Properties

Degree 88
Conductor $ 2^{132} \cdot 751^{44} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 44

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 14·3-s + 7·5-s − 20·7-s + 51·9-s − 19·11-s − 10·13-s − 98·15-s − 16·17-s − 25·19-s + 280·21-s − 29·23-s − 71·25-s + 198·27-s + 35·29-s − 49·31-s + 266·33-s − 140·35-s − 30·37-s + 140·39-s − 14·41-s − 35·43-s + 357·45-s − 45·47-s + 56·49-s + 224·51-s + 18·53-s − 133·55-s + ⋯
L(s)  = 1  − 8.08·3-s + 3.13·5-s − 7.55·7-s + 17·9-s − 5.72·11-s − 2.77·13-s − 25.3·15-s − 3.88·17-s − 5.73·19-s + 61.1·21-s − 6.04·23-s − 14.1·25-s + 38.1·27-s + 6.49·29-s − 8.80·31-s + 46.3·33-s − 23.6·35-s − 4.93·37-s + 22.4·39-s − 2.18·41-s − 5.33·43-s + 53.2·45-s − 6.56·47-s + 8·49-s + 31.3·51-s + 2.47·53-s − 17.9·55-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{132} \cdot 751^{44}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{44} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{132} \cdot 751^{44}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{44} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

\( d \)  =  \(88\)
\( N \)  =  \(2^{132} \cdot 751^{44}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{6008} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  44
Selberg data  =  $(88,\ 2^{132} \cdot 751^{44} ,\ ( \ : [1/2]^{44} ),\ 1 )$
$L(1)$  $=$  $0$
$L(\frac12)$  $=$  $0$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \]where, for $p \notin \{2,\;751\}$,\(F_p(T)\) is a polynomial of degree 88. If $p \in \{2,\;751\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 87.
$p$$F_p(T)$
bad2 \( 1 \)
751 \( ( 1 + T )^{44} \)
good3 \( 1 + 14 T + 145 T^{2} + 1118 T^{3} + 7370 T^{4} + 42128 T^{5} + 217330 T^{6} + 340820 p T^{7} + 4463350 T^{8} + 18210106 T^{9} + 288427 p^{5} T^{10} + 28420741 p^{2} T^{11} + 296751931 p T^{12} + 2966049187 T^{13} + 9496354592 T^{14} + 29300327597 T^{15} + 87365822663 T^{16} + 252293772094 T^{17} + 707103587228 T^{18} + 642231246425 p T^{19} + 5112176884702 T^{20} + 13226811131449 T^{21} + 11137864081177 p T^{22} + 82506553674592 T^{23} + 199343772770006 T^{24} + 471688018449241 T^{25} + 1093982864268991 T^{26} + 2488782072152794 T^{27} + 5557517447240399 T^{28} + 12188518317302960 T^{29} + 26268677309346641 T^{30} + 55661192063624291 T^{31} + 116008178638122040 T^{32} + 79303799020093925 p T^{33} + 160090990074678542 p T^{34} + 954642617570774044 T^{35} + 1868940109841669408 T^{36} + 400508831036949070 p^{2} T^{37} + 6850323702587989324 T^{38} + 12830399360324567089 T^{39} + 877292037757387132 p^{3} T^{40} + 14369558668659811241 p T^{41} + 77348527502218161551 T^{42} + 15203874683987507030 p^{2} T^{43} + \)\(23\!\cdots\!40\)\( T^{44} + 15203874683987507030 p^{3} T^{45} + 77348527502218161551 p^{2} T^{46} + 14369558668659811241 p^{4} T^{47} + 877292037757387132 p^{7} T^{48} + 12830399360324567089 p^{5} T^{49} + 6850323702587989324 p^{6} T^{50} + 400508831036949070 p^{9} T^{51} + 1868940109841669408 p^{8} T^{52} + 954642617570774044 p^{9} T^{53} + 160090990074678542 p^{11} T^{54} + 79303799020093925 p^{12} T^{55} + 116008178638122040 p^{12} T^{56} + 55661192063624291 p^{13} T^{57} + 26268677309346641 p^{14} T^{58} + 12188518317302960 p^{15} T^{59} + 5557517447240399 p^{16} T^{60} + 2488782072152794 p^{17} T^{61} + 1093982864268991 p^{18} T^{62} + 471688018449241 p^{19} T^{63} + 199343772770006 p^{20} T^{64} + 82506553674592 p^{21} T^{65} + 11137864081177 p^{23} T^{66} + 13226811131449 p^{23} T^{67} + 5112176884702 p^{24} T^{68} + 642231246425 p^{26} T^{69} + 707103587228 p^{26} T^{70} + 252293772094 p^{27} T^{71} + 87365822663 p^{28} T^{72} + 29300327597 p^{29} T^{73} + 9496354592 p^{30} T^{74} + 2966049187 p^{31} T^{75} + 296751931 p^{33} T^{76} + 28420741 p^{35} T^{77} + 288427 p^{39} T^{78} + 18210106 p^{35} T^{79} + 4463350 p^{36} T^{80} + 340820 p^{38} T^{81} + 217330 p^{38} T^{82} + 42128 p^{39} T^{83} + 7370 p^{40} T^{84} + 1118 p^{41} T^{85} + 145 p^{42} T^{86} + 14 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
5 \( 1 - 7 T + 24 p T^{2} - 147 p T^{3} + 7102 T^{4} - 38899 T^{5} + 55572 p T^{6} - 276616 p T^{7} + 8111126 T^{8} - 37150409 T^{9} + 188827583 T^{10} - 803670001 T^{11} + 3656560894 T^{12} - 583071343 p^{2} T^{13} + 60630500657 T^{14} - 227869346124 T^{15} + 879198475066 T^{16} - 3132142411591 T^{17} + 11329586638171 T^{18} - 38433427721014 T^{19} + 26275099175061 p T^{20} - 426022322476266 T^{21} + 1384685282342411 T^{22} - 4306580044082367 T^{23} + 2674982169217166 p T^{24} - 8002155114652109 p T^{25} + 119204917723397684 T^{26} - 550147090946989 p^{4} T^{27} + 985930193195216044 T^{28} - 549604306059831649 p T^{29} + 7604113476815615849 T^{30} - 4103614170835693647 p T^{31} + 54913993881537264229 T^{32} - 28734601645338968842 p T^{33} + \)\(37\!\cdots\!59\)\( T^{34} - \)\(94\!\cdots\!23\)\( T^{35} + \)\(23\!\cdots\!97\)\( T^{36} - \)\(58\!\cdots\!53\)\( T^{37} + \)\(14\!\cdots\!71\)\( T^{38} - \)\(69\!\cdots\!36\)\( p T^{39} + \)\(82\!\cdots\!02\)\( T^{40} - \)\(38\!\cdots\!54\)\( p T^{41} + \)\(44\!\cdots\!71\)\( T^{42} - \)\(10\!\cdots\!06\)\( T^{43} + \)\(22\!\cdots\!28\)\( T^{44} - \)\(10\!\cdots\!06\)\( p T^{45} + \)\(44\!\cdots\!71\)\( p^{2} T^{46} - \)\(38\!\cdots\!54\)\( p^{4} T^{47} + \)\(82\!\cdots\!02\)\( p^{4} T^{48} - \)\(69\!\cdots\!36\)\( p^{6} T^{49} + \)\(14\!\cdots\!71\)\( p^{6} T^{50} - \)\(58\!\cdots\!53\)\( p^{7} T^{51} + \)\(23\!\cdots\!97\)\( p^{8} T^{52} - \)\(94\!\cdots\!23\)\( p^{9} T^{53} + \)\(37\!\cdots\!59\)\( p^{10} T^{54} - 28734601645338968842 p^{12} T^{55} + 54913993881537264229 p^{12} T^{56} - 4103614170835693647 p^{14} T^{57} + 7604113476815615849 p^{14} T^{58} - 549604306059831649 p^{16} T^{59} + 985930193195216044 p^{16} T^{60} - 550147090946989 p^{21} T^{61} + 119204917723397684 p^{18} T^{62} - 8002155114652109 p^{20} T^{63} + 2674982169217166 p^{21} T^{64} - 4306580044082367 p^{21} T^{65} + 1384685282342411 p^{22} T^{66} - 426022322476266 p^{23} T^{67} + 26275099175061 p^{25} T^{68} - 38433427721014 p^{25} T^{69} + 11329586638171 p^{26} T^{70} - 3132142411591 p^{27} T^{71} + 879198475066 p^{28} T^{72} - 227869346124 p^{29} T^{73} + 60630500657 p^{30} T^{74} - 583071343 p^{33} T^{75} + 3656560894 p^{32} T^{76} - 803670001 p^{33} T^{77} + 188827583 p^{34} T^{78} - 37150409 p^{35} T^{79} + 8111126 p^{36} T^{80} - 276616 p^{38} T^{81} + 55572 p^{39} T^{82} - 38899 p^{39} T^{83} + 7102 p^{40} T^{84} - 147 p^{42} T^{85} + 24 p^{43} T^{86} - 7 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
7 \( 1 + 20 T + 344 T^{2} + 4216 T^{3} + 45981 T^{4} + 428424 T^{5} + 522251 p T^{6} + 28254854 T^{7} + 203811974 T^{8} + 1368391963 T^{9} + 8684709636 T^{10} + 52100506575 T^{11} + 298124949797 T^{12} + 1628447179040 T^{13} + 8540475771857 T^{14} + 43049682839025 T^{15} + 209392597942006 T^{16} + 983785624968252 T^{17} + 4477485232277049 T^{18} + 2822746154453479 p T^{19} + 84731948712193255 T^{20} + 50481117324896063 p T^{21} + 1435622769817671123 T^{22} + 5685924821167155296 T^{23} + 3140465616794198033 p T^{24} + 11860012427255683820 p T^{25} + 43797496624871320644 p T^{26} + \)\(11\!\cdots\!46\)\( T^{27} + \)\(55\!\cdots\!87\)\( p T^{28} + \)\(13\!\cdots\!35\)\( T^{29} + \)\(46\!\cdots\!84\)\( T^{30} + \)\(15\!\cdots\!55\)\( T^{31} + \)\(50\!\cdots\!90\)\( T^{32} + \)\(16\!\cdots\!95\)\( T^{33} + \)\(50\!\cdots\!61\)\( T^{34} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( T^{35} + \)\(48\!\cdots\!32\)\( T^{36} + \)\(14\!\cdots\!28\)\( T^{37} + \)\(42\!\cdots\!42\)\( T^{38} + \)\(12\!\cdots\!93\)\( T^{39} + \)\(71\!\cdots\!34\)\( p^{2} T^{40} + \)\(97\!\cdots\!61\)\( T^{41} + \)\(26\!\cdots\!27\)\( T^{42} + \)\(10\!\cdots\!62\)\( p T^{43} + \)\(19\!\cdots\!52\)\( T^{44} + \)\(10\!\cdots\!62\)\( p^{2} T^{45} + \)\(26\!\cdots\!27\)\( p^{2} T^{46} + \)\(97\!\cdots\!61\)\( p^{3} T^{47} + \)\(71\!\cdots\!34\)\( p^{6} T^{48} + \)\(12\!\cdots\!93\)\( p^{5} T^{49} + \)\(42\!\cdots\!42\)\( p^{6} T^{50} + \)\(14\!\cdots\!28\)\( p^{7} T^{51} + \)\(48\!\cdots\!32\)\( p^{8} T^{52} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( p^{9} T^{53} + \)\(50\!\cdots\!61\)\( p^{10} T^{54} + \)\(16\!\cdots\!95\)\( p^{11} T^{55} + \)\(50\!\cdots\!90\)\( p^{12} T^{56} + \)\(15\!\cdots\!55\)\( p^{13} T^{57} + \)\(46\!\cdots\!84\)\( p^{14} T^{58} + \)\(13\!\cdots\!35\)\( p^{15} T^{59} + \)\(55\!\cdots\!87\)\( p^{17} T^{60} + \)\(11\!\cdots\!46\)\( p^{17} T^{61} + 43797496624871320644 p^{19} T^{62} + 11860012427255683820 p^{20} T^{63} + 3140465616794198033 p^{21} T^{64} + 5685924821167155296 p^{21} T^{65} + 1435622769817671123 p^{22} T^{66} + 50481117324896063 p^{24} T^{67} + 84731948712193255 p^{24} T^{68} + 2822746154453479 p^{26} T^{69} + 4477485232277049 p^{26} T^{70} + 983785624968252 p^{27} T^{71} + 209392597942006 p^{28} T^{72} + 43049682839025 p^{29} T^{73} + 8540475771857 p^{30} T^{74} + 1628447179040 p^{31} T^{75} + 298124949797 p^{32} T^{76} + 52100506575 p^{33} T^{77} + 8684709636 p^{34} T^{78} + 1368391963 p^{35} T^{79} + 203811974 p^{36} T^{80} + 28254854 p^{37} T^{81} + 522251 p^{39} T^{82} + 428424 p^{39} T^{83} + 45981 p^{40} T^{84} + 4216 p^{41} T^{85} + 344 p^{42} T^{86} + 20 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
