Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 15·2-s + 5·3-s + 120·4-s + 15·5-s + 75·6-s − 4·7-s + 680·8-s + 4·9-s + 225·10-s + 7·11-s + 600·12-s + 17·13-s − 60·14-s + 75·15-s + 3.06e3·16-s + 2·17-s + 60·18-s + 18·19-s + 1.80e3·20-s − 20·21-s + 105·22-s + 3.40e3·24-s + 120·25-s + 255·26-s − 17·27-s − 480·28-s + 35·29-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 10.6·2-s + 2.88·3-s + 60·4-s + 6.70·5-s + 30.6·6-s − 1.51·7-s + 240.·8-s + 4/3·9-s + 71.1·10-s + 2.11·11-s + 173.·12-s + 4.71·13-s − 16.0·14-s + 19.3·15-s + 765·16-s + 0.485·17-s + 14.1·18-s + 4.12·19-s + 402.·20-s − 4.36·21-s + 22.3·22-s + 694.·24-s + 24·25-s + 50.0·26-s − 3.27·27-s − 90.7·28-s + 6.49·29-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 23^{30}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 23^{30}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(30\) |
| Conductor: | \(2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 23^{30}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(2.43215\times 10^{24}\) |
| Root analytic conductor: | \(6.49929\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((30,\ 2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 23^{30} ,\ ( \ : [1/2]^{15} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(2.613127193\times10^{8}\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(2.613127193\times10^{8}\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 - T )^{15} \) |
| 5 | \( ( 1 - T )^{15} \) | |
| 23 | \( 1 \) | |
| good | 3 | \( 1 - 5 T + 7 p T^{2} - 68 T^{3} + 193 T^{4} - 157 p T^{5} + 361 p T^{6} - 2267 T^{7} + 4609 T^{8} - 9058 T^{9} + 17776 T^{10} - 424 p^{4} T^{11} + 22234 p T^{12} - 41750 p T^{13} + 230821 T^{14} - 406850 T^{15} + 230821 p T^{16} - 41750 p^{3} T^{17} + 22234 p^{4} T^{18} - 424 p^{8} T^{19} + 17776 p^{5} T^{20} - 9058 p^{6} T^{21} + 4609 p^{7} T^{22} - 2267 p^{8} T^{23} + 361 p^{10} T^{24} - 157 p^{11} T^{25} + 193 p^{11} T^{26} - 68 p^{12} T^{27} + 7 p^{14} T^{28} - 5 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) |
| 7 | \( 1 + 4 T + 46 T^{2} + 149 T^{3} + 1032 T^{4} + 3134 T^{5} + 2374 p T^{6} + 49677 T^{7} + 215979 T^{8} + 626301 T^{9} + 2341132 T^{10} + 925921 p T^{11} + 3105324 p T^{12} + 56916653 T^{13} + 175381414 T^{14} + 429641777 T^{15} + 175381414 p T^{16} + 56916653 p^{2} T^{17} + 3105324 p^{4} T^{18} + 925921 p^{5} T^{19} + 2341132 p^{5} T^{20} + 626301 p^{6} T^{21} + 215979 p^{7} T^{22} + 49677 p^{8} T^{23} + 2374 p^{10} T^{24} + 3134 p^{10} T^{25} + 1032 p^{11} T^{26} + 149 p^{12} T^{27} + 46 p^{13} T^{28} + 4 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 11 | \( 1 - 7 T + 93 T^{2} - 568 T^{3} + 4343 T^{4} - 23271 T^{5} + 134237 T^{6} - 640143 T^{7} + 3089311 T^{8} - 13303270 T^{9} + 56514664 T^{10} - 222621584 T^{11} + 855517584 T^{12} - 3110857028 T^{13} + 10976983097 T^{14} - 36989595314 T^{15} + 10976983097 p T^{16} - 3110857028 p^{2} T^{17} + 855517584 p^{3} T^{18} - 222621584 p^{4} T^{19} + 56514664 p^{5} T^{20} - 