Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 17·2-s − 7·3-s + 153·4-s − 4·5-s − 119·6-s − 5·7-s + 969·8-s + 5·9-s − 68·10-s − 17·11-s − 1.07e3·12-s − 18·13-s − 85·14-s + 28·15-s + 4.84e3·16-s − 10·17-s + 85·18-s − 31·19-s − 612·20-s + 35·21-s − 289·22-s − 6·23-s − 6.78e3·24-s − 33·25-s − 306·26-s + 74·27-s − 765·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 12.0·2-s − 4.04·3-s + 76.5·4-s − 1.78·5-s − 48.5·6-s − 1.88·7-s + 342.·8-s + 5/3·9-s − 21.5·10-s − 5.12·11-s − 309.·12-s − 4.99·13-s − 22.7·14-s + 7.22·15-s + 1.21e3·16-s − 2.42·17-s + 20.0·18-s − 7.11·19-s − 136.·20-s + 7.63·21-s − 61.6·22-s − 1.25·23-s − 1.38e3·24-s − 6.59·25-s − 60.0·26-s + 14.2·27-s − 144.·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 11^{17} \cdot 197^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 11^{17} \cdot 197^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(2^{17} \cdot 11^{17} \cdot 197^{17}\) |
| Sign: | $-1$ |
| Analytic conductor: | \(1.46494\times 10^{26}\) |
| Root analytic conductor: | \(5.88278\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(17\) |
| Selberg data: | \((34,\ 2^{17} \cdot 11^{17} \cdot 197^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ -1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 - T )^{17} \) |
| 11 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| 197 | \( ( 1 - T )^{17} \) | |
| good | 3 | \( 1 + 7 T + 44 T^{2} + 199 T^{3} + 811 T^{4} + 2854 T^{5} + 9236 T^{6} + 27280 T^{7} + 25099 p T^{8} + 194345 T^{9} + 157957 p T^{10} + 1094512 T^{11} + 2405396 T^{12} + 62287 p^{4} T^{13} + 1123909 p^{2} T^{14} + 19437581 T^{15} + 35796139 T^{16} + 63306718 T^{17} + 35796139 p T^{18} + 19437581 p^{2} T^{19} + 1123909 p^{5} T^{20} + 62287 p^{8} T^{21} + 2405396 p^{5} T^{22} + 1094512 p^{6} T^{23} + 157957 p^{8} T^{24} + 194345 p^{8} T^{25} + 25099 p^{10} T^{26} + 27280 p^{10} T^{27} + 9236 p^{11} T^{28} + 2854 p^{12} T^{29} + 811 p^{13} T^{30} + 199 p^{14} T^{31} + 44 p^{15} T^{32} + 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 5 | \( 1 + 4 T + 49 T^{2} + 173 T^{3} + 1164 T^{4} + 3682 T^{5} + 17837 T^{6} + 10218 p T^{7} + 198313 T^{8} + 518978 T^{9} + 1712443 T^{10} + 4133551 T^{11} + 12085092 T^{12} + 5447757 p T^{13} + 14612054 p T^{14} + 31227871 p T^{15} + 395634866 T^{16} + 812280947 T^{17} + 395634866 p T^{18} + 31227871 p^{3} T^{19} + 14612054 p^{4} T^{20} + 5447757 p^{5} T^{21} + 12085092 p^{5} T^{22} + 4133551 p^{6} T^{23} + 1712443 p^{7} T^{24} + 518978 p^{8} T^{25} + 198313 p^{9} T^{26} + 10218 p^{11} T^{27} + 17837 p^{11} T^{28} + 3682 p^{12} T^{29} + 1164 p^{13} T^{30} + 173 p^{14} T^{31} + 49 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 + 5 T + 76 T^{2} + 332 T^{3} + 2833 T^{4} + 11021 T^{5} + 69007 T^{6} + 242387 T^{7} + 1234271 T^{8} + 3955194 T^{9} + 17279036 T^{10} + 50920484 T^{11} + 197133343 T^{12} + 537435809 T^{13} + 1883337485 T^{14} + 4766955870 T^{15} + 15333764848 T^{16} + 36050845336 T^{17} + 15333764848 p T^{18} + 4766955870 p^{2} T^{19} + 