↑

Properties

Label 8-570e4-1.1-c5e4-0-4
Degree $8$
Conductor $105560010000$
Sign $1$
Analytic cond. $6.98460\times 10^{7}$
Root an. cond. $9.56131$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $4$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 16·2-s − 36·3-s + 160·4-s − 100·5-s + 576·6-s + 108·7-s − 1.28e3·8-s + 810·9-s + 1.60e3·10-s − 460·11-s − 5.76e3·12-s + 296·13-s − 1.72e3·14-s + 3.60e3·15-s + 8.96e3·16-s − 412·17-s − 1.29e4·18-s − 1.44e3·19-s − 1.60e4·20-s − 3.88e3·21-s + 7.36e3·22-s − 768·23-s + 4.60e4·24-s + 6.25e3·25-s − 4.73e3·26-s − 1.45e4·27-s + 1.72e4·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 2.82·2-s − 2.30·3-s + 5·4-s − 1.78·5-s + 6.53·6-s + 0.833·7-s − 7.07·8-s + 10/3·9-s + 5.05·10-s − 1.14·11-s − 11.5·12-s + 0.485·13-s − 2.35·14-s + 4.13·15-s + 35/4·16-s − 0.345·17-s − 9.42·18-s − 0.917·19-s − 8.94·20-s − 1.92·21-s + 3.24·22-s − 0.302·23-s + 16.3·24-s + 2·25-s − 1.37·26-s − 3.84·27-s + 4.16·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 19^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 19^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(8\)
Conductor: \(2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 19^{4}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(6.98460\times 10^{7}\)
Root analytic conductor: \(9.56131\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(4\)
Selberg data: \((8,\ 2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 19^{4} ,\ ( \ : 5/2, 5/2, 5/2, 5/2 ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(3)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac12)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2$C_1$ \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \)
3$C_1$ \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \)
5$C_1$ \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \)
19$C_1$ \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \)
good7$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 108 T + 22592 T^{2} - 335172 p T^{3} + 23650626 p T^{4} - 335172 p^{6} T^{5} + 22592 p^{10} T^{6} - 108 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
11$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 460 T + 634272 T^{2} + 207171372 T^{3} + 153127224190 T^{4} + 207171372 p^{5} T^{5} + 634272 p^{10} T^{6} + 460 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
13$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 296 T + 1026368 T^{2} - 369139656 T^{3} + 498364489310 T^{4} - 369139656 p^{5} T^{5} + 1026368 p^{10} T^{6} - 296 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
17$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 412 T + 1895348 T^{2} + 217134820 T^{3} + 3423837223510 T^{4} + 217134820 p^{5} T^{5} + 1895348 p^{10} T^{6} + 412 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
23$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 768 T + 6342144 T^{2} + 20807267184 T^{3} + 55000877068958 T^{4} + 20807267184 p^{5} T^{5} + 6342144 p^{10} T^{6} + 768 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
29$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 1828 T + 45521568 T^{2} + 199682159052 T^{3} + 965967761755582 T^{4} + 199682159052 p^{5} T^{5} + 45521568 p^{10} T^{6} + 1828 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
31$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 3856 T + 93218140 T^{2} - 258961384912 T^{3} + 3740109452966854 T^{4} - 258961384912 p^{5} T^{5} + 93218140 p^{10} T^{6} - 3856 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
37$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 11456 T + 153795592 T^{2} - 1859026238912 T^{3} + 14827439369510638 T^{4} - 1859026238912 p^{5} T^{5} + 153795592 p^{10} T^{6} - 11456 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
41$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 12904 T + 372993128 T^{2} + 3896517353272 T^{3} + 62214038619055870 T^{4} + 3896517353272 p^{5} T^{5} + 372993128 p^{10} T^{6} + 12904 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
43$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 15096 T + 358977688 T^{2} - 3664713039048 T^{3} + 59284047791232078 T^{4} - 3664713039048 p^{5} T^{5} + 358977688 p^{10} T^{6} - 15096 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
47$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 17040 T + 234338432 T^{2} - 130304429280 T^{3} - 29945625228689922 T^{4} - 130304429280 p^{5} T^{5} + 234338432 p^{10} T^{6} - 17040 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
