Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 17·2-s + 5·3-s + 153·4-s + 6·5-s − 85·6-s − 9·7-s − 969·8-s − 7·9-s − 102·10-s − 17·11-s + 765·12-s − 16·13-s + 153·14-s + 30·15-s + 4.84e3·16-s − 8·17-s + 119·18-s − 23·19-s + 918·20-s − 45·21-s + 289·22-s + 12·23-s − 4.84e3·24-s − 19·25-s + 272·26-s − 76·27-s − 1.37e3·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 12.0·2-s + 2.88·3-s + 76.5·4-s + 2.68·5-s − 34.7·6-s − 3.40·7-s − 342.·8-s − 7/3·9-s − 32.2·10-s − 5.12·11-s + 220.·12-s − 4.43·13-s + 40.8·14-s + 7.74·15-s + 1.21e3·16-s − 1.94·17-s + 28.0·18-s − 5.27·19-s + 205.·20-s − 9.81·21-s + 61.6·22-s + 2.50·23-s − 988.·24-s − 3.79·25-s + 53.3·26-s − 14.6·27-s − 260.·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 11^{17} \cdot 197^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 11^{17} \cdot 197^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(2^{17} \cdot 11^{17} \cdot 197^{17}\) |
| Sign: | $-1$ |
| Analytic conductor: | \(1.46494\times 10^{26}\) |
| Root analytic conductor: | \(5.88278\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(17\) |
| Selberg data: | \((34,\ 2^{17} \cdot 11^{17} \cdot 197^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ -1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 + T )^{17} \) |
| 11 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| 197 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| good | 3 | \( 1 - 5 T + 32 T^{2} - 119 T^{3} + 481 T^{4} - 1490 T^{5} + 4748 T^{6} - 12848 T^{7} + 34931 T^{8} - 28255 p T^{9} + 68107 p T^{10} - 451732 T^{11} + 986288 T^{12} - 2006447 T^{13} + 1339663 p T^{14} - 2522383 p T^{15} + 14008733 T^{16} - 24475034 T^{17} + 14008733 p T^{18} - 2522383 p^{3} T^{19} + 1339663 p^{4} T^{20} - 2006447 p^{4} T^{21} + 986288 p^{5} T^{22} - 451732 p^{6} T^{23} + 68107 p^{8} T^{24} - 28255 p^{9} T^{25} + 34931 p^{9} T^{26} - 12848 p^{10} T^{27} + 4748 p^{11} T^{28} - 1490 p^{12} T^{29} + 481 p^{13} T^{30} - 119 p^{14} T^{31} + 32 p^{15} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 5 | \( 1 - 6 T + 11 p T^{2} - 251 T^{3} + 1342 T^{4} - 5016 T^{5} + 20151 T^{6} - 64792 T^{7} + 216807 T^{8} - 623172 T^{9} + 1846229 T^{10} - 978177 p T^{11} + 13338664 T^{12} - 33183809 T^{13} + 84892132 T^{14} - 199313699 T^{15} + 479871018 T^{16} - 1060433981 T^{17} + 479871018 p T^{18} - 199313699 p^{2} T^{19} + 84892132 p^{3} T^{20} - 33183809 p^{4} T^{21} + 13338664 p^{5} T^{22} - 978177 p^{7} T^{23} + 1846229 p^{7} T^{24} - 623172 p^{8} T^{25} + 216807 p^{9} T^{26} - 64792 p^{10} T^{27} + 20151 p^{11} T^{28} - 5016 p^{12} T^{29} + 1342 p^{13} T^{30} - 251 p^{14} T^{31} + 11 p^{16} T^{32} - 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 + 9 T + 104 T^{2} + 684 T^{3} + 689 p T^{4} + 3667 p T^{5} + 139297 T^{6} + 631423 T^{7} + 2864857 T^{8} + 1627456 p T^{9} + 44990968 T^{10} + 159830170 T^{11} + 561908503 T^{12} + 1803586423 T^{13} + 5719554989 T^{14} + 2385286314 p T^{15} + 48122609622 T^{16} + 128152338516 T^{17} + 48122609622 p T^{18} + 