1883337485 p^{3} T^{20} + 537435809 p^{4} T^{21} + 197133343 p^{5} T^{22} + 50920484 p^{6} T^{23} + 17279036 p^{7} T^{24} + 3955194 p^{8} T^{25} + 1234271 p^{9} T^{26} + 242387 p^{10} T^{27} + 69007 p^{11} T^{28} + 11021 p^{12} T^{29} + 2833 p^{13} T^{30} + 332 p^{14} T^{31} + 76 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 + 18 T + 284 T^{2} + 3043 T^{3} + 29308 T^{4} + 233817 T^{5} + 1716391 T^{6} + 11180981 T^{7} + 68083329 T^{8} + 380481133 T^{9} + 2008397615 T^{10} + 9916527311 T^{11} + 46558206485 T^{12} + 206774061019 T^{13} + 67437717254 p T^{14} + 272172415976 p T^{15} + 13660148349981 T^{16} + 50342203598772 T^{17} + 13660148349981 p T^{18} + 272172415976 p^{3} T^{19} + 67437717254 p^{4} T^{20} + 206774061019 p^{4} T^{21} + 46558206485 p^{5} T^{22} + 9916527311 p^{6} T^{23} + 2008397615 p^{7} T^{24} + 380481133 p^{8} T^{25} + 68083329 p^{9} T^{26} + 11180981 p^{10} T^{27} + 1716391 p^{11} T^{28} + 233817 p^{12} T^{29} + 29308 p^{13} T^{30} + 3043 p^{14} T^{31} + 284 p^{15} T^{32} + 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 + 10 T + 197 T^{2} + 1653 T^{3} + 18519 T^{4} + 133055 T^{5} + 1102408 T^{6} + 6897639 T^{7} + 46664271 T^{8} + 258202039 T^{9} + 1502110904 T^{10} + 7465459524 T^{11} + 38669129565 T^{12} + 175687937708 T^{13} + 833880624341 T^{14} + 3531807004953 T^{15} + 925521877704 p T^{16} + 3714124073542 p T^{17} + 925521877704 p^{2} T^{18} + 3531807004953 p^{2} T^{19} + 833880624341 p^{3} T^{20} + 175687937708 p^{4} T^{21} + 38669129565 p^{5} T^{22} + 7465459524 p^{6} T^{23} + 1502110904 p^{7} T^{24} + 258202039 p^{8} T^{25} + 46664271 p^{9} T^{26} + 6897639 p^{10} T^{27} + 1102408 p^{11} T^{28} + 133055 p^{12} T^{29} + 18519 p^{13} T^{30} + 1653 p^{14} T^{31} + 197 p^{15} T^{32} + 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 + 31 T + 607 T^{2} + 8686 T^{3} + 101622 T^{4} + 1011898 T^{5} + 8896672 T^{6} + 70408105 T^{7} + 510610696 T^{8} + 180580037 p T^{9} + 21576186059 T^{10} + 127819503638 T^{11} + 717394273139 T^{12} + 3828816573204 T^{13} + 19489807984585 T^{14} + 94792393901464 T^{15} + 441084171609037 T^{16} + 103410743956002 p T^{17} + 441084171609037 p T^{18} + 94792393901464 p^{2} T^{19} + 19489807984585 p^{3} T^{20} + 3828816573204 p^{4} T^{21} + 717394273139 p^{5} T^{22} + 127819503638 p^{6} T^{23} + 21576186059 p^{7} T^{24} + 180580037 p^{9} T^{25} + 510610696 p^{9} T^{26} + 70408105 p^{10} T^{27} + 8896672 p^{11} T^{28} + 1011898 p^{12} T^{29} + 101622 p^{13} T^{30} + 8686 p^{14} T^{31} + 607 p^{15} T^{32} + 31 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 + 6 T + 212 T^{2} + 1240 T^{3} + 21966 T^{4} + 124533 T^{5} + 1496739 T^{6} + 8169264 T^{7} + 76155494 T^{8} + 397103240 T^{9} + 3109093100 T^{10} + 15373677248 T^{11} + 106503402614 T^{12} + 496762614536 T^{13} + 3149190690311 T^{14} + 13828704974068 T^{15} + 81780160390159 T^{16} + 338191007362882 T^{17} + 81780160390159 p T^{18} + 13828704974068 p^{2} T^{19} + 3149190690311 p^{3} T^{20} + 496762614536 p^{4} T^{21} + 106503402614 