\!\cdots\!13\)\( T^{42} - \)\(50\!\cdots\!60\)\( T^{43} + \)\(46\!\cdots\!99\)\( T^{44} - \)\(23\!\cdots\!79\)\( T^{45} + \)\(21\!\cdots\!48\)\( T^{46} - \)\(10\!\cdots\!57\)\( T^{47} + \)\(96\!\cdots\!20\)\( T^{48} - \)\(46\!\cdots\!38\)\( T^{49} + \)\(42\!\cdots\!38\)\( T^{50} - \)\(46\!\cdots\!38\)\( p T^{51} + \)\(96\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{52} - \)\(10\!\cdots\!57\)\( p^{3} T^{53} + \)\(21\!\cdots\!48\)\( p^{4} T^{54} - \)\(23\!\cdots\!79\)\( p^{5} T^{55} + \)\(46\!\cdots\!99\)\( p^{6} T^{56} - \)\(50\!\cdots\!60\)\( p^{7} T^{57} + \)\(96\!\cdots\!13\)\( p^{8} T^{58} - \)\(10\!\cdots\!50\)\( p^{9} T^{59} + \)\(19\!\cdots\!95\)\( p^{10} T^{60} - \)\(21\!\cdots\!05\)\( p^{11} T^{61} + \)\(37\!\cdots\!13\)\( p^{12} T^{62} - \)\(40\!\cdots\!42\)\( p^{13} T^{63} + \)\(69\!\cdots\!38\)\( p^{14} T^{64} - \)\(75\!\cdots\!42\)\( p^{15} T^{65} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( p^{16} T^{66} - \)\(13\!\cdots\!95\)\( p^{17} T^{67} + \)\(20\!\cdots\!23\)\( p^{18} T^{68} - \)\(21\!\cdots\!99\)\( p^{19} T^{69} + \)\(32\!\cdots\!48\)\( p^{20} T^{70} - \)\(33\!\cdots\!10\)\( p^{21} T^{71} + \)\(48\!\cdots\!33\)\( p^{22} T^{72} - \)\(48\!\cdots\!44\)\( p^{23} T^{73} + \)\(66\!\cdots\!22\)\( p^{24} T^{74} - \)\(64\!\cdots\!21\)\( p^{25} T^{75} + \)\(19\!\cdots\!37\)\( p^{27} T^{76} - \)\(79\!\cdots\!24\)\( p^{27} T^{77} + \)\(99\!\cdots\!87\)\( p^{28} T^{78} - \)\(88\!\cdots\!70\)\( p^{29} T^{79} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( p^{30} T^{80} - \)\(89\!\cdots\!98\)\( p^{31} T^{81} + \)\(10\!\cdots\!95\)\( p^{32} T^{82} - \)\(79\!\cdots\!92\)\( p^{33} T^{83} + 1965878176712812656 p^{35} T^{84} - 6273311230123655197 p^{35} T^{85} + 625387464583426910 p^{36} T^{86} - 42639283812586084 p^{37} T^{87} + 3980279195025856 p^{38} T^{88} - 245120887841844 p^{39} T^{89} + 21308706606423 p^{40} T^{90} - 1157830725627 p^{41} T^{91} + 93104035942 p^{42} T^{92} - 4311141054 p^{43} T^{93} + 317989606 p^{44} T^{94} - 11856391 p^{45} T^{95} + 793662 p^{46} T^{96} - 21398 p^{47} T^{97} + 1282 p^{48} T^{98} - 19 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
47 \( 1 - 3 T + 1206 T^{2} - 2790 T^{3} + 722058 T^{4} - 1183356 T^{5} + 286607003 T^{6} - 277993817 T^{7} + 84972868321 T^{8} - 25739375056 T^{9} + 20099802176247 T^{10} + 7305919111666 T^{11} + 3956765842028502 T^{12} + 4067337694165730 T^{13} + 667620372996493214 T^{14} + 1126043085903112079 T^{15} + 98685916521050079463 T^{16} + \)\(23\!\cdots\!25\)\( T^{17} + \)\(12\!\cdots\!77\)\( T^{18} + \)\(38\!\cdots\!80\)\( T^{19} + \)\(15\!\cdots\!24\)\( T^{20} + \)\(54\!\cdots\!82\)\( T^{21} + \)\(16\!\cdots\!88\)\( T^{22} + \)\(68\!\cdots\!56\)\( T^{23} + \)\(16\!\cdots\!07\)\( T^{24} + \)\(77\!\cdots\!36\)\( T^{25} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( T^{26} + \)\(78\!\cdots\!99\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!57\)\( T^{28} + \)\(73\!\cdots\!17\)\( T^{29} + \)\(10\!\cdots\!82\)\( T^{30} + \)\(62\!\cdots\!18\)\( T^{31} + \)\(83\!\cdots\!02\)\( T^{32} + \)\(50\!\cdots\!63\)\( T^{33} + \)\(60\!\cdots\!29\)\( T^{34} + \)\(37\!\cdots\!43\)\( T^{35} + \)\(41\!\cdots\!21\)\( T^{36} + \)\(25\!\cdots\!69\)\( T^{37} + \)\(26\!\cdots\!73\)\( T^{38} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( T^{39} + \)\(16\!\cdots\!53\)\( T^{40} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( T^{41} + \)\(97\!\cdots\!92\)\( T^{42} + \)\(60\!\cdots\!90\)\( T^{43} + \)\(54\!\cdots\!89\)\( T^{44} + \)\(33\!\cdots\!38\)\( T^{45} + \)\(28\!\cdots\!70\)\( T^{46} + \)\(17\!\cdots\!49\)\( T^{47} + \)\(14\!\cdots\!02\)\( T^{48} + \)\(86\!\cdots\!59\)\( T^{49} + \)\(70\!\cdots\!86\)\( T^{50} + \)\(86\!\cdots\!59\)\( p T^{51} + \)\(14\!\cdots\!02\)\( p^{2} T^{52} + \)\(17\!\cdots\!49\)\( p^{3} T^{53} + \)\(28\!\cdots\!70\)\( p^{4} T^{54} + \)\(33\!\cdots\!38\)\( p^{5} T^{55} + \)\(54\!\cdots\!89\)\( p^{6} T^{56} + \)\(60\!\cdots\!90\)\( p^{7} T^{57} + \)\(97\!\cdots\!92\)\( p^{8} T^{58} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( p^{9} T^{59} + \)\(16\!\cdots\!53\)\( p^{10} T^{60} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( p^{11} T^{61} + \)\(26\!\cdots\!73\)\( p^{12} T^{62} + \)\(25\!\cdots\!69\)\( p^{13} T^{63} + \)\(41\!\cdots\!21\)\( p^{14} T^{64} + \)\(37\!\cdots\!43\)\( p^{15} T^{65} + \)\(60\!\cdots\!29\)\( p^{16} T^{66} + \)\(50\!\cdots\!63\)\( p^{17} T^{67} + \)\(83\!\cdots\!02\)\( p^{18} T^{68} + \)\(62\!\cdots\!18\)\( p^{19} T^{69} + \)\(10\!\cdots\!82\)\( p^{20} T^{70} + \)\(73\!\cdots\!17\)\( p^{21} T^{71} + \)\(13\!\cdots\!57\)\( p^{22} T^{72} + \)\(78\!\cdots\!99\)\( p^{23} T^{73} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( p^{24} T^{74} + \)\(77\!\cdots\!36\)\( p^{25} T^{75} + \)\(16\!\cdots\!07\)\( p^{26} T^{76} + \)\(68\!\cdots\!56\)\( p^{27} T^{77} + \)\(16\!\cdots\!88\)\( p^{28} T^{78} + \)\(54\!\cdots\!82\)\( p^{29} T^{79} + \)\(15\!\cdots\!24\)\( p^{30} T^{80} + \)\(38\!\cdots\!80\)\( p^{31} T^{81} + \)\(12\!\cdots\!77\)\( p^{32} T^{82} + \)\(23\!\cdots\!25\)\( p^{33} T^{83} + 98685916521050079463 p^{34} T^{84} + 1126043085903112079 p^{35} T^{85} + 667620372996493214 p^{36} T^{86} + 4067337694165730 p^{37} T^{87} + 3956765842028502 p^{38} T^{88} + 7305919111666 p^{39} T^{89} + 20099802176247 p^{40} T^{90} - 25739375056 p^{41} T^{91} + 84972868321 p^{42} T^{92} - 277993817 p^{43} T^{93} + 286607003 p^{44} T^{94} - 1183356 p^{45} T^{95} + 722058 p^{46} T^{96} - 2790 p^{47} T^{97} + 1206 p^{48} T^{98} - 3 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
