Properties

Degree $36$
Conductor $1.922\times 10^{49}$
Sign $1$
Motivic weight $1$
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $18$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 4·2-s − 10·3-s − 2·4-s − 27·5-s + 40·6-s − 11·7-s + 28·8-s + 30·9-s + 108·10-s + 2·11-s + 20·12-s − 25·13-s + 44·14-s + 270·15-s − 20·16-s − 30·17-s − 120·18-s + 4·19-s + 54·20-s + 110·21-s − 8·22-s − 26·23-s − 280·24-s + 335·25-s + 100·26-s + 31·27-s + 22·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 2.82·2-s − 5.77·3-s − 4-s − 12.0·5-s + 16.3·6-s − 4.15·7-s + 9.89·8-s + 10·9-s + 34.1·10-s + 0.603·11-s + 5.77·12-s − 6.93·13-s + 11.7·14-s + 69.7·15-s − 5·16-s − 7.27·17-s − 28.2·18-s + 0.917·19-s + 12.0·20-s + 24.0·21-s − 1.70·22-s − 5.42·23-s − 57.1·24-s + 67·25-s + 19.6·26-s + 5.96·27-s + 4.15·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(547^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(547^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(36\)
Conductor: \(547^{18}\)
Sign: $1$
Motivic weight: \(1\)
Character: induced by $\chi_{547} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(18\)
Selberg data: \((36,\ 547^{18} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(1)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac12)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac{3}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad547 \( ( 1 + T )^{18} \)
good2 \( 1 + p^{2} T + 9 p T^{2} + 13 p^{2} T^{3} + 19 p^{3} T^{4} + 91 p^{2} T^{5} + 427 p T^{6} + 223 p^{3} T^{7} + 3639 T^{8} + 6871 T^{9} + 793 p^{4} T^{10} + 11057 p T^{11} + 18909 p T^{12} + 61733 T^{13} + 12387 p^{3} T^{14} + 19091 p^{3} T^{15} + 231789 T^{16} + 169437 p T^{17} + 122023 p^{2} T^{18} + 169437 p^{2} T^{19} + 231789 p^{2} T^{20} + 19091 p^{6} T^{21} + 12387 p^{7} T^{22} + 61733 p^{5} T^{23} + 18909 p^{7} T^{24} + 11057 p^{8} T^{25} + 793 p^{12} T^{26} + 6871 p^{9} T^{27} + 3639 p^{10} T^{28} + 223 p^{14} T^{29} + 427 p^{13} T^{30} + 91 p^{15} T^{31} + 19 p^{17} T^{32} + 13 p^{17} T^{33} + 9 p^{17} T^{34} + p^{19} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
3 \( 1 + 10 T + 70 T^{2} + 41 p^{2} T^{3} + 1646 T^{4} + 6380 T^{5} + 22262 T^{6} + 70831 T^{7} + 208802 T^{8} + 574237 T^{9} + 1485851 T^{10} + 403508 p^{2} T^{11} + 2808547 p T^{12} + 18599141 T^{13} + 39182807 T^{14} + 8763920 p^{2} T^{15} + 151998095 T^{16} + 280521922 T^{17} + 496314970 T^{18} + 280521922 p T^{19} + 151998095 p^{2} T^{20} + 8763920 p^{5} T^{21} + 39182807 p^{4} T^{22} + 18599141 p^{5} T^{23} + 2808547 p^{7} T^{24} + 403508 p^{9} T^{25} + 1485851 p^{8} T^{26} + 574237 p^{9} T^{27} + 208802 p^{10} T^{28} + 70831 p^{11} T^{29} + 22262 p^{12} T^{30} + 6380 p^{13} T^{31} + 1646 p^{14} T^{32} + 41 p^{17} T^{33} + 70 p^{16} T^{34} + 10 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
