LMFDB - L-function 24-60e12-1.1-c6e12-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 312·5^-s + 120·7^-s − 3.24e3·11^-s − 2.10e3·13^-s − 5.54e3·17^-s − 2.38e4·23^-s + 5.36e4·25^-s − 1.27e5·31^-s + 3.74e4·35^-s + 2.82e5·37^-s − 3.20e5·41^-s − 6.28e4·43^-s + 3.81e5·47^-s + 7.20e3·49^-s − 4.00e5·53^-s − 1.01e6·55^-s + 8.07e5·61^-s − 6.55e5·65^-s + 7.52e5·67^-s + 2.02e5·71^-s − 3.22e5·73^-s − 3.89e5·77^-s − 1.77e5·81^-s + 1.89e6·83^-s − 1.72e6·85^-s − 2.52e5·91^-s − 3.16e6·97^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 2.49·5^-s + 0.349·7^-s − 2.44·11^-s − 0.955·13^-s − 1.12·17^-s − 1.95·23^-s + 3.43·25^-s − 4.26·31^-s + 0.873·35^-s + 5.58·37^-s − 4.65·41^-s − 0.790·43^-s + 3.67·47^-s + 0.0611·49^-s − 2.68·53^-s − 6.09·55^-s + 3.55·61^-s − 2.38·65^-s + 2.50·67^-s + 0.565·71^-s − 0.827·73^-s − 0.853·77^-s − 1/3·81^-s + 3.31·83^-s − 2.81·85^-s − 0.334·91^-s − 3.46·97^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{24} \cdot 3^{12} \cdot 5^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(7-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{24} \cdot 3^{12} \cdot 5^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+3)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$24$
Conductor:	$2^{24} \cdot 3^{12} \cdot 5^{12}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$4.78381\times 10^{13}$
Root analytic conductor:	$3.71527$
Motivic weight:	$6$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(24,\ 2^{24} \cdot 3^{12} \cdot 5^{12} ,\ ( \ : [3]^{12} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(\frac{7}{2})$	$\approx$	$0.3721259338$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.3721259338$
$L(4)$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ 1 $
	3	$ ( 1 + p^{10} T^{4} )^{3} $
	5	$ 1 - 312 T + 1746 p^{2} T^{2} - 274152 p^{2} T^{3} + 68571 p^{6} T^{4} - 7408032 p^{6} T^{5} + 31574276 p^{8} T^{6} - 7408032 p^{12} T^{7} + 68571 p^{18} T^{8} - 274152 p^{20} T^{9} + 1746 p^{26} T^{10} - 312 p^{30} T^{11} + p^{36} T^{12} $
good	7	$ 1 - 120 T + 7200 T^{2} - 32776040 T^{3} + 214766718 p^{2} T^{4} - 5927401969320 T^{5} + 167521848178400 p T^{6} - 1377939667825443000 T^{7} + 75433057483433970111 T^{8} - $$20\!\cdots\!20$$ p T^{9} + $$51\!\cdots\!00$$ T^{10} - $$72\!\cdots\!60$$ T^{11} + $$43\!\cdots\!48$$ T^{12} - $$72\!\cdots\!60$$ p^{6} T^{13} + $$51\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{14} - $$20\!\cdots\!20$$ p^{19} T^{15} + 75433057483433970111 p^{24} T^{16} - 1377939667825443000 p^{30} T^{17} + 167521848178400 p^{37} T^{18} - 5927401969320 p^{42} T^{19} + 214766718 p^{50} T^{20} - 32776040 p^{54} T^{21} + 7200 p^{60} T^{22} - 120 p^{66} T^{23} + p^{72} T^{24} $
	11	$ ( 1 + 1624 T + 7111706 T^{2} + 9646366200 T^{3} + 22876797225715 T^{4} + 26587372994535824 T^{5} + 47383984670171129236 T^{6} + 26587372994535824 p^{6} T^{7} + 22876797225715 p^{12} T^{8} + 9646366200 p^{18} T^{9} + 7111706 p^{24} T^{10} + 1624 p^{30} T^{11} + p^{36} T^{12} )^{2} $
	13	$ 1 + 2100 T + 2205000 T^{2} + 2907363900 T^{3} + 6889672289586 T^{4} - 23252126215084500 T^{5} - 59794810026702975000 T^{6} - $$19\!\cdots\!00$$ T^{7} - $$11\!\cdots\!85$$ T^{8} + $$28\!\cdots\!00$$ T^{9} + $$41\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$49\!\cdots\!00$$ T^{11} + $$29\!\cdots\!20$$ T^{12} + $$49\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{13} + $$41\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{14} + $$28\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{15} - $$11\!\cdots\!85$$ p^{24} T^{16} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{17} - 59794810026702975000 p^{36} T^{18} - 23252126215084500 p^{42} T^{19} + 6889672289586 p^{48} T^{20} + 2907363900 p^{54} T^{21} + 2205000 p^{60} T^{22} + 2100 p^{66} T^{23} + p^{72} T^{24} $