2385286314 p^{3} T^{19} + 5719554989 p^{3} T^{20} + 1803586423 p^{4} T^{21} + 561908503 p^{5} T^{22} + 159830170 p^{6} T^{23} + 44990968 p^{7} T^{24} + 1627456 p^{9} T^{25} + 2864857 p^{9} T^{26} + 631423 p^{10} T^{27} + 139297 p^{11} T^{28} + 3667 p^{13} T^{29} + 689 p^{14} T^{30} + 684 p^{14} T^{31} + 104 p^{15} T^{32} + 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 + 16 T + 258 T^{2} + 2733 T^{3} + 27036 T^{4} + 220149 T^{5} + 128309 p T^{6} + 11198781 T^{7} + 70415517 T^{8} + 405496093 T^{9} + 2202326189 T^{10} + 11146542669 T^{11} + 53511367487 T^{12} + 241774144955 T^{13} + 80026760890 p T^{14} + 4236647859294 T^{15} + 16470852312955 T^{16} + 60756047664300 T^{17} + 16470852312955 p T^{18} + 4236647859294 p^{2} T^{19} + 80026760890 p^{4} T^{20} + 241774144955 p^{4} T^{21} + 53511367487 p^{5} T^{22} + 11146542669 p^{6} T^{23} + 2202326189 p^{7} T^{24} + 405496093 p^{8} T^{25} + 70415517 p^{9} T^{26} + 11198781 p^{10} T^{27} + 128309 p^{12} T^{28} + 220149 p^{12} T^{29} + 27036 p^{13} T^{30} + 2733 p^{14} T^{31} + 258 p^{15} T^{32} + 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 + 8 T + 11 p T^{2} + 1451 T^{3} + 18325 T^{4} + 130723 T^{5} + 1206480 T^{6} + 7794359 T^{7} + 58651645 T^{8} + 343197055 T^{9} + 2216073656 T^{10} + 11783541870 T^{11} + 67133860925 T^{12} + 325325225356 T^{13} + 1662108138995 T^{14} + 7352269540167 T^{15} + 34009842953680 T^{16} + 137298201799894 T^{17} + 34009842953680 p T^{18} + 7352269540167 p^{2} T^{19} + 1662108138995 p^{3} T^{20} + 325325225356 p^{4} T^{21} + 67133860925 p^{5} T^{22} + 11783541870 p^{6} T^{23} + 2216073656 p^{7} T^{24} + 343197055 p^{8} T^{25} + 58651645 p^{9} T^{26} + 7794359 p^{10} T^{27} + 1206480 p^{11} T^{28} + 130723 p^{12} T^{29} + 18325 p^{13} T^{30} + 1451 p^{14} T^{31} + 11 p^{16} T^{32} + 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 + 23 T + 451 T^{2} + 6192 T^{3} + 74778 T^{4} + 758856 T^{5} + 6968140 T^{6} + 57042239 T^{7} + 430710208 T^{8} + 2982147141 T^{9} + 19306261489 T^{10} + 6134102440 p T^{11} + 664702144511 T^{12} + 188186744570 p T^{13} + 18316094140951 T^{14} + 89190862836568 T^{15} + 415822470668307 T^{16} + 1850609785762370 T^{17} + 415822470668307 p T^{18} + 89190862836568 p^{2} T^{19} + 18316094140951 p^{3} T^{20} + 188186744570 p^{5} T^{21} + 664702144511 p^{5} T^{22} + 6134102440 p^{7} T^{23} + 19306261489 p^{7} T^{24} + 2982147141 p^{8} T^{25} + 430710208 p^{9} T^{26} + 57042239 p^{10} T^{27} + 6968140 p^{11} T^{28} + 758856 p^{12} T^{29} + 74778 p^{13} T^{30} + 6192 p^{14} T^{31} + 451 p^{15} T^{32} + 23 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 12 T + 324 T^{2} - 3146 T^{3} + 48432 T^{4} - 398081 T^{5} + 4526079 T^{6} - 32398752 T^{7} + 300146002 T^{8} - 1907752220 T^{9} + 15147130308 T^{10} - 86676893528 T^{11} + 607801951080 T^{12} - 137485650792 p T^{13} + 19958628112625 T^{14} - 95007598017234 T^{15} + 546092400686157 T^{16} - 2384976753011686 T^{17} + 546092400686157 p T^{18} - 95007598017234 p^{2} T^{19} + 