p^{5} T^{22} + 15373677248 p^{6} T^{23} + 3109093100 p^{7} T^{24} + 397103240 p^{8} T^{25} + 76155494 p^{9} T^{26} + 8169264 p^{10} T^{27} + 1496739 p^{11} T^{28} + 124533 p^{12} T^{29} + 21966 p^{13} T^{30} + 1240 p^{14} T^{31} + 212 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 + 16 T + 407 T^{2} + 4835 T^{3} + 72557 T^{4} + 696135 T^{5} + 7859993 T^{6} + 63723463 T^{7} + 593482251 T^{8} + 4185051998 T^{9} + 33791330574 T^{10} + 211845354401 T^{11} + 1533704951372 T^{12} + 8717557959648 T^{13} + 58062651601181 T^{14} + 304896987838414 T^{15} + 1902483095233042 T^{16} + 9371195006797324 T^{17} + 1902483095233042 p T^{18} + 304896987838414 p^{2} T^{19} + 58062651601181 p^{3} T^{20} + 8717557959648 p^{4} T^{21} + 1533704951372 p^{5} T^{22} + 211845354401 p^{6} T^{23} + 33791330574 p^{7} T^{24} + 4185051998 p^{8} T^{25} + 593482251 p^{9} T^{26} + 63723463 p^{10} T^{27} + 7859993 p^{11} T^{28} + 696135 p^{12} T^{29} + 72557 p^{13} T^{30} + 4835 p^{14} T^{31} + 407 p^{15} T^{32} + 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 + 30 T + 717 T^{2} + 12305 T^{3} + 181642 T^{4} + 2281964 T^{5} + 25718629 T^{6} + 260848644 T^{7} + 2434772162 T^{8} + 21013264596 T^{9} + 169708532120 T^{10} + 1287515433760 T^{11} + 9244169937753 T^{12} + 62973285759442 T^{13} + 409025336093333 T^{14} + 2536199785100319 T^{15} + 15059582349475077 T^{16} + 85621253238518597 T^{17} + 15059582349475077 p T^{18} + 2536199785100319 p^{2} T^{19} + 409025336093333 p^{3} T^{20} + 62973285759442 p^{4} T^{21} + 9244169937753 p^{5} T^{22} + 1287515433760 p^{6} T^{23} + 169708532120 p^{7} T^{24} + 21013264596 p^{8} T^{25} + 2434772162 p^{9} T^{26} + 260848644 p^{10} T^{27} + 25718629 p^{11} T^{28} + 2281964 p^{12} T^{29} + 181642 p^{13} T^{30} + 12305 p^{14} T^{31} + 717 p^{15} T^{32} + 30 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 + 23 T + 551 T^{2} + 8343 T^{3} + 119489 T^{4} + 1367803 T^{5} + 14658117 T^{6} + 135931907 T^{7} + 1188392023 T^{8} + 9365901633 T^{9} + 70637232817 T^{10} + 495283063211 T^{11} + 3392138415054 T^{12} + 22175248949336 T^{13} + 144090026569808 T^{14} + 906587172964351 T^{15} + 5695963615051744 T^{16} + 34696107093934450 T^{17} + 5695963615051744 p T^{18} + 906587172964351 p^{2} T^{19} + 144090026569808 p^{3} T^{20} + 22175248949336 p^{4} T^{21} + 3392138415054 p^{5} T^{22} + 495283063211 p^{6} T^{23} + 70637232817 p^{7} T^{24} + 9365901633 p^{8} T^{25} + 1188392023 p^{9} T^{26} + 135931907 p^{10} T^{27} + 14658117 p^{11} T^{28} + 1367803 p^{12} T^{29} + 119489 p^{13} T^{30} + 8343 p^{14} T^{31} + 551 p^{15} T^{32} + 23 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 7 T + 408 T^{2} + 2218 T^{3} + 80224 T^{4} + 341991 T^{5} + 10340307 T^{6} + 34672835 T^{7} + 996035147 T^{8} + 2642077552 T^{9} + 76938068816 T^{10} + 163970268600 T^{11} + 4958646021814 T^{12} + 8743228025612 T^{13} + 272484074955680 T^{14} + 414600600758166 T^{15} + 12905643971572889 T^{16} + 17810023996380086 T^{17} + 12905643971572889 p T^{18} + 414600600758166 