	17	$ 1 + 5540 T + 15345800 T^{2} + 68050531980 T^{3} + 1674742928998162 T^{4} + 9670393997202472540 T^{5} + $$30\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$18\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$16\!\cdots\!11$$ T^{8} + $$44\!\cdots\!40$$ p T^{9} + $$24\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$17\!\cdots\!20$$ T^{11} + $$12\!\cdots\!68$$ T^{12} + $$17\!\cdots\!20$$ p^{6} T^{13} + $$24\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{14} + $$44\!\cdots\!40$$ p^{19} T^{15} + $$16\!\cdots\!11$$ p^{24} T^{16} + $$18\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{17} + $$30\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} + 9670393997202472540 p^{42} T^{19} + 1674742928998162 p^{48} T^{20} + 68050531980 p^{54} T^{21} + 15345800 p^{60} T^{22} + 5540 p^{66} T^{23} + p^{72} T^{24} $
	19	$ 1 - 135640572 T^{2} + 11765465133166626 T^{4} - $$66\!\cdots\!20$$ T^{6} + $$26\!\cdots\!95$$ T^{8} - $$83\!\cdots\!92$$ T^{10} + $$26\!\cdots\!44$$ T^{12} - $$83\!\cdots\!92$$ p^{12} T^{14} + $$26\!\cdots\!95$$ p^{24} T^{16} - $$66\!\cdots\!20$$ p^{36} T^{18} + 11765465133166626 p^{48} T^{20} - 135640572 p^{60} T^{22} + p^{72} T^{24} $
	23	$ 1 + 23840 T + 284172800 T^{2} + 1676601980640 T^{3} - 19281991670268026 T^{4} - $$72\!\cdots\!00$$ T^{5} - $$10\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$11\!\cdots\!00$$ T^{7} - $$54\!\cdots\!85$$ T^{8} + $$39\!\cdots\!00$$ T^{9} + $$12\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$16\!\cdots\!00$$ T^{11} + $$21\!\cdots\!80$$ T^{12} + $$16\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{13} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{14} + $$39\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{15} - $$54\!\cdots\!85$$ p^{24} T^{16} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{17} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} - $$72\!\cdots\!00$$ p^{42} T^{19} - 19281991670268026 p^{48} T^{20} + 1676601980640 p^{54} T^{21} + 284172800 p^{60} T^{22} + 23840 p^{66} T^{23} + p^{72} T^{24} $
	29	$ 1 - 164198292 p T^{2} + 11331452449223537706 T^{4} - $$17\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$20\!\cdots\!95$$ T^{8} - $$17\!\cdots\!08$$ T^{10} + $$11\!\cdots\!64$$ T^{12} - $$17\!\cdots\!08$$ p^{12} T^{14} + $$20\!\cdots\!95$$ p^{24} T^{16} - $$17\!\cdots\!80$$ p^{36} T^{18} + 11331452449223537706 p^{48} T^{20} - 164198292 p^{61} T^{22} + p^{72} T^{24} $
	31	$ ( 1 + 63576 T + 5333910726 T^{2} + 245802859420600 T^{3} + 11829385388427288015 T^{4} + $$40\!\cdots\!76$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!36$$ T^{6} + $$40\!\cdots\!76$$ p^{6} T^{7} + 11829385388427288015 p^{12} T^{8} + 245802859420600 p^{18} T^{9} + 5333910726 p^{24} T^{10} + 63576 p^{30} T^{11} + p^{36} T^{12} )^{2} $
	37	$ 1 - 282900 T + 40016205000 T^{2} - 4117096434755100 T^{3} + $$36\!\cdots\!14$$ T^{4} - $$27\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$19\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$12\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$75\!\cdots\!15$$ T^{8} - $$42\!\cdots\!00$$ T^{9} + $$23\!\cdots\!00$$ T^{10} - $$12\!\cdots\!00$$ T^{11} + $$63\!\cdots\!80$$ T^{12} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{13} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{14} - $$42\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{15} + $$75\!\cdots\!15$$ p^{24} T^{16} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{17} + $$19\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} - $$27\!\cdots\!00$$ p^{42} T^{19} + $$36\!\cdots\!14$$ p^{48} T^{20} - 4117096434755100 p^{54} T^{21} + 40016205000 p^{60} T^{22} - 282900 p^{66} T^{23} + p^{72} T^{24} $
