# Properties

 Degree 16 Conductor $2^{8} \cdot 5^{8} \cdot 11^{8} \cdot 43^{8}$ Sign $1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 8

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 8·2-s − 7·3-s + 36·4-s + 8·5-s + 56·6-s − 6·7-s − 120·8-s + 16·9-s − 64·10-s + 8·11-s − 252·12-s − 2·13-s + 48·14-s − 56·15-s + 330·16-s − 8·17-s − 128·18-s + 288·20-s + 42·21-s − 64·22-s − 18·23-s + 840·24-s + 36·25-s + 16·26-s + 2·27-s − 216·28-s + 8·29-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 5.65·2-s − 4.04·3-s + 18·4-s + 3.57·5-s + 22.8·6-s − 2.26·7-s − 42.4·8-s + 16/3·9-s − 20.2·10-s + 2.41·11-s − 72.7·12-s − 0.554·13-s + 12.8·14-s − 14.4·15-s + 82.5·16-s − 1.94·17-s − 30.1·18-s + 64.3·20-s + 9.16·21-s − 13.6·22-s − 3.75·23-s + 171.·24-s + 36/5·25-s + 3.13·26-s + 0.384·27-s − 40.8·28-s + 1.48·29-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 5^{8} \cdot 11^{8} \cdot 43^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 5^{8} \cdot 11^{8} \cdot 43^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$16$$ $$N$$ = $$2^{8} \cdot 5^{8} \cdot 11^{8} \cdot 43^{8}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{4730} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = 8 Selberg data = $(16,\ 2^{8} \cdot 5^{8} \cdot 11^{8} \cdot 43^{8} ,\ ( \ : [1/2]^{8} ),\ 1 )$ $L(1)$ $=$ $0$ $L(\frac12)$ $=$ $0$ $L(\frac{3}{2})$ not available $L(1)$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$where, for $p \notin \{2,\;5,\;11,\;43\}$,$$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 16. If $p \in \{2,\;5,\;11,\;43\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 15.
$p$$F_p(T)$
bad2 $$( 1 + T )^{8}$$
5 $$( 1 - T )^{8}$$
11 $$( 1 - T )^{8}$$
43 $$( 1 + T )^{8}$$
good3 $$1 + 7 T + 11 p T^{2} + 13 p^{2} T^{3} + 115 p T^{4} + 98 p^{2} T^{5} + 1996 T^{6} + 4052 T^{7} + 7394 T^{8} + 4052 p T^{9} + 1996 p^{2} T^{10} + 98 p^{5} T^{11} + 115 p^{5} T^{12} + 13 p^{7} T^{13} + 11 p^{7} T^{14} + 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
7 $$1 + 6 T + 47 T^{2} + 201 T^{3} + 134 p T^{4} + 3162 T^{5} + 11103 T^{6} + 31303 T^{7} + 91046 T^{8} + 31303 p T^{9} + 11103 p^{2} T^{10} + 3162 p^{3} T^{11} + 134 p^{5} T^{12} + 201 p^{5} T^{13} + 47 p^{6} T^{14} + 6 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
13 $$1 + 2 T + 62 T^{2} + 92 T^{3} + 1736 T^{4} + 1868 T^{5} + 30866 T^{6} + 1942 p T^{7} + 430990 T^{8} + 1942 p^{2} T^{9} + 30866 p^{2} T^{10} + 1868 p^{3} T^{11} + 1736 p^{4} T^{12} + 92 p^{5} T^{13} + 62 p^{6} T^{14} + 2 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
17 $$1 + 8 T + 117 T^{2} + 781 T^{3} + 6252 T^{4} + 34310 T^{5} + 199135 T^{6} + 896479 T^{7} + 4139526 T^{8} + 896479 p T^{9} + 199135 p^{2} T^{10} + 34310 p^{3} T^{11} + 6252 p^{4} T^{12} + 781 p^{5} T^{13} + 117 p^{6} T^{14} + 8 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
19 $$1 + 69 T^{2} - 17 T^{3} + 2296 T^{4} + 54 T^{5} + 50801 T^{6} + 17155 T^{7} + 953410 T^{8} + 17155 p T^{9} + 50801 p^{2} T^{10} + 54 p^{3} T^{11} + 2296 p^{4} T^{12} - 17 p^{5} T^{13} + 69 p^{6} T^{14} + p^{8} T^{16}$$
23 $$1 + 18 T + 282 T^{2} + 2920 T^{3} + 26876 T^{4} + 197944 T^{5} + 1320702 T^{6} + 7469186 T^{7} + 38622038 T^{8} + 7469186 p T^{9} + 1320702 p^{2} T^{10} + 197944 p^{3} T^{11} + 26876 p^{4} T^{12} + 2920 p^{5} T^{13} + 282 p^{6} T^{14} + 18 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
29 $$1 - 8 T + 98 T^{2} - 882 T^{3} + 7209 T^{4} - 48058 T^{5} + 342856 T^{6} - 2001388 T^{7} + 11097800 T^{8} - 2001388 p T^{9} + 342856 p^{2} T^{10} - 48058 p^{3} T^{11} + 7209 p^{4} T^{12} - 882 p^{5} T^{13} + 98 p^{6} T^{14} - 8 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
31 $$1 + 11 T + 223 T^{2} + 1996 T^{3} + 22686 T^{4} + 165386 T^{5} + 1356577 T^{6} + 8071481 T^{7} + 51961410 T^{8} + 8071481 p T^{9} + 1356577 p^{2} T^{10} + 165386 p^{3} T^{11} + 22686 p^{4} T^{12} + 1996 p^{5} T^{13} + 223 p^{6} T^{14} + 11 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