5 \( 1 + 27 T + 394 T^{2} + 4066 T^{3} + 33017 T^{4} + 223247 T^{5} + 1301478 T^{6} + 1339319 p T^{7} + 30923803 T^{8} + 25953082 p T^{9} + 499584606 T^{10} + 1777920166 T^{11} + 235362686 p^{2} T^{12} + 18197020803 T^{13} + 52790609192 T^{14} + 28820083163 p T^{15} + 370957947126 T^{16} + 902062261929 T^{17} + 2074042607038 T^{18} + 902062261929 p T^{19} + 370957947126 p^{2} T^{20} + 28820083163 p^{4} T^{21} + 52790609192 p^{4} T^{22} + 18197020803 p^{5} T^{23} + 235362686 p^{8} T^{24} + 1777920166 p^{7} T^{25} + 499584606 p^{8} T^{26} + 25953082 p^{10} T^{27} + 30923803 p^{10} T^{28} + 1339319 p^{12} T^{29} + 1301478 p^{12} T^{30} + 223247 p^{13} T^{31} + 33017 p^{14} T^{32} + 4066 p^{15} T^{33} + 394 p^{16} T^{34} + 27 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
7 \( 1 + 11 T + 109 T^{2} + 718 T^{3} + 4269 T^{4} + 2955 p T^{5} + 92163 T^{6} + 360502 T^{7} + 1322737 T^{8} + 4452817 T^{9} + 14363197 T^{10} + 43877097 T^{11} + 130743026 T^{12} + 375593700 T^{13} + 1062872977 T^{14} + 2919179505 T^{15} + 7963303304 T^{16} + 3030575269 p T^{17} + 1156620050 p^{2} T^{18} + 3030575269 p^{2} T^{19} + 7963303304 p^{2} T^{20} + 2919179505 p^{3} T^{21} + 1062872977 p^{4} T^{22} + 375593700 p^{5} T^{23} + 130743026 p^{6} T^{24} + 43877097 p^{7} T^{25} + 14363197 p^{8} T^{26} + 4452817 p^{9} T^{27} + 1322737 p^{10} T^{28} + 360502 p^{11} T^{29} + 92163 p^{12} T^{30} + 2955 p^{14} T^{31} + 4269 p^{14} T^{32} + 718 p^{15} T^{33} + 109 p^{16} T^{34} + 11 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
11 \( 1 - 2 T + 85 T^{2} - 150 T^{3} + 3546 T^{4} - 5526 T^{5} + 98861 T^{6} - 141478 T^{7} + 2126155 T^{8} - 2969051 T^{9} + 38313335 T^{10} - 4942667 p T^{11} + 603595390 T^{12} - 870619543 T^{13} + 8472071478 T^{14} - 12151342611 T^{15} + 107165383120 T^{16} - 149528311671 T^{17} + 1233316997354 T^{18} - 149528311671 p T^{19} + 107165383120 p^{2} T^{20} - 12151342611 p^{3} T^{21} + 8472071478 p^{4} T^{22} - 870619543 p^{5} T^{23} + 603595390 p^{6} T^{24} - 4942667 p^{8} T^{25} + 38313335 p^{8} T^{26} - 2969051 p^{9} T^{27} + 2126155 p^{10} T^{28} - 141478 p^{11} T^{29} + 98861 p^{12} T^{30} - 5526 p^{13} T^{31} + 3546 p^{14} T^{32} - 150 p^{15} T^{33} + 85 p^{16} T^{34} - 2 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
13 \( 1 + 25 T + 419 T^{2} + 5077 T^{3} + 50838 T^{4} + 430037 T^{5} + 3215885 T^{6} + 21488134 T^{7} + 131328937 T^{8} + 738626108 T^{9} + 3880155769 T^{10} + 19109203885 T^{11} + 6860260155 p T^{12} + 395302024323 T^{13} + 1678118625851 T^{14} + 6828960297885 T^{15} + 26814195655203 T^{16} + 101525943915242 T^{17} + 372390103391781 T^{18} + 101525943915242 p T^{19} + 26814195655203 p^{2} T^{20} + 6828960297885 p^{3} T^{21} + 1678118625851 p^{4} T^{22} + 395302024323 p^{5} T^{23} + 6860260155 p^{7} T^{24} + 19109203885 p^{7} T^{25} + 3880155769 p^{8} T^{26} + 738626108 p^{9} T^{27} + 131328937 p^{10} T^{28} + 21488134 p^{11} T^{29} + 3215885 p^{12} T^{30} + 430037 p^{13} T^{31} + 50838 p^{14} T^{32} + 5077 p^{15} T^{33} + 419 p^{16} T^{34} + 25 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
