LMFDB - L-function 20-5e10-1.1-c23e10-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 2.13e7·4^-s + 1.24e8·5^-s + 3.76e11·9^-s − 1.44e12·11^-s + 2.17e14·16^-s + 8.87e14·19^-s + 2.65e15·20^-s + 6.43e13·25^-s + 6.85e16·29^-s − 3.03e17·31^-s + 8.01e18·36^-s − 6.65e18·41^-s − 3.08e19·44^-s + 4.69e19·45^-s + 1.62e20·49^-s − 1.80e20·55^-s + 4.61e20·59^-s + 2.02e20·61^-s + 1.40e21·64^-s − 6.36e21·71^-s + 1.89e22·76^-s + 8.00e21·79^-s + 2.71e22·80^-s + 5.03e22·81^-s + 1.70e22·89^-s + 1.10e23·95^-s − 5.44e23·99^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 2.53·4^-s + 1.14·5^-s + 3.99·9^-s − 1.53·11^-s + 3.08·16^-s + 1.74·19^-s + 2.90·20^-s + 0.00540·25^-s + 1.04·29^-s − 2.14·31^-s + 10.1·36^-s − 1.88·41^-s − 3.88·44^-s + 4.56·45^-s + 5.93·49^-s − 1.74·55^-s + 1.99·59^-s + 0.597·61^-s + 2.38·64^-s − 3.26·71^-s + 4.44·76^-s + 1.20·79^-s + 3.53·80^-s + 5.68·81^-s + 0.651·89^-s + 1.99·95^-s − 6.11·99^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 9765625 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{10} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(24-s) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 9765625 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+23/2)^{10} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$20$
Conductor:	$9765625$ = $5^{10}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.74901\times 10^{12}$
Root analytic conductor:	$4.09392$
Motivic weight:	$23$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(20,\ 9765625,\ (\ :[23/2]^{10}),\ 1)$

Particular Values

$L(12)$	$\approx$	$78.97855421$
$L(\frac12)$	$\approx$	$78.97855421$
$L(\frac{25}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	5	$ 1 - 998094 p^{3} T + 39682820137 p^{8} T^{2} - 228392344632936 p^{14} T^{3} + 54158040296710392 p^{21} T^{4} + 4075302709224414208 p^{30} T^{5} + 54158040296710392 p^{44} T^{6} - 228392344632936 p^{60} T^{7} + 39682820137 p^{77} T^{8} - 998094 p^{95} T^{9} + p^{115} T^{10} $
good	2	$ 1 - 5326675 p^{2} T^{2} + 462011453385 p^{9} T^{4} - 110684372486229675 p^{14} T^{6} + $$12\!\cdots\!65$$ p^{26} T^{8} - $$26\!\cdots\!25$$ p^{40} T^{10} + $$12\!\cdots\!65$$ p^{72} T^{12} - 110684372486229675 p^{106} T^{14} + 462011453385 p^{147} T^{16} - 5326675 p^{186} T^{18} + p^{230} T^{20} $
	3	$ 1 - 41787842050 p^{2} T^{2} + $$12\!\cdots\!05$$ p^{6} T^{4} - $$26\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{6} + $$53\!\cdots\!90$$ p^{18} T^{8} - $$94\!\cdots\!00$$ p^{28} T^{10} + $$53\!\cdots\!90$$ p^{64} T^{12} - $$26\!\cdots\!00$$ p^{102} T^{14} + $$12\!\cdots\!05$$ p^{144} T^{16} - 41787842050 p^{186} T^{18} + p^{230} T^{20} $
	7	$ 1 - $$16\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$26\!\cdots\!05$$ p^{2} T^{4} - $$55\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{6} + $$88\!\cdots\!90$$ p^{10} T^{8} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{14} T^{10} + $$88\!\cdots\!90$$ p^{56} T^{12} - $$55\!\cdots\!00$$ p^{98} T^{14} + $$26\!\cdots\!05$$ p^{140} T^{16} - $$16\!\cdots\!50$$ p^{184} T^{18} + p^{230} T^{20} $
	11	$ ( 1 + 65847160740 p T + $$28\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} + $$17\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{3} + $$36\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} + $$18\!\cdots\!48$$ p^{5} T^{5} + $$36\!\cdots\!10$$ p^{27} T^{6} + $$17\!\cdots\!80$$ p^{49} T^{7} + $$28\!\cdots\!95$$ p^{71} T^{8} + 65847160740 p^{93} T^{9} + p^{115} T^{10} )^{2} $
	13	$ 1 - $$14\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$12\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$52\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{6} + $$17\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{8} - $$45\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{10} + $$17\!\cdots\!10$$ p^{50} T^{12} - $$52\!\cdots\!00$$ p^{94} T^{14} + $$12\!\cdots\!45$$ p^{138} T^{16} - $$14\!\cdots\!50$$ p^{184} T^{18} + p^{230} T^{20} $
	17	$ 1 - $$14\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$34\!\cdots\!05$$ p^{2} T^{4} - $$53\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{6} + $$58\!\cdots\!90$$ p^{6} T^{8} - $$47\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{10} + $$58\!\cdots\!90$$ p^{52} T^{12} - $$53\!\cdots\!00$$ p^{96} T^{14} + $$34\!\cdots\!05$$ p^{140} T^{16} - $$14\!\cdots\!50$$ p^{184} T^{18} + p^{230} T^{20} $
	19	$ ( 1 - 443813407650700 T + $$39\!\cdots\!05$$ p T^{2} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$24\!\cdots\!90$$ p^{3} T^{4} + $$28\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$24\!\cdots\!90$$ p^{26} T^{6} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{48} T^{7} + $$39\!\cdots\!05$$ p^{70} T^{8} - 443813407650700 p^{92} T^{9} + p^{115} T^{10} )^{2} $
