Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 2-s + 5·3-s + 7·4-s + 4·5-s + 5·6-s − 3·7-s + 7·8-s + 10·9-s + 4·10-s + 14·11-s + 35·12-s + 5·13-s − 3·14-s + 20·15-s + 22·16-s + 2·17-s + 10·18-s − 2·19-s + 28·20-s − 15·21-s + 14·22-s + 6·23-s + 35·24-s + 17·25-s + 5·26-s + 10·27-s − 21·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.707·2-s + 2.88·3-s + 7/2·4-s + 1.78·5-s + 2.04·6-s − 1.13·7-s + 2.47·8-s + 10/3·9-s + 1.26·10-s + 4.22·11-s + 10.1·12-s + 1.38·13-s − 0.801·14-s + 5.16·15-s + 11/2·16-s + 0.485·17-s + 2.35·18-s − 0.458·19-s + 6.26·20-s − 3.27·21-s + 2.98·22-s + 1.25·23-s + 7.14·24-s + 17/5·25-s + 0.980·26-s + 1.92·27-s − 3.96·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{20} \cdot 11^{20} \cdot 13^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{20} \cdot 11^{20} \cdot 13^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(40\) |
| Conductor: | \(3^{20} \cdot 11^{20} \cdot 13^{20}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(4.95094\times 10^{10}\) |
| Root analytic conductor: | \(1.85083\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((40,\ 3^{20} \cdot 11^{20} \cdot 13^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(1419.758083\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(1419.758083\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} )^{5} \) |
| 11 | \( 1 - 14 T + 128 T^{2} - 942 T^{3} + 526 p T^{4} - 2835 p T^{5} + 151049 T^{6} - 60308 p T^{7} + 2676577 T^{8} - 9965046 T^{9} + 34315243 T^{10} - 9965046 p T^{11} + 2676577 p^{2} T^{12} - 60308 p^{4} T^{13} + 151049 p^{4} T^{14} - 2835 p^{6} T^{15} + 526 p^{7} T^{16} - 942 p^{7} T^{17} + 128 p^{8} T^{18} - 14 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} \) | |
| 13 | \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} )^{5} \) | |
| good | 2 | \( 1 - T - 3 p T^{2} + 3 p T^{3} + 21 T^{4} - 11 p T^{5} - 25 p T^{6} + 15 p^{2} T^{7} + 21 p^{2} T^{8} - 125 T^{9} - 115 T^{10} + 219 T^{11} + 129 T^{12} - 61 p^{2} T^{13} - 13 p^{4} T^{14} + 47 p T^{15} + 357 T^{16} + 99 p T^{17} - 339 T^{18} - 347 T^{19} + 527 T^{20} - 347 p T^{21} - 339 p^{2} T^{22} + 99 p^{4} T^{23} + 357 p^{4} T^{24} + 47 p^{6} T^{25} - 13 p^{10} T^{26} - 61 p^{9} T^{27} + 129 p^{8} T^{28} + 219 p^{9} T^{29} - 115 p^{10} T^{30} - 125 p^{11} T^{31} + 21 p^{14} T^{32} + 15 p^{15} T^{33} - 25 p^{15} T^{34} - 11 p^{16} T^{35} + 21 p^{16} T^{36} + 3 p^{18} T^{37} - 3 p^{19} T^{38} - p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) |
| 5 | \( 1 - 4 T - T^{2} + 23 T^{3} - p^{2} T^{4} - 173 T^{5} + 792 T^{6} - 366 T^{7} - 686 p T^{8} + 5417 T^{9} + 9393 T^{10} - 58843 T^{11} + 66777 T^{12} + 187204 T^{13} - 433984 T^{14} - 14559 p T^{15} + 1550142 T^{16} - 3517509 T^{17} - 237429 p T^{18} + 11417486 T^{19} - 11279299 T^{20} + 11417486 p T^{21} - 237429 p^{3} T^{22} - 3517509 p^{3} T^{23} + 1550142 p^{4} T^{24} - 14559 p^{6} T^{25} - 433984 p^{6} T^{26} + 187204 p^{7} T^{27} + 66777 p^{8} T^{28} - 58843 p^{9} T^{29} + 9393 p^{10} T^{30} + 5417 p^{11} T^{31} - 686 p^{13} T^{32} - 366 p^{13} T^{33} + 792 p^{14} T^{34} - 173 p^{15} T^{35} - p^{18} T^{36} + 23 p^{17} T^{37} - p^{18} T^{38} - 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 7 | \( 1 + 3 T - 2 p T^{2} - 29 T^{3} + 207 T^{4} + 481 T^{5} - 1635 T^{6} - 4418 T^{7} + 13283 T^{8} + 38972 T^{9} - 54435 T^{10} - 255282 T^{11} - 15416 T^{12} + 1514752 T^{13} + 506519 p T^{14} - 1001955 p T^{15} - 54208488 T^{16} + 19876681 T^{17} + 476557344 T^{18} - 124866159 T^{19} - 3811316031 T^{20} - 124866159 p T^{21} + 476557344 p^{2} T^{22} + 19876681 p^{3} T^{23} - 54208488 p^{4} T^{24} - 1001955 p^{6} T^{25} + 506519 p^{7} T^{26} + 1514752 p^{7} T^{27} - 15416 p^{8} T^{28} - 255282 p^{9} T^{29} - 54435 p^{10} T^{30} + 38972 p^{11} T^{31} + 13283 p^{12} T^{32} - 4418 p^{13} T^{33} - 1635 p^{14} T^{34} + 481 p^{15} T^{35} + 207 p^{16} T^{36} - 29 p^{17} T^{37} - 2 p^{19} T^{38} + 3 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 17 | \( 1 - 2 T - 54 T^{2} + 31 T^{3} + 1786 T^{4} - 4008 T^{5} - 33986 T^{6} + 196284 T^{7} + 737147 T^{8} - 6480396 T^{9} - 7736681 T^{10} + 136292887 T^{11} - 84462413 T^{12} - 2900891641 T^{13} + 7345486247 T^{14} + 47392819486 T^{15} - 188091993391 T^{16} - 587799270132 T^{17} + 4507090205334 T^{18} + 2716851591779 T^{19} - 83207983970604 T^{20} + 2716851591779 p T^{21} + 4507090205334 p^{2} T^{22} - 587799270132 p^{3} T^{23} - 188091993391 p^{4} T^{24} + 47392819486 p^{5} T^{25} + 7345486247 p^{6} T^{26} - 2900891641 p^{7} T^{27} - 84462413 p^{8} T^{28} + 136292887 p^{9} T^{29} - 7736681 p^{10} T^{30} - 6480396 p^{11} T^{31} + 737147 p^{12} T^{32} + 196284 p^{13} T^{33} - 33986 p^{14} T^{34} - 4008 p^{15} T^{35} + 1786 p^{16} T^{36} + 31 p^{17} T^{37} - 54 p^{18} T^{38} - 2 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 19 | \( 1 + 2 T + 6 T^{2} - 122 T^{3} + 406 T^{4} - 6154 T^{5} - 6910 T^{6} - 89400 T^{7} + 906769 T^{8} - 2081485 T^{9} + 21368591 T^{10} + 121816 T^{11} + 447803367 T^{12} - 3052765199 T^{13} + 5551997549 T^{14} - 50765110060 T^{15} + 49494797871 T^{16} - 1261189044945 T^{17} + 6388701819444 T^{18} - 8316818169635 T^{19} + 90273551757028 T^{20} - 8316818169635 p T^{21} + 6388701819444 p^{2} T^{22} - 1261189044945 p^{3} T^{23} + 49494797871 p^{4} T^{24} - 50765110060 p^{5} T^{25} + 5551997549 p^{6} T^{26} - 3052765199 p^{7} T^{27} + 447803367 p^{8} T^{28} + 121816 p^{9} T^{29} + 21368591 p^{10} T^{30} - 2081485 p^{11} T^{31} + 906769 p^{12} T^{32} - 89400 p^{13} T^{33} - 6910 p^{14} T^{34} - 6154 p^{15} T^{35} + 406 p^{16} T^{36} - 122 p^{17} T^{37} + 6 p^{18} T^{38} + 2 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 23 | \( ( 1 - 3 T + 148 T^{2} - 482 T^{3} + 10288 T^{4} - 37727 T^{5} + 452889 T^{6} - 1841599 T^{7} + 14503863 T^{8} - 60802983 T^{9} + 368412902 T^{10} - 60802983 p T^{11} + 14503863 p^{2} T^{12} - 1841599 p^{3} T^{13} + 452889 p^{4} T^{14} - 37727 p^{5} T^{15} + 10288 p^{6} T^{16} - 482 p^{7} T^{17} + 148 p^{8} T^{18} - 3 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 29 | \( 1 - 26 T + 196 T^{2} + 603 T^{3} - 14416 T^{4} + 6126 T^{5} + 827830 T^{6} - 3137830 T^{7} - 26589774 T^{8} + 190662144 T^{9} + 598328267 T^{10} - 8568243715 T^{11} - 1591016401 T^{12} + 302911593083 T^{13} - 614564539060 T^{14} - 9083240087260 T^{15} + 1464374057000 p T^{16} + 195240144052844 T^{17} - 1765432949627813 T^{18} - 2374651236777357 T^{19} + 59845476926369156 