11 \( 1 + 19 T + 411 T^{2} + 494 p T^{3} + 71734 T^{4} + 749559 T^{5} + 7606351 T^{6} + 66930571 T^{7} + 568569433 T^{8} + 4374912530 T^{9} + 32506944020 T^{10} + 224232804625 T^{11} + 1496839126988 T^{12} + 9420655790867 T^{13} + 57528426652448 T^{14} + 334706601131190 T^{15} + 1894426983894998 T^{16} + 10292823012927236 T^{17} + 4957759867922089 p T^{18} + 278937081965414377 T^{19} + 1394357590223310396 T^{20} + 6757951985893357963 T^{21} + 32073522268231484092 T^{22} + \)\(14\!\cdots\!67\)\( T^{23} + \)\(67\!\cdots\!68\)\( T^{24} + \)\(29\!\cdots\!68\)\( T^{25} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{26} + \)\(54\!\cdots\!15\)\( T^{27} + \)\(22\!\cdots\!66\)\( T^{28} + \)\(93\!\cdots\!21\)\( T^{29} + \)\(37\!\cdots\!57\)\( T^{30} + \)\(14\!\cdots\!36\)\( T^{31} + \)\(58\!\cdots\!83\)\( T^{32} + \)\(22\!\cdots\!91\)\( T^{33} + \)\(76\!\cdots\!86\)\( p T^{34} + \)\(31\!\cdots\!26\)\( T^{35} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( T^{36} + \)\(42\!\cdots\!41\)\( T^{37} + \)\(15\!\cdots\!21\)\( T^{38} + \)\(53\!\cdots\!82\)\( T^{39} + \)\(18\!\cdots\!85\)\( T^{40} + \)\(64\!\cdots\!86\)\( T^{41} + \)\(22\!\cdots\!31\)\( T^{42} + \)\(74\!\cdots\!74\)\( T^{43} + \)\(24\!\cdots\!80\)\( T^{44} + \)\(74\!\cdots\!74\)\( p T^{45} + \)\(22\!\cdots\!31\)\( p^{2} T^{46} + \)\(64\!\cdots\!86\)\( p^{3} T^{47} + \)\(18\!\cdots\!85\)\( p^{4} T^{48} + \)\(53\!\cdots\!82\)\( p^{5} T^{49} + \)\(15\!\cdots\!21\)\( p^{6} T^{50} + \)\(42\!\cdots\!41\)\( p^{7} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( p^{8} T^{52} + \)\(31\!\cdots\!26\)\( p^{9} T^{53} + \)\(76\!\cdots\!86\)\( p^{11} T^{54} + \)\(22\!\cdots\!91\)\( p^{11} T^{55} + \)\(58\!\cdots\!83\)\( p^{12} T^{56} + \)\(14\!\cdots\!36\)\( p^{13} T^{57} + \)\(37\!\cdots\!57\)\( p^{14} T^{58} + \)\(93\!\cdots\!21\)\( p^{15} T^{59} + \)\(22\!\cdots\!66\)\( p^{16} T^{60} + \)\(54\!\cdots\!15\)\( p^{17} T^{61} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( p^{18} T^{62} + \)\(29\!\cdots\!68\)\( p^{19} T^{63} + \)\(67\!\cdots\!68\)\( p^{20} T^{64} + \)\(14\!\cdots\!67\)\( p^{21} T^{65} + 32073522268231484092 p^{22} T^{66} + 6757951985893357963 p^{23} T^{67} + 1394357590223310396 p^{24} T^{68} + 278937081965414377 p^{25} T^{69} + 4957759867922089 p^{27} T^{70} + 10292823012927236 p^{27} T^{71} + 1894426983894998 p^{28} T^{72} + 334706601131190 p^{29} T^{73} + 57528426652448 p^{30} T^{74} + 9420655790867 p^{31} T^{75} + 1496839126988 p^{32} T^{76} + 224232804625 p^{33} T^{77} + 32506944020 p^{34} T^{78} + 4374912530 p^{35} T^{79} + 568569433 p^{36} T^{80} + 66930571 p^{37} T^{81} + 7606351 p^{38} T^{82} + 749559 p^{39} T^{83} + 71734 p^{40} T^{84} + 494 p^{42} T^{85} + 411 p^{42} T^{86} + 19 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
13 \( 1 + 10 T + 327 T^{2} + 2958 T^{3} + 53302 T^{4} + 441198 T^{5} + 5775959 T^{6} + 44173322 T^{7} + 468228261 T^{8} + 256582689 p T^{9} + 30294814573 T^{10} + 202407785530 T^{11} + 1629852313641 T^{12} + 10272073599449 T^{13} + 74999756608094 T^{14} + 448067790304288 T^{15} + 3013350706601434 T^{16} + 17136178487055052 T^{17} + 107377254649627389 T^{18} + 583309165672082099 T^{19} + 264251267272643454 p T^{20} + 17880819679305074702 T^{21} + 99640915898738130973 T^{22} + \)\(49\!\cdots\!41\)\( T^{23} + \)\(26\!\cdots\!43\)\( T^{24} + \)\(12\!\cdots\!06\)\( T^{25} + \)\(64\!\cdots\!71\)\( T^{26} + \)\(29\!\cdots\!87\)\( T^{27} + \)\(14\!\cdots\!47\)\( T^{28} + \)\(65\!\cdots\!96\)\( T^{29} + \)\(30\!\cdots\!19\)\( T^{30} + \)\(13\!\cdots\!38\)\( T^{31} + \)\(59\!\cdots\!02\)\( T^{32} + \)\(24\!\cdots\!81\)\( T^{33} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( T^{34} + \)\(44\!\cdots\!88\)\( T^{35} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{36} + \)\(73\!\cdots\!56\)\( T^{37} + \)\(29\!\cdots\!95\)\( T^{38} + \)\(11\!\cdots\!50\)\( T^{39} + \)\(44\!\cdots\!06\)\( T^{40} + \)\(16\!\cdots\!83\)\( T^{41} + \)\(49\!\cdots\!67\)\( p T^{42} + \)\(23\!\cdots\!05\)\( T^{43} + \)\(85\!\cdots\!49\)\( T^{44} + \)\(23\!\cdots\!05\)\( p T^{45} + \)\(49\!\cdots\!67\)\( p^{3} T^{46} + \)\(16\!\cdots\!83\)\( p^{3} T^{47} + \)\(44\!\cdots\!06\)\( p^{4} T^{48} + \)\(11\!\cdots\!50\)\( p^{5} T^{49} + \)\(29\!\cdots\!95\)\( p^{6} T^{50} + \)\(73\!\cdots\!56\)\( p^{7} T^{51} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( p^{8} T^{52} + \)\(44\!\cdots\!88\)\( p^{9} T^{53} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{54} + \)\(24\!\cdots\!81\)\( p^{11} T^{55} + \)\(59\!\cdots\!02\)\( p^{12} T^{56} + \)\(13\!\cdots\!38\)\( p^{13} T^{57} + \)\(30\!\cdots\!19\)\( p^{14} T^{58} + \)\(65\!\cdots\!96\)\( p^{15} T^{59} + \)\(14\!\cdots\!47\)\( p^{16} T^{60} + \)\(29\!\cdots\!87\)\( p^{17} T^{61} + \)\(64\!\cdots\!71\)\( p^{18} T^{62} + \)\(12\!\cdots\!06\)\( p^{19} T^{63} + \)\(26\!\cdots\!43\)\( p^{20} T^{64} + \)\(49\!\cdots\!41\)\( p^{21} T^{65} + 99640915898738130973 p^{22} T^{66} + 17880819679305074702 p^{23} T^{67} + 264251267272643454 p^{25} T^{68} + 583309165672082099 p^{25} T^{69} + 107377254649627389 p^{26} T^{70} + 17136178487055052 p^{27} T^{71} + 3013350706601434 p^{28} T^{72} + 448067790304288 p^{29} T^{73} + 74999756608094 p^{30} T^{74} + 10272073599449 p^{31} T^{75} + 1629852313641 p^{32} T^{76} + 202407785530 p^{33} T^{77} + 30294814573 p^{34} T^{78} + 256582689 p^{36} T^{79} + 468228261 p^{36} T^{80} + 44173322 p^{37} T^{81} + 5775959 p^{38} T^{82} + 441198 p^{39} T^{83} + 53302 p^{40} T^{84} + 2958 p^{41} T^{85} + 327 p^{42} T^{86} + 10 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
17 \( 1 + 16 T + 500 T^{2} + 6428 T^{3} + 6845 p T^{4} + 1270341 T^{5} + 17222018 T^{6} + 165203854 T^{7} + 108748486 p T^{8} + 15946118972 T^{9} + 154869164114 T^{10} + 1221105998952 T^{11} + 10607911873978 T^{12} + 4553267000701 p T^{13} + 613643161014672 T^{14} + 4183538214487573 T^{15} + 30699453813107487 T^{16} + 197026062960696174 T^{17} + 1352564373468714023 T^{18} + 8221999014222713292 T^{19} + 53238143798083018787 T^{20} + \)\(30\!\cdots\!07\)\( T^{21} + \)\(18\!\cdots\!25\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!93\)\( T^{23} + \)\(36\!\cdots\!91\)\( p T^{24} + \)\(32\!\cdots\!66\)\( T^{25} + \)\(18\!\cdots\!49\)\( T^{26} + \)\(93\!\cdots\!32\)\( T^{27} + \)\(50\!\cdots\!82\)\( T^{28} + \)\(25\!\cdots\!20\)\( T^{29} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{30} + \)\(62\!\cdots\!03\)\( T^{31} + \)\(31\!\cdots\!42\)\( T^{32} + \)\(14\!\cdots\!85\)\( T^{33} + \)\(71\!\cdots\!34\)\( T^{34} + \)\(32\!\cdots\!74\)\( T^{35} + \)\(90\!\cdots\!06\)\( p T^{36} + \)\(67\!\cdots\!04\)\( T^{37} + \)\(31\!\cdots\!04\)\( T^{38} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{39} + \)\(59\!\cdots\!45\)\( T^{40} + \)\(14\!\cdots\!24\)\( p T^{41} + \)\(64\!\cdots\!53\)\( p T^{42} + \)\(44\!\cdots\!53\)\( T^{43} + \)\(19\!\cdots\!44\)\( T^{44} + \)\(44\!\cdots\!53\)\( p T^{45} + \)\(64\!\cdots\!53\)\( p^{3} T^{46} + \)\(14\!\cdots\!24\)\( p^{4} T^{47} + \)\(59\!\cdots\!45\)\( p^{4} T^{48} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( p^{5} T^{49} + \)\(31\!\cdots\!04\)\( p^{6} T^{50} + \)\(67\!\cdots\!04\)\( p^{7} T^{51} + \)\(90\!\cdots\!06\)\( p^{9} T^{52} + \)\(32\!\cdots\!74\)\( p^{9} T^{53} + \)\(71\!\cdots\!34\)\( p^{10} T^{54} + \)\(14\!\cdots\!85\)\( p^{11} T^{55} + \)\(31\!\cdots\!42\)\( p^{12} T^{56} + \)\(62\!\cdots\!03\)\( p^{13} T^{57} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( p^{14} T^{58} + \)\(25\!\cdots\!20\)\( p^{15} T^{59} + \)\(50\!\cdots\!82\)\( p^{16} T^{60} + \)\(93\!\cdots\!32\)\( p^{17} T^{61} + \)\(18\!\cdots\!49\)\( p^{18} T^{62} + \)\(32\!\cdots\!66\)\( p^{19} T^{63} + \)\(36\!\cdots\!91\)\( p^{21} T^{64} + \)\(10\!\cdots\!93\)\( p^{21} T^{65} + \)\(18\!\cdots\!25\)\( p^{22} T^{66} + \)\(30\!\cdots\!07\)\( p^{23} T^{67} + 53238143798083018787 p^{24} T^{68} + 8221999014222713292 p^{25} T^{69} + 1352564373468714023 p^{26} T^{70} + 197026062960696174 p^{27} T^{71} + 30699453813107487 p^{28} T^{72} + 4183538214487573 p^{29} T^{73} + 613643161014672 p^{30} T^{74} + 4553267000701 p^{32} T^{75} + 10607911873978 p^{32} T^{76} + 1221105998952 p^{33} T^{77} + 154869164114 p^{34} T^{78} + 15946118972 p^{35} T^{79} + 108748486 p^{37} T^{80} + 165203854 p^{37} T^{81} + 17222018 p^{38} T^{82} + 1270341 p^{39} T^{83} + 6845 p^{41} T^{84} + 6428 p^{41} T^{85} + 500 p^{42} T^{86} + 16 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