53 \( 1 - 56 T + 54 p T^{2} - 100771 T^{3} + 3225466 T^{4} - 86795762 T^{5} + 2159734888 T^{6} - 48249278013 T^{7} + 1010971225984 T^{8} - 370057673412 p T^{9} + 360666812119787 T^{10} - 6248388823331101 T^{11} + 103423898334627800 T^{12} - 1630639267159308303 T^{13} + 24712017077891882477 T^{14} - \)\(35\!\cdots\!35\)\( T^{15} + \)\(50\!\cdots\!46\)\( T^{16} - \)\(68\!\cdots\!35\)\( T^{17} + \)\(89\!\cdots\!95\)\( T^{18} - \)\(11\!\cdots\!71\)\( T^{19} + \)\(14\!\cdots\!86\)\( T^{20} - \)\(17\!\cdots\!53\)\( T^{21} + \)\(37\!\cdots\!29\)\( p T^{22} - \)\(22\!\cdots\!02\)\( T^{23} + \)\(25\!\cdots\!03\)\( T^{24} - \)\(27\!\cdots\!34\)\( T^{25} + \)\(29\!\cdots\!65\)\( T^{26} - \)\(31\!\cdots\!41\)\( T^{27} + \)\(32\!\cdots\!40\)\( T^{28} - \)\(32\!\cdots\!79\)\( T^{29} + \)\(31\!\cdots\!36\)\( T^{30} - \)\(30\!\cdots\!88\)\( T^{31} + \)\(29\!\cdots\!38\)\( T^{32} - \)\(27\!\cdots\!80\)\( T^{33} + \)\(25\!\cdots\!11\)\( T^{34} - \)\(22\!\cdots\!19\)\( T^{35} + \)\(20\!\cdots\!47\)\( T^{36} - \)\(17\!\cdots\!67\)\( T^{37} + \)\(15\!\cdots\!29\)\( T^{38} - \)\(12\!\cdots\!05\)\( T^{39} + \)\(10\!\cdots\!71\)\( T^{40} - \)\(89\!\cdots\!67\)\( T^{41} + \)\(73\!\cdots\!89\)\( T^{42} - \)\(58\!\cdots\!73\)\( T^{43} + \)\(46\!\cdots\!56\)\( T^{44} - \)\(36\!\cdots\!34\)\( T^{45} + \)\(28\!\cdots\!49\)\( T^{46} - \)\(21\!\cdots\!87\)\( T^{47} + \)\(16\!\cdots\!38\)\( T^{48} - \)\(11\!\cdots\!48\)\( T^{49} + \)\(87\!\cdots\!54\)\( T^{50} - \)\(11\!\cdots\!48\)\( p T^{51} + \)\(16\!\cdots\!38\)\( p^{2} T^{52} - \)\(21\!\cdots\!87\)\( p^{3} T^{53} + \)\(28\!\cdots\!49\)\( p^{4} T^{54} - \)\(36\!\cdots\!34\)\( p^{5} T^{55} + \)\(46\!\cdots\!56\)\( p^{6} T^{56} - \)\(58\!\cdots\!73\)\( p^{7} T^{57} + \)\(73\!\cdots\!89\)\( p^{8} T^{58} - \)\(89\!\cdots\!67\)\( p^{9} T^{59} + \)\(10\!\cdots\!71\)\( p^{10} T^{60} - \)\(12\!\cdots\!05\)\( p^{11} T^{61} + \)\(15\!\cdots\!29\)\( p^{12} T^{62} - \)\(17\!\cdots\!67\)\( p^{13} T^{63} + \)\(20\!\cdots\!47\)\( p^{14} T^{64} - \)\(22\!\cdots\!19\)\( p^{15} T^{65} + \)\(25\!\cdots\!11\)\( p^{16} T^{66} - \)\(27\!\cdots\!80\)\( p^{17} T^{67} + \)\(29\!\cdots\!38\)\( p^{18} T^{68} - \)\(30\!\cdots\!88\)\( p^{19} T^{69} + \)\(31\!\cdots\!36\)\( p^{20} T^{70} - \)\(32\!\cdots\!79\)\( p^{21} T^{71} + \)\(32\!\cdots\!40\)\( p^{22} T^{72} - \)\(31\!\cdots\!41\)\( p^{23} T^{73} + \)\(29\!\cdots\!65\)\( p^{24} T^{74} - \)\(27\!\cdots\!34\)\( p^{25} T^{75} + \)\(25\!\cdots\!03\)\( p^{26} T^{76} - \)\(22\!\cdots\!02\)\( p^{27} T^{77} + \)\(37\!\cdots\!29\)\( p^{29} T^{78} - \)\(17\!\cdots\!53\)\( p^{29} T^{79} + \)\(14\!\cdots\!86\)\( p^{30} T^{80} - \)\(11\!\cdots\!71\)\( p^{31} T^{81} + \)\(89\!\cdots\!95\)\( p^{32} T^{82} - \)\(68\!\cdots\!35\)\( p^{33} T^{83} + \)\(50\!\cdots\!46\)\( p^{34} T^{84} - \)\(35\!\cdots\!35\)\( p^{35} T^{85} + 24712017077891882477 p^{36} T^{86} - 1630639267159308303 p^{37} T^{87} + 103423898334627800 p^{38} T^{88} - 6248388823331101 p^{39} T^{89} + 360666812119787 p^{40} T^{90} - 370057673412 p^{42} T^{91} + 1010971225984 p^{42} T^{92} - 48249278013 p^{43} T^{93} + 2159734888 p^{44} T^{94} - 86795762 p^{45} T^{95} + 3225466 p^{46} T^{96} - 100771 p^{47} T^{97} + 54 p^{49} T^{98} - 56 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
59 \( 1 + T + 1467 T^{2} + 1928 T^{3} + 1077515 T^{4} + 29427 p T^{5} + 528368287 T^{6} + 1001221611 T^{7} + 194591183611 T^{8} + 421974009608 T^{9} + 57412412668907 T^{10} + 139795782576355 T^{11} + 14135513786855475 T^{12} + 38117510750446290 T^{13} + 2987333223424847339 T^{14} + 8828160926753750026 T^{15} + \)\(55\!\cdots\!08\)\( T^{16} + \)\(17\!\cdots\!07\)\( T^{17} + \)\(91\!\cdots\!77\)\( T^{18} + \)\(31\!\cdots\!93\)\( T^{19} + \)\(13\!\cdots\!21\)\( T^{20} + \)\(50\!\cdots\!28\)\( T^{21} + \)\(18\!\cdots\!24\)\( T^{22} + \)\(72\!\cdots\!57\)\( T^{23} + \)\(22\!\cdots\!94\)\( T^{24} + \)\(96\!\cdots\!47\)\( T^{25} + \)\(26\!\cdots\!13\)\( T^{26} + \)\(11\!\cdots\!82\)\( T^{27} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( T^{28} + \)\(13\!\cdots\!19\)\( T^{29} + \)\(28\!\cdots\!34\)\( T^{30} + \)\(13\!\cdots\!66\)\( T^{31} + \)\(26\!\cdots\!17\)\( T^{32} + \)\(13\!\cdots\!93\)\( T^{33} + \)\(23\!\cdots\!95\)\( T^{34} + \)\(12\!\cdots\!81\)\( T^{35} + \)\(19\!\cdots\!89\)\( T^{36} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( T^{37} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( T^{38} + \)\(85\!\cdots\!55\)\( T^{39} + \)\(11\!\cdots\!29\)\( T^{40} + \)\(65\!\cdots\!03\)\( T^{41} + \)\(86\!\cdots\!14\)\( T^{42} + \)\(47\!\cdots\!41\)\( T^{43} + \)\(59\!\cdots\!07\)\( T^{44} + \)\(32\!