# Properties

 Degree 20 Conductor $2^{40} \cdot 3^{30}$ Sign $1$ Motivic weight 5 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 0

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 21·5-s − 29·7-s + 177·11-s − 181·13-s − 2.28e3·17-s + 832·19-s + 399·23-s + 5.64e3·25-s + 6.03e3·29-s − 2.75e3·31-s − 609·35-s − 1.51e4·37-s + 1.84e4·41-s − 1.46e3·43-s − 2.51e4·47-s + 4.04e4·49-s − 1.16e5·53-s + 3.71e3·55-s − 9.05e4·59-s + 1.40e3·61-s − 3.80e3·65-s − 1.39e4·67-s + 2.29e5·71-s + 1.52e4·73-s − 5.13e3·77-s − 2.99e4·79-s − 2.28e5·83-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 0.375·5-s − 0.223·7-s + 0.441·11-s − 0.297·13-s − 1.91·17-s + 0.528·19-s + 0.157·23-s + 1.80·25-s + 1.33·29-s − 0.515·31-s − 0.0840·35-s − 1.82·37-s + 1.71·41-s − 0.121·43-s − 1.66·47-s + 2.40·49-s − 5.71·53-s + 0.165·55-s − 3.38·59-s + 0.0482·61-s − 0.111·65-s − 0.378·67-s + 5.39·71-s + 0.333·73-s − 0.0986·77-s − 0.540·79-s − 3.64·83-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 3^{30}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 3^{30}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$20$$ $$N$$ = $$2^{40} \cdot 3^{30}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$5$$ character : induced by $\chi_{432} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = $$0$$ Selberg data = $$(20,\ 2^{40} \cdot 3^{30} ,\ ( \ : [5/2]^{10} ),\ 1 )$$ $$L(3)$$ $$\approx$$ $$0.7211454179$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$0.7211454179$$ $$L(\frac{7}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$where, for $p \notin \{2,\;3\}$,$$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 20. If $p \in \{2,\;3\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 19.
$p$$F_p(T)$
bad2 $$1$$
3 $$1$$
good5 $$1 - 21 T - 5203 T^{2} + 103986 p T^{3} + 14035794 T^{4} - 570964554 p T^{5} + 76722872007 T^{6} + 9761967315441 T^{7} - 599011867854189 T^{8} - 476972383330224 p^{2} T^{9} + 2533145723872694124 T^{10} - 476972383330224 p^{7} T^{11} - 599011867854189 p^{10} T^{12} + 9761967315441 p^{15} T^{13} + 76722872007 p^{20} T^{14} - 570964554 p^{26} T^{15} + 14035794 p^{30} T^{16} + 103986 p^{36} T^{17} - 5203 p^{40} T^{18} - 21 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
7 $$1 + 29 T - 39569 T^{2} - 537492 p T^{3} + 440397336 T^{4} + 77352503496 T^{5} - 395584797729 p T^{6} + 560172784984473 T^{7} + 238615372451780007 T^{8} - 16031898530170676332 T^{9} -$$$$69\!\cdots\!60$$$$T^{10} - 16031898530170676332 p^{5} T^{11} + 238615372451780007 p^{10} T^{12} + 560172784984473 p^{15} T^{13} - 395584797729 p^{21} T^{14} + 77352503496 p^{25} T^{15} + 440397336 p^{30} T^{16} - 537492 p^{36} T^{17} - 39569 p^{40} T^{18} + 29 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