19 \( 1 + 25 T + 747 T^{2} + 13265 T^{3} + 241810 T^{4} + 3433362 T^{5} + 48204457 T^{6} + 580895669 T^{7} + 6843299099 T^{8} + 72508922446 T^{9} + 748621008198 T^{10} + 7137171995718 T^{11} + 66284437022011 T^{12} + 577835378910278 T^{13} + 4911149408770784 T^{14} + 39611293431874685 T^{15} + 311875825259324725 T^{16} + 2348259246568232260 T^{17} + 17283183039524474131 T^{18} + \)\(12\!\cdots\!83\)\( T^{19} + \)\(84\!\cdots\!78\)\( T^{20} + \)\(56\!\cdots\!99\)\( T^{21} + \)\(37\!\cdots\!26\)\( T^{22} + \)\(23\!\cdots\!46\)\( T^{23} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( T^{24} + \)\(89\!\cdots\!60\)\( T^{25} + \)\(53\!\cdots\!57\)\( T^{26} + \)\(30\!\cdots\!54\)\( T^{27} + \)\(17\!\cdots\!73\)\( T^{28} + \)\(97\!\cdots\!38\)\( T^{29} + \)\(53\!\cdots\!64\)\( T^{30} + \)\(28\!\cdots\!00\)\( T^{31} + \)\(15\!\cdots\!77\)\( T^{32} + \)\(78\!\cdots\!00\)\( T^{33} + \)\(39\!\cdots\!88\)\( T^{34} + \)\(19\!\cdots\!23\)\( T^{35} + \)\(98\!\cdots\!80\)\( T^{36} + \)\(47\!\cdots\!80\)\( T^{37} + \)\(22\!\cdots\!67\)\( T^{38} + \)\(56\!\cdots\!57\)\( p T^{39} + \)\(49\!\cdots\!21\)\( T^{40} + \)\(22\!\cdots\!51\)\( T^{41} + \)\(10\!\cdots\!02\)\( T^{42} + \)\(45\!\cdots\!73\)\( T^{43} + \)\(20\!\cdots\!02\)\( T^{44} + \)\(45\!\cdots\!73\)\( p T^{45} + \)\(10\!\cdots\!02\)\( p^{2} T^{46} + \)\(22\!\cdots\!51\)\( p^{3} T^{47} + \)\(49\!\cdots\!21\)\( p^{4} T^{48} + \)\(56\!\cdots\!57\)\( p^{6} T^{49} + \)\(22\!\cdots\!67\)\( p^{6} T^{50} + \)\(47\!\cdots\!80\)\( p^{7} T^{51} + \)\(98\!\cdots\!80\)\( p^{8} T^{52} + \)\(19\!\cdots\!23\)\( p^{9} T^{53} + \)\(39\!\cdots\!88\)\( p^{10} T^{54} + \)\(78\!\cdots\!00\)\( p^{11} T^{55} + \)\(15\!\cdots\!77\)\( p^{12} T^{56} + \)\(28\!\cdots\!00\)\( p^{13} T^{57} + \)\(53\!\cdots\!64\)\( p^{14} T^{58} + \)\(97\!\cdots\!38\)\( p^{15} T^{59} + \)\(17\!\cdots\!73\)\( p^{16} T^{60} + \)\(30\!\cdots\!54\)\( p^{17} T^{61} + \)\(53\!\cdots\!57\)\( p^{18} T^{62} + \)\(89\!\cdots\!60\)\( p^{19} T^{63} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( p^{20} T^{64} + \)\(23\!\cdots\!46\)\( p^{21} T^{65} + \)\(37\!\cdots\!26\)\( p^{22} T^{66} + \)\(56\!\cdots\!99\)\( p^{23} T^{67} + \)\(84\!\cdots\!78\)\( p^{24} T^{68} + \)\(12\!\cdots\!83\)\( p^{25} T^{69} + 17283183039524474131 p^{26} T^{70} + 2348259246568232260 p^{27} T^{71} + 311875825259324725 p^{28} T^{72} + 39611293431874685 p^{29} T^{73} + 4911149408770784 p^{30} T^{74} + 577835378910278 p^{31} T^{75} + 66284437022011 p^{32} T^{76} + 7137171995718 p^{33} T^{77} + 748621008198 p^{34} T^{78} + 72508922446 p^{35} T^{79} + 6843299099 p^{36} T^{80} + 580895669 p^{37} T^{81} + 48204457 p^{38} T^{82} + 3433362 p^{39} T^{83} + 241810 p^{40} T^{84} + 13265 p^{41} T^{85} + 747 p^{42} T^{86} + 25 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
23 \( 1 + 29 T + 891 T^{2} + 758 p T^{3} + 330440 T^{4} + 5060360 T^{5} + 74137876 T^{6} + 952735960 T^{7} + 11723966224 T^{8} + 131583176757 T^{9} + 1419394748301 T^{10} + 14275507710249 T^{11} + 6023847712452 p T^{12} + 1271253950576027 T^{13} + 11297950328590908 T^{14} + 95833201330456179 T^{15} + 789956535771934355 T^{16} + 6258095056709779354 T^{17} + 2100802881717419016 p T^{18} + \)\(36\!\cdots\!16\)\( T^{19} + \)\(26\!\cdots\!11\)\( T^{20} + \)\(18\!\cdots\!29\)\( T^{21} + \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{22} + \)\(86\!\cdots\!37\)\( T^{23} + \)\(57\!\cdots\!51\)\( T^{24} + \)\(37\!\cdots\!02\)\( T^{25} + \)\(23\!\cdots\!70\)\( T^{26} + \)\(14\!\cdots\!78\)\( T^{27} + \)\(89\!\cdots\!16\)\( T^{28} + \)\(53\!\cdots\!04\)\( T^{29} + \)\(31\!\cdots\!79\)\( T^{30} + \)\(18\!\cdots\!45\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!83\)\( T^{32} + \)\(58\!\cdots\!27\)\( T^{33} + \)\(32\!\cdots\!23\)\( T^{34} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( T^{35} + \)\(95\!\cdots\!49\)\( T^{36} + \)\(50\!\cdots\!98\)\( T^{37} + \)\(26\!\cdots\!19\)\( T^{38} + \)\(13\!\cdots\!13\)\( T^{39} + \)\(69\!\cdots\!12\)\( T^{40} + \)\(34\!\cdots\!73\)\( T^{41} + \)\(17\!\cdots\!49\)\( T^{42} + \)\(84\!\cdots\!44\)\( T^{43} + \)\(40\!\cdots\!64\)\( T^{44} + \)\(84\!\cdots\!44\)\( p T^{45} + \)\(17\!\cdots\!49\)\( p^{2} T^{46} + \)\(34\!\cdots\!73\)\( p^{3} T^{47} + \)\(69\!\cdots\!12\)\( p^{4} T^{48} + \)\(13\!\cdots\!13\)\( p^{5} T^{49} + \)\(26\!\cdots\!19\)\( p^{6} T^{50} + \)\(50\!\cdots\!98\)\( p^{7} T^{51} + \)\(95\!\cdots\!49\)\( p^{8} T^{52} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( p^{9} T^{53} + \)\(32\!\cdots\!23\)\( p^{10} T^{54} + \)\(58\!\cdots\!27\)\( p^{11} T^{55} + \)\(10\!\cdots\!83\)\( p^{12} T^{56} + \)\(18\!\cdots\!45\)\( p^{13} T^{57} + \)\(31\!\cdots\!79\)\( p^{14} T^{58} + \)\(53\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{59} + \)\(89\!\cdots\!16\)\( p^{16} T^{60} + \)\(14\!\cdots\!78\)\( p^{17} T^{61} + \)\(23\!\cdots\!70\)\( p^{18} T^{62} + \)\(37\!\cdots\!02\)\( p^{19} T^{63} + \)\(57\!\cdots\!51\)\( p^{20} T^{64} + \)\(86\!\cdots\!37\)\( p^{21} T^{65} + \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{22} T^{66} + \)\(18\!\cdots\!29\)\( p^{23} T^{67} + \)\(26\!\cdots\!11\)\( p^{24} T^{68} + \)\(36\!\cdots\!16\)\( p^{25} T^{69} + 2100802881717419016 p^{27} T^{70} + 6258095056709779354 p^{27} T^{71} + 789956535771934355 p^{28} T^{72} + 95833201330456179 p^{29} T^{73} + 11297950328590908 p^{30} T^{74} + 1271253950576027 p^{31} T^{75} + 6023847712452 p^{33} T^{76} + 14275507710249 p^{33} T^{77} + 1419394748301 p^{34} T^{78} + 131583176757 p^{35} T^{79} + 11723966224 p^{36} T^{80} + 952735960 p^{37} T^{81} + 74137876 p^{38} T^{82} + 5060360 p^{39} T^{83} + 330440 p^{40} T^{84} + 758 p^{42} T^{85} + 891 p^{42} T^{86} + 29 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
29 \( 1 - 35 T + 1233 T^{2} - 28396 T^{3} + 618260 T^{4} - 11030120 T^{5} + 185647347 T^{6} - 2765511577 T^{7} + 39101602017 T^{8} - 507561378041 T^{9} + 217071500101 p T^{10} - 73178431041204 T^{11} + 817545945771973 T^{12} - 8673476119381736 T^{13} + 88863004297160569 T^{14} - 872297290828174867 T^{15} + 8301815410145625889 T^{16} - 76183928007844506527 T^{17} + \)\(68\!\cdots\!20\)\( T^{18} - \)\(58\!\cdots\!08\)\( T^{19} + \)\(49\!\cdots\!03\)\( T^{20} - \)\(40\!\cdots\!66\)\( T^{21} + \)\(32\!\cdots\!58\)\( T^{22} - \)\(25\!\cdots\!90\)\( T^{23} + \)\(19\!\cdots\!56\)\( T^{24} - \)\(50\!\cdots\!59\)\( p T^{25} + \)\(10\!\cdots\!77\)\( T^{26} - \)\(76\!\cdots\!77\)\( T^{27} + \)\(54\!\cdots\!82\)\( T^{28} - \)\(37\!\cdots\!42\)\( T^{29} + \)\(25\!\cdots\!31\)\( T^{30} - \)\(16\!\cdots\!06\)\( T^{31} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( T^{32} - \)\(71\!\cdots\!83\)\( T^{33} + \)\(45\!\cdots\!21\)\( T^{34} - \)\(28\!\cdots\!36\)\( T^{35} + \)\(17\!\cdots\!69\)\( T^{36} - \)\(10\!\cdots\!48\)\( T^{37} + \)\(61\!\cdots\!05\)\( T^{38} - \)\(36\!\cdots\!22\)\( T^{39} + \)\(20\!\cdots\!66\)\( T^{40} - \)\(11\!\cdots\!45\)\( T^{41} + \)\(66\!\cdots\!42\)\( T^{42} - \)\(36\!\cdots\!91\)\( T^{43} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( T^{44} - \)\(36\!\cdots\!91\)\( p T^{45} + \)\(66\!\cdots\!42\)\( p^{2} T^{46} - \)\(11\!\cdots\!45\)\( p^{3} T^{47} + \)\(20\!\cdots\!66\)\( p^{4} T^{48} - \)\(36\!\cdots\!22\)\( p^{5} T^{49} + \)\(61\!\cdots\!05\)\( p^{6} T^{50} - \)\(10\!\cdots\!48\)\( p^{7} T^{51} + \)\(17\!\cdots\!69\)\( p^{8} T^{52} - \)\(28\!\cdots\!36\)\( p^{9} T^{53} + \)\(45\!\cdots\!21\)\( p^{10} T^{54} - \)\(71\!\cdots\!83\)\( p^{11} T^{55} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( p^{12} T^{56} - \)\(16\!\cdots\!06\)\( p^{13} T^{57} + \)\(25\!\cdots\!31\)\( p^{14} T^{58} - \)\(37\!\cdots\!42\)\( p^{15} T^{59} + \)\(54\!\cdots\!82\)\( p^{16} T^{60} - \)\(76\!\cdots\!77\)\( p^{17} T^{61} + \)\(10\!\cdots\!77\)\( p^{18} T^{62} - \)\(50\!\cdots\!59\)\( p^{20} T^{63} + \)\(19\!\cdots\!56\)\( p^{20} T^{64} - \)\(25\!\cdots\!90\)\( p^{21} T^{65} + \)\(32\!\cdots\!58\)\( p^{22} T^{66} - \)\(40\!\cdots\!66\)\( p^{23} T^{67} + \)\(49\!\cdots\!03\)\( p^{24} T^{68} - \)\(58\!\cdots\!08\)\( p^{25} T^{69} + \)\(68\!\cdots\!20\)\( p^{26} T^{70} - 76183928007844506527 p^{27} T^{71} + 8301815410145625889 p^{28} T^{72} - 872297290828174867 p^{29} T^{73} + 88863004297160569 p^{30} T^{74} - 8673476119381736 p^{31} T^{75} + 817545945771973 p^{32} T^{76} - 73178431041204 p^{33} T^{77} + 217071500101 p^{35} T^{78} - 507561378041 p^{35} T^{79} + 39101602017 p^{36} T^{80} - 2765511577 p^{37} T^{81} + 185647347 p^{38} T^{82} - 11030120 p^{39} T^{83} + 618260 p^{40} T^{84} - 28396 p^{41} T^{85} + 1233 p^{42} T^{86} - 35 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