17 \( 1 + 30 T + 584 T^{2} + 8365 T^{3} + 98434 T^{4} + 985682 T^{5} + 8696277 T^{6} + 68768626 T^{7} + 495900647 T^{8} + 3296047078 T^{9} + 20410580082 T^{10} + 410494047 p^{2} T^{11} + 651877922855 T^{12} + 3403006356186 T^{13} + 16950930016609 T^{14} + 80772988719250 T^{15} + 368969665979574 T^{16} + 1617067599179214 T^{17} + 6804533522448758 T^{18} + 1617067599179214 p T^{19} + 368969665979574 p^{2} T^{20} + 80772988719250 p^{3} T^{21} + 16950930016609 p^{4} T^{22} + 3403006356186 p^{5} T^{23} + 651877922855 p^{6} T^{24} + 410494047 p^{9} T^{25} + 20410580082 p^{8} T^{26} + 3296047078 p^{9} T^{27} + 495900647 p^{10} T^{28} + 68768626 p^{11} T^{29} + 8696277 p^{12} T^{30} + 985682 p^{13} T^{31} + 98434 p^{14} T^{32} + 8365 p^{15} T^{33} + 584 p^{16} T^{34} + 30 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
19 \( 1 - 4 T + 130 T^{2} - 516 T^{3} + 8958 T^{4} - 36501 T^{5} + 441125 T^{6} - 1838457 T^{7} + 17317003 T^{8} - 72845222 T^{9} + 30101808 p T^{10} - 2393239283 T^{11} + 16359891658 T^{12} - 67164262668 T^{13} + 412288983795 T^{14} - 1640265737352 T^{15} + 9248689375227 T^{16} - 35240518894600 T^{17} + 185627099738938 T^{18} - 35240518894600 p T^{19} + 9248689375227 p^{2} T^{20} - 1640265737352 p^{3} T^{21} + 412288983795 p^{4} T^{22} - 67164262668 p^{5} T^{23} + 16359891658 p^{6} T^{24} - 2393239283 p^{7} T^{25} + 30101808 p^{9} T^{26} - 72845222 p^{9} T^{27} + 17317003 p^{10} T^{28} - 1838457 p^{11} T^{29} + 441125 p^{12} T^{30} - 36501 p^{13} T^{31} + 8958 p^{14} T^{32} - 516 p^{15} T^{33} + 130 p^{16} T^{34} - 4 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
23 \( 1 + 26 T + 516 T^{2} + 7395 T^{3} + 90928 T^{4} + 951516 T^{5} + 8960211 T^{6} + 75889920 T^{7} + 593605359 T^{8} + 4293455106 T^{9} + 29167458828 T^{10} + 186453853585 T^{11} + 1133632710313 T^{12} + 6568187578396 T^{13} + 36553007673681 T^{14} + 8508200953458 p T^{15} + 1013582264018988 T^{16} + 5081312191544094 T^{17} + 24743429994041086 T^{18} + 5081312191544094 p T^{19} + 1013582264018988 p^{2} T^{20} + 8508200953458 p^{4} T^{21} + 36553007673681 p^{4} T^{22} + 6568187578396 p^{5} T^{23} + 1133632710313 p^{6} T^{24} + 186453853585 p^{7} T^{25} + 29167458828 p^{8} T^{26} + 4293455106 p^{9} T^{27} + 593605359 p^{10} T^{28} + 75889920 p^{11} T^{29} + 8960211 p^{12} T^{30} + 951516 p^{13} T^{31} + 90928 p^{14} T^{32} + 7395 p^{15} T^{33} + 516 p^{16} T^{34} + 26 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
29 \( 1 + 18 T + 531 T^{2} + 7242 T^{3} + 124429 T^{4} + 1388519 T^{5} + 17800604 T^{6} + 169607253 T^{7} + 1778477154 T^{8} + 14850454505 T^{9} + 133353152337 T^{10} + 992168503525 T^{11} + 7832929693192 T^{12} + 52481764441320 T^{13} + 370156555204319 T^{14} + 2247849800307197 T^{15} + 14304279024344391 T^{16} + 78983107272313558 T^{17} + 456054513586518578 T^{18} + 78983107272313558 p T^{19} + 14304279024344391 p^{2} T^{20} + 2247849800307197 p^{3} T^{21} + 370156555204319 p^{4} T^{22} + 52481764441320 p^{5} T^{23} + 7832929693192 p^{6} T^{24} + 992168503525 p^{7} T^{25} + 133353152337 p^{8} T^{26} + 14850454505 p^{9} T^{27} + 1778477154 p^{10} T^{28} + 169607253 p^{11} T^{29} + 17800604 p^{12} T^{30} + 1388519 p^{13} T^{31} + 124429 p^{14} T^{32} + 7242 p^{15} T^{33} + 531 p^{16} T^{34} + 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
