LMFDB - L-function 24-5e12-1.1-c25e12-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 1.17e8·4^-s + 5.49e8·5^-s + 3.10e12·9^-s − 1.09e12·11^-s + 6.11e15·16^-s + 6.32e15·19^-s + 6.48e16·20^-s + 5.92e17·25^-s − 5.99e18·29^-s − 3.56e16·31^-s + 3.66e20·36^-s − 1.49e20·41^-s − 1.28e20·44^-s + 1.70e21·45^-s + 7.08e21·49^-s − 5.99e20·55^-s − 3.19e22·59^-s + 3.38e22·61^-s + 1.78e23·64^-s − 1.18e23·71^-s + 7.46e23·76^-s − 7.41e23·79^-s + 3.35e24·80^-s + 4.50e24·81^-s + 5.76e23·89^-s + 3.47e24·95^-s − 3.39e24·99^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 3.51·4^-s + 1.00·5^-s + 3.66·9^-s − 0.104·11^-s + 5.42·16^-s + 0.656·19^-s + 3.53·20^-s + 1.98·25^-s − 3.14·29^-s − 0.00813·31^-s + 12.9·36^-s − 1.03·41^-s − 0.368·44^-s + 3.69·45^-s + 5.28·49^-s − 0.105·55^-s − 2.33·59^-s + 1.63·61^-s + 4.72·64^-s − 0.860·71^-s + 2.30·76^-s − 1.41·79^-s + 5.46·80^-s + 6.27·81^-s + 0.247·89^-s + 0.660·95^-s − 0.384·99^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(26-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+25/2)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$24$
Conductor:	$5^{12}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$3.63027\times 10^{15}$
Root analytic conductor:	$4.44970$
Motivic weight:	$25$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(24,\ 5^{12} ,\ ( \ : [25/2]^{12} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(13)$	$\approx$	$45.07925073$
$L(\frac12)$	$\approx$	$45.07925073$
$L(\frac{27}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	5	$ 1 - 109908612 p T - 93017920587726 p^{5} T^{2} + 54992339527651475456 p^{10} T^{3} - $$21\!\cdots\!16$$ p^{17} T^{4} - $$64\!\cdots\!40$$ p^{26} T^{5} + $$77\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{6} - $$64\!\cdots\!40$$ p^{51} T^{7} - $$21\!\cdots\!16$$ p^{67} T^{8} + 54992339527651475456 p^{85} T^{9} - 93017920587726 p^{105} T^{10} - 109908612 p^{126} T^{11} + p^{150} T^{12} $
good	2	$ 1 - 29495205 p^{2} T^{2} + 121976726477571 p^{6} T^{4} - 11548464190704354425 p^{15} T^{6} + $$37\!\cdots\!35$$ p^{22} T^{8} - $$90\!\cdots\!25$$ p^{36} T^{10} + $$49\!\cdots\!05$$ p^{52} T^{12} - $$90\!\cdots\!25$$ p^{86} T^{14} + $$37\!\cdots\!35$$ p^{122} T^{16} - 11548464190704354425 p^{165} T^{18} + 121976726477571 p^{206} T^{20} - 29495205 p^{252} T^{22} + p^{300} T^{24} $
	3	$ 1 - 345499848460 p^{2} T^{2} + 29160636492118387702 p^{11} T^{4} - $$14\!\cdots\!00$$ p^{14} T^{6} + $$79\!\cdots\!05$$ p^{21} T^{8} - $$32\!\cdots\!00$$ p^{26} T^{10} + $$53\!\cdots\!20$$ p^{38} T^{12} - $$32\!\cdots\!00$$ p^{76} T^{14} + $$79\!\cdots\!05$$ p^{121} T^{16} - $$14\!\cdots\!00$$ p^{164} T^{18} + 29160636492118387702 p^{211} T^{20} - 345499848460 p^{252} T^{22} + p^{300} T^{24} $
	7	$ 1 - $$70\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$81\!\cdots\!58$$ p^{3} T^{4} - $$32\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{6} + $$28\!\cdots\!15$$ p^{8} T^{8} - $$85\!\cdots\!00$$ p^{16} T^{10} + $$51\!\cdots\!80$$ p^{20} T^{12} - $$85\!\cdots\!00$$ p^{66} T^{14} + $$28\!\cdots\!15$$ p^{108} T^{16} - $$32\!\cdots\!00$$ p^{154} T^{18} + $$81\!\cdots\!58$$ p^{203} T^{20} - $$70\!\cdots\!00$$ p^{250} T^{22} + p^{300} T^{24} $
	11	$ ( 1 + 545336912088 T + $$12\!\cdots\!06$$ p T^{2} - $$91\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{3} + $$12\!\cdots\!95$$ p^{4} T^{4} - $$24\!\cdots\!72$$ p^{6} T^{5} + $$13\!\cdots\!04$$ p^{8} T^{6} - $$24\!\cdots\!72$$ p^{31} T^{7} + $$12\!\cdots\!95$$ p^{54} T^{8} - $$91\!\cdots\!20$$ p^{77} T^{9} + $$12\!\cdots\!06$$ p^{101} T^{10} + 545336912088 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} )^{2} $