37 $$1 + 17 T + 307 T^{2} + 3294 T^{3} + 36336 T^{4} + 298428 T^{5} + 2493261 T^{6} + 16600665 T^{7} + 112085390 T^{8} + 16600665 p T^{9} + 2493261 p^{2} T^{10} + 298428 p^{3} T^{11} + 36336 p^{4} T^{12} + 3294 p^{5} T^{13} + 307 p^{6} T^{14} + 17 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
41 $$1 - 12 T + 244 T^{2} - 58 p T^{3} + 28932 T^{4} - 230138 T^{5} + 2108972 T^{6} - 14013792 T^{7} + 103822454 T^{8} - 14013792 p T^{9} + 2108972 p^{2} T^{10} - 230138 p^{3} T^{11} + 28932 p^{4} T^{12} - 58 p^{6} T^{13} + 244 p^{6} T^{14} - 12 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
47 $$1 + 19 T + 237 T^{2} + 1565 T^{3} + 9168 T^{4} + 27117 T^{5} + 86891 T^{6} - 1482653 T^{7} - 10377266 T^{8} - 1482653 p T^{9} + 86891 p^{2} T^{10} + 27117 p^{3} T^{11} + 9168 p^{4} T^{12} + 1565 p^{5} T^{13} + 237 p^{6} T^{14} + 19 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
53 $$1 + 7 T + 303 T^{2} + 1683 T^{3} + 42385 T^{4} + 194180 T^{5} + 3728662 T^{6} + 14456650 T^{7} + 231474938 T^{8} + 14456650 p T^{9} + 3728662 p^{2} T^{10} + 194180 p^{3} T^{11} + 42385 p^{4} T^{12} + 1683 p^{5} T^{13} + 303 p^{6} T^{14} + 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
59 $$1 - T + 297 T^{2} - 83 T^{3} + 41548 T^{4} + 8647 T^{5} + 3752399 T^{6} + 1642201 T^{7} + 251231334 T^{8} + 1642201 p T^{9} + 3752399 p^{2} T^{10} + 8647 p^{3} T^{11} + 41548 p^{4} T^{12} - 83 p^{5} T^{13} + 297 p^{6} T^{14} - p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
61 $$1 - 6 T + 316 T^{2} - 758 T^{3} + 38007 T^{4} + 66450 T^{5} + 2364782 T^{6} + 16724690 T^{7} + 1990388 p T^{8} + 16724690 p T^{9} + 2364782 p^{2} T^{10} + 66450 p^{3} T^{11} + 38007 p^{4} T^{12} - 758 p^{5} T^{13} + 316 p^{6} T^{14} - 6 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
67 $$1 + 22 T + 446 T^{2} + 5574 T^{3} + 67696 T^{4} + 622446 T^{5} + 6081474 T^{6} + 48840078 T^{7} + 436862750 T^{8} + 48840078 p T^{9} + 6081474 p^{2} T^{10} + 622446 p^{3} T^{11} + 67696 p^{4} T^{12} + 5574 p^{5} T^{13} + 446 p^{6} T^{14} + 22 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
71 $$1 + 14 T + 287 T^{2} + 3393 T^{3} + 49762 T^{4} + 501326 T^{5} + 5711765 T^{6} + 49212093 T^{7} + 477242794 T^{8} + 49212093 p T^{9} + 5711765 p^{2} T^{10} + 501326 p^{3} T^{11} + 49762 p^{4} T^{12} + 3393 p^{5} T^{13} + 287 p^{6} T^{14} + 14 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
73 $$1 + 13 T + 514 T^{2} + 5567 T^{3} + 119936 T^{4} + 1079789 T^{5} + 16553022 T^{6} + 123546039 T^{7} + 1481601022 T^{8} + 123546039 p T^{9} + 16553022 p^{2} T^{10} + 1079789 p^{3} T^{11} + 119936 p^{4} T^{12} + 5567 p^{5} T^{13} + 514 p^{6} T^{14} + 13 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
79 $$1 + 8 T + 424 T^{2} + 2987 T^{3} + 91468 T^{4} + 564333 T^{5} + 12518738 T^{6} + 66589874 T^{7} + 1180934250 T^{8} + 66589874 p T^{9} + 12518738 p^{2} T^{10} + 564333 p^{3} T^{11} + 91468 p^{4} T^{12} + 2987 p^{5} T^{13} + 424 p^{6} T^{14} + 8 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
83 $$1 + 4 T + 452 T^{2} + 1499 T^{3} + 98766 T^{4} + 288133 T^{5} + 13829002 T^{6} + 35768690 T^{7} + 1357063142 T^{8} + 35768690 p T^{9} + 13829002 p^{2} T^{10} + 288133 p^{3} T^{11} + 98766 p^{4} T^{12} + 1499 p^{5} T^{13} + 452 p^{6} T^{14} + 4 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
89 $$1 - 5 T + 299 T^{2} - 508 T^{3} + 49214 T^{4} + 31858 T^{5} + 5570917 T^{6} + 11761287 T^{7} + 540583874 T^{8} + 11761287 p T^{9} + 5570917 p^{2} T^{10} + 31858 p^{3} T^{11} + 49214 p^{4} T^{12} - 508 p^{5} T^{13} + 299 p^{6} T^{14} - 5 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
97 $$1 + 23 T + 574 T^{2} + 7585 T^{3} + 105528 T^{4} + 830323 T^{5} + 7761410 T^{6} + 29168789 T^{7} + 391255310 T^{8} + 29168789 p T^{9} + 7761410 p^{2} T^{10} + 830323 p^{3} T^{11} + 105528 p^{4} T^{12} + 7585 p^{5} T^{13} + 574 p^{6} T^{14} + 23 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}