LMFDB - L-function 10-5e5-1.1-c25e5-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 4.60e3·2^-s + 6.26e5·3^-s − 2.77e7·4^-s + 1.22e9·5^-s − 2.88e9·6^-s + 5.54e10·7^-s + 1.03e11·8^-s − 1.78e12·9^-s − 5.61e12·10^-s − 4.14e12·11^-s − 1.73e13·12^-s + 1.11e14·13^-s − 2.55e14·14^-s + 7.64e14·15^-s + 6.08e14·16^-s + 3.17e15·17^-s + 8.20e15·18^-s + 1.34e16·19^-s − 3.39e16·20^-s + 3.47e16·21^-s + 1.90e16·22^-s + 4.09e17·23^-s + 6.46e16·24^-s + 8.94e17·25^-s − 5.11e17·26^-s − 8.06e17·27^-s − 1.54e18·28^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.794·2^-s + 0.680·3^-s − 0.827·4^-s + 2.23·5^-s − 0.540·6^-s + 1.51·7^-s + 0.531·8^-s − 2.10·9^-s − 1.77·10^-s − 0.398·11^-s − 0.563·12^-s + 1.32·13^-s − 1.20·14^-s + 1.52·15^-s + 0.540·16^-s + 1.32·17^-s + 1.67·18^-s + 1.39·19^-s − 1.85·20^-s + 1.03·21^-s + 0.316·22^-s + 3.89·23^-s + 0.361·24^-s + 3·25^-s − 1.05·26^-s − 1.03·27^-s − 1.25·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 3125 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(26-s) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 3125 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+25/2)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$10$
Conductor:	$3125$ = $5^{5}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$3.04304\times 10^{6}$
Root analytic conductor:	$4.44970$
Motivic weight:	$25$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(10,\ 3125,\ (\ :25/2, 25/2, 25/2, 25/2, 25/2),\ 1)$

Particular Values

$L(13)$	$\approx$	$12.38786596$
$L(\frac12)$	$\approx$	$12.38786596$
$L(\frac{27}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
bad	5	$C_1$	$ ( 1 - p^{12} T )^{5} $
good	2	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 2301 p T + 6118769 p^{3} T^{2} + 1951668605 p^{7} T^{3} + 87016835407 p^{14} T^{4} + 2360447384899 p^{22} T^{5} + 87016835407 p^{39} T^{6} + 1951668605 p^{57} T^{7} + 6118769 p^{78} T^{8} + 2301 p^{101} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	3	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 626204 T + 725096275061 p T^{2} - 6883891677244720 p^{5} T^{3} + $$12\!\cdots\!14$$ p^{7} T^{4} - $$11\!\cdots\!04$$ p^{13} T^{5} + $$12\!\cdots\!14$$ p^{32} T^{6} - 6883891677244720 p^{55} T^{7} + 725096275061 p^{76} T^{8} - 626204 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	7	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 55481235808 T + $$34\!\cdots\!07$$ T^{2} - $$21\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$18\!\cdots\!86$$ p^{3} T^{4} - $$22\!\cdots\!16$$ p^{6} T^{5} + $$18\!\cdots\!86$$ p^{28} T^{6} - $$21\!\cdots\!00$$ p^{51} T^{7} + $$34\!\cdots\!07$$ p^{75} T^{8} - 55481235808 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	11	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 4144958451540 T + $$26\!\cdots\!45$$ p T^{2} + $$87\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{3} + $$25\!\cdots\!10$$ p^{5} T^{4} + $$83\!\cdots\!88$$ p^{7} T^{5} + $$25\!\cdots\!10$$ p^{30} T^{6} + $$87\!\cdots\!80$$ p^{53} T^{7} + $$26\!\cdots\!45$$ p^{76} T^{8} + 4144958451540 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	13	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 111211249076614 T + $$94\!\cdots\!73$$ T^{2} + $$18\!\cdots\!60$$ p T^{3} - $$26\!\cdots\!46$$ p^{3} T^{4} + $$39\!\cdots\!24$$ p^{3} T^{5} - $$26\!\cdots\!46$$ p^{28} T^{6} + $$18\!\cdots\!60$$ p^{51} T^{7} + $$94\!\cdots\!73$$ p^{75} T^{8} - 111211249076614 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	17	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 3179191896192378 T + $$15\!\cdots\!01$$ p T^{2} - $$25\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{3} + $$58\!\cdots\!86$$ p^{3} T^{4} - $$75\!\cdots\!64$$ p^{4} T^{5} + $$58\!\cdots\!86$$ p^{28} T^{6} - $$25\!\cdots\!20$$ p^{52} T^{7} + $$15\!\cdots\!01$$ p^{76} T^{8} - 3179191896192378 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	19	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 13473188050195300 T + $$18\!\cdots\!05$$ p T^{2} - $$81\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$73\!\cdots\!90$$ p^{3} T^{4} - $$24\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$73\!\cdots\!90$$ p^{28} T^{6} - $$81\!\cdots\!00$$ p^{52} T^{7} + $$18\!\cdots\!05$$ p^{76} T^{8} - 13473188050195300 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	23	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 409020396998250624 T + $$47\!\cdots\!81$$ p T^{2} - $$39\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{3} + $$25\!\cdots\!74$$ p^{3} T^{4} - $$12\!