31 \( 1 + 49 T + 1925 T^{2} + 55297 T^{3} + 1378487 T^{4} + 29621401 T^{5} + 575763120 T^{6} + 10166721076 T^{7} + 166321987289 T^{8} + 2533758269015 T^{9} + 36305427816147 T^{10} + 491387665829229 T^{11} + 6319722976122190 T^{12} + 77490869408168447 T^{13} + 909448754835801697 T^{14} + 330412233750271793 p T^{15} + \)\(11\!\cdots\!35\)\( T^{16} + 37426170282699275378 p T^{17} + \)\(11\!\cdots\!89\)\( T^{18} + \)\(11\!\cdots\!43\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!79\)\( T^{20} + \)\(99\!\cdots\!92\)\( T^{21} + \)\(89\!\cdots\!99\)\( T^{22} + \)\(77\!\cdots\!15\)\( T^{23} + \)\(65\!\cdots\!48\)\( T^{24} + \)\(54\!\cdots\!17\)\( T^{25} + \)\(43\!\cdots\!05\)\( T^{26} + \)\(34\!\cdots\!66\)\( T^{27} + \)\(26\!\cdots\!14\)\( T^{28} + \)\(19\!\cdots\!52\)\( T^{29} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( T^{30} + \)\(10\!\cdots\!74\)\( T^{31} + \)\(74\!\cdots\!36\)\( T^{32} + \)\(51\!\cdots\!76\)\( T^{33} + \)\(34\!\cdots\!20\)\( T^{34} + \)\(23\!\cdots\!74\)\( T^{35} + \)\(15\!\cdots\!40\)\( T^{36} + \)\(96\!\cdots\!23\)\( T^{37} + \)\(60\!\cdots\!31\)\( T^{38} + \)\(37\!\cdots\!18\)\( T^{39} + \)\(22\!\cdots\!75\)\( T^{40} + \)\(13\!\cdots\!95\)\( T^{41} + \)\(77\!\cdots\!02\)\( T^{42} + \)\(44\!\cdots\!50\)\( T^{43} + \)\(24\!\cdots\!12\)\( T^{44} + \)\(44\!\cdots\!50\)\( p T^{45} + \)\(77\!\cdots\!02\)\( p^{2} T^{46} + \)\(13\!\cdots\!95\)\( p^{3} T^{47} + \)\(22\!\cdots\!75\)\( p^{4} T^{48} + \)\(37\!\cdots\!18\)\( p^{5} T^{49} + \)\(60\!\cdots\!31\)\( p^{6} T^{50} + \)\(96\!\cdots\!23\)\( p^{7} T^{51} + \)\(15\!\cdots\!40\)\( p^{8} T^{52} + \)\(23\!\cdots\!74\)\( p^{9} T^{53} + \)\(34\!\cdots\!20\)\( p^{10} T^{54} + \)\(51\!\cdots\!76\)\( p^{11} T^{55} + \)\(74\!\cdots\!36\)\( p^{12} T^{56} + \)\(10\!\cdots\!74\)\( p^{13} T^{57} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( p^{14} T^{58} + \)\(19\!\cdots\!52\)\( p^{15} T^{59} + \)\(26\!\cdots\!14\)\( p^{16} T^{60} + \)\(34\!\cdots\!66\)\( p^{17} T^{61} + \)\(43\!\cdots\!05\)\( p^{18} T^{62} + \)\(54\!\cdots\!17\)\( p^{19} T^{63} + \)\(65\!\cdots\!48\)\( p^{20} T^{64} + \)\(77\!\cdots\!15\)\( p^{21} T^{65} + \)\(89\!\cdots\!99\)\( p^{22} T^{66} + \)\(99\!\cdots\!92\)\( p^{23} T^{67} + \)\(10\!\cdots\!79\)\( p^{24} T^{68} + \)\(11\!\cdots\!43\)\( p^{25} T^{69} + \)\(11\!\cdots\!89\)\( p^{26} T^{70} + 37426170282699275378 p^{28} T^{71} + \)\(11\!\cdots\!35\)\( p^{28} T^{72} + 330412233750271793 p^{30} T^{73} + 909448754835801697 p^{30} T^{74} + 77490869408168447 p^{31} T^{75} + 6319722976122190 p^{32} T^{76} + 491387665829229 p^{33} T^{77} + 36305427816147 p^{34} T^{78} + 2533758269015 p^{35} T^{79} + 166321987289 p^{36} T^{80} + 10166721076 p^{37} T^{81} + 575763120 p^{38} T^{82} + 29621401 p^{39} T^{83} + 1378487 p^{40} T^{84} + 55297 p^{41} T^{85} + 1925 p^{42} T^{86} + 49 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
37 \( 1 + 30 T + 1243 T^{2} + 27648 T^{3} + 18642 p T^{4} + 12503067 T^{5} + 238534889 T^{6} + 3704775316 T^{7} + 59019504202 T^{8} + 21883992359 p T^{9} + 11260882597756 T^{10} + 139250886237094 T^{11} + 1735934646315917 T^{12} + 19625006242979369 T^{13} + 223140841084842060 T^{14} + 2330297119632329654 T^{15} + 24463634223868384932 T^{16} + 6428369817287760566 p T^{17} + \)\(23\!\cdots\!33\)\( T^{18} + \)\(21\!\cdots\!16\)\( T^{19} + \)\(19\!\cdots\!57\)\( T^{20} + \)\(16\!\cdots\!43\)\( T^{21} + \)\(14\!\cdots\!12\)\( T^{22} + \)\(11\!\cdots\!59\)\( T^{23} + \)\(95\!\cdots\!65\)\( T^{24} + \)\(73\!\cdots\!21\)\( T^{25} + \)\(57\!\cdots\!74\)\( T^{26} + \)\(41\!\cdots\!57\)\( T^{27} + \)\(31\!\cdots\!15\)\( T^{28} + \)\(21\!\cdots\!18\)\( T^{29} + \)\(15\!\cdots\!65\)\( T^{30} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( T^{31} + \)\(70\!\cdots\!29\)\( T^{32} + \)\(44\!\cdots\!44\)\( T^{33} + \)\(29\!\cdots\!03\)\( T^{34} + \)\(17\!\cdots\!66\)\( T^{35} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( T^{36} + \)\(67\!\cdots\!28\)\( T^{37} + \)\(43\!\cdots\!65\)\( T^{38} + \)\(24\!\cdots\!03\)\( T^{39} + \)\(15\!\cdots\!46\)\( T^{40} + \)\(86\!\cdots\!42\)\( T^{41} + \)\(56\!\cdots\!36\)\( T^{42} + \)\(30\!\cdots\!80\)\( T^{43} + \)\(20\!\cdots\!60\)\( T^{44} + \)\(30\!\cdots\!80\)\( p T^{45} + \)\(56\!\cdots\!36\)\( p^{2} T^{46} + \)\(86\!\cdots\!42\)\( p^{3} T^{47} + \)\(15\!\cdots\!46\)\( p^{4} T^{48} + \)\(24\!\cdots\!03\)\( p^{5} T^{49} + \)\(43\!\cdots\!65\)\( p^{6} T^{50} + \)\(67\!\cdots\!28\)\( p^{7} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( p^{8} T^{52} + \)\(17\!\cdots\!66\)\( p^{9} T^{53} + \)\(29\!\cdots\!03\)\( p^{10} T^{54} + \)\(44\!\cdots\!44\)\( p^{11} T^{55} + \)\(70\!\cdots\!29\)\( p^{12} T^{56} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( p^{13} T^{57} + \)\(15\!\cdots\!65\)\( p^{14} T^{58} + \)\(21\!\cdots\!18\)\( p^{15} T^{59} + \)\(31\!\cdots\!15\)\( p^{16} T^{60} + \)\(41\!\cdots\!57\)\( p^{17} T^{61} + \)\(57\!\cdots\!74\)\( p^{18} T^{62} + \)\(73\!\cdots\!21\)\( p^{19} T^{63} + \)\(95\!\cdots\!65\)\( p^{20} T^{64} + \)\(11\!\cdots\!59\)\( p^{21} T^{65} + \)\(14\!\cdots\!12\)\( p^{22} T^{66} + \)\(16\!\cdots\!43\)\( p^{23} T^{67} + \)\(19\!\cdots\!57\)\( p^{24} T^{68} + \)\(21\!\cdots\!16\)\( p^{25} T^{69} + \)\(23\!\cdots\!33\)\( p^{26} T^{70} + 6428369817287760566 p^{28} T^{71} + 24463634223868384932 p^{28} T^{72} + 2330297119632329654 p^{29} T^{73} + 223140841084842060 p^{30} T^{74} + 19625006242979369 p^{31} T^{75} + 1735934646315917 p^{32} T^{76} + 139250886237094 p^{33} T^{77} + 11260882597756 p^{34} T^{78} + 21883992359 p^{36} T^{79} + 59019504202 p^{36} T^{80} + 3704775316 p^{37} T^{81} + 238534889 p^{38} T^{82} + 12503067 p^{39} T^{83} + 18642 p^{41} T^{84} + 27648 p^{41} T^{85} + 1243 p^{42} T^{86} + 30 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
41 \( 1 + 14 T + 1130 T^{2} + 13684 T^{3} + 614861 T^{4} + 159273 p T^{5} + 216270954 T^{6} + 2031486298 T^{7} + 55622190930 T^{8} + 464107426894 T^{9} + 11208944783734 T^{10} + 83164538627006 T^{11} + 1851291770615317 T^{12} + 12190913884912900 T^{13} + 258734312927412465 T^{14} + 1505276656903067343 T^{15} + 31343402811538996016 T^{16} + \)\(15\!\cdots\!87\)\( T^{17} + \)\(33\!\cdots\!14\)\( T^{18} + \)\(14\!\cdots\!81\)\( T^{19} + \)\(32\!\cdots\!83\)\( T^{20} + \)\(12\!\cdots\!45\)\( T^{21} + \)\(27\!\cdots\!15\)\( T^{22} + \)\(89\!\cdots\!48\)\( T^{23} + \)\(22\!\cdots\!36\)\( T^{24} + \)\(59\!\cdots\!51\)\( T^{25} + \)\(16\!\cdots\!67\)\( T^{26} + \)\(35\!\cdots\!42\)\( T^{27} + \)\(11\!\cdots\!39\)\( T^{28} + \)\(19\!\cdots\!71\)\( T^{29} + \)\(71\!\cdots\!77\)\( T^{30} + \)\(94\!\cdots\!49\)\( T^{31} + \)\(42\!\cdots\!61\)\( T^{32} + \)\(42\!\cdots\!96\)\( T^{33} + \)\(24\!\cdots\!39\)\( T^{34} + \)\(16\!\cdots\!92\)\( T^{35} + \)\(12\!\cdots\!96\)\( T^{36} + \)\(60\!\cdots\!41\)\( T^{37} + \)\(63\!\cdots\!52\)\( T^{38} + \)\(19\!\cdots\!73\)\( T^{39} + \)\(30\!\cdots\!68\)\( T^{40} + \)\(60\!\cdots\!55\)\( T^{41} + \)\(13\!\cdots\!61\)\( T^{42} + \)\(19\!\cdots\!53\)\( T^{43} + \)\(56\!\cdots\!40\)\( T^{44} + \)\(19\!\cdots\!53\)\( p T^{45} + \)\(13\!\cdots\!61\)\( p^{2} T^{46} + \)\(60\!\cdots\!55\)\( p^{3} T^{47} + \)\(30\!\cdots\!68\)\( p^{4} T^{48} + \)\(19\!\cdots\!73\)\( p^{5} T^{49} + \)\(63\!\cdots\!52\)\( p^{6} T^{50} + \)\(60\!\cdots\!41\)\( p^{7} T^{51} + \)\(12\!\cdots\!96\)\( p^{8} T^{52} + \)\(16\!\cdots\!92\)\( p^{9} T^{53} + \)\(24\!\cdots\!39\)\( p^{10} T^{54} + \)\(42\!\cdots\!96\)\( p^{11} T^{55} + \)\(42\!\cdots\!61\)\( p^{12} T^{56} + \)\(94\!\cdots\!49\)\( p^{13} T^{57} + \)\(71\!\cdots\!77\)\( p^{14} T^{58} + \)\(19\!\cdots\!71\)\( p^{15} T^{59} + \)\(11\!\cdots\!39\)\( p^{16} T^{60} + \)\(35\!\cdots\!42\)\( p^{17} T^{61} + \)\(16\!\cdots\!67\)\( p^{18} T^{62} + \)\(59\!\cdots\!51\)\( p^{19} T^{63} + \)\(22\!\cdots\!36\)\( p^{20} T^{64} + \)\(89\!\cdots\!48\)\( p^{21} T^{65} + \)\(27\!\cdots\!15\)\( p^{22} T^{66} + \)\(12\!\cdots\!45\)\( p^{23} T^{67} + \)\(32\!\cdots\!83\)\( p^{24} T^{68} + \)\(14\!\cdots\!81\)\( p^{25} T^{69} + \)\(33\!\cdots\!14\)\( p^{26} T^{70} + \)\(15\!\cdots\!87\)\( p^{27} T^{71} + 31343402811538996016 p^{28} T^{72} + 1505276656903067343 p^{29} T^{73} + 258734312927412465 p^{30} T^{74} + 12190913884912900 p^{31} T^{75} + 1851291770615317 p^{32} T^{76} + 83164538627006 p^{33} T^{77} + 11208944783734 p^{34} T^{78} + 464107426894 p^{35} T^{79} + 55622190930 p^{36} T^{80} + 2031486298 p^{37} T^{81} + 216270954 p^{38} T^{82} + 159273 p^{40} T^{83} + 614861 p^{40} T^{84} + 13684 p^{41} T^{85} + 1130 p^{42} T^{86} + 14 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