19958628112625 p^{3} T^{20} - 137485650792 p^{5} T^{21} + 607801951080 p^{5} T^{22} - 86676893528 p^{6} T^{23} + 15147130308 p^{7} T^{24} - 1907752220 p^{8} T^{25} + 300146002 p^{9} T^{26} - 32398752 p^{10} T^{27} + 4526079 p^{11} T^{28} - 398081 p^{12} T^{29} + 48432 p^{13} T^{30} - 3146 p^{14} T^{31} + 324 p^{15} T^{32} - 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 + 297 T^{2} - 151 T^{3} + 44101 T^{4} - 41631 T^{5} + 4360697 T^{6} - 5620337 T^{7} + 322076979 T^{8} - 494341768 T^{9} + 18860378560 T^{10} - 31736580811 T^{11} + 906093384906 T^{12} - 1575782044382 T^{13} + 36442822807223 T^{14} - 62441849983994 T^{15} + 1241309228596894 T^{16} - 2006174030097668 T^{17} + 1241309228596894 p T^{18} - 62441849983994 p^{2} T^{19} + 36442822807223 p^{3} T^{20} - 1575782044382 p^{4} T^{21} + 906093384906 p^{5} T^{22} - 31736580811 p^{6} T^{23} + 18860378560 p^{7} T^{24} - 494341768 p^{8} T^{25} + 322076979 p^{9} T^{26} - 5620337 p^{10} T^{27} + 4360697 p^{11} T^{28} - 41631 p^{12} T^{29} + 44101 p^{13} T^{30} - 151 p^{14} T^{31} + 297 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 + 8 T + 313 T^{2} + 2193 T^{3} + 46822 T^{4} + 291036 T^{5} + 4509287 T^{6} + 25184430 T^{7} + 318260870 T^{8} + 1618083106 T^{9} + 17771184150 T^{10} + 83306413234 T^{11} + 825806704669 T^{12} + 3608153841854 T^{13} + 33008066864929 T^{14} + 135377710046407 T^{15} + 1156942336054287 T^{16} + 4465892318157521 T^{17} + 1156942336054287 p T^{18} + 135377710046407 p^{2} T^{19} + 33008066864929 p^{3} T^{20} + 3608153841854 p^{4} T^{21} + 825806704669 p^{5} T^{22} + 83306413234 p^{6} T^{23} + 17771184150 p^{7} T^{24} + 1618083106 p^{8} T^{25} + 318260870 p^{9} T^{26} + 25184430 p^{10} T^{27} + 4509287 p^{11} T^{28} + 291036 p^{12} T^{29} + 46822 p^{13} T^{30} + 2193 p^{14} T^{31} + 313 p^{15} T^{32} + 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 + 7 T + 433 T^{2} + 3111 T^{3} + 94153 T^{4} + 666011 T^{5} + 13540153 T^{6} + 91929647 T^{7} + 1431883229 T^{8} + 9190777323 T^{9} + 117589977857 T^{10} + 706665371453 T^{11} + 7742482128394 T^{12} + 43244714935304 T^{13} + 416770244724742 T^{14} + 2148798818385045 T^{15} + 18550637966039282 T^{16} + 87619951815349526 T^{17} + 18550637966039282 p T^{18} + 2148798818385045 p^{2} T^{19} + 416770244724742 p^{3} T^{20} + 43244714935304 p^{4} T^{21} + 7742482128394 p^{5} T^{22} + 706665371453 p^{6} T^{23} + 117589977857 p^{7} T^{24} + 9190777323 p^{8} T^{25} + 1431883229 p^{9} T^{26} + 91929647 p^{10} T^{27} + 13540153 p^{11} T^{28} + 666011 p^{12} T^{29} + 94153 p^{13} T^{30} + 3111 p^{14} T^{31} + 433 p^{15} T^{32} + 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 27 T + 636 T^{2} + 10532 T^{3} + 157270 T^{4} + 1997173 T^{5} + 23460969 T^{6} + 249436991 T^{7} + 2493632783 T^{8} + 23225733014 T^{9} + 205609045668 T^{10} + 1722777970530 T^{11} + 13813202585358 T^{12} + 105753817938652 T^{13} + 777762566693226 T^{14} + 5486986737671350 T^{15} + 37253935885060591 T^{16} + 243094703557447454 T^{17} + 37253935885060591 