| L(s) = 1 | + 4·2-s + 20·3-s − 32·4-s + 80·6-s + 282·7-s − 72·8-s − 104·9-s + 136·11-s − 640·12-s + 1.11e3·13-s + 1.12e3·14-s + 704·16-s + 896·17-s − 416·18-s + 1.65e3·19-s + 5.64e3·21-s + 544·22-s + 1.58e3·23-s − 1.44e3·24-s + 4.46e3·26-s − 2.80e3·27-s − 9.02e3·28-s − 844·29-s − 3.02e3·31-s − 3.71e3·32-s + 2.72e3·33-s + 3.58e3·34-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.707·2-s + 1.28·3-s − 4-s + 0.907·6-s + 2.17·7-s − 0.397·8-s − 0.427·9-s + 0.338·11-s − 1.28·12-s + 1.83·13-s + 1.53·14-s + 0.687·16-s + 0.751·17-s − 0.302·18-s + 1.05·19-s + 2.79·21-s + 0.239·22-s + 0.625·23-s − 0.510·24-s + 1.29·26-s − 0.739·27-s − 2.17·28-s − 0.186·29-s − 0.564·31-s − 0.640·32-s + 0.434·33-s + 0.531·34-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{6} \cdot 23^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{6} \cdot 23^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(14.49714322\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(14.49714322\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 5 | | \( 1 \) |
| 23 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| good | 2 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - p^{2} T + 3 p^{4} T^{2} - 31 p^{3} T^{3} + 3 p^{9} T^{4} - p^{12} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 20 T + 56 p^{2} T^{2} - 1040 p^{2} T^{3} + 56 p^{7} T^{4} - 20 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 282 T + 63529 T^{2} - 9596092 T^{3} + 63529 p^{5} T^{4} - 282 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 136 T + 439465 T^{2} - 42965720 T^{3} + 439465 p^{5} T^{4} - 136 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1116 T + 1042356 T^{2} - 573110874 T^{3} + 1042356 p^{5} T^{4} - 1116 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 896 T + 2749843 T^{2} - 2765102152 T^{3} + 2749843 p^{5} T^{4} - 896 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1654 T + 5574869 T^{2} - 7730163724 T^{3} + 5574869 p^{5} T^{4} - 1654 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 844 T + 33097884 T^{2} + 833596054 T^{3} + 33097884 p^{5} T^{4} + 844 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3020 T + 49960668 T^{2} + 55281159160 T^{3} + 49960668 p^{5} T^{4} + 3020 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 8938 T + 87433179 T^{2} + 191510543988 T^{3} + 87433179 p^{5} T^{4} + 8938 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 312 p T + 223704916 T^{2} + 1399120996898 T^{3} + 223704916 p^{5} T^{4} + 312 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 16730 T + 335202129 T^{2} - 4823586598780 T^{3} + 335202129 p^{5} T^{4} - 16730 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 22500 T + 740995396 T^{2} + 9404516875560 T^{3} + 740995396 p^{5} T^{4} + 22500 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 17108 T + 179392187 T^{2} + 6459306692984 T^{3} + 179392187 p^{5} T^{4} + 17108 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 54176 T + 2767766369 T^{2} - 79188490092416 T^{3} + 2767766369 p^{5} T^{4} - 54176 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 71324 T + 4138586555 T^{2} + 131919880610200 T^{3} + 4138586555 p^{5} T^{4} + 71324 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 62960 T + 3985690161 T^{2} - 158036042094600 T^{3} + 3985690161 p^{5} T^{4} - 62960 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 98400 T + 8366655808 T^{2} - 379910096971840 T^{3} + 8366655808 p^{5} T^{4} - 98400 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 81772 T + 7890807372 T^{2} - 346237499109546 T^{3} + 7890807372 p^{5} T^{4} - 81772 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 58224 T + 5175309649 T^{2} - 122626594538384 T^{3} + 5175309649 p^{5} T^{4} - 58224 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 9892 T + 2470220897 T^{2} + 374959262842816 T^{3} + 2470220897 p^{5} T^{4} + 9892 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 27542 T + 145694795 p T^{2} - 181793008347820 T^{3} + 145694795 p^{6} T^{4} - 27542 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 273672 T + 50016565899 T^{2} - 5393984325146152 T^{3} + 50016565899 p^{5} T^{4} - 273672 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−8.787986971635959368166158477967, −8.260744552372251459738623951997, −8.247508019776677793132711178746, −8.116966078682927285527426202830, −7.78826543804403190416986074968, −7.51282565187335671221457620793, −6.84776436083380785571748214758, −6.80572377698620996683019456476, −6.11632671766805458541680189996, −5.97445101558336557608935607859, −5.22439913983841960031898923555, −5.21657872782410884073661928452, −5.15207083502825288155851052600, −4.60391172828330467498330832094, −4.42580118379118562015398183521, −3.77685129656886562257573256559, −3.49438216013178869809399485866, −3.31401878350916309698225901767, −3.26004637324374234405606251690, −2.27090515741326749605374958163, −2.05983678891781450257742492974, −1.67836189378908929006129550312, −1.07867680920658777311673297095, −1.02983310524860195691176056688, −0.40450270705452826588087993470,
0.40450270705452826588087993470, 1.02983310524860195691176056688, 1.07867680920658777311673297095, 1.67836189378908929006129550312, 2.05983678891781450257742492974, 2.27090515741326749605374958163, 3.26004637324374234405606251690, 3.31401878350916309698225901767, 3.49438216013178869809399485866, 3.77685129656886562257573256559, 4.42580118379118562015398183521, 4.60391172828330467498330832094, 5.15207083502825288155851052600, 5.21657872782410884073661928452, 5.22439913983841960031898923555, 5.97445101558336557608935607859, 6.11632671766805458541680189996, 6.80572377698620996683019456476, 6.84776436083380785571748214758, 7.51282565187335671221457620793, 7.78826543804403190416986074968, 8.116966078682927285527426202830, 8.247508019776677793132711178746, 8.260744552372251459738623951997, 8.787986971635959368166158477967