11 $$1 - 177 T - 396232 T^{2} - 71434269 T^{3} + 104816625882 T^{4} + 33726096455301 T^{5} - 6913987980717606 T^{6} - 8552599160812456257 T^{7} -$$$$10\!\cdots\!51$$$$T^{8} +$$$$50\!\cdots\!82$$$$T^{9} +$$$$47\!\cdots\!16$$$$T^{10} +$$$$50\!\cdots\!82$$$$p^{5} T^{11} -$$$$10\!\cdots\!51$$$$p^{10} T^{12} - 8552599160812456257 p^{15} T^{13} - 6913987980717606 p^{20} T^{14} + 33726096455301 p^{25} T^{15} + 104816625882 p^{30} T^{16} - 71434269 p^{35} T^{17} - 396232 p^{40} T^{18} - 177 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
13 $$1 + 181 T - 1012331 T^{2} + 1114014 p T^{3} + 446454243174 T^{4} - 84043375137762 T^{5} - 14806115812129521 p T^{6} - 802846347498861897 T^{7} +$$$$98\!\cdots\!51$$$$T^{8} +$$$$77\!\cdots\!72$$$$T^{9} -$$$$41\!\cdots\!24$$$$T^{10} +$$$$77\!\cdots\!72$$$$p^{5} T^{11} +$$$$98\!\cdots\!51$$$$p^{10} T^{12} - 802846347498861897 p^{15} T^{13} - 14806115812129521 p^{21} T^{14} - 84043375137762 p^{25} T^{15} + 446454243174 p^{30} T^{16} + 1114014 p^{36} T^{17} - 1012331 p^{40} T^{18} + 181 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
17 $$( 1 + 1140 T + 4980550 T^{2} + 3443850354 T^{3} + 10068870522169 T^{4} + 5069379208548852 T^{5} + 10068870522169 p^{5} T^{6} + 3443850354 p^{10} T^{7} + 4980550 p^{15} T^{8} + 1140 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2}$$
19 $$( 1 - 416 T + 5046258 T^{2} - 6215761044 T^{3} + 20272296121125 T^{4} - 15898268281316088 T^{5} + 20272296121125 p^{5} T^{6} - 6215761044 p^{10} T^{7} + 5046258 p^{15} T^{8} - 416 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2}$$
23 $$1 - 399 T - 16077241 T^{2} - 38108825820 T^{3} + 155650662506976 T^{4} + 562944417983120520 T^{5} - 48522958516353490863 T^{6} -$$$$48\!\cdots\!51$$$$T^{7} -$$$$71\!\cdots\!41$$$$T^{8} +$$$$50\!\cdots\!24$$$$p T^{9} +$$$$81\!\cdots\!80$$$$T^{10} +$$$$50\!\cdots\!24$$$$p^{6} T^{11} -$$$$71\!\cdots\!41$$$$p^{10} T^{12} -$$$$48\!\cdots\!51$$$$p^{15} T^{13} - 48522958516353490863 p^{20} T^{14} + 562944417983120520 p^{25} T^{15} + 155650662506976 p^{30} T^{16} - 38108825820 p^{35} T^{17} - 16077241 p^{40} T^{18} - 399 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
29 $$1 - 6033 T + 3652157 T^{2} - 31641196734 T^{3} + 283528398607854 T^{4} - 668469168127712358 T^{5} +$$$$64\!\cdots\!39$$$$T^{6} -$$$$82\!\cdots\!55$$$$T^{7} -$$$$90\!\cdots\!17$$$$T^{8} -$$$$14\!\cdots\!60$$$$T^{9} +$$$$58\!\cdots\!16$$$$T^{10} -$$$$14\!\cdots\!60$$$$p^{5} T^{11} -$$$$90\!\cdots\!17$$$$p^{10} T^{12} -$$$$82\!\cdots\!55$$$$p^{15} T^{13} +$$$$64\!\cdots\!39$$$$p^{20} T^{14} - 668469168127712358 p^{25} T^{15} + 283528398607854 p^{30} T^{16} - 31641196734 p^{35} T^{17} + 3652157 p^{40} T^{18} - 6033 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
