# Properties

 Degree $16$ Conductor $1.689\times 10^{30}$ Sign $1$ Motivic weight $1$ Primitive no Self-dual yes Analytic rank $0$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 4·5-s + 7-s − 24·9-s − 7·11-s − 12·13-s − 7·17-s + 8·19-s + 10·23-s − 9·25-s + 5·29-s + 3·31-s + 4·35-s − 15·37-s − 5·41-s + 10·43-s − 96·45-s + 18·47-s − 12·49-s + 9·53-s − 28·55-s + 8·59-s + 13·61-s − 24·63-s − 48·65-s + 21·67-s + 44·71-s − 20·73-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 1.78·5-s + 0.377·7-s − 8·9-s − 2.11·11-s − 3.32·13-s − 1.69·17-s + 1.83·19-s + 2.08·23-s − 9/5·25-s + 0.928·29-s + 0.538·31-s + 0.676·35-s − 2.46·37-s − 0.780·41-s + 1.52·43-s − 14.3·45-s + 2.62·47-s − 1.71·49-s + 1.23·53-s − 3.77·55-s + 1.04·59-s + 1.66·61-s − 3.02·63-s − 5.95·65-s + 2.56·67-s + 5.22·71-s − 2.34·73-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{16} \cdot 19^{8} \cdot 79^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{16} \cdot 19^{8} \cdot 79^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$16$$ Conductor: $$2^{16} \cdot 19^{8} \cdot 79^{8}$$ Sign: $1$ Motivic weight: $$1$$ Character: induced by $\chi_{6004} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$0$$ Selberg data: $$(16,\ 2^{16} \cdot 19^{8} \cdot 79^{8} ,\ ( \ : [1/2]^{8} ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$\approx$$ $$7.763120546$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$7.763120546$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad2 $$1$$
19 $$( 1 - T )^{8}$$
79 $$( 1 - T )^{8}$$
good3 $$( 1 + p T^{2} )^{8}$$
5 $$1 - 4 T + p^{2} T^{2} - 84 T^{3} + 337 T^{4} - 948 T^{5} + 2874 T^{6} - 1376 p T^{7} + 17138 T^{8} - 1376 p^{2} T^{9} + 2874 p^{2} T^{10} - 948 p^{3} T^{11} + 337 p^{4} T^{12} - 84 p^{5} T^{13} + p^{8} T^{14} - 4 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
7 $$1 - T + 13 T^{2} - 16 T^{3} + 96 T^{4} - 40 T^{5} + 411 T^{6} + 97 p T^{7} + 1814 T^{8} + 97 p^{2} T^{9} + 411 p^{2} T^{10} - 40 p^{3} T^{11} + 96 p^{4} T^{12} - 16 p^{5} T^{13} + 13 p^{6} T^{14} - p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
11 $$1 + 7 T + 45 T^{2} + 240 T^{3} + 1092 T^{4} + 4810 T^{5} + 19147 T^{6} + 69981 T^{7} + 249270 T^{8} + 69981 p T^{9} + 19147 p^{2} T^{10} + 4810 p^{3} T^{11} + 1092 p^{4} T^{12} + 240 p^{5} T^{13} + 45 p^{6} T^{14} + 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
13 $$1 + 12 T + 8 p T^{2} + 670 T^{3} + 3932 T^{4} + 20094 T^{5} + 93464 T^{6} + 382864 T^{7} + 1450726 T^{8} + 382864 p T^{9} + 93464 p^{2} T^{10} + 20094 p^{3} T^{11} + 3932 p^{4} T^{12} + 670 p^{5} T^{13} + 8 p^{7} T^{14} + 12 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
17 $$1 + 7 T + 103 T^{2} + 548 T^{3} + 4706 T^{4} + 20574 T^{5} + 133017 T^{6} + 495463 T^{7} + 2645882 T^{8} + 495463 p T^{9} + 133017 p^{2} T^{10} + 20574 p^{3} T^{11} + 4706 p^{4} T^{12} + 548 p^{5} T^{13} + 103 p^{6} T^{14} + 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
23 $$1 - 10 T + 148 T^{2} - 50 p T^{3} + 10460 T^{4} - 65118 T^{5} + 443372 T^{6} - 2270570 T^{7} + 12421126 T^{8} - 2270570 p T^{9} + 443372 p^{2} T^{10} - 65118 p^{3} T^{11} + 10460 p^{4} T^{12} - 50 p^{6} T^{13} + 148 p^{6} T^{14} - 10 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
29 $$1 - 5 T + 123 T^{2} - 632 T^{3} + 8076 T^{4} - 40332 T^{5} + 367881 T^{6} - 1687507 T^{7} + 12353870 T^{8} - 1687507 p T^{9} + 367881 p^{2} T^{10} - 40332 p^{3} T^{11} + 8076 p^{4} T^{12} - 632 p^{5} T^{13} + 123 p^{6} T^{14} - 5 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
31 $$1 - 3 T + 85 T^{2} - 104 T^{3} + 4332 T^{4} - 2254 T^{5} + 173379 T^{6} + 53815 T^{7} + 5357270 T^{8} + 53815 p T^{9} + 173379 p^{2} T^{10} - 2254 p^{3} T^{11} + 4332 p^{4} T^{12} - 104 p^{5} T^{13} + 85 p^{6} T^{14} - 3 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
