# Properties

 Degree $16$ Conductor $1.682\times 10^{21}$ Sign $1$ Motivic weight $1$ Primitive no Self-dual yes Analytic rank $0$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 2·2-s + 4-s + 4·7-s − 11-s − 13·13-s + 8·14-s + 11·17-s + 20·19-s − 2·22-s + 3·23-s + 15·25-s − 26·26-s + 4·28-s + 15·29-s − 9·31-s − 2·32-s + 22·34-s − 6·37-s + 40·38-s + 9·41-s + 12·43-s − 44-s + 6·46-s + 47-s − 22·49-s + 30·50-s − 13·52-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 1.41·2-s + 1/2·4-s + 1.51·7-s − 0.301·11-s − 3.60·13-s + 2.13·14-s + 2.66·17-s + 4.58·19-s − 0.426·22-s + 0.625·23-s + 3·25-s − 5.09·26-s + 0.755·28-s + 2.78·29-s − 1.61·31-s − 0.353·32-s + 3.77·34-s − 0.986·37-s + 6.48·38-s + 1.40·41-s + 1.82·43-s − 0.150·44-s + 0.884·46-s + 0.145·47-s − 3.14·49-s + 4.24·50-s − 1.80·52-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 3^{16} \cdot 5^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 3^{16} \cdot 5^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$16$$ Conductor: $$2^{8} \cdot 3^{16} \cdot 5^{16}$$ Sign: $1$ Motivic weight: $$1$$ Character: induced by $\chi_{450} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$0$$ Selberg data: $$(16,\ 2^{8} \cdot 3^{16} \cdot 5^{16} ,\ ( \ : [1/2]^{8} ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$\approx$$ $$11.8100$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$11.8100$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad2 $$( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} )^{2}$$
3 $$1$$
5 $$1 - 3 p T^{2} + 21 p T^{4} - 3 p^{3} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
good7 $$( 1 - 2 T + 17 T^{2} - 30 T^{3} + 156 T^{4} - 30 p T^{5} + 17 p^{2} T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
11 $$1 + T - 25 T^{2} - 40 T^{3} + 160 T^{4} + 653 T^{5} + 258 p T^{6} - 3940 T^{7} - 61905 T^{8} - 3940 p T^{9} + 258 p^{3} T^{10} + 653 p^{3} T^{11} + 160 p^{4} T^{12} - 40 p^{5} T^{13} - 25 p^{6} T^{14} + p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
13 $$1 + p T + 67 T^{2} + 164 T^{3} + 76 T^{4} - 427 T^{5} + 3190 T^{6} + 2854 p T^{7} + 173189 T^{8} + 2854 p^{2} T^{9} + 3190 p^{2} T^{10} - 427 p^{3} T^{11} + 76 p^{4} T^{12} + 164 p^{5} T^{13} + 67 p^{6} T^{14} + p^{8} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
17 $$1 - 11 T + 38 T^{2} + 8 T^{3} - 474 T^{4} + 1639 T^{5} + 2235 T^{6} - 60196 T^{7} + 352544 T^{8} - 60196 p T^{9} + 2235 p^{2} T^{10} + 1639 p^{3} T^{11} - 474 p^{4} T^{12} + 8 p^{5} T^{13} + 38 p^{6} T^{14} - 11 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
19 $$( 1 - 15 T + 93 T^{2} - 15 p T^{3} + p^{2} T^{4} )^{2}( 1 + 10 T + 41 T^{2} - 10 T^{3} - 509 T^{4} - 10 p T^{5} + 41 p^{2} T^{6} + 10 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )$$
23 $$1 - 3 T + 17 T^{2} + 26 T^{3} + 866 T^{4} + 2257 T^{5} - 7690 T^{6} + 132948 T^{7} + 158519 T^{8} + 132948 p T^{9} - 7690 p^{2} T^{10} + 2257 p^{3} T^{11} + 866 p^{4} T^{12} + 26 p^{5} T^{13} + 17 p^{6} T^{14} - 3 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
29 $$1 - 15 T + 47 T^{2} + 480 T^{3} - 4732 T^{4} + 16485 T^{5} + 86 p T^{6} - 526050 T^{7} + 4240405 T^{8} - 526050 p T^{9} + 86 p^{3} T^{10} + 16485 p^{3} T^{11} - 4732 p^{4} T^{12} + 480 p^{5} T^{13} + 47 p^{6} T^{14} - 15 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
31 $$1 + 9 T + 25 T^{2} + 330 T^{3} + 2510 T^{4} + 7017 T^{5} + 86378 T^{6} + 461340 T^{7} + 675415 T^{8} + 461340 p T^{9} + 86378 p^{2} T^{10} + 7017 p^{3} T^{11} + 2510 p^{4} T^{12} + 330 p^{5} T^{13} + 25 p^{6} T^{14} + 9 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