p^{2} T^{19} + 272484074955680 p^{3} T^{20} + 8743228025612 p^{4} T^{21} + 4958646021814 p^{5} T^{22} + 163970268600 p^{6} T^{23} + 76938068816 p^{7} T^{24} + 2642077552 p^{8} T^{25} + 996035147 p^{9} T^{26} + 34672835 p^{10} T^{27} + 10340307 p^{11} T^{28} + 341991 p^{12} T^{29} + 80224 p^{13} T^{30} + 2218 p^{14} T^{31} + 408 p^{15} T^{32} + 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 + 23 T + 666 T^{2} + 11027 T^{3} + 192483 T^{4} + 2539947 T^{5} + 33735141 T^{6} + 374465116 T^{7} + 4120762649 T^{8} + 39778891816 T^{9} + 378983456640 T^{10} + 3255620943792 T^{11} + 27602799394794 T^{12} + 214662515297813 T^{13} + 1650810620865491 T^{14} + 11769534009840320 T^{15} + 83148757422398131 T^{16} + 547499265326234096 T^{17} + 83148757422398131 p T^{18} + 11769534009840320 p^{2} T^{19} + 1650810620865491 p^{3} T^{20} + 214662515297813 p^{4} T^{21} + 27602799394794 p^{5} T^{22} + 3255620943792 p^{6} T^{23} + 378983456640 p^{7} T^{24} + 39778891816 p^{8} T^{25} + 4120762649 p^{9} T^{26} + 374465116 p^{10} T^{27} + 33735141 p^{11} T^{28} + 2539947 p^{12} T^{29} + 192483 p^{13} T^{30} + 11027 p^{14} T^{31} + 666 p^{15} T^{32} + 23 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 + 19 T + 677 T^{2} + 9969 T^{3} + 203318 T^{4} + 2464598 T^{5} + 37088880 T^{6} + 384080850 T^{7} + 4700095638 T^{8} + 42677483611 T^{9} + 447512183026 T^{10} + 3637270932288 T^{11} + 33830936168965 T^{12} + 250568984130133 T^{13} + 2120872642574991 T^{14} + 14533426409078505 T^{15} + 114016745698166084 T^{16} + 730125467016745542 T^{17} + 114016745698166084 p T^{18} + 14533426409078505 p^{2} T^{19} + 2120872642574991 p^{3} T^{20} + 250568984130133 p^{4} T^{21} + 33830936168965 p^{5} T^{22} + 3637270932288 p^{6} T^{23} + 447512183026 p^{7} T^{24} + 42677483611 p^{8} T^{25} + 4700095638 p^{9} T^{26} + 384080850 p^{10} T^{27} + 37088880 p^{11} T^{28} + 2464598 p^{12} T^{29} + 203318 p^{13} T^{30} + 9969 p^{14} T^{31} + 677 p^{15} T^{32} + 19 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 + 30 T + 939 T^{2} + 18463 T^{3} + 355242 T^{4} + 5423420 T^{5} + 80359549 T^{6} + 1025323464 T^{7} + 12700631262 T^{8} + 140834512445 T^{9} + 1518713900122 T^{10} + 14974122104841 T^{11} + 143812315541994 T^{12} + 1278281809540795 T^{13} + 11080789160236439 T^{14} + 89504348151687884 T^{15} + 705582079349682600 T^{16} + 98093859501115044 p T^{17} + 705582079349682600 p T^{18} + 89504348151687884 p^{2} T^{19} + 11080789160236439 p^{3} T^{20} + 1278281809540795 p^{4} T^{21} + 143812315541994 p^{5} T^{22} + 14974122104841 p^{6} T^{23} + 1518713900122 p^{7} T^{24} + 140834512445 p^{8} T^{25} + 12700631262 p^{9} T^{26} + 1025323464 p^{10} T^{27} + 80359549 p^{11} T^{28} + 5423420 p^{12} T^{29} + 355242 p^{13} T^{30} + 18463 p^{14} T^{31} + 939 p^{15} T^{32} + 30 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 + 28 T + 989 T^{2} + 20042 T^{3} + 425928 T^{4} + 6873948 T^{5} + 110979694 T^{6} + 1502702279 T^{7} + 20057294965 T^{8} + 235315624083 T^{9} + 2710074884426 T^{10} + 