\cdots\!02\)\( T^{45} + \)\(39\!\cdots\!58\)\( T^{46} + \)\(21\!\cdots\!61\)\( T^{47} + \)\(24\!\cdots\!85\)\( T^{48} + \)\(13\!\cdots\!53\)\( T^{49} + \)\(15\!\cdots\!38\)\( T^{50} + \)\(13\!\cdots\!53\)\( p T^{51} + \)\(24\!\cdots\!85\)\( p^{2} T^{52} + \)\(21\!\cdots\!61\)\( p^{3} T^{53} + \)\(39\!\cdots\!58\)\( p^{4} T^{54} + \)\(32\!\cdots\!02\)\( p^{5} T^{55} + \)\(59\!\cdots\!07\)\( p^{6} T^{56} + \)\(47\!\cdots\!41\)\( p^{7} T^{57} + \)\(86\!\cdots\!14\)\( p^{8} T^{58} + \)\(65\!\cdots\!03\)\( p^{9} T^{59} + \)\(11\!\cdots\!29\)\( p^{10} T^{60} + \)\(85\!\cdots\!55\)\( p^{11} T^{61} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( p^{12} T^{62} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( p^{13} T^{63} + \)\(19\!\cdots\!89\)\( p^{14} T^{64} + \)\(12\!\cdots\!81\)\( p^{15} T^{65} + \)\(23\!\cdots\!95\)\( p^{16} T^{66} + \)\(13\!\cdots\!93\)\( p^{17} T^{67} + \)\(26\!\cdots\!17\)\( p^{18} T^{68} + \)\(13\!\cdots\!66\)\( p^{19} T^{69} + \)\(28\!\cdots\!34\)\( p^{20} T^{70} + \)\(13\!\cdots\!19\)\( p^{21} T^{71} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( p^{22} T^{72} + \)\(11\!\cdots\!82\)\( p^{23} T^{73} + \)\(26\!\cdots\!13\)\( p^{24} T^{74} + \)\(96\!\cdots\!47\)\( p^{25} T^{75} + \)\(22\!\cdots\!94\)\( p^{26} T^{76} + \)\(72\!\cdots\!57\)\( p^{27} T^{77} + \)\(18\!\cdots\!24\)\( p^{28} T^{78} + \)\(50\!\cdots\!28\)\( p^{29} T^{79} + \)\(13\!\cdots\!21\)\( p^{30} T^{80} + \)\(31\!\cdots\!93\)\( p^{31} T^{81} + \)\(91\!\cdots\!77\)\( p^{32} T^{82} + \)\(17\!\cdots\!07\)\( p^{33} T^{83} + \)\(55\!\cdots\!08\)\( p^{34} T^{84} + 8828160926753750026 p^{35} T^{85} + 2987333223424847339 p^{36} T^{86} + 38117510750446290 p^{37} T^{87} + 14135513786855475 p^{38} T^{88} + 139795782576355 p^{39} T^{89} + 57412412668907 p^{40} T^{90} + 421974009608 p^{41} T^{91} + 194591183611 p^{42} T^{92} + 1001221611 p^{43} T^{93} + 528368287 p^{44} T^{94} + 29427 p^{46} T^{95} + 1077515 p^{46} T^{96} + 1928 p^{47} T^{97} + 1467 p^{48} T^{98} + p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
61 \( 1 - 67 T + 3881 T^{2} - 160018 T^{3} + 5867214 T^{4} - 183814018 T^{5} + 5265912755 T^{6} - 136661788927 T^{7} + 3305097077852 T^{8} - 74396105931384 T^{9} + 1580828955804242 T^{10} - 31744284178782819 T^{11} + 607264174814441368 T^{12} - 11085265065713482283 T^{13} + \)\(19\!\cdots\!60\)\( T^{14} - \)\(32\!\cdots\!86\)\( T^{15} + \)\(52\!\cdots\!61\)\( T^{16} - \)\(82\!\cdots\!71\)\( T^{17} + \)\(12\!\cdots\!17\)\( T^{18} - \)\(18\!\cdots\!44\)\( T^{19} + \)\(26\!\cdots\!01\)\( T^{20} - \)\(36\!\cdots\!91\)\( T^{21} + \)\(48\!\cdots\!48\)\( T^{22} - \)\(64\!\cdots\!67\)\( T^{23} + \)\(81\!\cdots\!10\)\( T^{24} - \)\(10\!\cdots\!89\)\( T^{25} + \)\(12\!\cdots\!75\)\( T^{26} - \)\(14\!\cdots\!53\)\( T^{27} + \)\(17\!\cdots\!87\)\( T^{28} - \)\(19\!\cdots\!71\)\( T^{29} + \)\(22\!\cdots\!58\)\( T^{30} - \)\(24\!\cdots\!97\)\( T^{31} + \)\(26\!\cdots\!86\)\( T^{32} - \)\(27\!\cdots\!44\)\( T^{33} + \)\(28\!\cdots\!53\)\( T^{34} - \)\(28\!\cdots\!13\)\( T^{35} + \)\(46\!\cdots\!62\)\( p T^{36} - \)\(27\!\cdots\!43\)\( T^{37} + \)\(26\!\cdots\!36\)\( T^{38} - \)\(25\!\cdots\!50\)\( T^{39} + \)\(23\!\cdots\!24\)\( T^{40} - \)\(21\!\cdots\!24\)\( T^{41} + \)\(19\!\cdots\!58\)\( T^{42} - \)\(16\!\cdots\!45\)\( T^{43} + \)\(14\!\cdots\!79\)\( T^{44} - \)\(12\!\cdots\!66\)\( T^{45} + \)\(10\!\cdots\!75\)\( T^{46} - \)\(87\!\cdots\!25\)\( T^{47} + \)\(70\!\cdots\!27\)\( T^{48} - \)\(56\!\cdots\!85\)\( T^{49} + \)\(44\!\cdots\!04\)\( T^{50} - \)\(56\!\cdots\!85\)\( p T^{51} + \)\(70\!\cdots\!27\)\( p^{2} T^{52} - \)\(87\!\cdots\!25\)\( p^{3} T^{53} + \)\(10\!\cdots\!75\)\( p^{4} T^{54} - \)\(12\!\cdots\!66\)\( p^{5} T^{55} + \)\(14\!\cdots\!79\)\( p^{6} T^{56} - \)\(16\!\cdots\!45\)\( p^{7} T^{57} + \)\(19\!\cdots\!58\)\( p^{8} T^{58} - \)\(21\!\cdots\!24\)\( p^{9} T^{59} + \)\(23\!\cdots\!24\)\( p^{10} T^{60} - \)\(25\!\cdots\!50\)\( p^{11} T^{61} + \)\(26\!\cdots\!36\)\( p^{12} T^{62} - \)\(27\!\cdots\!43\)\( p^{13} T^{63} + \)\(46\!\cdots\!62\)\( p^{15} T^{64} - \)\(28\!\cdots\!13\)\( p^{15} T^{65} + \)\(28\!\cdots\!53\)\( p^{16} T^{66} - \)\(27\!\cdots\!44\)\( p^{17} T^{67} + \)\(26\!\cdots\!86\)\( p^{18} T^{68} - \)\(24\!\cdots\!97\)\( p^{19} T^{69} + \)\(22\!\cdots\!58\)\( p^{20} T^{70} - \)\(19\!\cdots\!71\)\( p^{21} T^{71} + \)\(17\!\cdots\!87\)\( p^{22} T^{72} - \)\(14\!\cdots\!53\)\( p^{23} T^{73} + \)\(12\!\cdots\!75\)\( p^{24} T^{74} - \)\(10\!\cdots\!89\)\( p^{25} T^{75} + \)\(81\!\cdots\!10\)\( p^{26} T^{76} - \)\(64\!\cdots\!67\)\( p^{27} T^{77} + \)\(48\!\cdots\!48\)\( p^{28} T^{78} - \)\(36\!\cdots\!91\)\( p^{29} T^{79} + \)\(26\!\cdots\!01\)\( p^{30} T^{80} - \)\(18\!\cdots\!44\)\( p^{31} T^{81} + \)\(12\!\cdots\!17\)\( p^{32} T^{82} - \)\(82\!\cdots\!71\)\( p^{33} T^{83} + \)\(52\!\cdots\!61\)\( p^{34} T^{84} - \)\(32\!\cdots\!86\)\( p^{35} T^{85} + \)\(19\!\cdots\!60\)\( p^{36} T^{86} - 11085265065713482283 p^{37} T^{87} + 607264174814441368 p^{38} T^{88} - 31744284178782819 p^{39} T^{89} + 1580828955804242 p^{40} T^{90} - 74396105931384 p^{41} T^{91} + 3305097077852 p^{42} T^{92} - 136661788927 p^{43} T^{93} + 5265912755 p^{44} T^{94} - 183814018 p^{45} T^{95} + 5867214 p^{46} T^{96} - 160018 p^{47} T^{97} + 3881 p^{48} T^{98} - 67 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