31 \( 1 + 5 T + 226 T^{2} + 736 T^{3} + 25466 T^{4} + 48427 T^{5} + 1947515 T^{6} + 1181005 T^{7} + 114803460 T^{8} - 68748799 T^{9} + 5711179330 T^{10} - 8784337491 T^{11} + 254611322915 T^{12} - 519109476169 T^{13} + 10413960551250 T^{14} - 22094105896997 T^{15} + 386758640569635 T^{16} - 776800932680999 T^{17} + 12771866096424756 T^{18} - 776800932680999 p T^{19} + 386758640569635 p^{2} T^{20} - 22094105896997 p^{3} T^{21} + 10413960551250 p^{4} T^{22} - 519109476169 p^{5} T^{23} + 254611322915 p^{6} T^{24} - 8784337491 p^{7} T^{25} + 5711179330 p^{8} T^{26} - 68748799 p^{9} T^{27} + 114803460 p^{10} T^{28} + 1181005 p^{11} T^{29} + 1947515 p^{12} T^{30} + 48427 p^{13} T^{31} + 25466 p^{14} T^{32} + 736 p^{15} T^{33} + 226 p^{16} T^{34} + 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
37 \( 1 + 18 T + 477 T^{2} + 6182 T^{3} + 98542 T^{4} + 1025448 T^{5} + 12472914 T^{6} + 109789868 T^{7} + 1115943998 T^{8} + 8578978218 T^{9} + 76645978734 T^{10} + 526915335411 T^{11} + 4285047049335 T^{12} + 26892539266031 T^{13} + 204473204412967 T^{14} + 1194720790323650 T^{15} + 8656318678483359 T^{16} + 47928410626044380 T^{17} + 333914579074632830 T^{18} + 47928410626044380 p T^{19} + 8656318678483359 p^{2} T^{20} + 1194720790323650 p^{3} T^{21} + 204473204412967 p^{4} T^{22} + 26892539266031 p^{5} T^{23} + 4285047049335 p^{6} T^{24} + 526915335411 p^{7} T^{25} + 76645978734 p^{8} T^{26} + 8578978218 p^{9} T^{27} + 1115943998 p^{10} T^{28} + 109789868 p^{11} T^{29} + 12472914 p^{12} T^{30} + 1025448 p^{13} T^{31} + 98542 p^{14} T^{32} + 6182 p^{15} T^{33} + 477 p^{16} T^{34} + 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
41 \( 1 + 17 T + 500 T^{2} + 6935 T^{3} + 118746 T^{4} + 1411049 T^{5} + 18245075 T^{6} + 191387044 T^{7} + 2060476099 T^{8} + 19451816951 T^{9} + 182957350222 T^{10} + 1574307116444 T^{11} + 13284361461403 T^{12} + 105065275805631 T^{13} + 807813171251088 T^{14} + 5903001862494918 T^{15} + 41738761877644030 T^{16} + 282544368422135749 T^{17} + 1846894667477774252 T^{18} + 282544368422135749 p T^{19} + 41738761877644030 p^{2} T^{20} + 5903001862494918 p^{3} T^{21} + 807813171251088 p^{4} T^{22} + 105065275805631 p^{5} T^{23} + 13284361461403 p^{6} T^{24} + 1574307116444 p^{7} T^{25} + 182957350222 p^{8} T^{26} + 19451816951 p^{9} T^{27} + 2060476099 p^{10} T^{28} + 191387044 p^{11} T^{29} + 18245075 p^{12} T^{30} + 1411049 p^{13} T^{31} + 118746 p^{14} T^{32} + 6935 p^{15} T^{33} + 500 p^{16} T^{34} + 17 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
43 \( 1 - 8 T + 492 T^{2} - 3407 T^{3} + 117668 T^{4} - 715275 T^{5} + 18347951 T^{6} - 99049565 T^{7} + 2107507666 T^{8} - 10209475962 T^{9} + 190684760633 T^{10} - 837060417712 T^{11} + 14161353767533 T^{12} - 56841478497834 T^{13} + 886000874851046 T^{14} - 3276977381712634 T^{15} + 47444588926667291 T^{16} - 162652673998347287 T^{17} + 2192977866661315750 T^{18} - 162652673998347287 p T^{19} + 47444588926667291 p^{2} T^{20} - 3276977381712634 p^{3} T^{21} + 886000874851046 p^{4} T^{22} - 56841478497834 p^{5} T^{23} + 14161353767533 p^{6} T^{24} - 837060417712 p^{7} T^{25} + 190684760633 p^{8} T^{26} - 10209475962 p^{9} T^{27} + 2107507666 p^{10} T^{28} - 99049565 p^{11} T^{29} + 18347951 p^{12} T^{30} - 715275 p^{13} T^{31} + 117668 p^{14} T^{32} - 3407 p^{15} T^{33} + 492 p^{16} T^{34} - 8 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