p T^{18} + 5486986737671350 p^{2} T^{19} + 777762566693226 p^{3} T^{20} + 105753817938652 p^{4} T^{21} + 13813202585358 p^{5} T^{22} + 1722777970530 p^{6} T^{23} + 205609045668 p^{7} T^{24} + 23225733014 p^{8} T^{25} + 2493632783 p^{9} T^{26} + 249436991 p^{10} T^{27} + 23460969 p^{11} T^{28} + 1997173 p^{12} T^{29} + 157270 p^{13} T^{30} + 10532 p^{14} T^{31} + 636 p^{15} T^{32} + 27 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 + 13 T + 476 T^{2} + 5435 T^{3} + 111293 T^{4} + 1139265 T^{5} + 17109469 T^{6} + 159178160 T^{7} + 1944538845 T^{8} + 16583203158 T^{9} + 173627587534 T^{10} + 1364144172554 T^{11} + 12616054327780 T^{12} + 91541905562037 T^{13} + 761949625864715 T^{14} + 5107186215738564 T^{15} + 38720318256613487 T^{16} + 239273150620347684 T^{17} + 38720318256613487 p T^{18} + 5107186215738564 p^{2} T^{19} + 761949625864715 p^{3} T^{20} + 91541905562037 p^{4} T^{21} + 12616054327780 p^{5} T^{22} + 1364144172554 p^{6} T^{23} + 173627587534 p^{7} T^{24} + 16583203158 p^{8} T^{25} + 1944538845 p^{9} T^{26} + 159178160 p^{10} T^{27} + 17109469 p^{11} T^{28} + 1139265 p^{12} T^{29} + 111293 p^{13} T^{30} + 5435 p^{14} T^{31} + 476 p^{15} T^{32} + 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 23 T + 627 T^{2} - 213 p T^{3} + 169706 T^{4} - 2186678 T^{5} + 28997640 T^{6} - 320843524 T^{7} + 3603979156 T^{8} - 35331431753 T^{9} + 349403908546 T^{10} - 3092045393210 T^{11} + 27514653253859 T^{12} - 222304863841431 T^{13} + 1803158895917345 T^{14} - 13389676593193723 T^{15} + 99745175013708764 T^{16} - 682803671078498606 T^{17} + 99745175013708764 p T^{18} - 13389676593193723 p^{2} T^{19} + 1803158895917345 p^{3} T^{20} - 222304863841431 p^{4} T^{21} + 27514653253859 p^{5} T^{22} - 3092045393210 p^{6} T^{23} + 349403908546 p^{7} T^{24} - 35331431753 p^{8} T^{25} + 3603979156 p^{9} T^{26} - 320843524 p^{10} T^{27} + 28997640 p^{11} T^{28} - 2186678 p^{12} T^{29} + 169706 p^{13} T^{30} - 213 p^{15} T^{31} + 627 p^{15} T^{32} - 23 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 14 T + 703 T^{2} - 8555 T^{3} + 237138 T^{4} - 2562102 T^{5} + 51332263 T^{6} - 499048018 T^{7} + 8016808250 T^{8} - 70733824871 T^{9} + 960782388224 T^{10} - 7733365929621 T^{11} + 91627559860706 T^{12} - 674492835651323 T^{13} + 7108883928157603 T^{14} - 47866164987853150 T^{15} + 454500800786310140 T^{16} - 2793086113022841620 T^{17} + 454500800786310140 p T^{18} - 47866164987853150 p^{2} T^{19} + 7108883928157603 p^{3} T^{20} - 674492835651323 p^{4} T^{21} + 91627559860706 p^{5} T^{22} - 7733365929621 p^{6} T^{23} + 960782388224 p^{7} T^{24} - 70733824871 p^{8} T^{25} + 8016808250 p^{9} T^{26} - 499048018 p^{10} T^{27} + 51332263 p^{11} T^{28} - 2562102 p^{12} T^{29} + 237138 p^{13} T^{30} - 8555 p^{14} T^{31} + 703 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 - 2 T + 457 T^{2} - 606 T^{3} + 109562 T^{4} - 74962 T^{5} + 18157790 T^{6} - 2248069 T^{7} + 2325978563 T^{8} + 795148861 T^{9} + 243857216466 T^{10} + 171437732811 