	13	$ 1 - $$56\!\cdots\!80$$ T^{2} + $$15\!\cdots\!94$$ T^{4} - $$29\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$22\!\cdots\!35$$ p^{2} T^{8} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{10} + $$64\!\cdots\!20$$ p^{6} T^{12} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{54} T^{14} + $$22\!\cdots\!35$$ p^{102} T^{16} - $$29\!\cdots\!00$$ p^{150} T^{18} + $$15\!\cdots\!94$$ p^{200} T^{20} - $$56\!\cdots\!80$$ p^{250} T^{22} + p^{300} T^{24} $
	17	$ 1 - $$41\!\cdots\!60$$ T^{2} + $$88\!\cdots\!94$$ T^{4} - $$44\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{6} + $$16\!\cdots\!15$$ p^{4} T^{8} - $$45\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{10} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{8} T^{12} - $$45\!\cdots\!00$$ p^{56} T^{14} + $$16\!\cdots\!15$$ p^{104} T^{16} - $$44\!\cdots\!00$$ p^{152} T^{18} + $$88\!\cdots\!94$$ p^{200} T^{20} - $$41\!\cdots\!60$$ p^{250} T^{22} + p^{300} T^{24} $
	19	$ ( 1 - 3164917175605080 T + $$13\!\cdots\!26$$ p T^{2} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$30\!\cdots\!15$$ p^{4} T^{4} - $$84\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$17\!\cdots\!20$$ p^{5} T^{6} - $$84\!\cdots\!00$$ p^{29} T^{7} + $$30\!\cdots\!15$$ p^{54} T^{8} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{77} T^{9} + $$13\!\cdots\!26$$ p^{101} T^{10} - 3164917175605080 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} )^{2} $
	23	$ 1 - $$94\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{2} + $$40\!\cdots\!34$$ p^{4} T^{4} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{6} + $$30\!\cdots\!15$$ p^{8} T^{8} - $$81\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{10} + $$19\!\cdots\!80$$ p^{12} T^{12} - $$81\!\cdots\!00$$ p^{60} T^{14} + $$30\!\cdots\!15$$ p^{108} T^{16} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{156} T^{18} + $$40\!\cdots\!34$$ p^{204} T^{20} - $$94\!\cdots\!80$$ p^{252} T^{22} + p^{300} T^{24} $
	29	$ ( 1 + 2995227926755983180 T + $$11\!\cdots\!94$$ T^{2} + $$22\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$69\!\cdots\!15$$ T^{4} + $$12\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$30\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{25} T^{7} + $$69\!\cdots\!15$$ p^{50} T^{8} + $$22\!\cdots\!00$$ p^{75} T^{9} + $$11\!\cdots\!94$$ p^{100} T^{10} + 2995227926755983180 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} )^{2} $
	31	$ ( 1 + 17834811621084288 T + $$70\!\cdots\!66$$ T^{2} + $$76\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$27\!\cdots\!95$$ T^{4} + $$21\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$64\!\cdots\!24$$ T^{6} + $$21\!\cdots\!08$$ p^{25} T^{7} + $$27\!\cdots\!95$$ p^{50} T^{8} + $$76\!\cdots\!80$$ p^{75} T^{9} + $$70\!\cdots\!66$$ p^{100} T^{10} + 17834811621084288 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} )^{2} $
	37	$ 1 - $$82\!\cdots\!80$$ T^{2} + $$38\!\cdots\!94$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$32\!\cdots\!15$$ T^{8} - $$69\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$12\!\cdots\!80$$ T^{12} - $$69\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{14} + $$32\!\cdots\!15$$ p^{100} T^{16} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{150} T^{18} + $$38\!\cdots\!94$$ p^{200} T^{20} - $$82\!\cdots\!80$$ p^{250} T^{22} + p^{300} T^{24} $
	41	$ ( 1 + 74752384145980288788 T + $$10\!\cdots\!66$$ T^{2} + $$55\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$49\!\cdots\!95$$ T^{4} + $$19\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!24$$ T^{6} + $$19\!\cdots\!08$$ p^{25} T^{7} + $$49\!\cdots\!95$$ p^{50} T^{8} + $$55\!\cdots\!80$$ p^{75} T^{9} + $$10\!\cdots\!66$$ p^{100} T^{10} + 74752384145980288788 p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} )^{2} $