67 \( 1 - 46 T + 2591 T^{2} - 87361 T^{3} + 3026666 T^{4} - 82760355 T^{5} + 2227386559 T^{6} - 52132693711 T^{7} + 1186300691525 T^{8} - 24564197810685 T^{9} + 493144813974115 T^{10} - 9234742580714641 T^{11} + 167750110794092048 T^{12} - 2885425497158851071 T^{13} + 48223121508229000173 T^{14} - \)\(77\!\cdots\!66\)\( T^{15} + \)\(11\!\cdots\!87\)\( T^{16} - \)\(17\!\cdots\!03\)\( T^{17} + \)\(26\!\cdots\!20\)\( T^{18} - \)\(37\!\cdots\!38\)\( T^{19} + \)\(51\!\cdots\!77\)\( T^{20} - \)\(68\!\cdots\!74\)\( T^{21} + \)\(90\!\cdots\!80\)\( T^{22} - \)\(11\!\cdots\!65\)\( T^{23} + \)\(14\!\cdots\!96\)\( T^{24} - \)\(17\!\cdots\!54\)\( T^{25} + \)\(21\!\cdots\!39\)\( T^{26} - \)\(25\!\cdots\!08\)\( T^{27} + \)\(29\!\cdots\!59\)\( T^{28} - \)\(32\!\cdots\!77\)\( T^{29} + \)\(36\!\cdots\!28\)\( T^{30} - \)\(39\!\cdots\!40\)\( T^{31} + \)\(42\!\cdots\!12\)\( T^{32} - \)\(45\!\cdots\!59\)\( T^{33} + \)\(47\!\cdots\!79\)\( T^{34} - \)\(48\!\cdots\!26\)\( T^{35} + \)\(48\!\cdots\!17\)\( T^{36} - \)\(47\!\cdots\!19\)\( T^{37} + \)\(46\!\cdots\!33\)\( T^{38} - \)\(44\!\cdots\!62\)\( T^{39} + \)\(42\!\cdots\!76\)\( T^{40} - \)\(39\!\cdots\!63\)\( T^{41} + \)\(36\!\cdots\!34\)\( T^{42} - \)\(33\!\cdots\!21\)\( T^{43} + \)\(29\!\cdots\!76\)\( T^{44} - \)\(26\!\cdots\!66\)\( T^{45} + \)\(22\!\cdots\!15\)\( T^{46} - \)\(19\!\cdots\!70\)\( T^{47} + \)\(16\!\cdots\!16\)\( T^{48} - \)\(13\!\cdots\!33\)\( T^{49} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( T^{50} - \)\(13\!\cdots\!33\)\( p T^{51} + \)\(16\!\cdots\!16\)\( p^{2} T^{52} - \)\(19\!\cdots\!70\)\( p^{3} T^{53} + \)\(22\!\cdots\!15\)\( p^{4} T^{54} - \)\(26\!\cdots\!66\)\( p^{5} T^{55} + \)\(29\!\cdots\!76\)\( p^{6} T^{56} - \)\(33\!\cdots\!21\)\( p^{7} T^{57} + \)\(36\!\cdots\!34\)\( p^{8} T^{58} - \)\(39\!\cdots\!63\)\( p^{9} T^{59} + \)\(42\!\cdots\!76\)\( p^{10} T^{60} - \)\(44\!\cdots\!62\)\( p^{11} T^{61} + \)\(46\!\cdots\!33\)\( p^{12} T^{62} - \)\(47\!\cdots\!19\)\( p^{13} T^{63} + \)\(48\!\cdots\!17\)\( p^{14} T^{64} - \)\(48\!\cdots\!26\)\( p^{15} T^{65} + \)\(47\!\cdots\!79\)\( p^{16} T^{66} - \)\(45\!\cdots\!59\)\( p^{17} T^{67} + \)\(42\!\cdots\!12\)\( p^{18} T^{68} - \)\(39\!\cdots\!40\)\( p^{19} T^{69} + \)\(36\!\cdots\!28\)\( p^{20} T^{70} - \)\(32\!\cdots\!77\)\( p^{21} T^{71} + \)\(29\!\cdots\!59\)\( p^{22} T^{72} - \)\(25\!\cdots\!08\)\( p^{23} T^{73} + \)\(21\!\cdots\!39\)\( p^{24} T^{74} - \)\(17\!\cdots\!54\)\( p^{25} T^{75} + \)\(14\!\cdots\!96\)\( p^{26} T^{76} - \)\(11\!\cdots\!65\)\( p^{27} T^{77} + \)\(90\!\cdots\!80\)\( p^{28} T^{78} - \)\(68\!\cdots\!74\)\( p^{29} T^{79} + \)\(51\!\cdots\!77\)\( p^{30} T^{80} - \)\(37\!\cdots\!38\)\( p^{31} T^{81} + \)\(26\!\cdots\!20\)\( p^{32} T^{82} - \)\(17\!\cdots\!03\)\( p^{33} T^{83} + \)\(11\!\cdots\!87\)\( p^{34} T^{84} - \)\(77\!\cdots\!66\)\( p^{35} T^{85} + 48223121508229000173 p^{36} T^{86} - 2885425497158851071 p^{37} T^{87} + 167750110794092048 p^{38} T^{88} - 9234742580714641 p^{39} T^{89} + 493144813974115 p^{40} T^{90} - 24564197810685 p^{41} T^{91} + 1186300691525 p^{42} T^{92} - 52132693711 p^{43} T^{93} + 2227386559 p^{44} T^{94} - 82760355 p^{45} T^{95} + 3026666 p^{46} T^{96} - 87361 p^{47} T^{97} + 2591 p^{48} T^{98} - 46 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
71 \( 1 - 4 T + 1792 T^{2} - 7932 T^{3} + 1604527 T^{4} - 7688761 T^{5} + 957523602 T^{6} - 4876595519 T^{7} + 428521752731 T^{8} - 2282826668527 T^{9} + 153395059383130 T^{10} - 842799025772340 T^{11} + 45735723254483440 T^{12} - 255897463447923993 T^{13} + 11676395032423291684 T^{14} - 65756934918892635042 T^{15} + \)\(26\!\cdots\!38\)\( T^{16} - \)\(14\!\cdots\!57\)\( T^{17} + \)\(51\!\cdots\!04\)\( T^{18} - \)\(28\!\cdots\!59\)\( T^{19} + \)\(91\!\cdots\!99\)\( T^{20} - \)\(49\!\cdots\!20\)\( T^{21} + \)\(14\!\cdots\!43\)\( T^{22} - \)\(75\!\cdots\!62\)\( T^{23} + \)\(21\!\cdots\!59\)\( T^{24} - \)\(10\!\cdots\!51\)\( T^{25} + \)\(28\!\cdots\!63\)\( T^{26} - \)\(13\!\cdots\!72\)\( T^{27} + \)\(35\!\cdots\!54\)\( T^{28} - \)\(14\!\cdots\!07\)\( T^{29} + \)\(40\!\cdots\!69\)\( T^{30} - \)\(15\!\cdots\!59\)\( T^{31} + \)\(42\!\cdots\!94\)\( T^{32} - \)\(13\!\cdots\!28\)\( T^{33} + \)\(42\!\cdots\!61\)\( T^{34} - \)\(10\!\cdots\!52\)\( T^{35} + \)\(39\!\cdots\!58\)\( T^{36} - \)\(72\!\cdots\!37\)\( T^{37} + \)\(33\!\cdots\!58\)\( T^{38} - \)\(34\!\cdots\!40\)\( T^{39} + \)\(27\!\cdots\!54\)\( T^{40} - \)\(24\!\cdots\!91\)\( T^{41} + \)\(21\!\cdots\!31\)\( T^{42} + \)\(19\!\cdots\!48\)\( T^{43} + \)\(15\!\cdots\!08\)\( T^{44} + \)\(29\!\cdots\!06\)\( T^{45} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( T^{46} + \)\(30\!\cdots\!90\)\( T^{47} + \)\(82\!\cdots\!57\)\( T^{48} + \)\(25\!\cdots\!27\)\( T^{49} + \)\(58\!\cdots\!46\)\( T^{50} + \)\(25\!\cdots\!27\)\( p T^{51} + \)\(82\!\cdots\!57\)\( p^{2} T^{52} + \)\(30\!