13303270 p^{6} T^{21} + 3089311 p^{7} T^{22} - 640143 p^{8} T^{23} + 134237 p^{9} T^{24} - 23271 p^{10} T^{25} + 4343 p^{11} T^{26} - 568 p^{12} T^{27} + 93 p^{13} T^{28} - 7 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 13 | \( 1 - 17 T + 218 T^{2} - 1956 T^{3} + 15201 T^{4} - 98894 T^{5} + 589088 T^{6} - 3138575 T^{7} + 15821399 T^{8} - 73969283 T^{9} + 334193337 T^{10} - 1427637078 T^{11} + 5943246866 T^{12} - 23518032502 T^{13} + 90604329878 T^{14} - 331389833886 T^{15} + 90604329878 p T^{16} - 23518032502 p^{2} T^{17} + 5943246866 p^{3} T^{18} - 1427637078 p^{4} T^{19} + 334193337 p^{5} T^{20} - 73969283 p^{6} T^{21} + 15821399 p^{7} T^{22} - 3138575 p^{8} T^{23} + 589088 p^{9} T^{24} - 98894 p^{10} T^{25} + 15201 p^{11} T^{26} - 1956 p^{12} T^{27} + 218 p^{13} T^{28} - 17 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 17 | \( 1 - 2 T + 98 T^{2} - 253 T^{3} + 5177 T^{4} - 15799 T^{5} + 196124 T^{6} - 649828 T^{7} + 5940326 T^{8} - 20023903 T^{9} + 151125625 T^{10} - 498467883 T^{11} + 3314723468 T^{12} - 10489063048 T^{13} + 63722791645 T^{14} - 190999307880 T^{15} + 63722791645 p T^{16} - 10489063048 p^{2} T^{17} + 3314723468 p^{3} T^{18} - 498467883 p^{4} T^{19} + 151125625 p^{5} T^{20} - 20023903 p^{6} T^{21} + 5940326 p^{7} T^{22} - 649828 p^{8} T^{23} + 196124 p^{9} T^{24} - 15799 p^{10} T^{25} + 5177 p^{11} T^{26} - 253 p^{12} T^{27} + 98 p^{13} T^{28} - 2 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 19 | \( 1 - 18 T + 303 T^{2} - 3491 T^{3} + 37062 T^{4} - 329250 T^{5} + 2723124 T^{6} - 20084994 T^{7} + 139248218 T^{8} - 885269233 T^{9} + 5326555635 T^{10} - 29807576699 T^{11} + 8345010530 p T^{12} - 790233633323 T^{13} + 3752632374973 T^{14} - 16751237076048 T^{15} + 3752632374973 p T^{16} - 790233633323 p^{2} T^{17} + 8345010530 p^{4} T^{18} - 29807576699 p^{4} T^{19} + 5326555635 p^{5} T^{20} - 885269233 p^{6} T^{21} + 139248218 p^{7} T^{22} - 20084994 p^{8} T^{23} + 2723124 p^{9} T^{24} - 329250 p^{10} T^{25} + 37062 p^{11} T^{26} - 3491 p^{12} T^{27} + 303 p^{13} T^{28} - 18 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 29 | \( 1 - 35 T + 820 T^{2} - 14074 T^{3} + 199641 T^{4} - 2409208 T^{5} + 25698416 T^{6} - 245823671 T^{7} + 2147550915 T^{8} - 17274114823 T^{9} + 129245444339 T^{10} - 903584539116 T^{11} + 5938394211830 T^{12} - 36766510579606 T^{13} + 215177040113274 T^{14} - 1190788049142486 T^{15} + 215177040113274 p T^{16} - 36766510579606 p^{2} T^{17} + 5938394211830 p^{3} T^{18} - 903584539116 p^{4} T^{19} + 129245444339 p^{5} T^{20} - 17274114823 p^{6} T^{21} + 2147550915 p^{7} T^{22} - 245823671 p^{8} T^{23} + 25698416 p^{9} T^{24} - 2409208 p^{10} T^{25} + 199641 p^{11} T^{26} - 14074 p^{12} T^{27} + 820 p^{13} T^{28} - 35 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 31 | \( 1 - 19 T + 12 p T^{2} - 4601 T^{3} + 55590 T^{4} - 526600 T^{5} + 4891315 T^{6} - 38568348 T^{7} + 302817707 T^{8} - 2108048214 T^{9} + 14855144466 T^{10} - 95115768271 