	43	$ 1 - $$49\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$12\!\cdots\!94$$ T^{4} - $$19\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$23\!\cdots\!15$$ T^{8} - $$22\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$16\!\cdots\!80$$ T^{12} - $$22\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{14} + $$23\!\cdots\!15$$ p^{100} T^{16} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{150} T^{18} + $$12\!\cdots\!94$$ p^{200} T^{20} - $$49\!\cdots\!00$$ p^{250} T^{22} + p^{300} T^{24} $
	47	$ 1 - $$37\!\cdots\!40$$ T^{2} + $$69\!\cdots\!94$$ T^{4} - $$86\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$82\!\cdots\!15$$ T^{8} - $$64\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$43\!\cdots\!80$$ T^{12} - $$64\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{14} + $$82\!\cdots\!15$$ p^{100} T^{16} - $$86\!\cdots\!00$$ p^{150} T^{18} + $$69\!\cdots\!94$$ p^{200} T^{20} - $$37\!\cdots\!40$$ p^{250} T^{22} + p^{300} T^{24} $
	53	$ 1 - $$64\!\cdots\!40$$ T^{2} + $$17\!\cdots\!94$$ T^{4} - $$24\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$26\!\cdots\!15$$ T^{8} - $$39\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$59\!\cdots\!80$$ T^{12} - $$39\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{14} + $$26\!\cdots\!15$$ p^{100} T^{16} - $$24\!\cdots\!00$$ p^{150} T^{18} + $$17\!\cdots\!94$$ p^{200} T^{20} - $$64\!\cdots\!40$$ p^{250} T^{22} + p^{300} T^{24} $
	59	$ ( 1 + $$15\!\cdots\!60$$ T + $$92\!\cdots\!94$$ T^{2} + $$13\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$39\!\cdots\!15$$ T^{4} + $$48\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$94\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$48\!\cdots\!00$$ p^{25} T^{7} + $$39\!\cdots\!15$$ p^{50} T^{8} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{75} T^{9} + $$92\!\cdots\!94$$ p^{100} T^{10} + $$15\!\cdots\!60$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} )^{2} $
	61	$ ( 1 - $$16\!\cdots\!12$$ T + $$21\!\cdots\!66$$ T^{2} - $$60\!\cdots\!20$$ p T^{3} + $$20\!\cdots\!95$$ T^{4} - $$31\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!24$$ T^{6} - $$31\!\cdots\!92$$ p^{25} T^{7} + $$20\!\cdots\!95$$ p^{50} T^{8} - $$60\!\cdots\!20$$ p^{76} T^{9} + $$21\!\cdots\!66$$ p^{100} T^{10} - $$16\!\cdots\!12$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} )^{2} $
	67	$ 1 - $$38\!\cdots\!60$$ T^{2} + $$72\!\cdots\!94$$ T^{4} - $$86\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$73\!\cdots\!15$$ T^{8} - $$47\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$23\!\cdots\!80$$ T^{12} - $$47\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{14} + $$73\!\cdots\!15$$ p^{100} T^{16} - $$86\!\cdots\!00$$ p^{150} T^{18} + $$72\!\cdots\!94$$ p^{200} T^{20} - $$38\!\cdots\!60$$ p^{250} T^{22} + p^{300} T^{24} $
	71	$ ( 1 + $$59\!\cdots\!88$$ T + $$99\!\cdots\!66$$ T^{2} + $$42\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$42\!\cdots\!95$$ T^{4} + $$13\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!24$$ T^{6} + $$13\!\cdots\!08$$ p^{25} T^{7} + $$42\!\cdots\!95$$ p^{50} T^{8} + $$42\!\cdots\!80$$ p^{75} T^{9} + $$99\!\cdots\!66$$ p^{100} T^{10} + $$59\!\cdots\!88$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} )^{2} $
	73	$ 1 - $$35\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$59\!\cdots\!94$$ T^{4} - $$63\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$48\!\cdots\!15$$ T^{8} - $$27\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$11\!\cdots\!80$$ T^{12} - $$27\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{14} + $$48\!\cdots\!15$$ p^{100} T^{16} - $$63\!\cdots\!00$$ p^{150} T^{18} + $$59\!\cdots\!94$$ p^{200} T^{20} - $$35\!\cdots\!20$$ p^{250} T^{22} + p^{300} T^{24} $