\cdots\!90\)\( p^{3} T^{53} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( p^{4} T^{54} + \)\(29\!\cdots\!06\)\( p^{5} T^{55} + \)\(15\!\cdots\!08\)\( p^{6} T^{56} + \)\(19\!\cdots\!48\)\( p^{7} T^{57} + \)\(21\!\cdots\!31\)\( p^{8} T^{58} - \)\(24\!\cdots\!91\)\( p^{9} T^{59} + \)\(27\!\cdots\!54\)\( p^{10} T^{60} - \)\(34\!\cdots\!40\)\( p^{11} T^{61} + \)\(33\!\cdots\!58\)\( p^{12} T^{62} - \)\(72\!\cdots\!37\)\( p^{13} T^{63} + \)\(39\!\cdots\!58\)\( p^{14} T^{64} - \)\(10\!\cdots\!52\)\( p^{15} T^{65} + \)\(42\!\cdots\!61\)\( p^{16} T^{66} - \)\(13\!\cdots\!28\)\( p^{17} T^{67} + \)\(42\!\cdots\!94\)\( p^{18} T^{68} - \)\(15\!\cdots\!59\)\( p^{19} T^{69} + \)\(40\!\cdots\!69\)\( p^{20} T^{70} - \)\(14\!\cdots\!07\)\( p^{21} T^{71} + \)\(35\!\cdots\!54\)\( p^{22} T^{72} - \)\(13\!\cdots\!72\)\( p^{23} T^{73} + \)\(28\!\cdots\!63\)\( p^{24} T^{74} - \)\(10\!\cdots\!51\)\( p^{25} T^{75} + \)\(21\!\cdots\!59\)\( p^{26} T^{76} - \)\(75\!\cdots\!62\)\( p^{27} T^{77} + \)\(14\!\cdots\!43\)\( p^{28} T^{78} - \)\(49\!\cdots\!20\)\( p^{29} T^{79} + \)\(91\!\cdots\!99\)\( p^{30} T^{80} - \)\(28\!\cdots\!59\)\( p^{31} T^{81} + \)\(51\!\cdots\!04\)\( p^{32} T^{82} - \)\(14\!\cdots\!57\)\( p^{33} T^{83} + \)\(26\!\cdots\!38\)\( p^{34} T^{84} - 65756934918892635042 p^{35} T^{85} + 11676395032423291684 p^{36} T^{86} - 255897463447923993 p^{37} T^{87} + 45735723254483440 p^{38} T^{88} - 842799025772340 p^{39} T^{89} + 153395059383130 p^{40} T^{90} - 2282826668527 p^{41} T^{91} + 428521752731 p^{42} T^{92} - 4876595519 p^{43} T^{93} + 957523602 p^{44} T^{94} - 7688761 p^{45} T^{95} + 1604527 p^{46} T^{96} - 7932 p^{47} T^{97} + 1792 p^{48} T^{98} - 4 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
73 \( 1 - 62 T + 3825 T^{2} - 157393 T^{3} + 6061851 T^{4} - 194166938 T^{5} + 5821815509 T^{6} - 156165722194 T^{7} + 3951476209196 T^{8} - 92497540689508 T^{9} + 2058213407594241 T^{10} - 43155802449531160 T^{11} + 865766259491653344 T^{12} - 16553249225535260234 T^{13} + \)\(30\!\cdots\!62\)\( T^{14} - \)\(53\!\cdots\!02\)\( T^{15} + \)\(91\!\cdots\!39\)\( T^{16} - \)\(15\!\cdots\!32\)\( T^{17} + \)\(24\!\cdots\!57\)\( T^{18} - \)\(37\!\cdots\!80\)\( T^{19} + \)\(56\!\cdots\!78\)\( T^{20} - \)\(82\!\cdots\!81\)\( T^{21} + \)\(11\!\cdots\!43\)\( T^{22} - \)\(16\!\cdots\!84\)\( T^{23} + \)\(22\!\cdots\!84\)\( T^{24} - \)\(29\!\cdots\!06\)\( T^{25} + \)\(38\!\cdots\!31\)\( T^{26} - \)\(48\!\cdots\!13\)\( T^{27} + \)\(60\!\cdots\!94\)\( T^{28} - \)\(73\!\cdots\!36\)\( T^{29} + \)\(11\!\cdots\!45\)\( p T^{30} - \)\(10\!\cdots\!08\)\( T^{31} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{32} - \)\(13\!\cdots\!09\)\( T^{33} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( T^{34} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( T^{35} + \)\(17\!\cdots\!44\)\( T^{36} - \)\(18\!\cdots\!12\)\( T^{37} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{38} - \)\(19\!\cdots\!02\)\( T^{39} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( T^{40} - \)\(18\!\cdots\!81\)\( T^{41} + \)\(18\!\cdots\!52\)\( T^{42} - \)\(17\!\cdots\!28\)\( T^{43} + \)\(16\!\cdots\!08\)\( T^{44} - \)\(15\!\cdots\!06\)\( T^{45} + \)\(13\!\cdots\!77\)\( T^{46} - \)\(12\!\cdots\!59\)\( T^{47} + \)\(11\!\cdots\!95\)\( T^{48} - \)\(97\!\cdots\!08\)\( T^{49} + \)\(83\!\cdots\!42\)\( T^{50} - \)\(97\!\cdots\!08\)\( p T^{51} + \)\(11\!\cdots\!95\)\( p^{2} T^{52} - \)\(12\!\cdots\!59\)\( p^{3} T^{53} + \)\(13\!\cdots\!77\)\( p^{4} T^{54} - \)\(15\!\cdots\!06\)\( p^{5} T^{55} + \)\(16\!\cdots\!08\)\( p^{6} T^{56} - \)\(17\!\cdots\!28\)\( p^{7} T^{57} + \)\(18\!\cdots\!52\)\( p^{8} T^{58} - \)\(18\!\cdots\!81\)\( p^{9} T^{59} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( p^{10} T^{60} - \)\(19\!\cdots\!02\)\( p^{11} T^{61} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{12} T^{62} - \)\(18\!\cdots\!12\)\( p^{13} T^{63} + \)\(17\!\cdots\!44\)\( p^{14} T^{64} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( p^{15} T^{65} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( p^{16} T^{66} - \)\(13\!\cdots\!09\)\( p^{17} T^{67} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{18} T^{68} - \)\(10\!\cdots\!08\)\( p^{19} T^{69} + \)\(11\!\cdots\!45\)\( p^{21} T^{70} - \)\(73\!\cdots\!36\)\( p^{21} T^{71} + \)\(60\!\cdots\!94\)\( p^{22} T^{72} - \)\(48\!\cdots\!13\)\( p^{23} T^{73} + \)\(38\!\cdots\!31\)\( p^{24} T^{74} - \)\(29\!\cdots\!06\)\( p^{25} T^{75} + \)\(22\!\cdots\!84\)\( p^{26} T^{76} - \)\(16\!\cdots\!84\)\( p^{27} T^{77} + \)\(11\!\cdots\!43\)\( p^{28} T^{78} - \)\(82\!\cdots\!81\)\( p^{29} T^{79} + \)\(56\!\cdots\!78\)\( p^{30} T^{80} - \)\(37\!\cdots\!80\)\( p^{31} T^{81} + \)\(24\!\cdots\!57\)\( p^{32} T^{82} - \)\(15\!\cdots\!32\)\( p^{33} T^{83} + \)\(91\!\cdots\!39\)\( p^{34} T^{84} - \)\(53\!\cdots\!02\)\( p^{35} T^{85} + \)\(30\!\cdots\!62\)\( p^{36} T^{86} - 16553249225535260234 p^{37} T^{87} + 865766259491653344 p^{38} T^{88} - 43155802449531160 p^{39} T^{89} + 2058213407594241 p^{40} T^{90} - 92497540689508 p^{41} T^{91} + 3951476209196 p^{42} T^{92} - 156165722194 p^{43} T^{93} + 5821815509 p^{44} T^{94} - 194166938 p^{45} T^{95} + 6061851 p^{46} T^{96} - 157393 p^{47} T^{97} + 3825 p^{48} T^{98} - 62 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