37 $$1 + 6 T - 27 T^{2} - 318 T^{3} - 99 T^{4} + 14106 T^{5} + 58255 T^{6} - 123234 T^{7} - 1122756 T^{8} - 123234 p T^{9} + 58255 p^{2} T^{10} + 14106 p^{3} T^{11} - 99 p^{4} T^{12} - 318 p^{5} T^{13} - 27 p^{6} T^{14} + 6 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
41 $$1 - 9 T - 55 T^{2} + 1030 T^{3} - 2470 T^{4} - 35497 T^{5} + 265658 T^{6} + 359550 T^{7} - 11328415 T^{8} + 359550 p T^{9} + 265658 p^{2} T^{10} - 35497 p^{3} T^{11} - 2470 p^{4} T^{12} + 1030 p^{5} T^{13} - 55 p^{6} T^{14} - 9 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
43 $$( 1 - 6 T + 133 T^{2} - 710 T^{3} + 7916 T^{4} - 710 p T^{5} + 133 p^{2} T^{6} - 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
47 $$1 - T - 77 T^{2} + 108 T^{3} + 5436 T^{4} - 2341 T^{5} - 357450 T^{6} + 29584 T^{7} + 16743019 T^{8} + 29584 p T^{9} - 357450 p^{2} T^{10} - 2341 p^{3} T^{11} + 5436 p^{4} T^{12} + 108 p^{5} T^{13} - 77 p^{6} T^{14} - p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
53 $$1 + 7 T + 2 T^{2} + 6 T^{3} - 794 T^{4} - 27393 T^{5} + 64385 T^{6} + 1339888 T^{7} + 6789964 T^{8} + 1339888 p T^{9} + 64385 p^{2} T^{10} - 27393 p^{3} T^{11} - 794 p^{4} T^{12} + 6 p^{5} T^{13} + 2 p^{6} T^{14} + 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
59 $$1 + 10 T + 142 T^{2} + 730 T^{3} + 11283 T^{4} + 22410 T^{5} + 330384 T^{6} - 1700800 T^{7} + 16244505 T^{8} - 1700800 p T^{9} + 330384 p^{2} T^{10} + 22410 p^{3} T^{11} + 11283 p^{4} T^{12} + 730 p^{5} T^{13} + 142 p^{6} T^{14} + 10 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
61 $$1 - 6 T - 140 T^{2} + 210 T^{3} + 7045 T^{4} + 27242 T^{5} + 433648 T^{6} - 1657580 T^{7} - 60459295 T^{8} - 1657580 p T^{9} + 433648 p^{2} T^{10} + 27242 p^{3} T^{11} + 7045 p^{4} T^{12} + 210 p^{5} T^{13} - 140 p^{6} T^{14} - 6 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
67 $$1 + 11 T + 103 T^{2} + 1672 T^{3} + 14576 T^{4} + 139271 T^{5} + 1482950 T^{6} + 11696476 T^{7} + 89866399 T^{8} + 11696476 p T^{9} + 1482950 p^{2} T^{10} + 139271 p^{3} T^{11} + 14576 p^{4} T^{12} + 1672 p^{5} T^{13} + 103 p^{6} T^{14} + 11 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
71 $$1 - 9 T + 75 T^{2} - 1220 T^{3} + 18360 T^{4} - 165937 T^{5} + 1180298 T^{6} - 14013840 T^{7} + 141940835 T^{8} - 14013840 p T^{9} + 1180298 p^{2} T^{10} - 165937 p^{3} T^{11} + 18360 p^{4} T^{12} - 1220 p^{5} T^{13} + 75 p^{6} T^{14} - 9 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
73 $$1 + 8 T + 62 T^{2} + 1114 T^{3} + 11231 T^{4} + 71208 T^{5} + 863380 T^{6} + 9235272 T^{7} + 61248289 T^{8} + 9235272 p T^{9} + 863380 p^{2} T^{10} + 71208 p^{3} T^{11} + 11231 p^{4} T^{12} + 1114 p^{5} T^{13} + 62 p^{6} T^{14} + 8 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
79 $$1 + 10 T - 38 T^{2} + 320 T^{3} + 15323 T^{4} + 59210 T^{5} - 186436 T^{6} + 4386400 T^{7} + 89172925 T^{8} + 4386400 p T^{9} - 186436 p^{2} T^{10} + 59210 p^{3} T^{11} + 15323 p^{4} T^{12} + 320 p^{5} T^{13} - 38 p^{6} T^{14} + 10 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
83 $$1 + 27 T + 237 T^{2} + 126 T^{3} - 12774 T^{4} - 113973 T^{5} - 181210 T^{6} + 11072628 T^{7} + 166729299 T^{8} + 11072628 p T^{9} - 181210 p^{2} T^{10} - 113973 p^{3} T^{11} - 12774 p^{4} T^{12} + 126 p^{5} T^{13} + 237 p^{6} T^{14} + 27 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
89 $$1 - 15 T - 108 T^{2} + 1640 T^{3} + 7368 T^{4} - 158465 T^{5} + 2297399 T^{6} - 297300 T^{7} - 272740720 T^{8} - 297300 p T^{9} + 2297399 p^{2} T^{10} - 158465 p^{3} T^{11} + 7368 p^{4} T^{12} + 1640 p^{5} T^{13} - 108 p^{6} T^{14} - 15 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
97 $$( 1 + 18 T + 27 T^{2} - 1060 T^{3} - 9699 T^{4} - 1060 p T^{5} + 27 p^{2} T^{6} + 18 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$