	23	$ 1 - $$13\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$88\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$39\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$12\!\cdots\!10$$ T^{8} - $$29\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$12\!\cdots\!10$$ p^{46} T^{12} - $$39\!\cdots\!00$$ p^{92} T^{14} + $$88\!\cdots\!45$$ p^{138} T^{16} - $$13\!\cdots\!50$$ p^{184} T^{18} + p^{230} T^{20} $
	29	$ ( 1 - 34269446792664750 T + $$10\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$19\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$55\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$60\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$55\!\cdots\!10$$ p^{23} T^{6} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{46} T^{7} + $$10\!\cdots\!45$$ p^{69} T^{8} - 34269446792664750 p^{92} T^{9} + p^{115} T^{10} )^{2} $
	31	$ ( 1 + 151851826140921440 T + $$66\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$81\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$21\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$21\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$21\!\cdots\!10$$ p^{23} T^{6} + $$81\!\cdots\!80$$ p^{46} T^{7} + $$66\!\cdots\!95$$ p^{69} T^{8} + 151851826140921440 p^{92} T^{9} + p^{115} T^{10} )^{2} $
	37	$ 1 - $$32\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$84\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$15\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$22\!\cdots\!10$$ T^{8} - $$29\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$22\!\cdots\!10$$ p^{46} T^{12} - $$15\!\cdots\!00$$ p^{92} T^{14} + $$84\!\cdots\!45$$ p^{138} T^{16} - $$32\!\cdots\!50$$ p^{184} T^{18} + p^{230} T^{20} $
	41	$ ( 1 + 3329416477141763790 T + $$28\!\cdots\!45$$ T^{2} + $$10\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$54\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$12\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$54\!\cdots\!10$$ p^{23} T^{6} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{46} T^{7} + $$28\!\cdots\!45$$ p^{69} T^{8} + 3329416477141763790 p^{92} T^{9} + p^{115} T^{10} )^{2} $
	43	$ 1 - $$14\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$11\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$65\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$30\!\cdots\!10$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$30\!\cdots\!10$$ p^{46} T^{12} - $$65\!\cdots\!00$$ p^{92} T^{14} + $$11\!\cdots\!45$$ p^{138} T^{16} - $$14\!\cdots\!50$$ p^{184} T^{18} + p^{230} T^{20} $
	47	$ 1 - $$18\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$17\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$46\!\cdots\!10$$ T^{8} - $$15\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$46\!\cdots\!10$$ p^{46} T^{12} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{92} T^{14} + $$17\!\cdots\!45$$ p^{138} T^{16} - $$18\!\cdots\!50$$ p^{184} T^{18} + p^{230} T^{20} $
	53	$ 1 - $$12\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$12\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$91\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$55\!\cdots\!10$$ T^{8} - $$27\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$55\!\cdots\!10$$ p^{46} T^{12} - $$91\!\cdots\!00$$ p^{92} T^{14} + $$12\!\cdots\!45$$ p^{138} T^{16} - $$12\!\cdots\!50$$ p^{184} T^{18} + p^{230} T^{20} $
	59	$ ( 1 - $$23\!\cdots\!00$$ T + $$12\!\cdots\!95$$ T^{2} - $$11\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$61\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$32\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$61\!\cdots\!10$$ p^{23} T^{6} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{46} T^{7} + $$12\!\cdots\!95$$ p^{69} T^{8} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{92} T^{9} + p^{115} T^{10} )^{2} $
	61	$ ( 1 - $$10\!\cdots\!10$$ T + $$42\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$56\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$82\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$82\!\cdots\!10$$ p^{23} T^{6} - $$56\!\cdots\!20$$ p^{46} T^{7} + $$42\!\cdots\!45$$ p^{69} T^{8} - $$10\!\cdots\!10$$ p^{92} T^{9} + p^{115} T^{10} )^{2} $
	67	$ 1 - $$53\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$14\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$27\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$39\!\cdots\!10$$ T^{8} - $$43\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$39\!\cdots\!10$$ p^{46} T^{12} - $$27\!\cdots\!00$$ p^{92} T^{14} + $$14\!\cdots\!45$$ p^{138} T^{16} - $$53\!\cdots\!50$$ p^{184} T^{18} + p^{230} T^{20} $
