# Properties

 Degree $6$ Conductor $182284263$ Sign $-1$ Motivic weight $1$ Primitive no Self-dual yes Analytic rank $3$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 3·2-s + 3·4-s − 3·5-s + 3·7-s + 9·10-s − 6·11-s − 3·13-s − 9·14-s − 3·16-s − 6·17-s − 3·19-s − 9·20-s + 18·22-s − 12·23-s − 6·25-s + 9·26-s + 9·28-s − 9·29-s − 3·31-s + 6·32-s + 18·34-s − 9·35-s − 3·37-s + 9·38-s − 3·43-s − 18·44-s + 36·46-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 2.12·2-s + 3/2·4-s − 1.34·5-s + 1.13·7-s + 2.84·10-s − 1.80·11-s − 0.832·13-s − 2.40·14-s − 3/4·16-s − 1.45·17-s − 0.688·19-s − 2.01·20-s + 3.83·22-s − 2.50·23-s − 6/5·25-s + 1.76·26-s + 1.70·28-s − 1.67·29-s − 0.538·31-s + 1.06·32-s + 3.08·34-s − 1.52·35-s − 0.493·37-s + 1.45·38-s − 0.457·43-s − 2.71·44-s + 5.30·46-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{12} \cdot 7^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{12} \cdot 7^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$6$$ Conductor: $$3^{12} \cdot 7^{3}$$ Sign: $-1$ Motivic weight: $$1$$ Character: induced by $\chi_{567} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$3$$ Selberg data: $$(6,\ 3^{12} \cdot 7^{3} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2 ),\ -1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad3 $$1$$
7$C_1$ $$( 1 - T )^{3}$$
good2$A_4\times C_2$ $$1 + 3 T + 3 p T^{2} + 9 T^{3} + 3 p^{2} T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
5$A_4\times C_2$ $$1 + 3 T + 3 p T^{2} + 27 T^{3} + 3 p^{2} T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
11$A_4\times C_2$ $$1 + 6 T + 42 T^{2} + 135 T^{3} + 42 p T^{4} + 6 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
13$A_4\times C_2$ $$1 + 3 T + 6 T^{2} - 29 T^{3} + 6 p T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
17$A_4\times C_2$ $$1 + 6 T + 60 T^{2} + 207 T^{3} + 60 p T^{4} + 6 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
19$A_4\times C_2$ $$1 + 3 T + 51 T^{2} + 97 T^{3} + 51 p T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
23$A_4\times C_2$ $$1 + 12 T + 96 T^{2} + 549 T^{3} + 96 p T^{4} + 12 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
29$A_4\times C_2$ $$1 + 9 T + 51 T^{2} + 189 T^{3} + 51 p T^{4} + 9 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
31$A_4\times C_2$ $$1 + 3 T + 15 T^{2} - 137 T^{3} + 15 p T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
37$A_4\times C_2$ $$1 + 3 T + 33 T^{2} - 101 T^{3} + 33 p T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
41$A_4\times C_2$ $$1 + 114 T^{2} + 9 T^{3} + 114 p T^{4} + p^{3} T^{6}$$
43$A_4\times C_2$ $$1 + 3 T + 123 T^{2} + 259 T^{3} + 123 p T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
47$A_4\times C_2$ $$1 + 3 T + 87 T^{2} + 333 T^{3} + 87 p T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
53$A_4\times C_2$ $$1 + 6 T + 150 T^{2} + 639 T^{3} + 150 p T^{4} + 6 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
59$A_4\times C_2$ $$1 - 3 T + 105 T^{2} - 405 T^{3} + 105 p T^{4} - 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
61$A_4\times C_2$ $$1 - 6 T + 168 T^{2} - 713 T^{3} + 168 p T^{4} - 6 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
67$A_4\times C_2$ $$1 + 12 T + 222 T^{2} + 1591 T^{3} + 222 p T^{4} + 12 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
71$A_4\times C_2$ $$1 + 9 T + 159 T^{2} + 1305 T^{3} + 159 p T^{4} + 9 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
73$A_4\times C_2$ $$1 + 21 T + 303 T^{2} + 2797 T^{3} + 303 p T^{4} + 21 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
79$A_4\times C_2$ $$1 + 21 T + 357 T^{2} + 3499 T^{3} + 357 p T^{4} + 21 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
83$A_4\times C_2$ $$1 - 18 T + 294 T^{2} - 2997 T^{3} + 294 p T^{4} - 18 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
89$A_4\times C_2$ $$1 + 12 T + 204 T^{2} + 1323 T^{3} + 204 p T^{4} + 12 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
97$A_4\times C_2$ $$1 + 3 T + 123 T^{2} + 259 T^{3} + 123 p T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$