53$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 16728 T + 1363547600 T^{2} - 18614385658728 T^{3} + 808606586283795054 T^{4} - 18614385658728 p^{5} T^{5} + 1363547600 p^{10} T^{6} - 16728 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
59$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 19760 T + 2421223932 T^{2} + 35339003907888 T^{3} + 2463150953500873654 T^{4} + 35339003907888 p^{5} T^{5} + 2421223932 p^{10} T^{6} + 19760 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
61$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 47168 T + 3649900588 T^{2} - 105880714264256 T^{3} + 4575221539431375670 T^{4} - 105880714264256 p^{5} T^{5} + 3649900588 p^{10} T^{6} - 47168 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
67$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 104580 T + 8164162892 T^{2} - 415397968014372 T^{3} + 17856114887408360694 T^{4} - 415397968014372 p^{5} T^{5} + 8164162892 p^{10} T^{6} - 104580 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
71$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 36764 T + 6591663084 T^{2} + 185108107455948 T^{3} + 17317985101394794246 T^{4} + 185108107455948 p^{5} T^{5} + 6591663084 p^{10} T^{6} + 36764 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
73$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 74356 T + 9790499396 T^{2} - 473710574281644 T^{3} + 32025142509597093782 T^{4} - 473710574281644 p^{5} T^{5} + 9790499396 p^{10} T^{6} - 74356 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
79$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 80920 T + 7826986556 T^{2} - 539026104326712 T^{3} + 36863551059304082246 T^{4} - 539026104326712 p^{5} T^{5} + 7826986556 p^{10} T^{6} - 80920 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
83$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 19416 T + 13103987592 T^{2} - 177655097333208 T^{3} + 72489990968666978078 T^{4} - 177655097333208 p^{5} T^{5} + 13103987592 p^{10} T^{6} - 19416 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
89$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 4760 T + 19300981752 T^{2} + 89242926342888 T^{3} + \)\(15\!\cdots\!14\)\( T^{4} + 89242926342888 p^{5} T^{5} + 19300981752 p^{10} T^{6} + 4760 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
97$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 139572 T + 26521339240 T^{2} - 2482193854344348 T^{3} + \)\(32\!\cdots\!50\)\( T^{4} - 2482193854344348 p^{5} T^{5} + 26521339240 p^{10} T^{6} - 139572 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−7.60892086288757079581576678050, −7.07434157365350254043848693448, −6.95038657003505887248829831724, −6.94390925787388568118413226764, −6.74663865089821004815682438113, −6.10361863536025115934874463557, −6.02649072209705134291714913321, −6.00859339196215832442656278389, −5.81559185218754669822201914365, −5.02793325517120215117032622768, −4.91307424914966841983557592195, −4.88854500166490961733725211834, −4.85368999270561536061425432402, −3.93174763771776075822175754702, −3.84157202247736850764348863208, −3.77371376264956206358122678913, −3.52454553963531403643495203832, −2.65571612103618992643526952730, −2.40167061188022767120274126164, −2.33544012776056495755820235401, −2.16601137572792813473272458954, −1.26458063222869887435969824461, −1.11451636554064549459603004421, −1.06500716950828249459314824598, −0.895526096202802781658008331652, 0, 0, 0, 0, 0.895526096202802781658008331652, 1.06500716950828249459314824598, 1.11451636554064549459603004421, 1.26458063222869887435969824461, 2.16601137572792813473272458954, 2.33544012776056495755820235401, 2.40167061188022767120274126164, 2.65571612103618992643526952730, 3.52454553963531403643495203832, 3.77371376264956206358122678913, 3.84157202247736850764348863208, 3.93174763771776075822175754702, 4.85368999270561536061425432402, 4.88854500166490961733725211834, 4.91307424914966841983557592195, 5.02793325517120215117032622768, 5.81559185218754669822201914365, 6.00859339196215832442656278389, 6.02649072209705134291714913321, 6.10361863536025115934874463557, 6.74663865089821004815682438113, 6.94390925787388568118413226764, 6.95038657003505887248829831724, 7.07434157365350254043848693448, 7.60892086288757079581576678050

Graph of the $Z$-function along the critical line