T^{11} + 620455542624 T^{12} - 3705179751503 T^{13} + 22444712126521 T^{14} - 124302131591224 T^{15} + 22444712126521 p T^{16} - 3705179751503 p^{2} T^{17} + 620455542624 p^{3} T^{18} - 95115768271 p^{4} T^{19} + 14855144466 p^{5} T^{20} - 2108048214 p^{6} T^{21} + 302817707 p^{7} T^{22} - 38568348 p^{8} T^{23} + 4891315 p^{9} T^{24} - 526600 p^{10} T^{25} + 55590 p^{11} T^{26} - 4601 p^{12} T^{27} + 12 p^{14} T^{28} - 19 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 37 | \( 1 + 12 T + 373 T^{2} + 3606 T^{3} + 63112 T^{4} + 517437 T^{5} + 6690865 T^{6} + 48469182 T^{7} + 515732873 T^{8} + 3402218881 T^{9} + 31453318481 T^{10} + 192195971524 T^{11} + 1590696446612 T^{12} + 9057297344926 T^{13} + 68398997594427 T^{14} + 362531122402800 T^{15} + 68398997594427 p T^{16} + 9057297344926 p^{2} T^{17} + 1590696446612 p^{3} T^{18} + 192195971524 p^{4} T^{19} + 31453318481 p^{5} T^{20} + 3402218881 p^{6} T^{21} + 515732873 p^{7} T^{22} + 48469182 p^{8} T^{23} + 6690865 p^{9} T^{24} + 517437 p^{10} T^{25} + 63112 p^{11} T^{26} + 3606 p^{12} T^{27} + 373 p^{13} T^{28} + 12 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 41 | \( 1 - 27 T + 704 T^{2} - 286 p T^{3} + 182669 T^{4} - 2253173 T^{5} + 26153386 T^{6} - 258436944 T^{7} + 2430161257 T^{8} - 20146039611 T^{9} + 161343991290 T^{10} - 1166425447523 T^{11} + 8329236075738 T^{12} - 54941821336171 T^{13} + 367934499629634 T^{14} - 2321315673961379 T^{15} + 367934499629634 p T^{16} - 54941821336171 p^{2} T^{17} + 8329236075738 p^{3} T^{18} - 1166425447523 p^{4} T^{19} + 161343991290 p^{5} T^{20} - 20146039611 p^{6} T^{21} + 2430161257 p^{7} T^{22} - 258436944 p^{8} T^{23} + 26153386 p^{9} T^{24} - 2253173 p^{10} T^{25} + 182669 p^{11} T^{26} - 286 p^{13} T^{27} + 704 p^{13} T^{28} - 27 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 43 | \( 1 - 12 T + 336 T^{2} - 3196 T^{3} + 55606 T^{4} - 466174 T^{5} + 6351780 T^{6} - 48372906 T^{7} + 556191395 T^{8} - 3890752074 T^{9} + 39380432806 T^{10} - 255202945286 T^{11} + 2329465905902 T^{12} - 14012283148948 T^{13} + 116972721572670 T^{14} - 652466285530040 T^{15} + 116972721572670 p T^{16} - 14012283148948 p^{2} T^{17} + 2329465905902 p^{3} T^{18} - 255202945286 p^{4} T^{19} + 39380432806 p^{5} T^{20} - 3890752074 p^{6} T^{21} + 556191395 p^{7} T^{22} - 48372906 p^{8} T^{23} + 6351780 p^{9} T^{24} - 466174 p^{10} T^{25} + 55606 p^{11} T^{26} - 3196 p^{12} T^{27} + 336 p^{13} T^{28} - 12 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 47 | \( 1 - 40 T + 1035 T^{2} - 19759 T^{3} + 315079 T^{4} - 4347168 T^{5} + 53909675 T^{6} - 608924761 T^{7} + 6366294291 T^{8} - 62010123967 T^{9} + 567606384056 T^{10} - 4899494221785 T^{11} + 40071188145494 T^{12} - 310973129025811 T^{13} + 2295798816735384 T^{14} - 16126578106873707 T^{15} + 2295798816735384 p T^{16} - 310973129025811 p^{2} T^{17} + 40071188145494 p^{3} T^{18} - 4899494221785 p^{4} T^{19} + 567606384056 p^{5} T^{20} - 62010123967 p^{6} T^{21} + 6366294291 