79 \( 1 - 7 T + 2005 T^{2} - 12548 T^{3} + 2013328 T^{4} - 11185597 T^{5} + 1350499977 T^{6} - 6593939648 T^{7} + 680973985722 T^{8} - 2881974733374 T^{9} + 275395442084251 T^{10} - 991463241694572 T^{11} + 93067194610247146 T^{12} - 277744564496782999 T^{13} + 27037676305529556305 T^{14} - 64462373944289013379 T^{15} + \)\(68\!\cdots\!27\)\( T^{16} - \)\(12\!\cdots\!37\)\( T^{17} + \)\(15\!\cdots\!41\)\( T^{18} - \)\(19\!\cdots\!70\)\( T^{19} + \)\(32\!\cdots\!11\)\( T^{20} - \)\(22\!\cdots\!20\)\( T^{21} + \)\(60\!\cdots\!62\)\( T^{22} - \)\(10\!\cdots\!38\)\( T^{23} + \)\(10\!\cdots\!69\)\( T^{24} + \)\(32\!\cdots\!72\)\( T^{25} + \)\(16\!\cdots\!19\)\( T^{26} + \)\(12\!\cdots\!81\)\( T^{27} + \)\(24\!\cdots\!58\)\( T^{28} + \)\(29\!\cdots\!91\)\( T^{29} + \)\(34\!\cdots\!48\)\( T^{30} + \)\(53\!\cdots\!17\)\( T^{31} + \)\(44\!\cdots\!51\)\( T^{32} + \)\(83\!\cdots\!26\)\( T^{33} + \)\(54\!\cdots\!35\)\( T^{34} + \)\(11\!\cdots\!27\)\( T^{35} + \)\(63\!\cdots\!52\)\( T^{36} + \)\(15\!\cdots\!42\)\( T^{37} + \)\(88\!\cdots\!29\)\( p T^{38} + \)\(18\!\cdots\!85\)\( T^{39} + \)\(72\!\cdots\!24\)\( T^{40} + \)\(19\!\cdots\!67\)\( T^{41} + \)\(71\!\cdots\!02\)\( T^{42} + \)\(20\!\cdots\!24\)\( T^{43} + \)\(67\!\cdots\!09\)\( T^{44} + \)\(19\!\cdots\!55\)\( T^{45} + \)\(60\!\cdots\!49\)\( T^{46} + \)\(17\!\cdots\!43\)\( T^{47} + \)\(51\!\cdots\!46\)\( T^{48} + \)\(14\!\cdots\!55\)\( T^{49} + \)\(41\!\cdots\!62\)\( T^{50} + \)\(14\!\cdots\!55\)\( p T^{51} + \)\(51\!\cdots\!46\)\( p^{2} T^{52} + \)\(17\!\cdots\!43\)\( p^{3} T^{53} + \)\(60\!\cdots\!49\)\( p^{4} T^{54} + \)\(19\!\cdots\!55\)\( p^{5} T^{55} + \)\(67\!\cdots\!09\)\( p^{6} T^{56} + \)\(20\!\cdots\!24\)\( p^{7} T^{57} + \)\(71\!\cdots\!02\)\( p^{8} T^{58} + \)\(19\!\cdots\!67\)\( p^{9} T^{59} + \)\(72\!\cdots\!24\)\( p^{10} T^{60} + \)\(18\!\cdots\!85\)\( p^{11} T^{61} + \)\(88\!\cdots\!29\)\( p^{13} T^{62} + \)\(15\!\cdots\!42\)\( p^{13} T^{63} + \)\(63\!\cdots\!52\)\( p^{14} T^{64} + \)\(11\!\cdots\!27\)\( p^{15} T^{65} + \)\(54\!\cdots\!35\)\( p^{16} T^{66} + \)\(83\!\cdots\!26\)\( p^{17} T^{67} + \)\(44\!\cdots\!51\)\( p^{18} T^{68} + \)\(53\!\cdots\!17\)\( p^{19} T^{69} + \)\(34\!\cdots\!48\)\( p^{20} T^{70} + \)\(29\!\cdots\!91\)\( p^{21} T^{71} + \)\(24\!\cdots\!58\)\( p^{22} T^{72} + \)\(12\!\cdots\!81\)\( p^{23} T^{73} + \)\(16\!\cdots\!19\)\( p^{24} T^{74} + \)\(32\!\cdots\!72\)\( p^{25} T^{75} + \)\(10\!\cdots\!69\)\( p^{26} T^{76} - \)\(10\!\cdots\!38\)\( p^{27} T^{77} + \)\(60\!\cdots\!62\)\( p^{28} T^{78} - \)\(22\!\cdots\!20\)\( p^{29} T^{79} + \)\(32\!\cdots\!11\)\( p^{30} T^{80} - \)\(19\!\cdots\!70\)\( p^{31} T^{81} + \)\(15\!\cdots\!41\)\( p^{32} T^{82} - \)\(12\!\cdots\!37\)\( p^{33} T^{83} + \)\(68\!\cdots\!27\)\( p^{34} T^{84} - 64462373944289013379 p^{35} T^{85} + 27037676305529556305 p^{36} T^{86} - 277744564496782999 p^{37} T^{87} + 93067194610247146 p^{38} T^{88} - 991463241694572 p^{39} T^{89} + 275395442084251 p^{40} T^{90} - 2881974733374 p^{41} T^{91} + 680973985722 p^{42} T^{92} - 6593939648 p^{43} T^{93} + 1350499977 p^{44} T^{94} - 11185597 p^{45} T^{95} + 2013328 p^{46} T^{96} - 12548 p^{47} T^{97} + 2005 p^{48} T^{98} - 7 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
83 \( 1 + T + 2194 T^{2} + 4108 T^{3} + 2412101 T^{4} + 6499374 T^{5} + 1773710196 T^{6} + 6142459035 T^{7} + 982141842112 T^{8} + 4100128613812 T^{9} + 437009569361682 T^{10} + 2109125411089860 T^{11} + 162793866453333577 T^{12} + 881590226713430209 T^{13} + 52218841089641695993 T^{14} + \)\(31\!\cdots\!81\)\( T^{15} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( T^{16} + \)\(94\!\cdots\!42\)\( T^{17} + \)\(37\!\cdots\!20\)\( T^{18} + \)\(25\!\cdots\!41\)\( T^{19} + \)\(84\!\cdots\!62\)\( T^{20} + \)\(59\!\cdots\!61\)\( T^{21} + \)\(17\!\cdots\!63\)\( T^{22} + \)\(12\!\cdots\!05\)\( T^{23} + \)\(33\!\cdots\!68\)\( T^{24} + \)\(25\!\cdots\!56\)\( T^{25} + \)\(58\!\cdots\!93\)\( T^{26} + \)\(45\!\cdots\!09\)\( T^{27} + \)\(95\!\cdots\!70\)\( T^{28} + \)\(75\!\cdots\!17\)\( T^{29} + \)\(14\!\cdots\!65\)\( T^{30} + \)\(11\!\cdots\!70\)\( T^{31} + \)\(20\!\cdots\!61\)\( T^{32} + \)\(16\!\cdots\!02\)\( T^{33} + \)\(27\!\cdots\!25\)\( T^{34} + \)\(22\!\cdots\!74\)\( T^{35} + \)\(34\!\cdots\!71\)\( T^{36} + \)\(27\!\cdots\!30\)\( T^{37} + \)\(41\!\cdots\!63\)\( T^{38} + \)\(32\!\cdots\!32\)\( T^{39} + \)\(46\!\cdots\!52\)\( T^{40} + \)\(35\!\cdots\!56\)\( T^{41} + \)\(48\!\cdots\!61\)\( T^{42} + \)\(44\!\cdots\!73\)\( p T^{43} + \)\(48\!\cdots\!21\)\( T^{44} + \)\(36\!\cdots\!58\)\( T^{45} + \)\(46\!\cdots\!68\)\( T^{46} + \)\(34\!\cdots\!86\)\( T^{47} + \)\(41\!\cdots\!76\)\( T^{48} + \)\(29\!\cdots\!62\)\( T^{49} + \)\(35\!\cdots\!66\)\( T^{50} + \)\(29\!\cdots\!62\)\( p T^{51} + \)\(41\!\cdots\!76\)\( p^{2} T^{52} + \)\(34\!\cdots\!86\)\( p^{3} T^{53} + \)\(46\!\cdots\!68\)\( p^{4} T^{54} + \)\(36\!