47 \( 1 + 52 T + 1865 T^{2} + 49131 T^{3} + 1077176 T^{4} + 20125023 T^{5} + 332676442 T^{6} + 4927129277 T^{7} + 66491991801 T^{8} + 823722681768 T^{9} + 9453432637832 T^{10} + 100973005595782 T^{11} + 1009215441829873 T^{12} + 9466179137600663 T^{13} + 83603559634490998 T^{14} + 696394998474434729 T^{15} + 5481817752006743685 T^{16} + 40807789859381398323 T^{17} + \)\(28\!\cdots\!97\)\( T^{18} + 40807789859381398323 p T^{19} + 5481817752006743685 p^{2} T^{20} + 696394998474434729 p^{3} T^{21} + 83603559634490998 p^{4} T^{22} + 9466179137600663 p^{5} T^{23} + 1009215441829873 p^{6} T^{24} + 100973005595782 p^{7} T^{25} + 9453432637832 p^{8} T^{26} + 823722681768 p^{9} T^{27} + 66491991801 p^{10} T^{28} + 4927129277 p^{11} T^{29} + 332676442 p^{12} T^{30} + 20125023 p^{13} T^{31} + 1077176 p^{14} T^{32} + 49131 p^{15} T^{33} + 1865 p^{16} T^{34} + 52 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
53 \( 1 + 60 T + 2292 T^{2} + 64439 T^{3} + 1482802 T^{4} + 29045053 T^{5} + 500611675 T^{6} + 7729740473 T^{7} + 108589762152 T^{8} + 1401743191155 T^{9} + 16770166121672 T^{10} + 187053090421054 T^{11} + 1955182548973064 T^{12} + 19221087500660183 T^{13} + 178277342948315803 T^{14} + 1563393906027613236 T^{15} + 12985863111074957420 T^{16} + \)\(10\!\cdots\!72\)\( T^{17} + \)\(76\!\cdots\!76\)\( T^{18} + \)\(10\!\cdots\!72\)\( p T^{19} + 12985863111074957420 p^{2} T^{20} + 1563393906027613236 p^{3} T^{21} + 178277342948315803 p^{4} T^{22} + 19221087500660183 p^{5} T^{23} + 1955182548973064 p^{6} T^{24} + 187053090421054 p^{7} T^{25} + 16770166121672 p^{8} T^{26} + 1401743191155 p^{9} T^{27} + 108589762152 p^{10} T^{28} + 7729740473 p^{11} T^{29} + 500611675 p^{12} T^{30} + 29045053 p^{13} T^{31} + 1482802 p^{14} T^{32} + 64439 p^{15} T^{33} + 2292 p^{16} T^{34} + 60 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
59 \( 1 + 8 T + 547 T^{2} + 4886 T^{3} + 151709 T^{4} + 1426288 T^{5} + 28528730 T^{6} + 268965857 T^{7} + 4083691371 T^{8} + 37250203024 T^{9} + 471936791901 T^{10} + 4078707707888 T^{11} + 45548114306989 T^{12} + 370272133366719 T^{13} + 3754286226421140 T^{14} + 486817539927982 p T^{15} + 268673863454487823 T^{16} + 1936169927933708248 T^{17} + 16882310523288642930 T^{18} + 1936169927933708248 p T^{19} + 268673863454487823 p^{2} T^{20} + 486817539927982 p^{4} T^{21} + 3754286226421140 p^{4} T^{22} + 370272133366719 p^{5} T^{23} + 45548114306989 p^{6} T^{24} + 4078707707888 p^{7} T^{25} + 471936791901 p^{8} T^{26} + 37250203024 p^{9} T^{27} + 4083691371 p^{10} T^{28} + 268965857 p^{11} T^{29} + 28528730 p^{12} T^{30} + 1426288 p^{13} T^{31} + 151709 p^{14} T^{32} + 4886 p^{15} T^{33} + 547 p^{16} T^{34} + 8 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