31 $$1 + 89 p T - 54902477 T^{2} + 189444651072 T^{3} + 2052158291804100 T^{4} - 13274031992302596720 T^{5} -$$$$32\!\cdots\!47$$$$T^{6} +$$$$42\!\cdots\!39$$$$T^{7} -$$$$13\!\cdots\!49$$$$T^{8} -$$$$36\!\cdots\!48$$$$T^{9} +$$$$63\!\cdots\!24$$$$T^{10} -$$$$36\!\cdots\!48$$$$p^{5} T^{11} -$$$$13\!\cdots\!49$$$$p^{10} T^{12} +$$$$42\!\cdots\!39$$$$p^{15} T^{13} -$$$$32\!\cdots\!47$$$$p^{20} T^{14} - 13274031992302596720 p^{25} T^{15} + 2052158291804100 p^{30} T^{16} + 189444651072 p^{35} T^{17} - 54902477 p^{40} T^{18} + 89 p^{46} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
37 $$( 1 + 7586 T + 201201093 T^{2} + 803146672896 T^{3} + 19241810738464926 T^{4} + 60351714230064941916 T^{5} + 19241810738464926 p^{5} T^{6} + 803146672896 p^{10} T^{7} + 201201093 p^{15} T^{8} + 7586 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2}$$
41 $$1 - 18435 T - 117679042 T^{2} + 4344492069675 T^{3} - 505249106564622 T^{4} -$$$$52\!\cdots\!97$$$$T^{5} +$$$$16\!\cdots\!40$$$$T^{6} +$$$$39\!\cdots\!43$$$$T^{7} -$$$$76\!\cdots\!83$$$$p T^{8} -$$$$10\!\cdots\!42$$$$T^{9} +$$$$29\!\cdots\!40$$$$T^{10} -$$$$10\!\cdots\!42$$$$p^{5} T^{11} -$$$$76\!\cdots\!83$$$$p^{11} T^{12} +$$$$39\!\cdots\!43$$$$p^{15} T^{13} +$$$$16\!\cdots\!40$$$$p^{20} T^{14} -$$$$52\!\cdots\!97$$$$p^{25} T^{15} - 505249106564622 p^{30} T^{16} + 4344492069675 p^{35} T^{17} - 117679042 p^{40} T^{18} - 18435 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
43 $$1 + 1469 T - 271863536 T^{2} - 4016430594327 T^{3} + 12129147672135834 T^{4} +$$$$75\!\cdots\!27$$$$T^{5} +$$$$55\!\cdots\!62$$$$T^{6} +$$$$12\!\cdots\!57$$$$T^{7} -$$$$29\!\cdots\!39$$$$T^{8} -$$$$61\!\cdots\!62$$$$T^{9} -$$$$11\!\cdots\!84$$$$T^{10} -$$$$61\!\cdots\!62$$$$p^{5} T^{11} -$$$$29\!\cdots\!39$$$$p^{10} T^{12} +$$$$12\!\cdots\!57$$$$p^{15} T^{13} +$$$$55\!\cdots\!62$$$$p^{20} T^{14} +$$$$75\!\cdots\!27$$$$p^{25} T^{15} + 12129147672135834 p^{30} T^{16} - 4016430594327 p^{35} T^{17} - 271863536 p^{40} T^{18} + 1469 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