	41	$ ( 1 + 160360 T + 36071790446 T^{2} + 3819874174117800 T^{3} + $$47\!\cdots\!15$$ T^{4} + $$36\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$31\!\cdots\!20$$ T^{6} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{7} + $$47\!\cdots\!15$$ p^{12} T^{8} + 3819874174117800 p^{18} T^{9} + 36071790446 p^{24} T^{10} + 160360 p^{30} T^{11} + p^{36} T^{12} )^{2} $
	43	$ 1 + 62880 T + 1976947200 T^{2} + 230295722837280 T^{3} + 82772804523219633894 T^{4} + $$39\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$45\!\cdots\!00$$ T^{7} - $$12\!\cdots\!85$$ T^{8} - $$66\!\cdots\!00$$ T^{9} - $$20\!\cdots\!00$$ T^{10} - $$97\!\cdots\!00$$ T^{11} - $$23\!\cdots\!20$$ T^{12} - $$97\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{13} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{14} - $$66\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{15} - $$12\!\cdots\!85$$ p^{24} T^{16} + $$45\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{17} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} + $$39\!\cdots\!00$$ p^{42} T^{19} + 82772804523219633894 p^{48} T^{20} + 230295722837280 p^{54} T^{21} + 1976947200 p^{60} T^{22} + 62880 p^{66} T^{23} + p^{72} T^{24} $
	47	$ 1 - 381600 T + 72809280000 T^{2} - 8692476159952800 T^{3} + $$64\!\cdots\!02$$ T^{4} - $$25\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$48\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$28\!\cdots\!00$$ T^{7} - $$17\!\cdots\!89$$ T^{8} + $$21\!\cdots\!00$$ T^{9} + $$19\!\cdots\!00$$ T^{10} - $$10\!\cdots\!00$$ T^{11} + $$15\!\cdots\!28$$ T^{12} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{13} + $$19\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{14} + $$21\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{15} - $$17\!\cdots\!89$$ p^{24} T^{16} + $$28\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{17} + $$48\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} - $$25\!\cdots\!00$$ p^{42} T^{19} + $$64\!\cdots\!02$$ p^{48} T^{20} - 8692476159952800 p^{54} T^{21} + 72809280000 p^{60} T^{22} - 381600 p^{66} T^{23} + p^{72} T^{24} $
	53	$ 1 + 400300 T + 80120045000 T^{2} + 17721867354836100 T^{3} + $$33\!\cdots\!22$$ T^{4} + $$40\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$50\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$66\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$52\!\cdots\!71$$ T^{8} + $$60\!\cdots\!00$$ T^{9} + $$13\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$20\!\cdots\!00$$ T^{11} + $$28\!\cdots\!88$$ T^{12} + $$20\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{13} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{14} + $$60\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{15} + $$52\!\cdots\!71$$ p^{24} T^{16} + $$66\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{17} + $$50\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} + $$40\!\cdots\!00$$ p^{42} T^{19} + $$33\!\cdots\!22$$ p^{48} T^{20} + 17721867354836100 p^{54} T^{21} + 80120045000 p^{60} T^{22} + 400300 p^{66} T^{23} + p^{72} T^{24} $
	59	$ 1 - 145566028788 T^{2} + $$14\!\cdots\!46$$ T^{4} - $$89\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$45\!\cdots\!95$$ T^{8} - $$19\!\cdots\!08$$ T^{10} + $$80\!\cdots\!24$$ T^{12} - $$19\!\cdots\!08$$ p^{12} T^{14} + $$45\!\cdots\!95$$ p^{24} T^{16} - $$89\!\cdots\!80$$ p^{36} T^{18} + $$14\!\cdots\!46$$ p^{48} T^{20} - 145566028788 p^{60} T^{22} + p^{72} T^{24} $