61 \( 1 + 26 T + 1092 T^{2} + 21198 T^{3} + 517593 T^{4} + 8124611 T^{5} + 147632317 T^{6} + 1959197923 T^{7} + 29069634275 T^{8} + 335550327593 T^{9} + 4266607342662 T^{10} + 43706374725751 T^{11} + 490749289239130 T^{12} + 4530429185717696 T^{13} + 45852509636769219 T^{14} + 386091138768948475 T^{15} + 3572270707620359676 T^{16} + 27670900627019165169 T^{17} + \)\(23\!\cdots\!26\)\( T^{18} + 27670900627019165169 p T^{19} + 3572270707620359676 p^{2} T^{20} + 386091138768948475 p^{3} T^{21} + 45852509636769219 p^{4} T^{22} + 4530429185717696 p^{5} T^{23} + 490749289239130 p^{6} T^{24} + 43706374725751 p^{7} T^{25} + 4266607342662 p^{8} T^{26} + 335550327593 p^{9} T^{27} + 29069634275 p^{10} T^{28} + 1959197923 p^{11} T^{29} + 147632317 p^{12} T^{30} + 8124611 p^{13} T^{31} + 517593 p^{14} T^{32} + 21198 p^{15} T^{33} + 1092 p^{16} T^{34} + 26 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
67 \( 1 - 12 T + 743 T^{2} - 8061 T^{3} + 273924 T^{4} - 2736258 T^{5} + 67007649 T^{6} - 622982958 T^{7} + 12221255375 T^{8} - 106355514112 T^{9} + 1765865096326 T^{10} - 14415408887134 T^{11} + 209411947253484 T^{12} - 1603069573249209 T^{13} + 20828295096643948 T^{14} - 149173768364533151 T^{15} + 1760455572360289685 T^{16} - 11748171421911845627 T^{17} + \)\(12\!\cdots\!21\)\( T^{18} - 11748171421911845627 p T^{19} + 1760455572360289685 p^{2} T^{20} - 149173768364533151 p^{3} T^{21} + 20828295096643948 p^{4} T^{22} - 1603069573249209 p^{5} T^{23} + 209411947253484 p^{6} T^{24} - 14415408887134 p^{7} T^{25} + 1765865096326 p^{8} T^{26} - 106355514112 p^{9} T^{27} + 12221255375 p^{10} T^{28} - 622982958 p^{11} T^{29} + 67007649 p^{12} T^{30} - 2736258 p^{13} T^{31} + 273924 p^{14} T^{32} - 8061 p^{15} T^{33} + 743 p^{16} T^{34} - 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
71 \( 1 + T + 570 T^{2} - 395 T^{3} + 165367 T^{4} - 402481 T^{5} + 32659200 T^{6} - 135249850 T^{7} + 4976102531 T^{8} - 28212173634 T^{9} + 627081345260 T^{10} - 4301680526387 T^{11} + 68002974751364 T^{12} - 517699284019560 T^{13} + 6477452704212298 T^{14} - 51294377851106202 T^{15} + 547109894053610156 T^{16} - 4280850522490499670 T^{17} + 41143559904963586258 T^{18} - 4280850522490499670 p T^{19} + 547109894053610156 p^{2} T^{20} - 51294377851106202 p^{3} T^{21} + 6477452704212298 p^{4} T^{22} - 517699284019560 p^{5} T^{23} + 68002974751364 p^{6} T^{24} - 4301680526387 p^{7} T^{25} + 627081345260 p^{8} T^{26} - 28212173634 p^{9} T^{27} + 4976102531 p^{10} T^{28} - 135249850 p^{11} T^{29} + 32659200 p^{12} T^{30} - 402481 p^{13} T^{31} + 165367 p^{14} T^{32} - 395 p^{15} T^{33} + 570 p^{16} T^{34} + p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