28151781307623 T^{11} + 287003053563600 T^{12} + 2679938064163610 T^{13} + 24588039260404567 T^{14} + 208493328558069868 T^{15} + 1739198325554144667 T^{16} + 13465520380316729013 T^{17} + 1739198325554144667 p T^{18} + 208493328558069868 p^{2} T^{19} + 24588039260404567 p^{3} T^{20} + 2679938064163610 p^{4} T^{21} + 287003053563600 p^{5} T^{22} + 28151781307623 p^{6} T^{23} + 2710074884426 p^{7} T^{24} + 235315624083 p^{8} T^{25} + 20057294965 p^{9} T^{26} + 1502702279 p^{10} T^{27} + 110979694 p^{11} T^{28} + 6873948 p^{12} T^{29} + 425928 p^{13} T^{30} + 20042 p^{14} T^{31} + 989 p^{15} T^{32} + 28 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 + 19 T + 720 T^{2} + 10542 T^{3} + 234056 T^{4} + 2845597 T^{5} + 47839567 T^{6} + 504831932 T^{7} + 7094599106 T^{8} + 66920736828 T^{9} + 827305166011 T^{10} + 7116088516859 T^{11} + 79641629832174 T^{12} + 632534866089093 T^{13} + 6510365933129005 T^{14} + 48050295622419918 T^{15} + 458442476126429360 T^{16} + 3150618536277607884 T^{17} + 458442476126429360 p T^{18} + 48050295622419918 p^{2} T^{19} + 6510365933129005 p^{3} T^{20} + 632534866089093 p^{4} T^{21} + 79641629832174 p^{5} T^{22} + 7116088516859 p^{6} T^{23} + 827305166011 p^{7} T^{24} + 66920736828 p^{8} T^{25} + 7094599106 p^{9} T^{26} + 504831932 p^{10} T^{27} + 47839567 p^{11} T^{28} + 2845597 p^{12} T^{29} + 234056 p^{13} T^{30} + 10542 p^{14} T^{31} + 720 p^{15} T^{32} + 19 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 + 35 T + 913 T^{2} + 18077 T^{3} + 314119 T^{4} + 4697995 T^{5} + 64033467 T^{6} + 788731888 T^{7} + 9055571390 T^{8} + 96089313143 T^{9} + 965312714323 T^{10} + 9122712015003 T^{11} + 82879248075301 T^{12} + 719772949118144 T^{13} + 6120634624317009 T^{14} + 50691985317061072 T^{15} + 418644970022895421 T^{16} + 3415673544145756982 T^{17} + 418644970022895421 p T^{18} + 50691985317061072 p^{2} T^{19} + 6120634624317009 p^{3} T^{20} + 719772949118144 p^{4} T^{21} + 82879248075301 p^{5} T^{22} + 9122712015003 p^{6} T^{23} + 965312714323 p^{7} T^{24} + 96089313143 p^{8} T^{25} + 9055571390 p^{9} T^{26} + 788731888 p^{10} T^{27} + 64033467 p^{11} T^{28} + 4697995 p^{12} T^{29} + 314119 p^{13} T^{30} + 18077 p^{14} T^{31} + 913 p^{15} T^{32} + 35 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - T + 687 T^{2} + 483 T^{3} + 240969 T^{4} + 451196 T^{5} + 57484553 T^{6} + 152669240 T^{7} + 10377535607 T^{8} + 32598868978 T^{9} + 1495255075692 T^{10} + 5065358352932 T^{11} + 177141598966657 T^{12} + 610257143718347 T^{13} + 17553969469865974 T^{14} + 58879872081861313 T^{15} + 1469213597264689674 T^{16} + 4622872548808331249 T^{17} + 1469213597264689674 p T^{18} + 58879872081861313 p^{2} T^{19} + 17553969469865974 p^{3} T^{20} + 610257143718347 p^{4} T^{21} + 177141598966657 p^{5} T^{22} + 5065358352932 p^{6} T^{23} + 1495255075692 p^{7} T^{24} + 32598868978 p^{8} T^{25} + 10377535607 p^{9} T^{26} + 152669240 p^{10} T^{27} + 57484553 p^{11} T^{28} + 451196 p^{12} T^{29} + 240969 p^{13} T^{30} + 483 p^{14} T^{31} + 