43 \( 1 + 35 T + 1626 T^{2} + 41836 T^{3} + 1173233 T^{4} + 24529122 T^{5} + 527429182 T^{6} + 9449040322 T^{7} + 170189860166 T^{8} + 2698739936154 T^{9} + 42591813101713 T^{10} + 610852036948918 T^{11} + 201812637620028 p T^{12} + 114297937396905555 T^{13} + 34600523118082039 p T^{14} + 18200099284451033495 T^{15} + \)\(21\!\cdots\!83\)\( T^{16} + \)\(25\!\cdots\!27\)\( T^{17} + \)\(28\!\cdots\!79\)\( T^{18} + \)\(30\!\cdots\!59\)\( T^{19} + \)\(32\!\cdots\!03\)\( T^{20} + \)\(33\!\cdots\!96\)\( T^{21} + \)\(34\!\cdots\!34\)\( T^{22} + \)\(33\!\cdots\!72\)\( T^{23} + \)\(31\!\cdots\!65\)\( T^{24} + \)\(29\!\cdots\!69\)\( T^{25} + \)\(27\!\cdots\!62\)\( T^{26} + \)\(24\!\cdots\!76\)\( T^{27} + \)\(21\!\cdots\!10\)\( T^{28} + \)\(18\!\cdots\!68\)\( T^{29} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( T^{30} + \)\(12\!\cdots\!44\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!09\)\( T^{32} + \)\(83\!\cdots\!86\)\( T^{33} + \)\(66\!\cdots\!47\)\( T^{34} + \)\(50\!\cdots\!54\)\( T^{35} + \)\(38\!\cdots\!54\)\( T^{36} + \)\(28\!\cdots\!03\)\( T^{37} + \)\(20\!\cdots\!79\)\( T^{38} + \)\(14\!\cdots\!67\)\( T^{39} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( T^{40} + \)\(73\!\cdots\!95\)\( T^{41} + \)\(50\!\cdots\!58\)\( T^{42} + \)\(33\!\cdots\!55\)\( T^{43} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( T^{44} + \)\(33\!\cdots\!55\)\( p T^{45} + \)\(50\!\cdots\!58\)\( p^{2} T^{46} + \)\(73\!\cdots\!95\)\( p^{3} T^{47} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( p^{4} T^{48} + \)\(14\!\cdots\!67\)\( p^{5} T^{49} + \)\(20\!\cdots\!79\)\( p^{6} T^{50} + \)\(28\!\cdots\!03\)\( p^{7} T^{51} + \)\(38\!\cdots\!54\)\( p^{8} T^{52} + \)\(50\!\cdots\!54\)\( p^{9} T^{53} + \)\(66\!\cdots\!47\)\( p^{10} T^{54} + \)\(83\!\cdots\!86\)\( p^{11} T^{55} + \)\(10\!\cdots\!09\)\( p^{12} T^{56} + \)\(12\!\cdots\!44\)\( p^{13} T^{57} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( p^{14} T^{58} + \)\(18\!\cdots\!68\)\( p^{15} T^{59} + \)\(21\!\cdots\!10\)\( p^{16} T^{60} + \)\(24\!\cdots\!76\)\( p^{17} T^{61} + \)\(27\!\cdots\!62\)\( p^{18} T^{62} + \)\(29\!\cdots\!69\)\( p^{19} T^{63} + \)\(31\!\cdots\!65\)\( p^{20} T^{64} + \)\(33\!\cdots\!72\)\( p^{21} T^{65} + \)\(34\!\cdots\!34\)\( p^{22} T^{66} + \)\(33\!\cdots\!96\)\( p^{23} T^{67} + \)\(32\!\cdots\!03\)\( p^{24} T^{68} + \)\(30\!\cdots\!59\)\( p^{25} T^{69} + \)\(28\!\cdots\!79\)\( p^{26} T^{70} + \)\(25\!\cdots\!27\)\( p^{27} T^{71} + \)\(21\!\cdots\!83\)\( p^{28} T^{72} + 18200099284451033495 p^{29} T^{73} + 34600523118082039 p^{31} T^{74} + 114297937396905555 p^{31} T^{75} + 201812637620028 p^{33} T^{76} + 610852036948918 p^{33} T^{77} + 42591813101713 p^{34} T^{78} + 2698739936154 p^{35} T^{79} + 170189860166 p^{36} T^{80} + 9449040322 p^{37} T^{81} + 527429182 p^{38} T^{82} + 24529122 p^{39} T^{83} + 1173233 p^{40} T^{84} + 41836 p^{41} T^{85} + 1626 p^{42} T^{86} + 35 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
47 \( 1 + 45 T + 2156 T^{2} + 64758 T^{3} + 1891117 T^{4} + 44017299 T^{5} + 982670399 T^{6} + 19012756743 T^{7} + 352887480769 T^{8} + 5909412432184 T^{9} + 95241848578296 T^{10} + 1417019068573525 T^{11} + 20368565045332523 T^{12} + 274243109673249124 T^{13} + 3580588927460164347 T^{14} + 44229499648602413917 T^{15} + \)\(53\!\cdots\!08\)\( T^{16} + \)\(60\!\cdots\!50\)\( T^{17} + \)\(68\!\cdots\!71\)\( T^{18} + \)\(72\!\cdots\!99\)\( T^{19} + \)\(76\!\cdots\!00\)\( T^{20} + \)\(77\!\cdots\!40\)\( T^{21} + \)\(76\!\cdots\!34\)\( T^{22} + \)\(73\!\cdots\!45\)\( T^{23} + \)\(68\!\cdots\!66\)\( T^{24} + \)\(62\!\cdots\!96\)\( T^{25} + \)\(56\!\cdots\!54\)\( T^{26} + \)\(49\!\cdots\!72\)\( T^{27} + \)\(42\!\cdots\!55\)\( T^{28} + \)\(35\!\cdots\!91\)\( T^{29} + \)\(29\!\cdots\!73\)\( T^{30} + \)\(24\!\cdots\!10\)\( T^{31} + \)\(19\!\cdots\!55\)\( T^{32} + \)\(15\!\cdots\!74\)\( T^{33} + \)\(12\!\cdots\!30\)\( T^{34} + \)\(91\!\cdots\!88\)\( T^{35} + \)\(69\!\cdots\!91\)\( T^{36} + \)\(51\!\cdots\!32\)\( T^{37} + \)\(38\!\cdots\!88\)\( T^{38} + \)\(27\!\cdots\!99\)\( T^{39} + \)\(20\!\cdots\!94\)\( T^{40} + \)\(14\!\cdots\!53\)\( T^{41} + \)\(10\!\cdots\!39\)\( T^{42} + \)\(70\!\cdots\!75\)\( T^{43} + \)\(48\!\cdots\!27\)\( T^{44} + \)\(70\!\cdots\!75\)\( p T^{45} + \)\(10\!\cdots\!39\)\( p^{2} T^{46} + \)\(14\!\cdots\!53\)\( p^{3} T^{47} + \)\(20\!\cdots\!94\)\( p^{4} T^{48} + \)\(27\!\cdots\!99\)\( p^{5} T^{49} + \)\(38\!\cdots\!88\)\( p^{6} T^{50} + \)\(51\!\cdots\!32\)\( p^{7} T^{51} + \)\(69\!\cdots\!91\)\( p^{8} T^{52} + \)\(91\!\cdots\!88\)\( p^{9} T^{53} + \)\(12\!\cdots\!30\)\( p^{10} T^{54} + \)\(15\!\cdots\!74\)\( p^{11} T^{55} + \)\(19\!\cdots\!55\)\( p^{12} T^{56} + \)\(24\!\cdots\!10\)\( p^{13} T^{57} + \)\(29\!\cdots\!73\)\( p^{14} T^{58} + \)\(35\!\cdots\!91\)\( p^{15} T^{59} + \)\(42\!\cdots\!55\)\( p^{16} T^{60} + \)\(49\!\cdots\!72\)\( p^{17} T^{61} + \)\(56\!\cdots\!54\)\( p^{18} T^{62} + \)\(62\!\cdots\!96\)\( p^{19} T^{63} + \)\(68\!\cdots\!66\)\( p^{20} T^{64} + \)\(73\!\cdots\!45\)\( p^{21} T^{65} + \)\(76\!\cdots\!34\)\( p^{22} T^{66} + \)\(77\!\cdots\!40\)\( p^{23} T^{67} + \)\(76\!\cdots\!00\)\( p^{24} T^{68} + \)\(72\!\cdots\!99\)\( p^{25} T^{69} + \)\(68\!\cdots\!71\)\( p^{26} T^{70} + \)\(60\!\cdots\!50\)\( p^{27} T^{71} + \)\(53\!\cdots\!08\)\( p^{28} T^{72} + 44229499648602413917 p^{29} T^{73} + 3580588927460164347 p^{30} T^{74} + 274243109673249124 p^{31} T^{75} + 20368565045332523 p^{32} T^{76} + 1417019068573525 p^{33} T^{77} + 95241848578296 p^{34} T^{78} + 5909412432184 p^{35} T^{79} + 352887480769 p^{36} T^{80} + 19012756743 p^{37} T^{81} + 982670399 p^{38} T^{82} + 44017299 p^{39} T^{83} + 1891117 p^{40} T^{84} + 64758 p^{41} T^{85} + 2156 p^{42} T^{86} + 45 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
53 \( 1 - 18 T + 1480 T^{2} - 25087 T^{3} + 1093363 T^{4} - 17477272 T^{5} + 536793258 T^{6} - 8108482422 T^{7} + 196816208362 T^{8} - 2816162666772 T^{9} + 57435198986459 T^{10} - 780413546500014 T^{11} + 13886077376454952 T^{12} - 179617131146250173 T^{13} + 2859135861624590352 T^{14} - 35289737213642734580 T^{15} + \)\(51\!\cdots\!07\)\( T^{16} - \)\(60\!\cdots\!38\)\( T^{17} + \)\(80\!\cdots\!62\)\( T^{18} - \)\(91\!\cdots\!93\)\( T^{19} + \)\(11\!\cdots\!67\)\( T^{20} - \)\(12\!\cdots\!42\)\( T^{21} + \)\(14\!\cdots\!44\)\( T^{22} - \)\(15\!\cdots\!33\)\( T^{23} + \)\(16\!\cdots\!01\)\( T^{24} - \)\(16\!\cdots\!55\)\( T^{25} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( T^{26} - \)\(17\!\cdots\!29\)\( T^{27} + \)\(17\!\cdots\!97\)\( T^{28} - \)\(15\!\cdots\!82\)\( T^{29} + \)\(15\!\cdots\!51\)\( T^{30} - \)\(13\!\cdots\!49\)\( T^{31} + \)\(12\!\cdots\!37\)\( T^{32} - \)\(11\!\cdots\!69\)\( T^{33} + \)\(97\!\cdots\!79\)\( T^{34} - \)\(82\!\cdots\!38\)\( T^{35} + \)\(69\!\cdots\!52\)\( T^{36} - \)\(57\!\cdots\!69\)\( T^{37} + \)\(46\!\cdots\!80\)\( T^{38} - \)\(37\!\cdots\!81\)\( T^{39} + \)\(29\!\cdots\!53\)\( T^{40} - \)\(22\!\cdots\!47\)\( T^{41} + \)\(17\!\cdots\!09\)\( T^{42} - \)\(12\!\cdots\!85\)\( T^{43} + \)\(93\!\cdots\!74\)\( T^{44} - \)\(12\!\cdots\!85\)\( p T^{45} + \)\(17\!\cdots\!09\)\( p^{2} T^{46} - \)\(22\!\cdots\!47\)\( p^{3} T^{47} + \)\(29\!\cdots\!53\)\( p^{4} T^{48} - \)\(37\!\cdots\!81\)\( p^{5} T^{49} + \)\(46\!\cdots\!80\)\( p^{6} T^{50} - \)\(57\!\cdots\!69\)\( p^{7} T^{51} + \)\(69\!\cdots\!52\)\( p^{8} T^{52} - \)\(82\!\cdots\!38\)\( p^{9} T^{53} + \)\(97\!\cdots\!79\)\( p^{10} T^{54} - \)\(11\!\cdots\!69\)\( p^{11} T^{55} + \)\(12\!\cdots\!37\)\( p^{12} T^{56} - \)\(13\!\cdots\!49\)\( p^{13} T^{57} + \)\(15\!\cdots\!51\)\( p^{14} T^{58} - \)\(15\!\cdots\!82\)\( p^{15} T^{59} + \)\(17\!\cdots\!97\)\( p^{16} T^{60} - \)\(17\!\cdots\!29\)\( p^{17} T^{61} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( p^{18} T^{62} - \)\(16\!\cdots\!55\)\( p^{19} T^{63} + \)\(16\!\cdots\!01\)\( p^{20} T^{64} - \)\(15\!\cdots\!33\)\( p^{21} T^{65} + \)\(14\!\cdots\!44\)\( p^{22} T^{66} - \)\(12\!\cdots\!42\)\( p^{23} T^{67} + \)\(11\!\cdots\!67\)\( p^{24} T^{68} - \)\(91\!\cdots\!93\)\( p^{25} T^{69} + \)\(80\!\cdots\!62\)\( p^{26} T^{70} - \)\(60\!\cdots\!38\)\( p^{27} T^{71} + \)\(51\!\cdots\!07\)\( p^{28} T^{72} - 35289737213642734580 p^{29} T^{73} + 2859135861624590352 p^{30} T^{74} - 179617131146250173 p^{31} T^{75} + 13886077376454952 p^{32} T^{76} - 780413546500014 p^{33} T^{77} + 57435198986459 p^{34} T^{78} - 2816162666772 p^{35} T^{79} + 196816208362 p^{36} T^{80} - 8108482422 p^{37} T^{81} + 536793258 p^{38} T^{82} - 17477272 p^{39} T^{83} + 1093363 p^{40} T^{84} - 25087 p^{41} T^{85} + 1480 p^{42} T^{86} - 18 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
59 \( 1 + 57 T + 2909 T^{2} + 104136 T^{3} + 3355738 T^{4} + 91798602 T^{5} + 2308581354 T^{6} + 52399412451 T^{7} + 1111021568356 T^{8} + 21868410596175 T^{9} + 406703996078666 T^{10} + 7132520814370032 T^{11} + 119163819801113018 T^{12} + 1895913550454332010 T^{13} + 28911278981144677574 T^{14} + \)\(42\!\cdots\!39\)\( T^{15} + \)\(59\!\cdots\!26\)\( T^{16} + \)\(80\!\cdots\!32\)\( T^{17} + \)\(10\!\cdots\!09\)\( T^{18} + \)\(13\!\cdots\!99\)\( T^{19} + \)\(16\!\cdots\!67\)\( T^{20} + \)\(19\!\cdots\!35\)\( T^{21} + \)\(22\!\cdots\!17\)\( T^{22} + \)\(25\!\cdots\!31\)\( T^{23} + \)\(27\!\cdots\!33\)\( T^{24} + \)\(29\!\cdots\!28\)\( T^{25} + \)\(30\!\cdots\!05\)\( T^{26} + \)\(30\!\cdots\!99\)\( T^{27} + \)\(30\!\cdots\!52\)\( T^{28} + \)\(29\!\cdots\!00\)\( T^{29} + \)\(27\!\cdots\!89\)\( T^{30} + \)\(25\!\cdots\!23\)\( T^{31} + \)\(22\!\cdots\!21\)\( T^{32} + \)\(20\!\cdots\!72\)\( T^{33} + \)\(17\!\cdots\!96\)\( T^{34} + \)\(14\!\cdots\!30\)\( T^{35} + \)\(12\!\cdots\!83\)\( T^{36} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( T^{37} + \)\(82\!\cdots\!40\)\( T^{38} + \)\(66\!\cdots\!27\)\( T^{39} + \)\(52\!\cdots\!17\)\( T^{40} + \)\(40\!\cdots\!51\)\( T^{41} + \)\(31\!\cdots\!73\)\( T^{42} + \)\(24\!\cdots\!17\)\( T^{43} + \)\(19\!\cdots\!12\)\( T^{44} + \)\(24\!\cdots\!17\)\( p T^{45} + \)\(31\!\cdots\!73\)\( p^{2} T^{46} + \)\(40\!\cdots\!51\)\( p^{3} T^{47} + \)\(52\!