\cdots\!58\)\( p^{5} T^{55} + \)\(48\!\cdots\!21\)\( p^{6} T^{56} + \)\(44\!\cdots\!73\)\( p^{8} T^{57} + \)\(48\!\cdots\!61\)\( p^{8} T^{58} + \)\(35\!\cdots\!56\)\( p^{9} T^{59} + \)\(46\!\cdots\!52\)\( p^{10} T^{60} + \)\(32\!\cdots\!32\)\( p^{11} T^{61} + \)\(41\!\cdots\!63\)\( p^{12} T^{62} + \)\(27\!\cdots\!30\)\( p^{13} T^{63} + \)\(34\!\cdots\!71\)\( p^{14} T^{64} + \)\(22\!\cdots\!74\)\( p^{15} T^{65} + \)\(27\!\cdots\!25\)\( p^{16} T^{66} + \)\(16\!\cdots\!02\)\( p^{17} T^{67} + \)\(20\!\cdots\!61\)\( p^{18} T^{68} + \)\(11\!\cdots\!70\)\( p^{19} T^{69} + \)\(14\!\cdots\!65\)\( p^{20} T^{70} + \)\(75\!\cdots\!17\)\( p^{21} T^{71} + \)\(95\!\cdots\!70\)\( p^{22} T^{72} + \)\(45\!\cdots\!09\)\( p^{23} T^{73} + \)\(58\!\cdots\!93\)\( p^{24} T^{74} + \)\(25\!\cdots\!56\)\( p^{25} T^{75} + \)\(33\!\cdots\!68\)\( p^{26} T^{76} + \)\(12\!\cdots\!05\)\( p^{27} T^{77} + \)\(17\!\cdots\!63\)\( p^{28} T^{78} + \)\(59\!\cdots\!61\)\( p^{29} T^{79} + \)\(84\!\cdots\!62\)\( p^{30} T^{80} + \)\(25\!\cdots\!41\)\( p^{31} T^{81} + \)\(37\!\cdots\!20\)\( p^{32} T^{82} + \)\(94\!\cdots\!42\)\( p^{33} T^{83} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( p^{34} T^{84} + \)\(31\!\cdots\!81\)\( p^{35} T^{85} + 52218841089641695993 p^{36} T^{86} + 881590226713430209 p^{37} T^{87} + 162793866453333577 p^{38} T^{88} + 2109125411089860 p^{39} T^{89} + 437009569361682 p^{40} T^{90} + 4100128613812 p^{41} T^{91} + 982141842112 p^{42} T^{92} + 6142459035 p^{43} T^{93} + 1773710196 p^{44} T^{94} + 6499374 p^{45} T^{95} + 2412101 p^{46} T^{96} + 4108 p^{47} T^{97} + 2194 p^{48} T^{98} + p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
89 \( 1 - 19 T + 2664 T^{2} - 48709 T^{3} + 3536567 T^{4} - 62343574 T^{5} + 3120350221 T^{6} - 53115998714 T^{7} + 2058844287945 T^{8} - 33886294168795 T^{9} + 1083682695829938 T^{10} - 17264610206239470 T^{11} + 473983990086692321 T^{12} - 7315994777159624768 T^{13} + \)\(17\!\cdots\!42\)\( T^{14} - \)\(26\!\cdots\!32\)\( T^{15} + \)\(57\!\cdots\!45\)\( T^{16} - \)\(83\!\cdots\!93\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!68\)\( T^{18} - \)\(23\!\cdots\!38\)\( T^{19} + \)\(43\!\cdots\!45\)\( T^{20} - \)\(59\!\cdots\!50\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!70\)\( T^{22} - \)\(13\!\cdots\!89\)\( T^{23} + \)\(21\!\cdots\!11\)\( T^{24} - \)\(28\!\cdots\!19\)\( T^{25} + \)\(42\!\cdots\!90\)\( T^{26} - \)\(53\!\cdots\!11\)\( T^{27} + \)\(77\!\cdots\!57\)\( T^{28} - \)\(95\!\cdots\!16\)\( T^{29} + \)\(13\!\cdots\!78\)\( T^{30} - \)\(15\!\cdots\!81\)\( T^{31} + \)\(20\!\cdots\!65\)\( T^{32} - \)\(23\!\cdots\!83\)\( T^{33} + \)\(30\!\cdots\!97\)\( T^{34} - \)\(34\!\cdots\!72\)\( T^{35} + \)\(41\!\cdots\!27\)\( T^{36} - \)\(45\!\cdots\!36\)\( T^{37} + \)\(53\!\cdots\!99\)\( T^{38} - \)\(57\!\cdots\!34\)\( T^{39} + \)\(65\!\cdots\!39\)\( T^{40} - \)\(68\!\cdots\!87\)\( T^{41} + \)\(75\!\cdots\!43\)\( T^{42} - \)\(76\!\cdots\!34\)\( T^{43} + \)\(81\!\cdots\!33\)\( T^{44} - \)\(80\!\cdots\!21\)\( T^{45} + \)\(83\!\cdots\!97\)\( T^{46} - \)\(80\!\cdots\!03\)\( T^{47} + \)\(80\!\cdots\!56\)\( T^{48} - \)\(75\!\cdots\!72\)\( T^{49} + \)\(74\!\cdots\!02\)\( T^{50} - \)\(75\!\cdots\!72\)\( p T^{51} + \)\(80\!\cdots\!56\)\( p^{2} T^{52} - \)\(80\!\cdots\!03\)\( p^{3} T^{53} + \)\(83\!\cdots\!97\)\( p^{4} T^{54} - \)\(80\!\cdots\!21\)\( p^{5} T^{55} + \)\(81\!\cdots\!33\)\( p^{6} T^{56} - \)\(76\!\cdots\!34\)\( p^{7} T^{57} + \)\(75\!\cdots\!43\)\( p^{8} T^{58} - \)\(68\!\cdots\!87\)\( p^{9} T^{59} + \)\(65\!\cdots\!39\)\( p^{10} T^{60} - \)\(57\!\cdots\!34\)\( p^{11} T^{61} + \)\(53\!\cdots\!99\)\( p^{12} T^{62} - \)\(45\!\cdots\!36\)\( p^{13} T^{63} + \)\(41\!\cdots\!27\)\( p^{14} T^{64} - \)\(34\!\cdots\!72\)\( p^{15} T^{65} + \)\(30\!\cdots\!97\)\( p^{16} T^{66} - \)\(23\!\cdots\!83\)\( p^{17} T^{67} + \)\(20\!\cdots\!65\)\( p^{18} T^{68} - \)\(15\!\cdots\!81\)\( p^{19} T^{69} + \)\(13\!\cdots\!78\)\( p^{20} T^{70} - \)\(95\!\cdots\!16\)\( p^{21} T^{71} + \)\(77\!\cdots\!57\)\( p^{22} T^{72} - \)\(53\!\cdots\!11\)\( p^{23} T^{73} + \)\(42\!\cdots\!90\)\( p^{24} T^{74} - \)\(28\!\cdots\!19\)\( p^{25} T^{75} + \)\(21\!\cdots\!11\)\( p^{26} T^{76} - \)\(13\!\cdots\!89\)\( p^{27} T^{77} + \)\(10\!\cdots\!70\)\( p^{28} T^{78} - \)\(59\!\cdots\!50\)\( p^{29} T^{79} + \)\(43\!\cdots\!45\)\( p^{30} T^{80} - \)\(23\!\cdots\!38\)\( p^{31} T^{81} + \)\(16\!\cdots\!68\)\( p^{32} T^{82} - \)\(83\!\cdots\!93\)\( p^{33} T^{83} + \)\(57\!\cdots\!45\)\( p^{34} T^{84} - \)\(26\!\cdots\!32\)\( p^{35} T^{85} + \)\(17\!\cdots\!42\)\( p^{36} T^{86} - 7315994777159624768 p^{37} T^{87} + 473983990086692321 p^{38} T^{88} - 17264610206239470 p^{39} T^{89} + 1083682695829938 p^{40} T^{90} - 33886294168795 p^{41} T^{91} + 2058844287945 p^{42} T^{92} - 53115998714 p^{43} T^{93} + 3120350221 p^{44} T^{94} - 62343574 p^{45} T^{95} + 3536567 p^{46} T^{96} - 48709 p^{47} T^{97} + 2664 p^{48} T^{98} - 19 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