	79	$ ( 1 + $$37\!\cdots\!80$$ T + $$47\!\cdots\!94$$ T^{2} + $$77\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!15$$ T^{4} + $$68\!\cdots\!00$$ p T^{5} + $$56\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$68\!\cdots\!00$$ p^{26} T^{7} + $$13\!\cdots\!15$$ p^{50} T^{8} + $$77\!\cdots\!00$$ p^{75} T^{9} + $$47\!\cdots\!94$$ p^{100} T^{10} + $$37\!\cdots\!80$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} )^{2} $
	83	$ 1 - $$77\!\cdots\!60$$ T^{2} + $$29\!\cdots\!94$$ T^{4} - $$74\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$13\!\cdots\!15$$ T^{8} - $$18\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$19\!\cdots\!80$$ T^{12} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{14} + $$13\!\cdots\!15$$ p^{100} T^{16} - $$74\!\cdots\!00$$ p^{150} T^{18} + $$29\!\cdots\!94$$ p^{200} T^{20} - $$77\!\cdots\!60$$ p^{250} T^{22} + p^{300} T^{24} $
	89	$ ( 1 - $$28\!\cdots\!60$$ T + $$24\!\cdots\!94$$ T^{2} - $$15\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$27\!\cdots\!15$$ T^{4} - $$20\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$18\!\cdots\!80$$ T^{6} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{25} T^{7} + $$27\!\cdots\!15$$ p^{50} T^{8} - $$15\!\cdots\!00$$ p^{75} T^{9} + $$24\!\cdots\!94$$ p^{100} T^{10} - $$28\!\cdots\!60$$ p^{125} T^{11} + p^{150} T^{12} )^{2} $
	97	$ 1 - $$31\!\cdots\!40$$ T^{2} + $$53\!\cdots\!94$$ T^{4} - $$60\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$50\!\cdots\!15$$ T^{8} - $$33\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$17\!\cdots\!80$$ T^{12} - $$33\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{14} + $$50\!\cdots\!15$$ p^{100} T^{16} - $$60\!\cdots\!00$$ p^{150} T^{18} + $$53\!\cdots\!94$$ p^{200} T^{20} - $$31\!\cdots\!40$$ p^{250} T^{22} + p^{300} T^{24} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{24} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.18610857545065254914799857134, −4.09532373881009813092154070832, −3.89654453779974703423830544386, −3.72954026329191503416707860711, −3.55602811260975113797386123649, −3.32324998553507603714917581391, −3.14079714901499528333767722918, −2.85957060914441028818374333419, −2.85757430806577499020249551456, −2.65382240312968012217343570406, −2.34748511022892646025815074952, −2.26688796256954742390729287060, −2.10208015977838690701543491387, −2.04963738613577035186767834951, −1.80800136181170211119533386376, −1.72352262129698525165110278559, −1.69241742937725165946569695135, −1.35636367444452129080985308098, −1.27502169181343947398628548818, −1.04003679870736899697763655960, −0.950067761523967855472264440090, −0.830617792918150923400017378704, −0.71214321673597195099976912568, −0.22057167803767045601664999026, −0.16404146604136142879683851644, 0.16404146604136142879683851644, 0.22057167803767045601664999026, 0.71214321673597195099976912568, 0.830617792918150923400017378704, 0.950067761523967855472264440090, 1.04003679870736899697763655960, 1.27502169181343947398628548818, 1.35636367444452129080985308098, 1.69241742937725165946569695135, 1.72352262129698525165110278559, 1.80800136181170211119533386376, 2.04963738613577035186767834951, 2.10208015977838690701543491387, 2.26688796256954742390729287060, 2.34748511022892646025815074952, 2.65382240312968012217343570406, 2.85757430806577499020249551456, 2.85957060914441028818374333419, 3.14079714901499528333767722918, 3.32324998553507603714917581391, 3.55602811260975113797386123649, 3.72954026329191503416707860711, 3.89654453779974703423830544386, 4.09532373881009813092154070832, 4.18610857545065254914799857134

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(13)\)	\(\approx\)	\(45.07925073\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(45.07925073\)
\(L(\frac{27}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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