\cdots\!17\)\( p^{4} T^{48} + \)\(66\!\cdots\!27\)\( p^{5} T^{49} + \)\(82\!\cdots\!40\)\( p^{6} T^{50} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( p^{7} T^{51} + \)\(12\!\cdots\!83\)\( p^{8} T^{52} + \)\(14\!\cdots\!30\)\( p^{9} T^{53} + \)\(17\!\cdots\!96\)\( p^{10} T^{54} + \)\(20\!\cdots\!72\)\( p^{11} T^{55} + \)\(22\!\cdots\!21\)\( p^{12} T^{56} + \)\(25\!\cdots\!23\)\( p^{13} T^{57} + \)\(27\!\cdots\!89\)\( p^{14} T^{58} + \)\(29\!\cdots\!00\)\( p^{15} T^{59} + \)\(30\!\cdots\!52\)\( p^{16} T^{60} + \)\(30\!\cdots\!99\)\( p^{17} T^{61} + \)\(30\!\cdots\!05\)\( p^{18} T^{62} + \)\(29\!\cdots\!28\)\( p^{19} T^{63} + \)\(27\!\cdots\!33\)\( p^{20} T^{64} + \)\(25\!\cdots\!31\)\( p^{21} T^{65} + \)\(22\!\cdots\!17\)\( p^{22} T^{66} + \)\(19\!\cdots\!35\)\( p^{23} T^{67} + \)\(16\!\cdots\!67\)\( p^{24} T^{68} + \)\(13\!\cdots\!99\)\( p^{25} T^{69} + \)\(10\!\cdots\!09\)\( p^{26} T^{70} + \)\(80\!\cdots\!32\)\( p^{27} T^{71} + \)\(59\!\cdots\!26\)\( p^{28} T^{72} + \)\(42\!\cdots\!39\)\( p^{29} T^{73} + 28911278981144677574 p^{30} T^{74} + 1895913550454332010 p^{31} T^{75} + 119163819801113018 p^{32} T^{76} + 7132520814370032 p^{33} T^{77} + 406703996078666 p^{34} T^{78} + 21868410596175 p^{35} T^{79} + 1111021568356 p^{36} T^{80} + 52399412451 p^{37} T^{81} + 2308581354 p^{38} T^{82} + 91798602 p^{39} T^{83} + 3355738 p^{40} T^{84} + 104136 p^{41} T^{85} + 2909 p^{42} T^{86} + 57 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
61 \( 1 - 27 T + 1747 T^{2} - 40682 T^{3} + 1481839 T^{4} - 30558873 T^{5} + 820313700 T^{6} - 15267380611 T^{7} + 335182371320 T^{8} - 5710248843964 T^{9} + 108219842167179 T^{10} - 1706099320621174 T^{11} + 28832724259743162 T^{12} - 424273261188319399 T^{13} + 6531572240216626486 T^{14} - 90333570194751531141 T^{15} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{16} - \)\(16\!\cdots\!67\)\( T^{17} + \)\(22\!\cdots\!54\)\( T^{18} - \)\(27\!\cdots\!90\)\( T^{19} + \)\(34\!\cdots\!67\)\( T^{20} - \)\(41\!\cdots\!33\)\( T^{21} + \)\(48\!\cdots\!41\)\( T^{22} - \)\(55\!\cdots\!32\)\( T^{23} + \)\(62\!\cdots\!35\)\( T^{24} - \)\(68\!\cdots\!18\)\( T^{25} + \)\(73\!\cdots\!18\)\( T^{26} - \)\(77\!\cdots\!42\)\( T^{27} + \)\(80\!\cdots\!19\)\( T^{28} - \)\(80\!\cdots\!11\)\( T^{29} + \)\(80\!\cdots\!89\)\( T^{30} - \)\(77\!\cdots\!43\)\( T^{31} + \)\(75\!\cdots\!89\)\( T^{32} - \)\(70\!\cdots\!88\)\( T^{33} + \)\(65\!\cdots\!15\)\( T^{34} - \)\(59\!\cdots\!62\)\( T^{35} + \)\(53\!\cdots\!21\)\( T^{36} - \)\(46\!\cdots\!82\)\( T^{37} + \)\(40\!\cdots\!12\)\( T^{38} - \)\(34\!\cdots\!19\)\( T^{39} + \)\(28\!\cdots\!63\)\( T^{40} - \)\(23\!\cdots\!09\)\( T^{41} + \)\(19\!\cdots\!02\)\( T^{42} - \)\(15\!\cdots\!57\)\( T^{43} + \)\(12\!\cdots\!58\)\( T^{44} - \)\(15\!\cdots\!57\)\( p T^{45} + \)\(19\!\cdots\!02\)\( p^{2} T^{46} - \)\(23\!\cdots\!09\)\( p^{3} T^{47} + \)\(28\!\cdots\!63\)\( p^{4} T^{48} - \)\(34\!\cdots\!19\)\( p^{5} T^{49} + \)\(40\!\cdots\!12\)\( p^{6} T^{50} - \)\(46\!\cdots\!82\)\( p^{7} T^{51} + \)\(53\!\cdots\!21\)\( p^{8} T^{52} - \)\(59\!\cdots\!62\)\( p^{9} T^{53} + \)\(65\!\cdots\!15\)\( p^{10} T^{54} - \)\(70\!\cdots\!88\)\( p^{11} T^{55} + \)\(75\!\cdots\!89\)\( p^{12} T^{56} - \)\(77\!\cdots\!43\)\( p^{13} T^{57} + \)\(80\!\cdots\!89\)\( p^{14} T^{58} - \)\(80\!\cdots\!11\)\( p^{15} T^{59} + \)\(80\!\cdots\!19\)\( p^{16} T^{60} - \)\(77\!\cdots\!42\)\( p^{17} T^{61} + \)\(73\!\cdots\!18\)\( p^{18} T^{62} - \)\(68\!\cdots\!18\)\( p^{19} T^{63} + \)\(62\!\cdots\!35\)\( p^{20} T^{64} - \)\(55\!\cdots\!32\)\( p^{21} T^{65} + \)\(48\!\cdots\!41\)\( p^{22} T^{66} - \)\(41\!\cdots\!33\)\( p^{23} T^{67} + \)\(34\!\cdots\!67\)\( p^{24} T^{68} - \)\(27\!\cdots\!90\)\( p^{25} T^{69} + \)\(22\!\cdots\!54\)\( p^{26} T^{70} - \)\(16\!\cdots\!67\)\( p^{27} T^{71} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( p^{28} T^{72} - 90333570194751531141 p^{29} T^{73} + 6531572240216626486 p^{30} T^{74} - 424273261188319399 p^{31} T^{75} + 28832724259743162 p^{32} T^{76} - 1706099320621174 p^{33} T^{77} + 108219842167179 p^{34} T^{78} - 5710248843964 p^{35} T^{79} + 335182371320 p^{36} T^{80} - 15267380611 p^{37} T^{81} + 820313700 p^{38} T^{82} - 30558873 p^{39} T^{83} + 1481839 p^{40} T^{84} - 40682 p^{41} T^{85} + 1747 p^{42} T^{86} - 27 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
67 \( 1 + 56 T + 2937 T^{2} + 102745 T^{3} + 3325011 T^{4} + 88362831 T^{5} + 2198854880 T^{6} + 48240626948 T^{7} + 1002304061969 T^{8} + 18998056686166 T^{9} + 344078973819592 T^{10} + 5797497883976470 T^{11} + 93991663004923139 T^{12} + 1435532466600004700 T^{13} + 21214417233495560878 T^{14} + \)\(29\!\cdots\!69\)\( T^{15} + \)\(40\!\cdots\!86\)\( T^{16} + \)\(53\!\cdots\!70\)\( T^{17} + \)\(67\!\cdots\!52\)\( T^{18} + \)\(82\!\cdots\!15\)\( T^{19} + \)\(99\!\cdots\!53\)\( T^{20} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( T^{21} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( T^{22} + \)\(14\!\cdots\!21\)\( T^{23} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( T^{24} + \)\(16\!\cdots\!20\)\( T^{25} + \)\(16\!\cdots\!55\)\( T^{26} + \)\(17\!\cdots\!87\)\( T^{27} + \)\(17\!\cdots\!00\)\( T^{28} + \)\(16\!\cdots\!37\)\( T^{29} + \)\(16\!\cdots\!41\)\( T^{30} + \)\(15\!\cdots\!61\)\( T^{31} + \)\(14\!\cdots\!61\)\( T^{32} + \)\(13\!\cdots\!50\)\( T^{33} + \)\(12\!\cdots\!69\)\( T^{34} + \)\(10\!\cdots\!19\)\( T^{35} + \)\(98\!\cdots\!68\)\( T^{36} + \)\(86\!\cdots\!22\)\( T^{37} + \)\(75\!\cdots\!82\)\( T^{38} + \)\(65\!\cdots\!71\)\( T^{39} + \)\(56\!\cdots\!65\)\( T^{40} + \)\(47\!\cdots\!44\)\( T^{41} + \)\(40\!\cdots\!38\)\( T^{42} + \)\(33\!\cdots\!84\)\( T^{43} + \)\(27\!\cdots\!42\)\( T^{44} + \)\(33\!\cdots\!84\)\( p T^{45} + \)\(40\!\cdots\!38\)\( p^{2} T^{46} + \)\(47\!\cdots\!44\)\( p^{3} T^{47} + \)\(56\!\cdots\!65\)\( p^{4} T^{48} + \)\(65\!\cdots\!71\)\( p^{5} T^{49} + \)\(75\!\cdots\!82\)\( p^{6} T^{50} + \)\(86\!\cdots\!22\)\( p^{7} T^{51} + \)\(98\!\cdots\!68\)\( p^{8} T^{52} + \)\(10\!\cdots\!19\)\( p^{9} T^{53} + \)\(12\!\cdots\!69\)\( p^{10} T^{54} + \)\(13\!\cdots\!50\)\( p^{11} T^{55} + \)\(14\!\cdots\!61\)\( p^{12} T^{56} + \)\(15\!\cdots\!61\)\( p^{13} T^{57} + \)\(16\!\cdots\!41\)\( p^{14} T^{58} + \)\(16\!\cdots\!37\)\( p^{15} T^{59} + \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{60} + \)\(17\!\cdots\!87\)\( p^{17} T^{61} + \)\(16\!\cdots\!55\)\( p^{18} T^{62} + \)\(16\!\cdots\!20\)\( p^{19} T^{63} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( p^{20} T^{64} + \)\(14\!\cdots\!21\)\( p^{21} T^{65} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{22} T^{66} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( p^{23} T^{67} + \)\(99\!\cdots\!53\)\( p^{24} T^{68} + \)\(82\!\cdots\!15\)\( p^{25} T^{69} + \)\(67\!\cdots\!52\)\( p^{26} T^{70} + \)\(53\!\cdots\!70\)\( p^{27} T^{71} + \)\(40\!\cdots\!86\)\( p^{28} T^{72} + \)\(29\!\cdots\!69\)\( p^{29} T^{73} + 21214417233495560878 p^{30} T^{74} + 1435532466600004700 p^{31} T^{75} + 93991663004923139 p^{32} T^{76} + 5797497883976470 p^{33} T^{77} + 344078973819592 p^{34} T^{78} + 18998056686166 p^{35} T^{79} + 1002304061969 p^{36} T^{80} + 48240626948 p^{37} T^{81} + 2198854880 p^{38} T^{82} + 88362831 p^{39} T^{83} + 3325011 p^{40} T^{84} + 102745 p^{41} T^{85} + 2937 p^{42} T^{86} + 56 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
71 \( 1 + 52 T + 2658 T^{2} + 89408 T^{3} + 2840963 T^{4} + 74021251 T^{5} + 1828074132 T^{6} + 39937956493 T^{7} + 833167710685 T^{8} + 15946278826351 T^{9} + 293380173806868 T^{10} + 5055927378528906 T^{11} + 84209650807128427 T^{12} + 1331176650108922477 T^{13} + 20425482080110536038 T^{14} + \)\(30\!\cdots\!52\)\( T^{15} + \)\(42\!\cdots\!93\)\( T^{16} + \)\(59\!\cdots\!46\)\( T^{17} + \)\(79\!\cdots\!30\)\( T^{18} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( T^{19} + \)\(13\!\cdots\!24\)\( T^{20} + \)\(16\!\cdots\!95\)\( T^{21} + \)\(20\!\cdots\!65\)\( T^{22} + \)\(23\!\cdots\!84\)\( T^{23} + \)\(27\!\cdots\!64\)\( T^{24} + \)\(31\!\cdots\!60\)\( T^{25} + \)\(35\!\cdots\!49\)\( T^{26} + \)\(38\!\cdots\!50\)\( T^{27} + \)\(42\!\cdots\!53\)\( T^{28} + \)\(44\!\cdots\!77\)\( T^{29} + \)\(46\!\cdots\!21\)\( T^{30} + \)\(47\!\cdots\!37\)\( T^{31} + \)\(47\!\cdots\!30\)\( T^{32} + \)\(47\!\cdots\!15\)\( T^{33} + \)\(46\!\cdots\!70\)\( T^{34} + \)\(44\!\cdots\!44\)\( T^{35} + \)\(42\!\cdots\!48\)\( T^{36} + \)\(39\!\cdots\!77\)\( T^{37} + \)\(36\!\cdots\!07\)\( T^{38} + \)\(33\!\cdots\!56\)\( T^{39} + \)\(42\!\cdots\!09\)\( p T^{40} + \)\(26\!\cdots\!92\)\( T^{41} + \)\(23\!\cdots\!14\)\( T^{42} + \)\(19\!\cdots\!99\)\( T^{43} + \)\(16\!\cdots\!98\)\( T^{44} + \)\(19\!\cdots\!99\)\( p T^{45} + \)\(23\!\cdots\!14\)\( p^{2} T^{46} + \)\(26\!\cdots\!92\)\( p^{3} T^{47} + \)\(42\!\cdots\!09\)\( p^{5} T^{48} + \)\(33\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{49} + \)\(36\!\cdots\!07\)\( p^{6} T^{50} + \)\(39\!\cdots\!77\)\( p^{7} T^{51} + \)\(42\!\cdots\!48\)\( p^{8} T^{52} + \)\(44\!\cdots\!44\)\( p^{9} T^{53} + \)\(46\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{54} + \)\(47\!\cdots\!15\)\( p^{11} T^{55} + \)\(47\!\cdots\!30\)\( p^{12} T^{56} + \)\(47\!\cdots\!37\)\( p^{13} T^{57} + \)\(46\!\cdots\!21\)\( p^{14} T^{58} + \)\(44\!\cdots\!77\)\( p^{15} T^{59} + \)\(42\!\cdots\!53\)\( p^{16} T^{60} + \)\(38\!\cdots\!50\)\( p^{17} T^{61} + \)\(35\!\cdots\!49\)\( p^{18} T^{62} + \)\(31\!\cdots\!60\)\( p^{19} T^{63} + \)\(27\!\cdots\!64\)\( p^{20} T^{64} + \)\(23\!\cdots\!84\)\( p^{21} T^{65} + \)\(20\!\cdots\!65\)\( p^{22} T^{66} + \)\(16\!\cdots\!95\)\( p^{23} T^{67} + \)\(13\!\cdots\!24\)\( p^{24} T^{68} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( p^{25} T^{69} + \)\(79\!\cdots\!30\)\( p^{26} T^{70} + \)\(59\!\cdots\!46\)\( p^{27} T^{71} + \)\(42\!\cdots\!93\)\( p^{28} T^{72} + \)\(30\!\cdots\!52\)\( p^{29} T^{73} + 20425482080110536038 p^{30} T^{74} + 1331176650108922477 p^{31} T^{75} + 84209650807128427 p^{32} T^{76} + 5055927378528906 p^{33} T^{77} + 293380173806868 p^{34} T^{78} + 15946278826351 p^{35} T^{79} + 833167710685 p^{36} T^{80} + 39937956493 p^{37} T^{81} + 1828074132 p^{38} T^{82} + 74021251 p^{39} T^{83} + 2840963 p^{40} T^{84} + 89408 p^{41} T^{85} + 2658 p^{42} T^{86} + 52 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