T^{11} + 21635763601012 T^{12} + 20513947949434 T^{13} + 1658494154295673 T^{14} + 1769715621003520 T^{15} + 111212641996796695 T^{16} + 117853260322162557 T^{17} + 111212641996796695 p T^{18} + 1769715621003520 p^{2} T^{19} + 1658494154295673 p^{3} T^{20} + 20513947949434 p^{4} T^{21} + 21635763601012 p^{5} T^{22} + 171437732811 p^{6} T^{23} + 243857216466 p^{7} T^{24} + 795148861 p^{8} T^{25} + 2325978563 p^{9} T^{26} - 2248069 p^{10} T^{27} + 18157790 p^{11} T^{28} - 74962 p^{12} T^{29} + 109562 p^{13} T^{30} - 606 p^{14} T^{31} + 457 p^{15} T^{32} - 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 + 49 T + 1580 T^{2} + 38062 T^{3} + 764788 T^{4} + 13298161 T^{5} + 206672597 T^{6} + 2919443816 T^{7} + 38019538916 T^{8} + 460677725388 T^{9} + 5233002623897 T^{10} + 56032279957239 T^{11} + 568008600779536 T^{12} + 5469287304801439 T^{13} + 50148754649104629 T^{14} + 438676350942289512 T^{15} + 3665445477002013724 T^{16} + 29277263196340340968 T^{17} + 3665445477002013724 p T^{18} + 438676350942289512 p^{2} T^{19} + 50148754649104629 p^{3} T^{20} + 5469287304801439 p^{4} T^{21} + 568008600779536 p^{5} T^{22} + 56032279957239 p^{6} T^{23} + 5233002623897 p^{7} T^{24} + 460677725388 p^{8} T^{25} + 38019538916 p^{9} T^{26} + 2919443816 p^{10} T^{27} + 206672597 p^{11} T^{28} + 13298161 p^{12} T^{29} + 764788 p^{13} T^{30} + 38062 p^{14} T^{31} + 1580 p^{15} T^{32} + 49 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 + 5 T + 779 T^{2} + 3475 T^{3} + 300019 T^{4} + 1192633 T^{5} + 75702533 T^{6} + 268141450 T^{7} + 14006402026 T^{8} + 44269828323 T^{9} + 2016631987375 T^{10} + 5707313815725 T^{11} + 234073549786703 T^{12} + 596466650584070 T^{13} + 22384878548007939 T^{14} + 51726872279867758 T^{15} + 1786469828259534749 T^{16} + 3771591149937501042 T^{17} + 1786469828259534749 p T^{18} + 51726872279867758 p^{2} T^{19} + 22384878548007939 p^{3} T^{20} + 596466650584070 p^{4} T^{21} + 234073549786703 p^{5} T^{22} + 5707313815725 p^{6} T^{23} + 2016631987375 p^{7} T^{24} + 44269828323 p^{8} T^{25} + 14006402026 p^{9} T^{26} + 268141450 p^{10} T^{27} + 75702533 p^{11} T^{28} + 1192633 p^{12} T^{29} + 300019 p^{13} T^{30} + 3475 p^{14} T^{31} + 779 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 + 5 T + 687 T^{2} + 2493 T^{3} + 228749 T^{4} + 530358 T^{5} + 49342423 T^{6} + 50593098 T^{7} + 7784309295 T^{8} - 28752296 p T^{9} + 963814673460 T^{10} - 1450071753178 T^{11} + 98516025512407 T^{12} - 254752082998685 T^{13} + 8664379309727194 T^{14} - 28683496790617127 T^{15} + 677910565078411310 T^{16} - 2353311971439391683 T^{17} + 677910565078411310 p T^{18} - 28683496790617127 p^{2} T^{19} + 8664379309727194 p^{3} T^{20} - 254752082998685 p^{4} T^{21} + 98516025512407 p^{5} T^{22} - 1450071753178 p^{6} T^{23} + 963814673460 p^{7} T^{24} - 28752296 p^{9} T^{25} + 7784309295 p^{9} T^{26} + 50593098 p^{10} T^{27} + 49342423 p^{11} T^{28} + 530358 p^{12} T^{29} + 228749 p^{13} T^{30} + 2493 p^{14} T^{31} + 687 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 + 54 T + 2244 T^{2} + 66502 T^{3} + 1689229 T^{4} + 36193056 T^{5} + 695255295 T^{6} + 11915783763 T^{7} + 187541676323 T^{8} + 2704733316611 T^{9} + 36333524921787 T^{10} + 453891073514810 T^{11} + 5327813657946151 T^{12} + 58661678151601770 T^{13} + 610127141428014920 T^{14} + 5981615958102418096 T^{15} + 55555391840501696206 T^{16} + \)\(48\!