687 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 + 10 T + 458 T^{2} + 4656 T^{3} + 109797 T^{4} + 1143098 T^{5} + 18607743 T^{6} + 192726015 T^{7} + 2495592625 T^{8} + 24940518359 T^{9} + 279781683731 T^{10} + 2646218893548 T^{11} + 27144281212973 T^{12} + 241551108120878 T^{13} + 2348457160162370 T^{14} + 19746095531576718 T^{15} + 185466783425641754 T^{16} + 1490625155799109556 T^{17} + 185466783425641754 p T^{18} + 19746095531576718 p^{2} T^{19} + 2348457160162370 p^{3} T^{20} + 241551108120878 p^{4} T^{21} + 27144281212973 p^{5} T^{22} + 2646218893548 p^{6} T^{23} + 279781683731 p^{7} T^{24} + 24940518359 p^{8} T^{25} + 2495592625 p^{9} T^{26} + 192726015 p^{10} T^{27} + 18607743 p^{11} T^{28} + 1143098 p^{12} T^{29} + 109797 p^{13} T^{30} + 4656 p^{14} T^{31} + 458 p^{15} T^{32} + 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 + 27 T + 896 T^{2} + 15052 T^{3} + 282670 T^{4} + 3321913 T^{5} + 45205822 T^{6} + 384612946 T^{7} + 4399754828 T^{8} + 26846809312 T^{9} + 325851396433 T^{10} + 1492553603043 T^{11} + 27170732724356 T^{12} + 141608170689723 T^{13} + 3089934035168853 T^{14} + 20056370757267240 T^{15} + 335843316084083799 T^{16} + 2029858698584261548 T^{17} + 335843316084083799 p T^{18} + 20056370757267240 p^{2} T^{19} + 3089934035168853 p^{3} T^{20} + 141608170689723 p^{4} T^{21} + 27170732724356 p^{5} T^{22} + 1492553603043 p^{6} T^{23} + 325851396433 p^{7} T^{24} + 26846809312 p^{8} T^{25} + 4399754828 p^{9} T^{26} + 384612946 p^{10} T^{27} + 45205822 p^{11} T^{28} + 3321913 p^{12} T^{29} + 282670 p^{13} T^{30} + 15052 p^{14} T^{31} + 896 p^{15} T^{32} + 27 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 + 40 T + 1556 T^{2} + 40384 T^{3} + 975356 T^{4} + 19512328 T^{5} + 364306500 T^{6} + 6051584037 T^{7} + 94486741988 T^{8} + 1355658241398 T^{9} + 18394426720517 T^{10} + 233272018875397 T^{11} + 2810301442347758 T^{12} + 31945357184882638 T^{13} + 346008103370156101 T^{14} + 3554657656380643621 T^{15} + 34856227978854642687 T^{16} + \)\(32\!\cdots\!34\)\( T^{17} + 34856227978854642687 p T^{18} + 3554657656380643621 p^{2} T^{19} + 346008103370156101 p^{3} T^{20} + 31945357184882638 p^{4} T^{21} + 2810301442347758 p^{5} T^{22} + 233272018875397 p^{6} T^{23} + 18394426720517 p^{7} T^{24} + 1355658241398 p^{8} T^{25} + 94486741988 p^{9} T^{26} + 6051584037 p^{10} T^{27} + 364306500 p^{11} T^{28} + 19512328 p^{12} T^{29} + 975356 p^{13} T^{30} + 40384 p^{14} T^{31} + 1556 p^{15} T^{32} + 40 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 + 17 T + 1195 T^{2} + 17576 T^{3} + 678505 T^{4} + 8772192 T^{5} + 244425308 T^{6} + 2810650259 T^{7} + 62920633116 T^{8} + 649418491330 T^{9} + 12357200492394 T^{10} + 115335058438939 T^{11} + 1929546050930822 T^{12} + 16386730175739083 T^{13} + 246212845103522883 T^{14} + 1911559863791974018 T^{15} + 26125238856927173144 T^{16} + \)\(18\!