p^{7} T^{22} - 608924761 p^{8} T^{23} + 53909675 p^{9} T^{24} - 4347168 p^{10} T^{25} + 315079 p^{11} T^{26} - 19759 p^{12} T^{27} + 1035 p^{13} T^{28} - 40 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 53 | \( 1 + 20 T + 483 T^{2} + 6529 T^{3} + 92658 T^{4} + 964688 T^{5} + 10520308 T^{6} + 93655072 T^{7} + 899002890 T^{8} + 7424920503 T^{9} + 66476999721 T^{10} + 517398836135 T^{11} + 4307650135372 T^{12} + 31320426246973 T^{13} + 245717605720859 T^{14} + 1710473023806704 T^{15} + 245717605720859 p T^{16} + 31320426246973 p^{2} T^{17} + 4307650135372 p^{3} T^{18} + 517398836135 p^{4} T^{19} + 66476999721 p^{5} T^{20} + 7424920503 p^{6} T^{21} + 899002890 p^{7} T^{22} + 93655072 p^{8} T^{23} + 10520308 p^{9} T^{24} + 964688 p^{10} T^{25} + 92658 p^{11} T^{26} + 6529 p^{12} T^{27} + 483 p^{13} T^{28} + 20 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 59 | \( 1 - 15 T + 576 T^{2} - 8164 T^{3} + 166687 T^{4} - 2144576 T^{5} + 31759996 T^{6} - 365064291 T^{7} + 4421572205 T^{8} - 45457423879 T^{9} + 476103718813 T^{10} - 4413632603082 T^{11} + 41137771661556 T^{12} - 346554189522874 T^{13} + 2920191017400644 T^{14} - 22442814824872030 T^{15} + 2920191017400644 p T^{16} - 346554189522874 p^{2} T^{17} + 41137771661556 p^{3} T^{18} - 4413632603082 p^{4} T^{19} + 476103718813 p^{5} T^{20} - 45457423879 p^{6} T^{21} + 4421572205 p^{7} T^{22} - 365064291 p^{8} T^{23} + 31759996 p^{9} T^{24} - 2144576 p^{10} T^{25} + 166687 p^{11} T^{26} - 8164 p^{12} T^{27} + 576 p^{13} T^{28} - 15 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 61 | \( 1 - 28 T + 811 T^{2} - 14833 T^{3} + 264388 T^{4} - 3763738 T^{5} + 52103308 T^{6} - 626157982 T^{7} + 7342875192 T^{8} - 1273231191 p T^{9} + 803154785421 T^{10} - 7635289443993 T^{11} + 71030002048654 T^{12} - 613536150004511 T^{13} + 85085086604585 p T^{14} - 40953402710962656 T^{15} + 85085086604585 p^{2} T^{16} - 613536150004511 p^{2} T^{17} + 71030002048654 p^{3} T^{18} - 7635289443993 p^{4} T^{19} + 803154785421 p^{5} T^{20} - 1273231191 p^{7} T^{21} + 7342875192 p^{7} T^{22} - 626157982 p^{8} T^{23} + 52103308 p^{9} T^{24} - 3763738 p^{10} T^{25} + 264388 p^{11} T^{26} - 14833 p^{12} T^{27} + 811 p^{13} T^{28} - 28 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 67 | \( 1 - 4 T + 606 T^{2} - 1691 T^{3} + 173621 T^{4} - 276520 T^{5} + 31368844 T^{6} - 9458105 T^{7} + 4030034898 T^{8} + 4595301382 T^{9} + 396996700384 T^{10} + 1063346179607 T^{11} + 32112896179151 T^{12} + 128633845468878 T^{13} + 2296495500919049 T^{14} + 10346319446323498 T^{15} + 2296495500919049 p T^{16} + 128633845468878 p^{2} T^{17} + 32112896179151 p^{3} T^{18} + 1063346179607 p^{4} T^{19} + 396996700384 p^{5} T^{20} + 4595301382 p^{6} T^{21} + 4030034898 p^{7} T^{22} - 9458105 p^{8} T^{23} + 31368844 p^{9} T^{24} - 276520 p^{10} T^{25} + 173621 p^{11} T^{26} - 1691 p^{12} T^{27} + 606 p^{13} T^{28} - 4 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 71 | \( 1 - 22 T + 1000 T^{2} - 