73 \( 1 + 68 T + 3665 T^{2} + 146005 T^{3} + 5051564 T^{4} + 151504238 T^{5} + 4121875024 T^{6} + 102272444487 T^{7} + 2358190204907 T^{8} + 50793536998798 T^{9} + 1031956447865372 T^{10} + 19857736084830042 T^{11} + 364024090755805050 T^{12} + 6377404291946467890 T^{13} + \)\(10\!\cdots\!75\)\( T^{14} + \)\(17\!\cdots\!18\)\( T^{15} + \)\(27\!\cdots\!26\)\( T^{16} + \)\(40\!\cdots\!86\)\( T^{17} + \)\(59\!\cdots\!28\)\( T^{18} + \)\(83\!\cdots\!97\)\( T^{19} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( T^{20} + \)\(15\!\cdots\!69\)\( T^{21} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( T^{22} + \)\(25\!\cdots\!51\)\( T^{23} + \)\(31\!\cdots\!55\)\( T^{24} + \)\(37\!\cdots\!13\)\( T^{25} + \)\(44\!\cdots\!24\)\( T^{26} + \)\(51\!\cdots\!99\)\( T^{27} + \)\(58\!\cdots\!52\)\( T^{28} + \)\(64\!\cdots\!46\)\( T^{29} + \)\(70\!\cdots\!35\)\( T^{30} + \)\(74\!\cdots\!81\)\( T^{31} + \)\(77\!\cdots\!20\)\( T^{32} + \)\(79\!\cdots\!31\)\( T^{33} + \)\(80\!\cdots\!06\)\( T^{34} + \)\(79\!\cdots\!39\)\( T^{35} + \)\(77\!\cdots\!17\)\( T^{36} + \)\(74\!\cdots\!92\)\( T^{37} + \)\(70\!\cdots\!95\)\( T^{38} + \)\(65\!\cdots\!37\)\( T^{39} + \)\(59\!\cdots\!47\)\( T^{40} + \)\(53\!\cdots\!74\)\( T^{41} + \)\(47\!\cdots\!22\)\( T^{42} + \)\(41\!\cdots\!43\)\( T^{43} + \)\(35\!\cdots\!44\)\( T^{44} + \)\(41\!\cdots\!43\)\( p T^{45} + \)\(47\!\cdots\!22\)\( p^{2} T^{46} + \)\(53\!\cdots\!74\)\( p^{3} T^{47} + \)\(59\!\cdots\!47\)\( p^{4} T^{48} + \)\(65\!\cdots\!37\)\( p^{5} T^{49} + \)\(70\!\cdots\!95\)\( p^{6} T^{50} + \)\(74\!\cdots\!92\)\( p^{7} T^{51} + \)\(77\!\cdots\!17\)\( p^{8} T^{52} + \)\(79\!\cdots\!39\)\( p^{9} T^{53} + \)\(80\!\cdots\!06\)\( p^{10} T^{54} + \)\(79\!\cdots\!31\)\( p^{11} T^{55} + \)\(77\!\cdots\!20\)\( p^{12} T^{56} + \)\(74\!\cdots\!81\)\( p^{13} T^{57} + \)\(70\!\cdots\!35\)\( p^{14} T^{58} + \)\(64\!\cdots\!46\)\( p^{15} T^{59} + \)\(58\!\cdots\!52\)\( p^{16} T^{60} + \)\(51\!\cdots\!99\)\( p^{17} T^{61} + \)\(44\!\cdots\!24\)\( p^{18} T^{62} + \)\(37\!\cdots\!13\)\( p^{19} T^{63} + \)\(31\!\cdots\!55\)\( p^{20} T^{64} + \)\(25\!\cdots\!51\)\( p^{21} T^{65} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( p^{22} T^{66} + \)\(15\!\cdots\!69\)\( p^{23} T^{67} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( p^{24} T^{68} + \)\(83\!\cdots\!97\)\( p^{25} T^{69} + \)\(59\!\cdots\!28\)\( p^{26} T^{70} + \)\(40\!\cdots\!86\)\( p^{27} T^{71} + \)\(27\!\cdots\!26\)\( p^{28} T^{72} + \)\(17\!\cdots\!18\)\( p^{29} T^{73} + \)\(10\!\cdots\!75\)\( p^{30} T^{74} + 6377404291946467890 p^{31} T^{75} + 364024090755805050 p^{32} T^{76} + 19857736084830042 p^{33} T^{77} + 1031956447865372 p^{34} T^{78} + 50793536998798 p^{35} T^{79} + 2358190204907 p^{36} T^{80} + 102272444487 p^{37} T^{81} + 4121875024 p^{38} T^{82} + 151504238 p^{39} T^{83} + 5051564 p^{40} T^{84} + 146005 p^{41} T^{85} + 3665 p^{42} T^{86} + 68 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
79 \( 1 + 55 T + 2953 T^{2} + 104486 T^{3} + 3478841 T^{4} + 94822736 T^{5} + 2442812138 T^{6} + 55496122006 T^{7} + 1201165058098 T^{8} + 23760113853853 T^{9} + 451014970367044 T^{10} + 7986349553134170 T^{11} + 136523714232237598 T^{12} + 2206063055150718867 T^{13} + 34585002672755430782 T^{14} + \)\(51\!\cdots\!87\)\( T^{15} + \)\(75\!\cdots\!64\)\( T^{16} + \)\(10\!\cdots\!37\)\( T^{17} + \)\(14\!\cdots\!85\)\( T^{18} + \)\(24\!\cdots\!39\)\( p T^{19} + \)\(24\!\cdots\!77\)\( T^{20} + \)\(31\!\cdots\!65\)\( T^{21} + \)\(38\!\cdots\!15\)\( T^{22} + \)\(45\!\cdots\!84\)\( T^{23} + \)\(54\!\cdots\!96\)\( T^{24} + \)\(62\!\cdots\!17\)\( T^{25} + \)\(71\!\cdots\!65\)\( T^{26} + \)\(79\!\cdots\!93\)\( T^{27} + \)\(87\!\cdots\!95\)\( T^{28} + \)\(94\!\cdots\!50\)\( T^{29} + \)\(10\!\cdots\!15\)\( T^{30} + \)\(10\!\cdots\!21\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!55\)\( T^{32} + \)\(11\!\cdots\!06\)\( T^{33} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( T^{34} + \)\(11\!\cdots\!85\)\( T^{35} + \)\(10\!\cdots\!56\)\( T^{36} + \)\(10\!\cdots\!53\)\( T^{37} + \)\(10\!\cdots\!01\)\( T^{38} + \)\(95\!\cdots\!74\)\( T^{39} + \)\(89\!\cdots\!06\)\( T^{40} + \)\(82\!\cdots\!04\)\( T^{41} + \)\(75\!\cdots\!06\)\( T^{42} + \)\(86\!\cdots\!28\)\( p T^{43} + \)\(61\!\cdots\!54\)\( T^{44} + \)\(86\!\cdots\!28\)\( p^{2} T^{45} + \)\(75\!\cdots\!06\)\( p^{2} T^{46} + \)\(82\!\cdots\!04\)\( p^{3} T^{47} + \)\(89\!\cdots\!06\)\( p^{4} T^{48} + \)\(95\!\cdots\!74\)\( p^{5} T^{49} + \)\(10\!\cdots\!01\)\( p^{6} T^{50} + \)\(10\!\cdots\!53\)\( p^{7} T^{51} + \)\(10\!\cdots\!56\)\( p^{8} T^{52} + \)\(11\!\cdots\!85\)\( p^{9} T^{53} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( p^{10} T^{54} + \)\(11\!\cdots\!06\)\( p^{11} T^{55} + \)\(10\!\cdots\!55\)\( p^{12} T^{56} + \)\(10\!\cdots\!21\)\( p^{13} T^{57} + \)\(10\!\cdots\!15\)\( p^{14} T^{58} + \)\(94\!\cdots\!50\)\( p^{15} T^{59} + \)\(87\!\cdots\!95\)\( p^{16} T^{60} + \)\(79\!\cdots\!93\)\( p^{17} T^{61} + \)\(71\!\cdots\!65\)\( p^{18} T^{62} + \)\(62\!\cdots\!17\)\( p^{19} T^{63} + \)\(54\!\cdots\!96\)\( p^{20} T^{64} + \)\(45\!\cdots\!84\)\( p^{21} T^{65} + \)\(38\!\cdots\!15\)\( p^{22} T^{66} + \)\(31\!\cdots\!65\)\( p^{23} T^{67} + \)\(24\!\cdots\!77\)\( p^{24} T^{68} + \)\(24\!\cdots\!39\)\( p^{26} T^{69} + \)\(14\!\cdots\!85\)\( p^{26} T^{70} + \)\(10\!\cdots\!37\)\( p^{27} T^{71} + \)\(75\!\cdots\!64\)\( p^{28} T^{72} + \)\(51\!\cdots\!87\)\( p^{29} T^{73} + 34585002672755430782 p^{30} T^{74} + 2206063055150718867 p^{31} T^{75} + 136523714232237598 p^{32} T^{76} + 7986349553134170 p^{33} T^{77} + 451014970367044 p^{34} T^{78} + 23760113853853 p^{35} T^{79} + 1201165058098 p^{36} T^{80} + 55496122006 p^{37} T^{81} + 2442812138 p^{38} T^{82} + 94822736 p^{39} T^{83} + 3478841 p^{40} T^{84} + 104486 p^{41} T^{85} + 2953 p^{42} T^{86} + 55 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
83 \( 1 + 51 T + 2914 T^{2} + 100682 T^{3} + 3498213 T^{4} + 94522150 T^{5} + 2515048836 T^{6} + 56948418613 T^{7} + 1265367240040 T^{8} + 25006352940796 T^{9} + 485577423320332 T^{10} + 8602519265272774 T^{11} + 150163213991025044 T^{12} + 2430503682304765394 T^{13} + 38880794869212651105 T^{14} + \)\(58\!\cdots\!95\)\( T^{15} + \)\(86\!\cdots\!49\)\( T^{16} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!50\)\( T^{18} + \)\(22\!\cdots\!04\)\( T^{19} + \)\(29\!\cdots\!02\)\( T^{20} + \)\(37\!\cdots\!01\)\( T^{21} + \)\(47\!\cdots\!85\)\( T^{22} + \)\(57\!\cdots\!45\)\( T^{23} + \)\(68\!\cdots\!76\)\( T^{24} + \)\(79\!\cdots\!22\)\( T^{25} + \)\(92\!\cdots\!84\)\( T^{26} + \)\(10\!\cdots\!82\)\( T^{27} + \)\(11\!\cdots\!15\)\( T^{28} + \)\(12\!\cdots\!91\)\( T^{29} + \)\(13\!\cdots\!75\)\( T^{30} + \)\(14\!\cdots\!54\)\( T^{31} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( T^{32} + \)\(15\!\cdots\!01\)\( T^{33} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( T^{34} + \)\(15\!\cdots\!71\)\( T^{35} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( T^{36} + \)\(15\!\cdots\!92\)\( T^{37} + \)\(15\!\cdots\!29\)\( T^{38} + \)\(14\!\cdots\!52\)\( T^{39} + \)\(13\!\cdots\!59\)\( T^{40} + \)\(12\!\cdots\!45\)\( T^{41} + \)\(12\!\cdots\!16\)\( T^{42} + \)\(10\!\cdots\!19\)\( T^{43} + \)\(10\!\cdots\!10\)\( T^{44} + \)\(10\!\cdots\!19\)\( p T^{45} + \)\(12\!\cdots\!16\)\( p^{2} T^{46} + \)\(12\!\cdots\!45\)\( p^{3} T^{47} + \)\(13\!\cdots\!59\)\( p^{4} T^{48} + \)\(14\!\cdots\!52\)\( p^{5} T^{49} + \)\(15\!\cdots\!29\)\( p^{6} T^{50} + \)\(15\!\cdots\!92\)\( p^{7} T^{51} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( p^{8} T^{52} + \)\(15\!\cdots\!71\)\( p^{9} T^{53} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{54} + \)\(15\!\cdots\!01\)\( p^{11} T^{55} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( p^{12} T^{56} + \)\(14\!\cdots\!54\)\( p^{13} T^{57} + \)\(13\!\cdots\!75\)\( p^{14} T^{58} + \)\(12\!\cdots\!91\)\( p^{15} T^{59} + \)\(11\!\cdots\!15\)\( p^{16} T^{60} + \)\(10\!\cdots\!82\)\( p^{17} T^{61} + \)\(92\!\cdots\!84\)\( p^{18} T^{62} + \)\(79\!\cdots\!22\)\( p^{19} T^{63} + \)\(68\!\cdots\!76\)\( p^{20} T^{64} + \)\(57\!\cdots\!45\)\( p^{21} T^{65} + \)\(47\!\cdots\!85\)\( p^{22} T^{66} + \)\(37\!\cdots\!01\)\( p^{23} T^{67} + \)\(29\!\cdots\!02\)\( p^{24} T^{68} + \)\(22\!\cdots\!04\)\( p^{25} T^{69} + \)\(16\!\cdots\!50\)\( p^{26} T^{70} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( p^{27} T^{71} + \)\(86\!\cdots\!49\)\( p^{28} T^{72} + \)\(58\!\cdots\!95\)\( p^{29} T^{73} + 38880794869212651105 p^{30} T^{74} + 2430503682304765394 p^{31} T^{75} + 150163213991025044 p^{32} T^{76} + 8602519265272774 p^{33} T^{77} + 485577423320332 p^{34} T^{78} + 25006352940796 p^{35} T^{79} + 1265367240040 p^{36} T^{80} + 56948418613 p^{37} T^{81} + 2515048836 p^{38} T^{82} + 94522150 p^{39} T^{83} + 3498213 p^{40} T^{84} + 100682 p^{41} T^{85} + 2914 p^{42} T^{86} + 51 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