\cdots\!52\)\( T^{17} + 26125238856927173144 p T^{18} + 1911559863791974018 p^{2} T^{19} + 246212845103522883 p^{3} T^{20} + 16386730175739083 p^{4} T^{21} + 1929546050930822 p^{5} T^{22} + 115335058438939 p^{6} T^{23} + 12357200492394 p^{7} T^{24} + 649418491330 p^{8} T^{25} + 62920633116 p^{9} T^{26} + 2810650259 p^{10} T^{27} + 244425308 p^{11} T^{28} + 8772192 p^{12} T^{29} + 678505 p^{13} T^{30} + 17576 p^{14} T^{31} + 1195 p^{15} T^{32} + 17 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 34 T + 1501 T^{2} + 37275 T^{3} + 979202 T^{4} + 19446228 T^{5} + 386618181 T^{6} + 6463603458 T^{7} + 106349590271 T^{8} + 1547563111374 T^{9} + 22071706196856 T^{10} + 286188557548217 T^{11} + 3639196158421391 T^{12} + 42757021956730233 T^{13} + 493616066054716165 T^{14} + 5314347394047592269 T^{15} + 56313324392137644572 T^{16} + \)\(55\!\cdots\!75\)\( T^{17} + 56313324392137644572 p T^{18} + 5314347394047592269 p^{2} T^{19} + 493616066054716165 p^{3} T^{20} + 42757021956730233 p^{4} T^{21} + 3639196158421391 p^{5} T^{22} + 286188557548217 p^{6} T^{23} + 22071706196856 p^{7} T^{24} + 1547563111374 p^{8} T^{25} + 106349590271 p^{9} T^{26} + 6463603458 p^{10} T^{27} + 386618181 p^{11} T^{28} + 19446228 p^{12} T^{29} + 979202 p^{13} T^{30} + 37275 p^{14} T^{31} + 1501 p^{15} T^{32} + 34 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.55747737322835112196574478489, −2.48699091273925700176011799267, −2.46815884295739938337436919554, −2.46096011052112558182687147414, −2.36456465171634633344772374908, −2.36015885080892414718125468091, −2.23036495272173003283367943267, −2.12720998736308416490667898173, −2.02527259697635081265115911866, −1.94703674931815134222498694248, −1.92182351518966976419111891935, −1.89445113941989551590856758233, −1.85019269731572047566416274905, −1.84783464507231904306342158028, −1.75725197869287441793468663826, −1.70124834666586452793925005589, −1.63839712630937621940801449247, −1.58775692107727517483204068470, −1.55820263691012042464352186591, −1.46327270715200065378703628336, −1.43470504769911336074880210149, −1.40354077496965689986722631359, −1.35240854075607246280378460776, −1.17102546417549932751127287700, −1.00211684270100190405135626443, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.00211684270100190405135626443, 1.17102546417549932751127287700, 1.35240854075607246280378460776, 1.40354077496965689986722631359, 1.43470504769911336074880210149, 1.46327270715200065378703628336, 1.55820263691012042464352186591, 1.58775692107727517483204068470, 1.63839712630937621940801449247, 1.70124834666586452793925005589, 1.75725197869287441793468663826, 1.84783464507231904306342158028, 1.85019269731572047566416274905, 1.89445113941989551590856758233, 1.92182351518966976419111891935, 1.94703674931815134222498694248, 2.02527259697635081265115911866, 2.12720998736308416490667898173, 2.23036495272173003283367943267, 2.36015885080892414718125468091, 2.36456465171634633344772374908, 2.46096011052112558182687147414, 2.46815884295739938337436919554, 2.48699091273925700176011799267, 2.55747737322835112196574478489
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.