\cdots\!56\)\( T^{17} + 55555391840501696206 p T^{18} + 5981615958102418096 p^{2} T^{19} + 610127141428014920 p^{3} T^{20} + 58661678151601770 p^{4} T^{21} + 5327813657946151 p^{5} T^{22} + 453891073514810 p^{6} T^{23} + 36333524921787 p^{7} T^{24} + 2704733316611 p^{8} T^{25} + 187541676323 p^{9} T^{26} + 11915783763 p^{10} T^{27} + 695255295 p^{11} T^{28} + 36193056 p^{12} T^{29} + 1689229 p^{13} T^{30} + 66502 p^{14} T^{31} + 2244 p^{15} T^{32} + 54 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 + 11 T + 534 T^{2} + 4310 T^{3} + 136936 T^{4} + 914555 T^{5} + 24021622 T^{6} + 142594878 T^{7} + 3244835716 T^{8} + 18067851098 T^{9} + 360841515291 T^{10} + 2008682820211 T^{11} + 34954803050894 T^{12} + 202998325924319 T^{13} + 3073042604397293 T^{14} + 18697832297082670 T^{15} + 253822770371917679 T^{16} + 1558723731929040060 T^{17} + 253822770371917679 p T^{18} + 18697832297082670 p^{2} T^{19} + 3073042604397293 p^{3} T^{20} + 202998325924319 p^{4} T^{21} + 34954803050894 p^{5} T^{22} + 2008682820211 p^{6} T^{23} + 360841515291 p^{7} T^{24} + 18067851098 p^{8} T^{25} + 3244835716 p^{9} T^{26} + 142594878 p^{10} T^{27} + 24021622 p^{11} T^{28} + 914555 p^{12} T^{29} + 136936 p^{13} T^{30} + 4310 p^{14} T^{31} + 534 p^{15} T^{32} + 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 + 8 T + 932 T^{2} + 6062 T^{3} + 405590 T^{4} + 2081774 T^{5} + 110772052 T^{6} + 427831045 T^{7} + 21652028572 T^{8} + 58793104272 T^{9} + 3292998582335 T^{10} + 5787568256607 T^{11} + 413917006185270 T^{12} + 440743590559400 T^{13} + 44712924597498629 T^{14} + 29749327158537661 T^{15} + 4225199059636083913 T^{16} + 2206108156428021018 T^{17} + 4225199059636083913 p T^{18} + 29749327158537661 p^{2} T^{19} + 44712924597498629 p^{3} T^{20} + 440743590559400 p^{4} T^{21} + 413917006185270 p^{5} T^{22} + 5787568256607 p^{6} T^{23} + 3292998582335 p^{7} T^{24} + 58793104272 p^{8} T^{25} + 21652028572 p^{9} T^{26} + 427831045 p^{10} T^{27} + 110772052 p^{11} T^{28} + 2081774 p^{12} T^{29} + 405590 p^{13} T^{30} + 6062 p^{14} T^{31} + 932 p^{15} T^{32} + 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 + 9 T + 1055 T^{2} + 9802 T^{3} + 552173 T^{4} + 5150262 T^{5} + 189960428 T^{6} + 1739624341 T^{7} + 47978253314 T^{8} + 423869747652 T^{9} + 9417106365882 T^{10} + 79128010609773 T^{11} + 1484282415768440 T^{12} + 11719448438140161 T^{13} + 191585494360721511 T^{14} + 1405624824575116032 T^{15} + 20481167773109593884 T^{16} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{17} + 20481167773109593884 p T^{18} + 1405624824575116032 p^{2} T^{19} + 191585494360721511 p^{3} T^{20} + 11719448438140161 