| L(s) = 1 | + 8·3-s + 14·5-s + 147·7-s − 257·9-s + 600·11-s + 974·13-s + 112·15-s + 718·17-s − 1.05e3·19-s + 1.17e3·21-s + 3.76e3·23-s − 4.66e3·25-s − 3.83e3·27-s + 9.13e3·29-s − 1.44e3·31-s + 4.80e3·33-s + 2.05e3·35-s + 4.99e3·37-s + 7.79e3·39-s − 2.31e4·41-s + 2.98e4·43-s − 3.59e3·45-s + 1.08e4·47-s + 1.44e4·49-s + 5.74e3·51-s + 2.80e4·53-s + 8.40e3·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.513·3-s + 0.250·5-s + 1.13·7-s − 1.05·9-s + 1.49·11-s + 1.59·13-s + 0.128·15-s + 0.602·17-s − 0.671·19-s + 0.581·21-s + 1.48·23-s − 1.49·25-s − 1.01·27-s + 2.01·29-s − 0.270·31-s + 0.767·33-s + 0.283·35-s + 0.600·37-s + 0.820·39-s − 2.15·41-s + 2.46·43-s − 0.264·45-s + 0.715·47-s + 6/7·49-s + 0.309·51-s + 1.36·53-s + 0.374·55-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 89915392 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 89915392 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(13.80188351\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(13.80188351\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 7 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| good | 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 8 T + 107 p T^{2} - 88 p^{2} T^{3} + 107 p^{6} T^{4} - 8 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 14 T + 4859 T^{2} + 41524 T^{3} + 4859 p^{5} T^{4} - 14 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 600 T + 440593 T^{2} - 17403376 p T^{3} + 440593 p^{5} T^{4} - 600 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 974 T + 870691 T^{2} - 670225980 T^{3} + 870691 p^{5} T^{4} - 974 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 718 T + 3972703 T^{2} - 1860576068 T^{3} + 3972703 p^{5} T^{4} - 718 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1056 T + 4093537 T^{2} + 4293295688 T^{3} + 4093537 p^{5} T^{4} + 1056 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 3760 T + 21330229 T^{2} - 48667171360 T^{3} + 21330229 p^{5} T^{4} - 3760 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 9134 T + 85149619 T^{2} - 13563894308 p T^{3} + 85149619 p^{5} T^{4} - 9134 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1448 T + 38890397 T^{2} + 28407475696 T^{3} + 38890397 p^{5} T^{4} + 1448 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 4998 T + 66827179 T^{2} - 1110526393860 T^{3} + 66827179 p^{5} T^{4} - 4998 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 23186 T + 455294247 T^{2} + 5177432642332 T^{3} + 455294247 p^{5} T^{4} + 23186 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 29880 T + 637237681 T^{2} - 9087990291728 T^{3} + 637237681 p^{5} T^{4} - 29880 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 10840 T + 549326317 T^{2} - 3504021158672 T^{3} + 549326317 p^{5} T^{4} - 10840 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 28006 T + 980878651 T^{2} - 21815249678212 T^{3} + 980878651 p^{5} T^{4} - 28006 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 17456 T - 219261367 T^{2} - 2303763718072 T^{3} - 219261367 p^{5} T^{4} + 17456 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 92294 T + 5058301507 T^{2} - 174399931119228 T^{3} + 5058301507 p^{5} T^{4} - 92294 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 56024 T + 1557016745 T^{2} - 18555639282704 T^{3} + 1557016745 p^{5} T^{4} - 56024 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 77064 T + 6530169973 T^{2} - 265895496680560 T^{3} + 6530169973 p^{5} T^{4} - 77064 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 46346 T + 4684457863 T^{2} + 152357869770348 T^{3} + 4684457863 p^{5} T^{4} + 46346 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 4376 T + 8804012397 T^{2} + 26662836592848 T^{3} + 8804012397 p^{5} T^{4} + 4376 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 107128 T + 11654316257 T^{2} - 734733552065800 T^{3} + 11654316257 p^{5} T^{4} - 107128 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 29814 T + 16202081463 T^{2} - 328821660011220 T^{3} + 16202081463 p^{5} T^{4} - 29814 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 156482 T + 21053291567 T^{2} + 1989235715586844 T^{3} + 21053291567 p^{5} T^{4} + 156482 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−8.824995112815675572292406097408, −8.642337907496546300923941082455, −8.615080417251311953318602777835, −8.433550881737126810721696864828, −7.82680440928431192352499657250, −7.77779566838458231856904189671, −7.24402008520926145041670943667, −6.67333886233058119348918885380, −6.67010917744283595582027193985, −6.35613435471612349741653809956, −5.67009353926424589884720863296, −5.57059697311654687593307868106, −5.50808277975275293514097333786, −4.75548740622755235940270115080, −4.42401161635522747180593744831, −4.09292246852151320124879321938, −3.61304861473844111273184107664, −3.51867339561346735721580831021, −2.99061347051715991516813600724, −2.35234410326593723908535343491, −2.19327241555041831319481622945, −1.70856088688335314768078405180, −1.11558190798698278568901500262, −0.794798929894067617019137886423, −0.63917137898367479077913521140,
0.63917137898367479077913521140, 0.794798929894067617019137886423, 1.11558190798698278568901500262, 1.70856088688335314768078405180, 2.19327241555041831319481622945, 2.35234410326593723908535343491, 2.99061347051715991516813600724, 3.51867339561346735721580831021, 3.61304861473844111273184107664, 4.09292246852151320124879321938, 4.42401161635522747180593744831, 4.75548740622755235940270115080, 5.50808277975275293514097333786, 5.57059697311654687593307868106, 5.67009353926424589884720863296, 6.35613435471612349741653809956, 6.67010917744283595582027193985, 6.67333886233058119348918885380, 7.24402008520926145041670943667, 7.77779566838458231856904189671, 7.82680440928431192352499657250, 8.433550881737126810721696864828, 8.615080417251311953318602777835, 8.642337907496546300923941082455, 8.824995112815675572292406097408