	61	$ ( 1 - 403512 T + 157947825726 T^{2} - 33739418642731320 T^{3} + $$45\!\cdots\!95$$ T^{4} - $$82\!\cdots\!92$$ T^{5} - $$95\!\cdots\!76$$ T^{6} - $$82\!\cdots\!92$$ p^{6} T^{7} + $$45\!\cdots\!95$$ p^{12} T^{8} - 33739418642731320 p^{18} T^{9} + 157947825726 p^{24} T^{10} - 403512 p^{30} T^{11} + p^{36} T^{12} )^{2} $
	67	$ 1 - 752160 T + 282872332800 T^{2} - 130902539719836320 T^{3} + $$43\!\cdots\!62$$ T^{4} - $$68\!\cdots\!60$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$16\!\cdots\!00$$ T^{7} - $$10\!\cdots\!89$$ T^{8} + $$17\!\cdots\!80$$ T^{9} + $$46\!\cdots\!00$$ T^{10} - $$23\!\cdots\!80$$ T^{11} + $$88\!\cdots\!68$$ T^{12} - $$23\!\cdots\!80$$ p^{6} T^{13} + $$46\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{14} + $$17\!\cdots\!80$$ p^{18} T^{15} - $$10\!\cdots\!89$$ p^{24} T^{16} - $$16\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{17} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} - $$68\!\cdots\!60$$ p^{42} T^{19} + $$43\!\cdots\!62$$ p^{48} T^{20} - 130902539719836320 p^{54} T^{21} + 282872332800 p^{60} T^{22} - 752160 p^{66} T^{23} + p^{72} T^{24} $
	71	$ ( 1 - 101200 T + 458820660326 T^{2} + 6266579521350000 T^{3} + $$10\!\cdots\!15$$ T^{4} + $$57\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$15\!\cdots\!20$$ T^{6} + $$57\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{7} + $$10\!\cdots\!15$$ p^{12} T^{8} + 6266579521350000 p^{18} T^{9} + 458820660326 p^{24} T^{10} - 101200 p^{30} T^{11} + p^{36} T^{12} )^{2} $
	73	$ 1 + 322020 T + 51848440200 T^{2} + 23873217597295340 T^{3} - $$31\!\cdots\!98$$ T^{4} - $$14\!\cdots\!80$$ T^{5} - $$26\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$19\!\cdots\!00$$ T^{7} - $$77\!\cdots\!09$$ T^{8} + $$78\!\cdots\!40$$ T^{9} + $$36\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$47\!\cdots\!60$$ T^{11} + $$46\!\cdots\!68$$ T^{12} + $$47\!\cdots\!60$$ p^{6} T^{13} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{14} + $$78\!\cdots\!40$$ p^{18} T^{15} - $$77\!\cdots\!09$$ p^{24} T^{16} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{17} - $$26\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} - $$14\!\cdots\!80$$ p^{42} T^{19} - $$31\!\cdots\!98$$ p^{48} T^{20} + 23873217597295340 p^{54} T^{21} + 51848440200 p^{60} T^{22} + 322020 p^{66} T^{23} + p^{72} T^{24} $
	79	$ 1 - 921573386316 T^{2} + $$61\!\cdots\!86$$ T^{4} - $$29\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$11\!\cdots\!15$$ T^{8} - $$36\!\cdots\!76$$ T^{10} + $$95\!\cdots\!76$$ T^{12} - $$36\!\cdots\!76$$ p^{12} T^{14} + $$11\!\cdots\!15$$ p^{24} T^{16} - $$29\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} + $$61\!\cdots\!86$$ p^{48} T^{20} - 921573386316 p^{60} T^{22} + p^{72} T^{24} $
	83	$ 1 - 1894560 T + 1794678796800 T^{2} - 1291664538887350560 T^{3} + $$75\!\cdots\!34$$ T^{4} - $$40\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$25\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$18\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!15$$ T^{8} - $$75\!\cdots\!00$$ T^{9} + $$36\!\cdots\!00$$ T^{10} - $$16\!\cdots\!00$$ T^{11} + $$78\!\cdots\!80$$ T^{12} - $$16\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{13} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{14} - $$75\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{15} + $$12\!\cdots\!15$$ p^{24} T^{16} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{17} + $$25\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} - $$40\!\cdots\!00$$ p^{42} T^{19} + $$75\!\cdots\!34$$ p^{48} T^{20} - 1291664538887350560 p^{54} T^{21} + 1794678796800 p^{60} T^{22} - 1894560 p^{66} T^{23} + p^{72} T^{24} $
