| L(s) = 1 | + 2·2-s − 32·4-s + 75·5-s − 232·7-s − 96·8-s + 150·10-s − 363·11-s + 450·13-s − 464·14-s − 112·16-s + 334·17-s − 4.03e3·19-s − 2.40e3·20-s − 726·22-s + 7.06e3·23-s + 3.75e3·25-s + 900·26-s + 7.42e3·28-s − 4.04e3·29-s − 608·31-s + 1.69e3·32-s + 668·34-s − 1.74e4·35-s + 2.25e3·37-s − 8.07e3·38-s − 7.20e3·40-s − 1.06e4·41-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.353·2-s − 4-s + 1.34·5-s − 1.78·7-s − 0.530·8-s + 0.474·10-s − 0.904·11-s + 0.738·13-s − 0.632·14-s − 0.109·16-s + 0.280·17-s − 2.56·19-s − 1.34·20-s − 0.319·22-s + 2.78·23-s + 6/5·25-s + 0.261·26-s + 1.78·28-s − 0.892·29-s − 0.113·31-s + 0.292·32-s + 0.0991·34-s − 2.40·35-s + 0.270·37-s − 0.906·38-s − 0.711·40-s − 0.989·41-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{6} \cdot 5^{3} \cdot 11^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{6} \cdot 5^{3} \cdot 11^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 3 | | \( 1 \) |
| 5 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| 11 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| good | 2 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - p T + 9 p^{2} T^{2} - 5 p^{3} T^{3} + 9 p^{7} T^{4} - p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 232 T + 48289 T^{2} + 7415840 T^{3} + 48289 p^{5} T^{4} + 232 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 450 T + 1068439 T^{2} - 311504212 T^{3} + 1068439 p^{5} T^{4} - 450 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 334 T + 3997931 T^{2} - 890682028 T^{3} + 3997931 p^{5} T^{4} - 334 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 4036 T + 10546833 T^{2} + 18356119928 T^{3} + 10546833 p^{5} T^{4} + 4036 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 7060 T + 25138261 T^{2} - 66605461592 T^{3} + 25138261 p^{5} T^{4} - 7060 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 4042 T + 41491883 T^{2} + 99862913932 T^{3} + 41491883 p^{5} T^{4} + 4042 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 608 T - 4957539 T^{2} - 176765401280 T^{3} - 4957539 p^{5} T^{4} + 608 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 2250 T + 76046251 T^{2} - 743927675036 T^{3} + 76046251 p^{5} T^{4} - 2250 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 10654 T + 367707807 T^{2} + 2476467488116 T^{3} + 367707807 p^{5} T^{4} + 10654 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 35528 T + 861670557 T^{2} + 12105543975808 T^{3} + 861670557 p^{5} T^{4} + 35528 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 2100 T + 593888701 T^{2} - 1015411414488 T^{3} + 593888701 p^{5} T^{4} - 2100 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 242 p T + 419938891 T^{2} - 13415490019292 T^{3} + 419938891 p^{5} T^{4} - 242 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 81876 T + 3647590801 T^{2} - 113436530018552 T^{3} + 3647590801 p^{5} T^{4} - 81876 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 62298 T + 3103700755 T^{2} + 92329281973340 T^{3} + 3103700755 p^{5} T^{4} + 62298 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 46148 T + 3289111289 T^{2} + 83962738468760 T^{3} + 3289111289 p^{5} T^{4} + 46148 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 64724 T + 6737647765 T^{2} - 242132017763608 T^{3} + 6737647765 p^{5} T^{4} - 64724 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 810 T + 973289755 T^{2} - 147790502790292 T^{3} + 973289755 p^{5} T^{4} - 810 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 43876 T - 340410235 T^{2} + 81866739123944 T^{3} - 340410235 p^{5} T^{4} - 43876 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 101024 T + 13571488893 T^{2} - 801669575220272 T^{3} + 13571488893 p^{5} T^{4} - 101024 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 60022 T + 6543211047 T^{2} + 916436193435188 T^{3} + 6543211047 p^{5} T^{4} + 60022 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 319746 T + 51760850431 T^{2} + 5671445258599612 T^{3} + 51760850431 p^{5} T^{4} + 319746 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−9.602815244842445704762645377817, −8.942973830273950271953896391209, −8.918214499733086996448889687510, −8.779222077960963056648190491826, −8.202284261466806490156556150831, −8.181307611517022859245050382906, −7.59860791640419179543533365800, −6.85986201246522910012557967399, −6.79202441203167362848330453212, −6.60786433281029563974023444411, −6.50052970022907804734189616916, −5.83318921930143928089156877526, −5.71494061758803687755186073687, −5.10736042608391540356485667238, −5.02810619543587909995793617996, −4.88409144376316078939971526704, −4.05481292582314033946228343869, −3.91023240503214108497189025269, −3.55322414025694686147969759501, −2.98152379677419282895592800830, −2.78101509455189743526475953388, −2.46080413315617784473758558077, −1.87885092642258534482587555245, −1.35574190509873891169199224900, −1.02341707071877347835463595389, 0, 0, 0,
1.02341707071877347835463595389, 1.35574190509873891169199224900, 1.87885092642258534482587555245, 2.46080413315617784473758558077, 2.78101509455189743526475953388, 2.98152379677419282895592800830, 3.55322414025694686147969759501, 3.91023240503214108497189025269, 4.05481292582314033946228343869, 4.88409144376316078939971526704, 5.02810619543587909995793617996, 5.10736042608391540356485667238, 5.71494061758803687755186073687, 5.83318921930143928089156877526, 6.50052970022907804734189616916, 6.60786433281029563974023444411, 6.79202441203167362848330453212, 6.85986201246522910012557967399, 7.59860791640419179543533365800, 8.181307611517022859245050382906, 8.202284261466806490156556150831, 8.779222077960963056648190491826, 8.918214499733086996448889687510, 8.942973830273950271953896391209, 9.602815244842445704762645377817