37 $$1 + 15 T + 237 T^{2} + 2302 T^{3} + 23122 T^{4} + 175446 T^{5} + 1383461 T^{6} + 8836885 T^{7} + 59177890 T^{8} + 8836885 p T^{9} + 1383461 p^{2} T^{10} + 175446 p^{3} T^{11} + 23122 p^{4} T^{12} + 2302 p^{5} T^{13} + 237 p^{6} T^{14} + 15 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
41 $$1 + 5 T + 191 T^{2} + 866 T^{3} + 17988 T^{4} + 72014 T^{5} + 1116991 T^{6} + 3913103 T^{7} + 51879078 T^{8} + 3913103 p T^{9} + 1116991 p^{2} T^{10} + 72014 p^{3} T^{11} + 17988 p^{4} T^{12} + 866 p^{5} T^{13} + 191 p^{6} T^{14} + 5 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
43 $$1 - 10 T + 295 T^{2} - 2540 T^{3} + 39711 T^{4} - 293262 T^{5} + 3191662 T^{6} - 19896490 T^{7} + 167715516 T^{8} - 19896490 p T^{9} + 3191662 p^{2} T^{10} - 293262 p^{3} T^{11} + 39711 p^{4} T^{12} - 2540 p^{5} T^{13} + 295 p^{6} T^{14} - 10 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
47 $$1 - 18 T + 263 T^{2} - 2560 T^{3} + 25259 T^{4} - 188914 T^{5} + 1472786 T^{6} - 9491518 T^{7} + 71064236 T^{8} - 9491518 p T^{9} + 1472786 p^{2} T^{10} - 188914 p^{3} T^{11} + 25259 p^{4} T^{12} - 2560 p^{5} T^{13} + 263 p^{6} T^{14} - 18 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
53 $$1 - 9 T + 181 T^{2} - 464 T^{3} + 10156 T^{4} + 7868 T^{5} + 802565 T^{6} - 1836179 T^{7} + 63746742 T^{8} - 1836179 p T^{9} + 802565 p^{2} T^{10} + 7868 p^{3} T^{11} + 10156 p^{4} T^{12} - 464 p^{5} T^{13} + 181 p^{6} T^{14} - 9 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
59 $$1 - 8 T + 252 T^{2} - 1240 T^{3} + 26964 T^{4} - 107256 T^{5} + 2224100 T^{6} - 9475496 T^{7} + 154140598 T^{8} - 9475496 p T^{9} + 2224100 p^{2} T^{10} - 107256 p^{3} T^{11} + 26964 p^{4} T^{12} - 1240 p^{5} T^{13} + 252 p^{6} T^{14} - 8 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
61 $$1 - 13 T + 413 T^{2} - 4122 T^{3} + 76238 T^{4} - 621696 T^{5} + 8486267 T^{6} - 57502613 T^{7} + 627276258 T^{8} - 57502613 p T^{9} + 8486267 p^{2} T^{10} - 621696 p^{3} T^{11} + 76238 p^{4} T^{12} - 4122 p^{5} T^{13} + 413 p^{6} T^{14} - 13 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
67 $$1 - 21 T + 647 T^{2} - 9526 T^{3} + 166524 T^{4} - 1867294 T^{5} + 23315863 T^{6} - 205726833 T^{7} + 1978152066 T^{8} - 205726833 p T^{9} + 23315863 p^{2} T^{10} - 1867294 p^{3} T^{11} + 166524 p^{4} T^{12} - 9526 p^{5} T^{13} + 647 p^{6} T^{14} - 21 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
71 $$1 - 44 T + 1282 T^{2} - 26938 T^{3} + 456972 T^{4} - 6426094 T^{5} + 77190686 T^{6} - 11267920 p T^{7} + 7221053478 T^{8} - 11267920 p^{2} T^{9} + 77190686 p^{2} T^{10} - 6426094 p^{3} T^{11} + 456972 p^{4} T^{12} - 26938 p^{5} T^{13} + 1282 p^{6} T^{14} - 44 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
73 $$1 + 20 T + 577 T^{2} + 9036 T^{3} + 146493 T^{4} + 1823236 T^{5} + 21290890 T^{6} + 213010104 T^{7} + 1939271878 T^{8} + 213010104 p T^{9} + 21290890 p^{2} T^{10} + 1823236 p^{3} T^{11} + 146493 p^{4} T^{12} + 9036 p^{5} T^{13} + 577 p^{6} T^{14} + 20 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
83 $$1 + 4 T + 576 T^{2} + 2392 T^{3} + 149900 T^{4} + 606992 T^{5} + 23200192 T^{6} + 84755532 T^{7} + 2349690630 T^{8} + 84755532 p T^{9} + 23200192 p^{2} T^{10} + 606992 p^{3} T^{11} + 149900 p^{4} T^{12} + 2392 p^{5} T^{13} + 576 p^{6} T^{14} + 4 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
89 $$1 + 10 T + 432 T^{2} + 4376 T^{3} + 97892 T^{4} + 937012 T^{5} + 14548976 T^{6} + 124904378 T^{7} + 1524844726 T^{8} + 124904378 p T^{9} + 14548976 p^{2} T^{10} + 937012 p^{3} T^{11} + 97892 p^{4} T^{12} + 4376 p^{5} T^{13} + 432 p^{6} T^{14} + 10 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
97 $$1 + 22 T + 760 T^{2} + 11450 T^{3} + 229228 T^{4} + 2655822 T^{5} + 39640072 T^{6} + 375560034 T^{7} + 4585904678 T^{8} + 375560034 p T^{9} + 39640072 p^{2} T^{10} + 2655822 p^{3} T^{11} + 229228 p^{4} T^{12} + 11450 p^{5} T^{13} + 760 p^{6} T^{14} + 22 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$