17489 T^{3} + 452025 T^{4} - 6596703 T^{5} + 125341646 T^{6} - 1573351804 T^{7} + 24199975444 T^{8} - 266490859823 T^{9} + 3482222630611 T^{10} - 34066566065111 T^{11} + 388615537298650 T^{12} - 3401424896366092 T^{13} + 34411720622244031 T^{14} - 270063631982825464 T^{15} + 34411720622244031 p T^{16} - 3401424896366092 p^{2} T^{17} + 388615537298650 p^{3} T^{18} - 34066566065111 p^{4} T^{19} + 3482222630611 p^{5} T^{20} - 266490859823 p^{6} T^{21} + 24199975444 p^{7} T^{22} - 1573351804 p^{8} T^{23} + 125341646 p^{9} T^{24} - 6596703 p^{10} T^{25} + 452025 p^{11} T^{26} - 17489 p^{12} T^{27} + 1000 p^{13} T^{28} - 22 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 73 | \( 1 - 48 T + 1678 T^{2} - 42765 T^{3} + 923527 T^{4} - 17006235 T^{5} + 280164664 T^{6} - 4149105808 T^{7} + 56500672186 T^{8} - 709590728447 T^{9} + 8325865776055 T^{10} - 91397711415403 T^{11} + 946365426542252 T^{12} - 9242544581082406 T^{13} + 85587672622876261 T^{14} - 750352623234142384 T^{15} + 85587672622876261 p T^{16} - 9242544581082406 p^{2} T^{17} + 946365426542252 p^{3} T^{18} - 91397711415403 p^{4} T^{19} + 8325865776055 p^{5} T^{20} - 709590728447 p^{6} T^{21} + 56500672186 p^{7} T^{22} - 4149105808 p^{8} T^{23} + 280164664 p^{9} T^{24} - 17006235 p^{10} T^{25} + 923527 p^{11} T^{26} - 42765 p^{12} T^{27} + 1678 p^{13} T^{28} - 48 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 79 | \( 1 + 2 T + 497 T^{2} + 627 T^{3} + 1645 p T^{4} + 94795 T^{5} + 23582949 T^{6} + 9991008 T^{7} + 3338730593 T^{8} + 993250675 T^{9} + 391817628219 T^{10} + 108375283317 T^{11} + 39514415333497 T^{12} + 11253426739872 T^{13} + 3504725489961677 T^{14} + 986297028176112 T^{15} + 3504725489961677 p T^{16} + 11253426739872 p^{2} T^{17} + 39514415333497 p^{3} T^{18} + 108375283317 p^{4} T^{19} + 391817628219 p^{5} T^{20} + 993250675 p^{6} T^{21} + 3338730593 p^{7} T^{22} + 9991008 p^{8} T^{23} + 23582949 p^{9} T^{24} + 94795 p^{10} T^{25} + 1645 p^{12} T^{26} + 627 p^{12} T^{27} + 497 p^{13} T^{28} + 2 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 83 | \( 1 + 29 T + 883 T^{2} + 15602 T^{3} + 283051 T^{4} + 3763031 T^{5} + 53027509 T^{6} + 596903587 T^{7} + 7350363689 T^{8} + 74890172018 T^{9} + 849698272736 T^{10} + 8099287482240 T^{11} + 86911597296306 T^{12} + 789269078162738 T^{13} + 8058073591068235 T^{14} + 69429335076898966 T^{15} + 8058073591068235 p T^{16} + 789269078162738 p^{2} T^{17} + 86911597296306 p^{3} T^{18} + 8099287482240 p^{4} T^{19} + 849698272736 p^{5} T^{20} + 74890172018 p^{6} T^{21} + 7350363689 p^{7} T^{22} + 596903587 p^{8} T^{23} + 53027509 p^{9} T^{24} + 3763031 p^{10} T^{25} + 283051 p^{11} T^{26} + 15602 p^{12} T^{27} + 883 p^{13} T^{28} + 29 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 89 | \( 1 - 20 T + 705 T^{2} - 10276 T^{3} + 221722 T^{4} - 2600777 T^{5} + 43667531 T^{6} - 427923943 T^{7} + 6220196425 T^{8} - 52411054949 T^{9} + 711220267458 T^{10} - 5321687934053 T^{11} + 71300600044568 T^{12} - 