47 $$1 + 25155 T - 401246233 T^{2} - 14349179861244 T^{3} + 97557609874842960 T^{4} +$$$$41\!\cdots\!12$$$$T^{5} -$$$$25\!\cdots\!27$$$$T^{6} -$$$$55\!\cdots\!85$$$$T^{7} +$$$$12\!\cdots\!11$$$$T^{8} +$$$$42\!\cdots\!56$$$$T^{9} -$$$$37\!\cdots\!60$$$$T^{10} +$$$$42\!\cdots\!56$$$$p^{5} T^{11} +$$$$12\!\cdots\!11$$$$p^{10} T^{12} -$$$$55\!\cdots\!85$$$$p^{15} T^{13} -$$$$25\!\cdots\!27$$$$p^{20} T^{14} +$$$$41\!\cdots\!12$$$$p^{25} T^{15} + 97557609874842960 p^{30} T^{16} - 14349179861244 p^{35} T^{17} - 401246233 p^{40} T^{18} + 25155 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
53 $$( 1 + 58422 T + 3354568213 T^{2} + 110313236959296 T^{3} + 3390725554692289246 T^{4} +$$$$71\!\cdots\!28$$$$T^{5} + 3390725554692289246 p^{5} T^{6} + 110313236959296 p^{10} T^{7} + 3354568213 p^{15} T^{8} + 58422 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2}$$
59 $$1 + 90537 T + 2831117840 T^{2} + 13805150996349 T^{3} - 966660594685472478 T^{4} -$$$$10\!\cdots\!09$$$$T^{5} +$$$$69\!\cdots\!78$$$$T^{6} +$$$$67\!\cdots\!27$$$$p T^{7} +$$$$84\!\cdots\!01$$$$T^{8} -$$$$17\!\cdots\!74$$$$T^{9} -$$$$12\!\cdots\!20$$$$T^{10} -$$$$17\!\cdots\!74$$$$p^{5} T^{11} +$$$$84\!\cdots\!01$$$$p^{10} T^{12} +$$$$67\!\cdots\!27$$$$p^{16} T^{13} +$$$$69\!\cdots\!78$$$$p^{20} T^{14} -$$$$10\!\cdots\!09$$$$p^{25} T^{15} - 966660594685472478 p^{30} T^{16} + 13805150996349 p^{35} T^{17} + 2831117840 p^{40} T^{18} + 90537 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
61 $$1 - 23 p T - 3536905883 T^{2} - 452840008146 T^{3} + 7065863261737144698 T^{4} +$$$$54\!\cdots\!90$$$$T^{5} -$$$$10\!\cdots\!33$$$$T^{6} -$$$$70\!\cdots\!89$$$$T^{7} +$$$$11\!\cdots\!67$$$$T^{8} +$$$$32\!\cdots\!04$$$$T^{9} -$$$$10\!\cdots\!12$$$$T^{10} +$$$$32\!\cdots\!04$$$$p^{5} T^{11} +$$$$11\!\cdots\!67$$$$p^{10} T^{12} -$$$$70\!\cdots\!89$$$$p^{15} T^{13} -$$$$10\!\cdots\!33$$$$p^{20} T^{14} +$$$$54\!\cdots\!90$$$$p^{25} T^{15} + 7065863261737144698 p^{30} T^{16} - 452840008146 p^{35} T^{17} - 3536905883 p^{40} T^{18} - 23 p^{46} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
67 $$1 + 13907 T - 3876685544 T^{2} + 77425491657903 T^{3} + 10014688417385231130 T^{4} -$$$$30\!\cdots\!39$$$$T^{5} -$$$$79\!\cdots\!54$$$$T^{6} +$$$$69\!\cdots\!51$$$$T^{7} -$$$$33\!\cdots\!67$$$$T^{8} -$$$$37\!\cdots\!46$$$$T^{9} +$$$$22\!\cdots\!76$$$$T^{10} -$$$$37\!\cdots\!46$$$$p^{5} T^{11} -$$$$33\!\cdots\!67$$$$p^{10} T^{12} +$$$$69\!\cdots\!51$$$$p^{15} T^{13} -$$$$79\!\cdots\!54$$$$p^{20} T^{14} -$$$$30\!\cdots\!39$$$$p^{25} T^{15} + 10014688417385231130 p^{30} T^{16} + 77425491657903 p^{35} T^{17} - 3876685544 p^{40} T^{18} + 13907 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
71 $$( 1 - 114684 T + 7758380659 T^{2} - 426246123888336 T^{3} + 19260501229393543450 T^{4} -$$$$77\!\cdots\!40$$$$T^{5} + 19260501229393543450 p^{5} T^{6} - 426246123888336 p^{10} T^{7} + 7758380659 p^{15} T^{8} - 114684 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2}$$