73 \( 1 + 2 T + 402 T^{2} + 2100 T^{3} + 91054 T^{4} + 664143 T^{5} + 16192289 T^{6} + 128526512 T^{7} + 2389630448 T^{8} + 19163681612 T^{9} + 298745214234 T^{10} + 2361654820993 T^{11} + 445386010047 p T^{12} + 249000864582652 T^{13} + 3122389883437745 T^{14} + 23022354077637360 T^{15} + 267483657127421832 T^{16} + 1885230323459498199 T^{17} + 20590875702168070970 T^{18} + 1885230323459498199 p T^{19} + 267483657127421832 p^{2} T^{20} + 23022354077637360 p^{3} T^{21} + 3122389883437745 p^{4} T^{22} + 249000864582652 p^{5} T^{23} + 445386010047 p^{7} T^{24} + 2361654820993 p^{7} T^{25} + 298745214234 p^{8} T^{26} + 19163681612 p^{9} T^{27} + 2389630448 p^{10} T^{28} + 128526512 p^{11} T^{29} + 16192289 p^{12} T^{30} + 664143 p^{13} T^{31} + 91054 p^{14} T^{32} + 2100 p^{15} T^{33} + 402 p^{16} T^{34} + 2 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
79 \( 1 - 18 T + 1297 T^{2} - 20031 T^{3} + 786188 T^{4} - 10631617 T^{5} + 298506186 T^{6} - 3585561802 T^{7} + 80086048911 T^{8} - 863338284200 T^{9} + 16209659796490 T^{10} - 157996153097097 T^{11} + 2576626887472372 T^{12} - 22823417890305456 T^{13} + 330077405985329133 T^{14} - 2664890406520132266 T^{15} + 34639279636509263037 T^{16} - \)\(25\!\cdots\!59\)\( T^{17} + \)\(30\!\cdots\!66\)\( T^{18} - \)\(25\!\cdots\!59\)\( p T^{19} + 34639279636509263037 p^{2} T^{20} - 2664890406520132266 p^{3} T^{21} + 330077405985329133 p^{4} T^{22} - 22823417890305456 p^{5} T^{23} + 2576626887472372 p^{6} T^{24} - 157996153097097 p^{7} T^{25} + 16209659796490 p^{8} T^{26} - 863338284200 p^{9} T^{27} + 80086048911 p^{10} T^{28} - 3585561802 p^{11} T^{29} + 298506186 p^{12} T^{30} - 10631617 p^{13} T^{31} + 786188 p^{14} T^{32} - 20031 p^{15} T^{33} + 1297 p^{16} T^{34} - 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
83 \( 1 + 43 T + 1214 T^{2} + 27029 T^{3} + 517233 T^{4} + 8734852 T^{5} + 134157792 T^{6} + 1904363732 T^{7} + 25324885272 T^{8} + 318326987644 T^{9} + 3816043239532 T^{10} + 43881446080752 T^{11} + 486363584266611 T^{12} + 5212562566603327 T^{13} + 54157832160852686 T^{14} + 546073362822746053 T^{15} + 5347456077270647030 T^{16} + 50872297755235833738 T^{17} + \)\(47\!\cdots\!82\)\( T^{18} + 50872297755235833738 p T^{19} + 5347456077270647030 p^{2} T^{20} + 546073362822746053 p^{3} T^{21} + 54157832160852686 p^{4} T^{22} + 5212562566603327 p^{5} T^{23} + 486363584266611 p^{6} T^{24} + 43881446080752 p^{7} T^{25} + 3816043239532 p^{8} T^{26} + 318326987644 p^{9} T^{27} + 25324885272 p^{10} T^{28} + 1904363732 p^{11} T^{29} + 134157792 p^{12} T^{30} + 8734852 p^{13} T^{31} + 517233 p^{14} T^{32} + 27029 p^{15} T^{33} + 1214 p^{16} T^{34} + 43 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
89 \( 1 + 28 T + 1278 T^{2} + 27910 T^{3} + 750883 T^{4} + 13674851 T^{5} + 278327874 T^{6} + 4395094780 T^{7} + 74207320481 T^{8} + 1041079823079 T^{9} + 15262444839605 T^{10} + 193236416956553 T^{11} + 2524149327752443 T^{12} + 29133832029172985 T^{13} + 344418211589959806 T^{14} + 3646576704043225682 T^{15} + 39387762497694988269 T^{16} + \)\(38\!\cdots\!80\)\( T^{17} + \)\(38\!\cdots\!72\)\( T^{18} + \)\(38\!\cdots\!80\)\( p T^{19} + 39387762497694988269 p^{2} T^{20} + 3646576704043225682 p^{3} T^{21} + 344418211589959806 p^{4} T^{22} + 29133832029172985 p^{5} T^{23} + 2524149327752443 p^{6} T^{24} + 193236416956553 p^{7} T^{25} + 15262444839605 p^{8} T^{26} + 1041079823079 p^{9} T^{27} + 74207320481 p^{10} T^{28} + 4395094780 p^{11} T^{29} + 278327874 p^{12} T^{30} + 13674851 p^{13} T^{31} + 750883 p^{14} T^{32} + 27910 p^{15} T^{33} + 1278 p^{16} T^{34} + 28 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