	71	$ ( 1 + $$31\!\cdots\!40$$ T + $$15\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$36\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$19\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!10$$ p^{23} T^{6} + $$36\!\cdots\!80$$ p^{46} T^{7} + $$15\!\cdots\!95$$ p^{69} T^{8} + $$31\!\cdots\!40$$ p^{92} T^{9} + p^{115} T^{10} )^{2} $
	73	$ 1 - $$33\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$48\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$44\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$33\!\cdots\!10$$ T^{8} - $$23\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$33\!\cdots\!10$$ p^{46} T^{12} - $$44\!\cdots\!00$$ p^{92} T^{14} + $$48\!\cdots\!45$$ p^{138} T^{16} - $$33\!\cdots\!50$$ p^{184} T^{18} + p^{230} T^{20} $
	79	$ ( 1 - $$40\!\cdots\!00$$ T + $$12\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$27\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$45\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$19\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$45\!\cdots\!10$$ p^{23} T^{6} + $$27\!\cdots\!00$$ p^{46} T^{7} + $$12\!\cdots\!95$$ p^{69} T^{8} - $$40\!\cdots\!00$$ p^{92} T^{9} + p^{115} T^{10} )^{2} $
	83	$ 1 - $$10\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$51\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$16\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$35\!\cdots\!10$$ T^{8} - $$56\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$35\!\cdots\!10$$ p^{46} T^{12} - $$16\!\cdots\!00$$ p^{92} T^{14} + $$51\!\cdots\!45$$ p^{138} T^{16} - $$10\!\cdots\!50$$ p^{184} T^{18} + p^{230} T^{20} $
	89	$ ( 1 - $$85\!\cdots\!50$$ T + $$38\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$76\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$56\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$17\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$56\!\cdots\!10$$ p^{23} T^{6} - $$76\!\cdots\!00$$ p^{46} T^{7} + $$38\!\cdots\!45$$ p^{69} T^{8} - $$85\!\cdots\!50$$ p^{92} T^{9} + p^{115} T^{10} )^{2} $
	97	$ 1 - $$32\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$52\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$54\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$40\!\cdots\!10$$ T^{8} - $$23\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$40\!\cdots\!10$$ p^{46} T^{12} - $$54\!\cdots\!00$$ p^{92} T^{14} + $$52\!\cdots\!45$$ p^{138} T^{16} - $$32\!\cdots\!50$$ p^{184} T^{18} + p^{230} T^{20} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{20} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−5.40626756172563702937420344557, −5.25713199583928173903618689496, −5.13943321787771404757541383030, −4.62282566720187704374397931288, −4.54233091445284256328052760637, −4.12270791730826343963419435309, −3.97465694762847944970936948394, −3.85002650887680936637508637972, −3.77075793258668919708552481626, −3.51227847185891786076052509699, −2.81851011341904562378685316293, −2.77796433345066109196548543371, −2.72124442008284013739821915990, −2.57898358975674294886551083000, −2.42379570868491663851548146270, −1.96370265505155018129326838630, −1.80719543815650555416460328598, −1.69588170279366914792423227083, −1.49241645011175374261357116489, −1.34811952702682709471052705777, −1.29211835349699751827341514385, −0.981190280145573526060847934425, −0.55947827765812649645455555179, −0.54918841304476118423356014456, −0.28027467530829087479155787865, 0.28027467530829087479155787865, 0.54918841304476118423356014456, 0.55947827765812649645455555179, 0.981190280145573526060847934425, 1.29211835349699751827341514385, 1.34811952702682709471052705777, 1.49241645011175374261357116489, 1.69588170279366914792423227083, 1.80719543815650555416460328598, 1.96370265505155018129326838630, 2.42379570868491663851548146270, 2.57898358975674294886551083000, 2.72124442008284013739821915990, 2.77796433345066109196548543371, 2.81851011341904562378685316293, 3.51227847185891786076052509699, 3.77075793258668919708552481626, 3.85002650887680936637508637972, 3.97465694762847944970936948394, 4.12270791730826343963419435309, 4.54233091445284256328052760637, 4.62282566720187704374397931288, 5.13943321787771404757541383030, 5.25713199583928173903618689496, 5.40626756172563702937420344557

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(12)\)	\(\approx\)	\(78.97855421\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(78.97855421\)
\(L(\frac{25}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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