\cdots\!72$$ p^{4} T^{5} + $$25\!\cdots\!74$$ p^{28} T^{6} - $$39\!\cdots\!20$$ p^{52} T^{7} + $$47\!\cdots\!81$$ p^{76} T^{8} - 409020396998250624 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	29	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 1510518246057732150 T + $$61\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$11\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$29\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$21\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$29\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{7} + $$61\!\cdots\!45$$ p^{75} T^{8} - 1510518246057732150 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	31	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 7800790900476562640 T + $$59\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$20\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$11\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$35\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} + $$20\!\cdots\!80$$ p^{50} T^{7} + $$59\!\cdots\!95$$ p^{75} T^{8} + 7800790900476562640 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	37	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 45693640863683938082 T + $$58\!\cdots\!37$$ T^{2} + $$21\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$14\!\cdots\!58$$ T^{4} + $$45\!\cdots\!36$$ T^{5} + $$14\!\cdots\!58$$ p^{25} T^{6} + $$21\!\cdots\!60$$ p^{50} T^{7} + $$58\!\cdots\!37$$ p^{75} T^{8} + 45693640863683938082 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	41	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$26\!\cdots\!10$$ T + $$97\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$18\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$97\!\cdots\!10$$ p T^{4} - $$55\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$97\!\cdots\!10$$ p^{26} T^{6} - $$18\!\cdots\!20$$ p^{50} T^{7} + $$97\!\cdots\!45$$ p^{75} T^{8} - $$26\!\cdots\!10$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	43	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 54212732396046197756 T + $$11\!\cdots\!43$$ T^{2} + $$10\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!98$$ T^{4} + $$29\!\cdots\!88$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!98$$ p^{25} T^{6} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{7} + $$11\!\cdots\!43$$ p^{75} T^{8} + 54212732396046197756 p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	47	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$13\!\cdots\!88$$ T + $$22\!\cdots\!47$$ T^{2} - $$18\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$19\!\cdots\!78$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!24$$ T^{5} + $$19\!\cdots\!78$$ p^{25} T^{6} - $$18\!\cdots\!20$$ p^{50} T^{7} + $$22\!\cdots\!47$$ p^{75} T^{8} - $$13\!\cdots\!88$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	53	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$17\!\cdots\!46$$ T + $$47\!\cdots\!33$$ T^{2} + $$39\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$97\!\cdots\!18$$ T^{4} + $$46\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$97\!\cdots\!18$$ p^{25} T^{6} + $$39\!\cdots\!40$$ p^{50} T^{7} + $$47\!\cdots\!33$$ p^{75} T^{8} + $$17\!\cdots\!46$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	59	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$16\!\cdots\!00$$ T + $$80\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$11\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$28\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$30\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$28\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{7} + $$80\!\cdots\!95$$ p^{75} T^{8} + $$16\!\cdots\!00$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	61	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$11\!\cdots\!10$$ T + $$12\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$19\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$79\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$79\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} - $$19\!\cdots\!20$$ p^{50} T^{7} + $$12\!\cdots\!45$$ p^{75} T^{8} - $$11\!\cdots\!10$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	67	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$18\!\cdots\!28$$ T + $$33\!\cdots\!67$$ T^{2} - $$36\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$35\!\cdots\!18$$ T^{4} - $$25\!\cdots\!44$$ T^{5} + $$35\!\cdots\!18$$ p^{25} T^{6} - $$36\!\cdots\!80$$ p^{50} T^{7} + $$33\!\cdots\!67$$ p^{75} T^{8} - $$18\!