p^{4} T^{21} + 1484282415768440 p^{5} T^{22} + 79128010609773 p^{6} T^{23} + 9417106365882 p^{7} T^{24} + 423869747652 p^{8} T^{25} + 47978253314 p^{9} T^{26} + 1739624341 p^{10} T^{27} + 189960428 p^{11} T^{28} + 5150262 p^{12} T^{29} + 552173 p^{13} T^{30} + 9802 p^{14} T^{31} + 1055 p^{15} T^{32} + 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 42 T + 1485 T^{2} + 38391 T^{3} + 881462 T^{4} + 17592584 T^{5} + 321591553 T^{6} + 5383515406 T^{7} + 84153549055 T^{8} + 1232424022626 T^{9} + 17061247977296 T^{10} + 223884821876553 T^{11} + 2798344100215379 T^{12} + 33372820775390649 T^{13} + 380820020109948957 T^{14} + 4161382103862135889 T^{15} + 43613649821697160316 T^{16} + \)\(43\!\cdots\!99\)\( T^{17} + 43613649821697160316 p T^{18} + 4161382103862135889 p^{2} T^{19} + 380820020109948957 p^{3} T^{20} + 33372820775390649 p^{4} T^{21} + 2798344100215379 p^{5} T^{22} + 223884821876553 p^{6} T^{23} + 17061247977296 p^{7} T^{24} + 1232424022626 p^{8} T^{25} + 84153549055 p^{9} T^{26} + 5383515406 p^{10} T^{27} + 321591553 p^{11} T^{28} + 17592584 p^{12} T^{29} + 881462 p^{13} T^{30} + 38391 p^{14} T^{31} + 1485 p^{15} T^{32} + 42 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.25560896945544141068592268521, −2.21301673590990397366335306845, −2.18700491307937135397459063442, −2.18042099190912884601958674593, −2.17321251221174390208791461274, −2.17146002392186036911131488286, −2.16704677271289785185623577921, −2.06956267438326297395045356802, −1.98747201924526633975269939611, −1.81833291661056726581758639001, −1.75798094227008051794699843521, −1.73620374866539679156614081990, −1.62715844748839715021289213909, −1.51132865209157482240891352553, −1.50485969669849412634337702389, −1.43307959428073255911567413801, −1.36072762991644874515097963593, −1.33338113960605940530826590403, −1.33250201785316306259487262243, −1.23651045809136327520039552050, −1.07180326671291083816868305840, −1.07150019740956268358930887318, −1.00023839347319069600799168408, −0.912859137507304723934639991040, −0.71633400037086649718130769333, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.71633400037086649718130769333, 0.912859137507304723934639991040, 1.00023839347319069600799168408, 1.07150019740956268358930887318, 1.07180326671291083816868305840, 1.23651045809136327520039552050, 1.33250201785316306259487262243, 1.33338113960605940530826590403, 1.36072762991644874515097963593, 1.43307959428073255911567413801, 1.50485969669849412634337702389, 1.51132865209157482240891352553, 1.62715844748839715021289213909, 1.73620374866539679156614081990, 1.75798094227008051794699843521, 1.81833291661056726581758639001, 1.98747201924526633975269939611, 2.06956267438326297395045356802, 2.16704677271289785185623577921, 2.17146002392186036911131488286, 2.17321251221174390208791461274, 2.18042099190912884601958674593, 2.18700491307937135397459063442, 2.21301673590990397366335306845, 2.25560896945544141068592268521
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.