97 \( 1 - 81 T + 6164 T^{2} - 317807 T^{3} + 15041518 T^{4} - 593038013 T^{5} + 21700648470 T^{6} - 708465700033 T^{7} + 21716930553702 T^{8} - 613313726422507 T^{9} + 16414412306825882 T^{10} - 412113562958163165 T^{11} + 9875944589010335095 T^{12} - \)\(22\!\cdots\!18\)\( T^{13} + \)\(49\!\cdots\!86\)\( T^{14} - \)\(10\!\cdots\!10\)\( T^{15} + \)\(20\!\cdots\!07\)\( T^{16} - \)\(39\!\cdots\!03\)\( T^{17} + \)\(74\!\cdots\!15\)\( T^{18} - \)\(13\!\cdots\!35\)\( T^{19} + \)\(23\!\cdots\!95\)\( T^{20} - \)\(40\!\cdots\!43\)\( T^{21} + \)\(66\!\cdots\!66\)\( T^{22} - \)\(10\!\cdots\!36\)\( T^{23} + \)\(16\!\cdots\!38\)\( T^{24} - \)\(25\!\cdots\!49\)\( T^{25} + \)\(38\!\cdots\!58\)\( T^{26} - \)\(55\!\cdots\!28\)\( T^{27} + \)\(78\!\cdots\!00\)\( T^{28} - \)\(10\!\cdots\!47\)\( T^{29} + \)\(14\!\cdots\!08\)\( T^{30} - \)\(19\!\cdots\!09\)\( T^{31} + \)\(25\!\cdots\!50\)\( T^{32} - \)\(32\!\cdots\!44\)\( T^{33} + \)\(41\!\cdots\!28\)\( T^{34} - \)\(50\!\cdots\!45\)\( T^{35} + \)\(61\!\cdots\!67\)\( T^{36} - \)\(73\!\cdots\!28\)\( T^{37} + \)\(85\!\cdots\!69\)\( T^{38} - \)\(98\!\cdots\!84\)\( T^{39} + \)\(11\!\cdots\!71\)\( T^{40} - \)\(12\!\cdots\!55\)\( T^{41} + \)\(13\!\cdots\!97\)\( T^{42} - \)\(14\!\cdots\!62\)\( T^{43} + \)\(15\!\cdots\!69\)\( T^{44} - \)\(16\!\cdots\!91\)\( T^{45} + \)\(17\!\cdots\!98\)\( T^{46} - \)\(17\!\cdots\!52\)\( T^{47} + \)\(18\!\cdots\!71\)\( T^{48} - \)\(18\!\cdots\!67\)\( T^{49} + \)\(18\!\cdots\!94\)\( T^{50} - \)\(18\!\cdots\!67\)\( p T^{51} + \)\(18\!\cdots\!71\)\( p^{2} T^{52} - \)\(17\!\cdots\!52\)\( p^{3} T^{53} + \)\(17\!\cdots\!98\)\( p^{4} T^{54} - \)\(16\!\cdots\!91\)\( p^{5} T^{55} + \)\(15\!\cdots\!69\)\( p^{6} T^{56} - \)\(14\!\cdots\!62\)\( p^{7} T^{57} + \)\(13\!\cdots\!97\)\( p^{8} T^{58} - \)\(12\!\cdots\!55\)\( p^{9} T^{59} + \)\(11\!\cdots\!71\)\( p^{10} T^{60} - \)\(98\!\cdots\!84\)\( p^{11} T^{61} + \)\(85\!\cdots\!69\)\( p^{12} T^{62} - \)\(73\!\cdots\!28\)\( p^{13} T^{63} + \)\(61\!\cdots\!67\)\( p^{14} T^{64} - \)\(50\!\cdots\!45\)\( p^{15} T^{65} + \)\(41\!\cdots\!28\)\( p^{16} T^{66} - \)\(32\!\cdots\!44\)\( p^{17} T^{67} + \)\(25\!\cdots\!50\)\( p^{18} T^{68} - \)\(19\!\cdots\!09\)\( p^{19} T^{69} + \)\(14\!\cdots\!08\)\( p^{20} T^{70} - \)\(10\!\cdots\!47\)\( p^{21} T^{71} + \)\(78\!\cdots\!00\)\( p^{22} T^{72} - \)\(55\!\cdots\!28\)\( p^{23} T^{73} + \)\(38\!\cdots\!58\)\( p^{24} T^{74} - \)\(25\!\cdots\!49\)\( p^{25} T^{75} + \)\(16\!\cdots\!38\)\( p^{26} T^{76} - \)\(10\!\cdots\!36\)\( p^{27} T^{77} + \)\(66\!\cdots\!66\)\( p^{28} T^{78} - \)\(40\!\cdots\!43\)\( p^{29} T^{79} + \)\(23\!\cdots\!95\)\( p^{30} T^{80} - \)\(13\!\cdots\!35\)\( p^{31} T^{81} + \)\(74\!\cdots\!15\)\( p^{32} T^{82} - \)\(39\!\cdots\!03\)\( p^{33} T^{83} + \)\(20\!\cdots\!07\)\( p^{34} T^{84} - \)\(10\!\cdots\!10\)\( p^{35} T^{85} + \)\(49\!\cdots\!86\)\( p^{36} T^{86} - \)\(22\!\cdots\!18\)\( p^{37} T^{87} + 9875944589010335095 p^{38} T^{88} - 412113562958163165 p^{39} T^{89} + 16414412306825882 p^{40} T^{90} - 613313726422507 p^{41} T^{91} + 21716930553702 p^{42} T^{92} - 708465700033 p^{43} T^{93} + 21700648470 p^{44} T^{94} - 593038013 p^{45} T^{95} + 15041518 p^{46} T^{96} - 317807 p^{47} T^{97} + 6164 p^{48} T^{98} - 81 p^{49} T^{99} + p^{50} T^{100} \)
show more
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\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{100} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−0.73225474071909929962841319570, −0.69853009255750439657647727298, −0.67444187286535653805058292090, −0.67363158011824553258098581111, −0.66519419146197218027975405831, −0.61498207979807457641489623108, −0.61352917675006358825260561254, −0.59525813923847470156447925414, −0.59007097301929066974401161657, −0.57638194209339431069289446824, −0.54594930717050332536777160166, −0.52995835788933192351007613501, −0.52635149899877375608417264097, −0.49470184620429845199188203372, −0.47657268867342001984958095273, −0.45652030490516711471773060352, −0.44373293668604843728629885927, −0.37904395860689514337657560141, −0.34923828408716883700221387056, −0.32450503562078242513419484490, −0.26665851485219583932389785447, −0.24693572420488352311102082588, −0.15560182174009175956941893694, −0.10934809479731050087755952967, −0.087436300995142246084970559986, 0.087436300995142246084970559986, 0.10934809479731050087755952967, 0.15560182174009175956941893694, 0.24693572420488352311102082588, 0.26665851485219583932389785447, 0.32450503562078242513419484490, 0.34923828408716883700221387056, 0.37904395860689514337657560141, 0.44373293668604843728629885927, 0.45652030490516711471773060352, 0.47657268867342001984958095273, 0.49470184620429845199188203372, 0.52635149899877375608417264097, 0.52995835788933192351007613501, 0.54594930717050332536777160166, 0.57638194209339431069289446824, 0.59007097301929066974401161657, 0.59525813923847470156447925414, 0.61352917675006358825260561254, 0.61498207979807457641489623108, 0.66519419146197218027975405831, 0.67363158011824553258098581111, 0.67444187286535653805058292090, 0.69853009255750439657647727298, 0.73225474071909929962841319570

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.