89 \( 1 + 21 T + 1888 T^{2} + 37551 T^{3} + 1799315 T^{4} + 33830358 T^{5} + 1151053135 T^{6} + 20464453312 T^{7} + 555021631313 T^{8} + 9345105080115 T^{9} + 214879531214828 T^{10} + 3433863156080202 T^{11} + 69508108424064762 T^{12} + 1056824922943738031 T^{13} + 19306783774357687228 T^{14} + \)\(27\!\cdots\!47\)\( T^{15} + \)\(46\!\cdots\!30\)\( T^{16} + \)\(65\!\cdots\!09\)\( T^{17} + \)\(10\!\cdots\!45\)\( T^{18} + \)\(13\!\cdots\!32\)\( T^{19} + \)\(19\!\cdots\!56\)\( T^{20} + \)\(25\!\cdots\!81\)\( T^{21} + \)\(35\!\cdots\!58\)\( T^{22} + \)\(43\!\cdots\!99\)\( T^{23} + \)\(56\!\cdots\!31\)\( T^{24} + \)\(67\!\cdots\!34\)\( T^{25} + \)\(85\!\cdots\!10\)\( T^{26} + \)\(97\!\cdots\!20\)\( T^{27} + \)\(11\!\cdots\!71\)\( T^{28} + \)\(13\!\cdots\!33\)\( T^{29} + \)\(15\!\cdots\!51\)\( T^{30} + \)\(16\!\cdots\!51\)\( T^{31} + \)\(18\!\cdots\!85\)\( T^{32} + \)\(19\!\cdots\!72\)\( T^{33} + \)\(23\!\cdots\!41\)\( p T^{34} + \)\(21\!\cdots\!79\)\( T^{35} + \)\(23\!\cdots\!42\)\( T^{36} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( T^{37} + \)\(23\!\cdots\!63\)\( T^{38} + \)\(23\!\cdots\!58\)\( T^{39} + \)\(23\!\cdots\!34\)\( T^{40} + \)\(22\!\cdots\!22\)\( T^{41} + \)\(22\!\cdots\!84\)\( T^{42} + \)\(20\!\cdots\!11\)\( T^{43} + \)\(20\!\cdots\!22\)\( T^{44} + \)\(20\!\cdots\!11\)\( p T^{45} + \)\(22\!\cdots\!84\)\( p^{2} T^{46} + \)\(22\!\cdots\!22\)\( p^{3} T^{47} + \)\(23\!\cdots\!34\)\( p^{4} T^{48} + \)\(23\!\cdots\!58\)\( p^{5} T^{49} + \)\(23\!\cdots\!63\)\( p^{6} T^{50} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{7} T^{51} + \)\(23\!\cdots\!42\)\( p^{8} T^{52} + \)\(21\!\cdots\!79\)\( p^{9} T^{53} + \)\(23\!\cdots\!41\)\( p^{11} T^{54} + \)\(19\!\cdots\!72\)\( p^{11} T^{55} + \)\(18\!\cdots\!85\)\( p^{12} T^{56} + \)\(16\!\cdots\!51\)\( p^{13} T^{57} + \)\(15\!\cdots\!51\)\( p^{14} T^{58} + \)\(13\!\cdots\!33\)\( p^{15} T^{59} + \)\(11\!\cdots\!71\)\( p^{16} T^{60} + \)\(97\!\cdots\!20\)\( p^{17} T^{61} + \)\(85\!\cdots\!10\)\( p^{18} T^{62} + \)\(67\!\cdots\!34\)\( p^{19} T^{63} + \)\(56\!\cdots\!31\)\( p^{20} T^{64} + \)\(43\!\cdots\!99\)\( p^{21} T^{65} + \)\(35\!\cdots\!58\)\( p^{22} T^{66} + \)\(25\!\cdots\!81\)\( p^{23} T^{67} + \)\(19\!\cdots\!56\)\( p^{24} T^{68} + \)\(13\!\cdots\!32\)\( p^{25} T^{69} + \)\(10\!\cdots\!45\)\( p^{26} T^{70} + \)\(65\!\cdots\!09\)\( p^{27} T^{71} + \)\(46\!\cdots\!30\)\( p^{28} T^{72} + \)\(27\!\cdots\!47\)\( p^{29} T^{73} + 19306783774357687228 p^{30} T^{74} + 1056824922943738031 p^{31} T^{75} + 69508108424064762 p^{32} T^{76} + 3433863156080202 p^{33} T^{77} + 214879531214828 p^{34} T^{78} + 9345105080115 p^{35} T^{79} + 555021631313 p^{36} T^{80} + 20464453312 p^{37} T^{81} + 1151053135 p^{38} T^{82} + 33830358 p^{39} T^{83} + 1799315 p^{40} T^{84} + 37551 p^{41} T^{85} + 1888 p^{42} T^{86} + 21 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
97 \( 1 + 67 T + 4372 T^{2} + 192321 T^{3} + 7857390 T^{4} + 268127151 T^{5} + 8538090768 T^{6} + 243676694469 T^{7} + 6552315612526 T^{8} + 163120727981891 T^{9} + 3859060136978518 T^{10} + 86056588213314313 T^{11} + 1836351955027747322 T^{12} + 37351612763405598293 T^{13} + \)\(73\!\cdots\!18\)\( T^{14} + \)\(13\!\cdots\!27\)\( T^{15} + \)\(24\!\cdots\!13\)\( T^{16} + \)\(43\!\cdots\!12\)\( T^{17} + \)\(74\!\cdots\!43\)\( T^{18} + \)\(12\!\cdots\!50\)\( T^{19} + \)\(19\!\cdots\!69\)\( T^{20} + \)\(30\!\cdots\!92\)\( T^{21} + \)\(48\!\cdots\!18\)\( p T^{22} + \)\(69\!\cdots\!75\)\( T^{23} + \)\(10\!\cdots\!38\)\( T^{24} + \)\(14\!\cdots\!82\)\( T^{25} + \)\(19\!\cdots\!50\)\( T^{26} + \)\(26\!\cdots\!37\)\( T^{27} + \)\(35\!\cdots\!51\)\( T^{28} + \)\(45\!\cdots\!71\)\( T^{29} + \)\(57\!\cdots\!81\)\( T^{30} + \)\(72\!\cdots\!53\)\( T^{31} + \)\(88\!\cdots\!41\)\( T^{32} + \)\(10\!\cdots\!98\)\( T^{33} + \)\(12\!\cdots\!68\)\( T^{34} + \)\(14\!\cdots\!02\)\( T^{35} + \)\(16\!\cdots\!99\)\( T^{36} + \)\(18\!\cdots\!96\)\( T^{37} + \)\(20\!\cdots\!45\)\( T^{38} + \)\(21\!\cdots\!27\)\( T^{39} + \)\(23\!\cdots\!08\)\( T^{40} + \)\(24\!\cdots\!62\)\( T^{41} + \)\(25\!\cdots\!74\)\( T^{42} + \)\(25\!\cdots\!41\)\( T^{43} + \)\(25\!\cdots\!14\)\( T^{44} + \)\(25\!\cdots\!41\)\( p T^{45} + \)\(25\!\cdots\!74\)\( p^{2} T^{46} + \)\(24\!\cdots\!62\)\( p^{3} T^{47} + \)\(23\!\cdots\!08\)\( p^{4} T^{48} + \)\(21\!\cdots\!27\)\( p^{5} T^{49} + \)\(20\!\cdots\!45\)\( p^{6} T^{50} + \)\(18\!\cdots\!96\)\( p^{7} T^{51} + \)\(16\!\cdots\!99\)\( p^{8} T^{52} + \)\(14\!\cdots\!02\)\( p^{9} T^{53} + \)\(12\!\cdots\!68\)\( p^{10} T^{54} + \)\(10\!\cdots\!98\)\( p^{11} T^{55} + \)\(88\!\cdots\!41\)\( p^{12} T^{56} + \)\(72\!\cdots\!53\)\( p^{13} T^{57} + \)\(57\!\cdots\!81\)\( p^{14} T^{58} + \)\(45\!\cdots\!71\)\( p^{15} T^{59} + \)\(35\!\cdots\!51\)\( p^{16} T^{60} + \)\(26\!\cdots\!37\)\( p^{17} T^{61} + \)\(19\!\cdots\!50\)\( p^{18} T^{62} + \)\(14\!\cdots\!82\)\( p^{19} T^{63} + \)\(10\!\cdots\!38\)\( p^{20} T^{64} + \)\(69\!\cdots\!75\)\( p^{21} T^{65} + \)\(48\!\cdots\!18\)\( p^{23} T^{66} + \)\(30\!\cdots\!92\)\( p^{23} T^{67} + \)\(19\!\cdots\!69\)\( p^{24} T^{68} + \)\(12\!\cdots\!50\)\( p^{25} T^{69} + \)\(74\!\cdots\!43\)\( p^{26} T^{70} + \)\(43\!\cdots\!12\)\( p^{27} T^{71} + \)\(24\!\cdots\!13\)\( p^{28} T^{72} + \)\(13\!\cdots\!27\)\( p^{29} T^{73} + \)\(73\!\cdots\!18\)\( p^{30} T^{74} + 37351612763405598293 p^{31} T^{75} + 1836351955027747322 p^{32} T^{76} + 86056588213314313 p^{33} T^{77} + 3859060136978518 p^{34} T^{78} + 163120727981891 p^{35} T^{79} + 6552315612526 p^{36} T^{80} + 243676694469 p^{37} T^{81} + 8538090768 p^{38} T^{82} + 268127151 p^{39} T^{83} + 7857390 p^{40} T^{84} + 192321 p^{41} T^{85} + 4372 p^{42} T^{86} + 67 p^{43} T^{87} + p^{44} T^{88} \)
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\[\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{88} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.37602980463858779022753745080, −1.36302550940283962618178374990, −1.33983056017495970504438475064, −1.25477901657030875358561526320, −1.25423428595900978735453049610, −1.24786530704091697553979774520, −1.23745233800560637422609383925, −1.21132753789727453178010502556, −1.21037764448722033468858758853, −1.19885081152647687614009897262, −1.19294278060123591951712247758, −1.18154424234106845908492046374, −1.14045958051574455883897326198, −1.13643916508057086361612997605, −1.11826978994614781069470030450, −1.07926071039763555709813272107, −1.05415338382024604219967608969, −1.03885552454624491064135648166, −0.977135235451922692975186942985, −0.964951951064832553478997929232, −0.868026396193306314343871014461, −0.824210600073255000755724406671, −0.814987989596458639881007945165, −0.807179065988432061005270006012, −0.56861644557585869996959433509, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.56861644557585869996959433509, 0.807179065988432061005270006012, 0.814987989596458639881007945165, 0.824210600073255000755724406671, 0.868026396193306314343871014461, 0.964951951064832553478997929232, 0.977135235451922692975186942985, 1.03885552454624491064135648166, 1.05415338382024604219967608969, 1.07926071039763555709813272107, 1.11826978994614781069470030450, 1.13643916508057086361612997605, 1.14045958051574455883897326198, 1.18154424234106845908492046374, 1.19294278060123591951712247758, 1.19885081152647687614009897262, 1.21037764448722033468858758853, 1.21132753789727453178010502556, 1.23745233800560637422609383925, 1.24786530704091697553979774520, 1.25423428595900978735453049610, 1.25477901657030875358561526320, 1.33983056017495970504438475064, 1.36302550940283962618178374990, 1.37602980463858779022753745080

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.