	89	$ 1 - 2566768971132 T^{2} + $$30\!\cdots\!86$$ T^{4} - $$24\!\cdots\!20$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!95$$ T^{8} - $$88\!\cdots\!92$$ T^{10} + $$45\!\cdots\!64$$ T^{12} - $$88\!\cdots\!92$$ p^{12} T^{14} + $$15\!\cdots\!95$$ p^{24} T^{16} - $$24\!\cdots\!20$$ p^{36} T^{18} + $$30\!\cdots\!86$$ p^{48} T^{20} - 2566768971132 p^{60} T^{22} + p^{72} T^{24} $
	97	$ 1 + 3161700 T + 4998173445000 T^{2} + 6988275813978153900 T^{3} + $$86\!\cdots\!54$$ T^{4} + $$77\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$57\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$37\!\cdots\!00$$ T^{7} - $$11\!\cdots\!85$$ T^{8} - $$41\!\cdots\!00$$ T^{9} - $$62\!\cdots\!00$$ T^{10} - $$79\!\cdots\!00$$ T^{11} - $$85\!\cdots\!20$$ T^{12} - $$79\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{13} - $$62\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{14} - $$41\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{15} - $$11\!\cdots\!85$$ p^{24} T^{16} + $$37\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{17} + $$57\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} + $$77\!\cdots\!00$$ p^{42} T^{19} + $$86\!\cdots\!54$$ p^{48} T^{20} + 6988275813978153900 p^{54} T^{21} + 4998173445000 p^{60} T^{22} + 3161700 p^{66} T^{23} + p^{72} T^{24} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{24} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.33592713397161723848058969418, −4.14844743998409728678122249808, −3.67877728541937454634892766185, −3.64793649483044448140484838706, −3.63163936066622744490954052876, −3.50635428524111367943529006243, −3.47007977456713225570389687381, −3.13500818440602260651323989794, −2.64828257946832102349011130451, −2.59958507816849087061340644206, −2.59857859129631917569585404531, −2.53092238445046158000263397348, −2.25346864628363987749607391518, −2.15738977929338814726991511695, −2.10038957036299460895206429008, −2.06282592219703102641813443883, −1.67515725024649028700515045289, −1.55244830231781138139383399404, −1.34196028728867239601102578114, −1.16023472591203926429150816714, −0.851835577206310969613171069012, −0.75823306555082617690184969821, −0.43053541309147419251628204276, −0.19591598527025744654939383052, −0.06028220828121684113195696981, 0.06028220828121684113195696981, 0.19591598527025744654939383052, 0.43053541309147419251628204276, 0.75823306555082617690184969821, 0.851835577206310969613171069012, 1.16023472591203926429150816714, 1.34196028728867239601102578114, 1.55244830231781138139383399404, 1.67515725024649028700515045289, 2.06282592219703102641813443883, 2.10038957036299460895206429008, 2.15738977929338814726991511695, 2.25346864628363987749607391518, 2.53092238445046158000263397348, 2.59857859129631917569585404531, 2.59958507816849087061340644206, 2.64828257946832102349011130451, 3.13500818440602260651323989794, 3.47007977456713225570389687381, 3.50635428524111367943529006243, 3.63163936066622744490954052876, 3.64793649483044448140484838706, 3.67877728541937454634892766185, 4.14844743998409728678122249808, 4.33592713397161723848058969418

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(\frac{7}{2})\)	\(\approx\)	\(0.3721259338\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.3721259338\)
\(L(4)\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more