493147259063975 T^{13} + 6656916984411962 T^{14} - 44228733091861351 T^{15} + 6656916984411962 p T^{16} - 493147259063975 p^{2} T^{17} + 71300600044568 p^{3} T^{18} - 5321687934053 p^{4} T^{19} + 711220267458 p^{5} T^{20} - 52411054949 p^{6} T^{21} + 6220196425 p^{7} T^{22} - 427923943 p^{8} T^{23} + 43667531 p^{9} T^{24} - 2600777 p^{10} T^{25} + 221722 p^{11} T^{26} - 10276 p^{12} T^{27} + 705 p^{13} T^{28} - 20 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 97 | \( 1 + 22 T + 1079 T^{2} + 16913 T^{3} + 479297 T^{4} + 5602791 T^{5} + 121648697 T^{6} + 1067030776 T^{7} + 20813083039 T^{8} + 135886480343 T^{9} + 2775471548707 T^{10} + 13833408250983 T^{11} + 328159518292597 T^{12} + 1372273948052204 T^{13} + 35768372748876119 T^{14} + 136622156275546656 T^{15} + 35768372748876119 p T^{16} + 1372273948052204 p^{2} T^{17} + 328159518292597 p^{3} T^{18} + 13833408250983 p^{4} T^{19} + 2775471548707 p^{5} T^{20} + 135886480343 p^{6} T^{21} + 20813083039 p^{7} T^{22} + 1067030776 p^{8} T^{23} + 121648697 p^{9} T^{24} + 5602791 p^{10} T^{25} + 479297 p^{11} T^{26} + 16913 p^{12} T^{27} + 1079 p^{13} T^{28} + 22 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{30} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.19422607909032471388960102225, −2.10418163078433710870418634045, −2.09413521853641074957001380287, −2.03144273598828875450570358096, −2.01909881388830591766811826731, −1.99311560665768692724122785565, −1.94331696664557494561974564336, −1.67530398330655848791878688022, −1.66655108115141232868452427763, −1.55436460909436820500701138792, −1.47113383851908996778675322671, −1.32515228584769609930688632826, −1.31109936945453329387397637905, −1.29898332226448899185066023879, −1.27390586879148220678242162873, −1.19721108295301540666229044924, −1.14355819887199132011995690989, −1.08717271076718935242524375204, −0.896784902551901415053341125110, −0.878943778686077493742072795076, −0.78442129409390482260669874444, −0.73955100983430911086792611383, −0.64661565202086236857756791437, −0.63447158576614530560844739963, −0.63253857403941753658103427183, 0.63253857403941753658103427183, 0.63447158576614530560844739963, 0.64661565202086236857756791437, 0.73955100983430911086792611383, 0.78442129409390482260669874444, 0.878943778686077493742072795076, 0.896784902551901415053341125110, 1.08717271076718935242524375204, 1.14355819887199132011995690989, 1.19721108295301540666229044924, 1.27390586879148220678242162873, 1.29898332226448899185066023879, 1.31109936945453329387397637905, 1.32515228584769609930688632826, 1.47113383851908996778675322671, 1.55436460909436820500701138792, 1.66655108115141232868452427763, 1.67530398330655848791878688022, 1.94331696664557494561974564336, 1.99311560665768692724122785565, 2.01909881388830591766811826731, 2.03144273598828875450570358096, 2.09413521853641074957001380287, 2.10418163078433710870418634045, 2.19422607909032471388960102225
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.