97 \( 1 + 34 T + 1734 T^{2} + 44982 T^{3} + 1350738 T^{4} + 28687000 T^{5} + 647807944 T^{6} + 11728222048 T^{7} + 217762436551 T^{8} + 3446769515305 T^{9} + 54984423618660 T^{10} + 773527117230350 T^{11} + 10868994800485399 T^{12} + 137384482180690541 T^{13} + 1726110187080262341 T^{14} + 19737225141617642237 T^{15} + \)\(22\!\cdots\!37\)\( T^{16} + \)\(23\!\cdots\!18\)\( T^{17} + \)\(23\!\cdots\!52\)\( T^{18} + \)\(23\!\cdots\!18\)\( p T^{19} + \)\(22\!\cdots\!37\)\( p^{2} T^{20} + 19737225141617642237 p^{3} T^{21} + 1726110187080262341 p^{4} T^{22} + 137384482180690541 p^{5} T^{23} + 10868994800485399 p^{6} T^{24} + 773527117230350 p^{7} T^{25} + 54984423618660 p^{8} T^{26} + 3446769515305 p^{9} T^{27} + 217762436551 p^{10} T^{28} + 11728222048 p^{11} T^{29} + 647807944 p^{12} T^{30} + 28687000 p^{13} T^{31} + 1350738 p^{14} T^{32} + 44982 p^{15} T^{33} + 1734 p^{16} T^{34} + 34 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.56937138503643972647265578643, −3.48332742690451705926269879720, −3.37748843144656817619587842063, −3.37446911163191721866796934365, −3.09905397639925749868674914954, −3.03824215480465189659466127013, −2.97552901282983377560399798346, −2.97440946318885662155519275568, −2.90957299938188625807073647819, −2.79172142806700074040363291214, −2.63646459844130186224277379099, −2.57993399509712623727587287083, −2.57288271879330785701893290617, −2.47958008694092344299158262619, −2.27475206779672789357193027850, −2.23663710441619866483785466508, −2.23095287451807266078620746413, −1.93281725158156473046768149933, −1.87513224418067494690345311532, −1.79557396086654244112707139958, −1.50439809214026082281975267437, −1.43648284305103587760472889877, −1.43478959487317990534492372936, −1.42753079084273670382675661256, −1.00546465244164347558091991985, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.00546465244164347558091991985, 1.42753079084273670382675661256, 1.43478959487317990534492372936, 1.43648284305103587760472889877, 1.50439809214026082281975267437, 1.79557396086654244112707139958, 1.87513224418067494690345311532, 1.93281725158156473046768149933, 2.23095287451807266078620746413, 2.23663710441619866483785466508, 2.27475206779672789357193027850, 2.47958008694092344299158262619, 2.57288271879330785701893290617, 2.57993399509712623727587287083, 2.63646459844130186224277379099, 2.79172142806700074040363291214, 2.90957299938188625807073647819, 2.97440946318885662155519275568, 2.97552901282983377560399798346, 3.03824215480465189659466127013, 3.09905397639925749868674914954, 3.37446911163191721866796934365, 3.37748843144656817619587842063, 3.48332742690451705926269879720, 3.56937138503643972647265578643

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.