\cdots\!28$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	71	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$17\!\cdots\!60$$ T + $$34\!\cdots\!95$$ T^{2} - $$79\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$14\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} - $$79\!\cdots\!20$$ p^{50} T^{7} + $$34\!\cdots\!95$$ p^{75} T^{8} - $$17\!\cdots\!60$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	73	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$47\!\cdots\!26$$ T + $$12\!\cdots\!13$$ T^{2} + $$85\!\cdots\!20$$ T^{3} - $$21\!\cdots\!42$$ T^{4} - $$92\!\cdots\!52$$ T^{5} - $$21\!\cdots\!42$$ p^{25} T^{6} + $$85\!\cdots\!20$$ p^{50} T^{7} + $$12\!\cdots\!13$$ p^{75} T^{8} + $$47\!\cdots\!26$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	79	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$36\!\cdots\!00$$ T + $$57\!\cdots\!95$$ T^{2} - $$29\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$25\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$85\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$25\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} - $$29\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{7} + $$57\!\cdots\!95$$ p^{75} T^{8} - $$36\!\cdots\!00$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	83	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$17\!\cdots\!84$$ T + $$51\!\cdots\!03$$ T^{2} - $$61\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$98\!\cdots\!78$$ T^{4} - $$84\!\cdots\!32$$ T^{5} + $$98\!\cdots\!78$$ p^{25} T^{6} - $$61\!\cdots\!40$$ p^{50} T^{7} + $$51\!\cdots\!03$$ p^{75} T^{8} - $$17\!\cdots\!84$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	89	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$40\!\cdots\!50$$ T + $$29\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$84\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$33\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$67\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$33\!\cdots\!10$$ p^{25} T^{6} - $$84\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{7} + $$29\!\cdots\!45$$ p^{75} T^{8} - $$40\!\cdots\!50$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
	97	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$28\!\cdots\!38$$ T + $$55\!\cdots\!97$$ T^{2} - $$70\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$72\!\cdots\!74$$ p T^{4} - $$53\!\cdots\!24$$ T^{5} + $$72\!\cdots\!74$$ p^{26} T^{6} - $$70\!\cdots\!20$$ p^{50} T^{7} + $$55\!\cdots\!97$$ p^{75} T^{8} - $$28\!\cdots\!38$$ p^{100} T^{9} + p^{125} T^{10} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−9.288728041351937319921401539802, −9.229984475166647966721695584263, −8.883424148080948577689516878726, −8.866936560335141556580083034590, −8.723651424866256893417462415358, −7.939173443063166648433283979932, −7.73513078893411390803915267939, −7.40778191513194685788050802986, −6.61842423525362991846485652995, −6.31674493816719350806421433900, −5.74144604720029268386873975577, −5.38279469884390421935133152966, −5.37082563808613739320078952296, −4.88857269544941328827608428084, −4.81278731441809064266023663048, −3.58761407238452785473078968339, −3.37300503519884592595418562183, −3.01783120735494206474524156937, −2.81609392034214628815760544294, −2.11029199980314421473377432673, −1.94964119840963392273652671465, −1.35370335598729196682876711717, −0.897236454280593245552162028863, −0.805196777266114034413544588637, −0.56895011045131009159885814557, 0.56895011045131009159885814557, 0.805196777266114034413544588637, 0.897236454280593245552162028863, 1.35370335598729196682876711717, 1.94964119840963392273652671465, 2.11029199980314421473377432673, 2.81609392034214628815760544294, 3.01783120735494206474524156937, 3.37300503519884592595418562183, 3.58761407238452785473078968339, 4.81278731441809064266023663048, 4.88857269544941328827608428084, 5.37082563808613739320078952296, 5.38279469884390421935133152966, 5.74144604720029268386873975577, 6.31674493816719350806421433900, 6.61842423525362991846485652995, 7.40778191513194685788050802986, 7.73513078893411390803915267939, 7.939173443063166648433283979932, 8.723651424866256893417462415358, 8.866936560335141556580083034590, 8.883424148080948577689516878726, 9.229984475166647966721695584263, 9.288728041351937319921401539802

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(13)\)	\(\approx\)	\(12.38786596\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(12.38786596\)
\(L(\frac{27}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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