73 $$( 1 - 7600 T + 3606834246 T^{2} - 31056473559714 T^{3} + 12288417972789256281 T^{4} -$$$$80\!\cdots\!84$$$$T^{5} + 12288417972789256281 p^{5} T^{6} - 31056473559714 p^{10} T^{7} + 3606834246 p^{15} T^{8} - 7600 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2}$$
79 $$1 + 29993 T - 5352351629 T^{2} + 358913063028768 T^{3} + 26234825811851125236 T^{4} -$$$$21\!\cdots\!52$$$$T^{5} +$$$$27\!\cdots\!85$$$$T^{6} +$$$$84\!\cdots\!45$$$$T^{7} -$$$$35\!\cdots\!45$$$$T^{8} -$$$$81\!\cdots\!80$$$$T^{9} +$$$$16\!\cdots\!00$$$$T^{10} -$$$$81\!\cdots\!80$$$$p^{5} T^{11} -$$$$35\!\cdots\!45$$$$p^{10} T^{12} +$$$$84\!\cdots\!45$$$$p^{15} T^{13} +$$$$27\!\cdots\!85$$$$p^{20} T^{14} -$$$$21\!\cdots\!52$$$$p^{25} T^{15} + 26234825811851125236 p^{30} T^{16} + 358913063028768 p^{35} T^{17} - 5352351629 p^{40} T^{18} + 29993 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
83 $$1 + 228951 T + 21403431983 T^{2} + 1202282302650156 T^{3} + 62567029919071222368 T^{4} +$$$$36\!\cdots\!68$$$$T^{5} +$$$$11\!\cdots\!01$$$$T^{6} -$$$$11\!\cdots\!41$$$$T^{7} -$$$$18\!\cdots\!73$$$$T^{8} -$$$$14\!\cdots\!84$$$$T^{9} -$$$$88\!\cdots\!72$$$$T^{10} -$$$$14\!\cdots\!84$$$$p^{5} T^{11} -$$$$18\!\cdots\!73$$$$p^{10} T^{12} -$$$$11\!\cdots\!41$$$$p^{15} T^{13} +$$$$11\!\cdots\!01$$$$p^{20} T^{14} +$$$$36\!\cdots\!68$$$$p^{25} T^{15} + 62567029919071222368 p^{30} T^{16} + 1202282302650156 p^{35} T^{17} + 21403431983 p^{40} T^{18} + 228951 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
89 $$( 1 + 299166 T + 52616244181 T^{2} + 6660261403977288 T^{3} +$$$$67\!\cdots\!10$$$$T^{4} +$$$$55\!\cdots\!64$$$$T^{5} +$$$$67\!\cdots\!10$$$$p^{5} T^{6} + 6660261403977288 p^{10} T^{7} + 52616244181 p^{15} T^{8} + 299166 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2}$$
97 $$1 - 40541 T - 17893496138 T^{2} + 2263333692661293 T^{3} + 99710157551726941410 T^{4} -$$$$30\!\cdots\!95$$$$T^{5} +$$$$10\!\cdots\!20$$$$T^{6} +$$$$21\!\cdots\!29$$$$T^{7} -$$$$20\!\cdots\!15$$$$T^{8} -$$$$65\!\cdots\!06$$$$T^{9} +$$$$19\!\cdots\!00$$$$T^{10} -$$$$65\!\cdots\!06$$$$p^{5} T^{11} -$$$$20\!\cdots\!15$$$$p^{10} T^{12} +$$$$21\!\cdots\!29$$$$p^{15} T^{13} +$$$$10\!\cdots\!20$$$$p^{20} T^{14} -$$$$30\!\cdots\!95$$$$p^{25} T^{15} + 99710157551726941410 p^{30} T^{16} + 2263333692661293 p^{35} T^{17} - 17893496138 p^{40} T^{18} - 40541 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20}$$
\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{20} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}