T^{20} - 2374651236777357 p T^{21} - 1765432949627813 p^{2} T^{22} + 195240144052844 p^{3} T^{23} + 1464374057000 p^{5} T^{24} - 9083240087260 p^{5} T^{25} - 614564539060 p^{6} T^{26} + 302911593083 p^{7} T^{27} - 1591016401 p^{8} T^{28} - 8568243715 p^{9} T^{29} + 598328267 p^{10} T^{30} + 190662144 p^{11} T^{31} - 26589774 p^{12} T^{32} - 3137830 p^{13} T^{33} + 827830 p^{14} T^{34} + 6126 p^{15} T^{35} - 14416 p^{16} T^{36} + 603 p^{17} T^{37} + 196 p^{18} T^{38} - 26 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 31 | \( 1 - 20 T + 20 T^{2} + 2309 T^{3} - 16317 T^{4} - 73340 T^{5} + 1438754 T^{6} - 4449157 T^{7} - 46597261 T^{8} + 490086123 T^{9} - 765377322 T^{10} - 16851261543 T^{11} + 129769713836 T^{12} - 45676614703 T^{13} - 4895469275782 T^{14} + 27150114174826 T^{15} + 39922604662688 T^{16} - 1123770182974117 T^{17} + 4169342017610520 T^{18} + 16028836607793382 T^{19} - 209229981070265743 T^{20} + 16028836607793382 p T^{21} + 4169342017610520 p^{2} T^{22} - 1123770182974117 p^{3} T^{23} + 39922604662688 p^{4} T^{24} + 27150114174826 p^{5} T^{25} - 4895469275782 p^{6} T^{26} - 45676614703 p^{7} T^{27} + 129769713836 p^{8} T^{28} - 16851261543 p^{9} T^{29} - 765377322 p^{10} T^{30} + 490086123 p^{11} T^{31} - 46597261 p^{12} T^{32} - 4449157 p^{13} T^{33} + 1438754 p^{14} T^{34} - 73340 p^{15} T^{35} - 16317 p^{16} T^{36} + 2309 p^{17} T^{37} + 20 p^{18} T^{38} - 20 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 37 | \( 1 + 6 T - 182 T^{2} - 991 T^{3} + 15933 T^{4} + 100702 T^{5} - 685475 T^{6} - 7370591 T^{7} + 3635429 T^{8} + 384267750 T^{9} + 1461183034 T^{10} - 11025803110 T^{11} - 99932000694 T^{12} - 85646834665 T^{13} + 3209995745965 T^{14} + 24640667369598 T^{15} + 628924317262 T^{16} - 1125290716037401 T^{17} - 5739422530196836 T^{18} + 18731039946355882 T^{19} + 312099198775730631 T^{20} + 18731039946355882 p T^{21} - 5739422530196836 p^{2} T^{22} - 1125290716037401 p^{3} T^{23} + 628924317262 p^{4} T^{24} + 24640667369598 p^{5} T^{25} + 3209995745965 p^{6} T^{26} - 85646834665 p^{7} T^{27} - 99932000694 p^{8} T^{28} - 11025803110 p^{9} T^{29} + 1461183034 p^{10} T^{30} + 384267750 p^{11} T^{31} + 3635429 p^{12} T^{32} - 7370591 p^{13} T^{33} - 685475 p^{14} T^{34} + 100702 p^{15} T^{35} + 15933 p^{16} T^{36} - 991 p^{17} T^{37} - 182 p^{18} T^{38} + 6 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 41 | \( 1 + 26 T + 197 T^{2} - 617 T^{3} - 15945 T^{4} - 57967 T^{5} + 66249 T^{6} + 134529 T^{7} + 16052622 T^{8} + 301758663 T^{9} + 1064627124 T^{10} - 8368706565 T^{11} - 74377045891 T^{12} - 280225225169 T^{13} - 1520131168115 T^{14} + 3935539671595 T^{15} + 178594253209032 T^{16} + 920506379644757 T^{17} - 1805705515464895 T^{18} - 28968795434327872 T^{19} - 144552679835514357 T^{20} - 28968795434327872 p T^{21} - 1805705515464895 p^{2} T^{22} + 920506379644757 p^{3} T^{23} + 178594253209032 p^{4} T^{24} + 3935539671595 p^{5} T^{25} - 1520131168115 p^{6} T^{26} - 280225225169 p^{7} T^{27} - 74377045891 p^{8} T^{28} - 8368706565 p^{9} T^{29} + 1064627124 p^{10} T^{30} + 301758663 p^{11} T^{31} + 16052622 p^{12} T^{32} + 134529 p^{13} T^{33} + 66249 p^{14} T^{34} - 57967 p^{15} T^{35} - 15945 p^{16} T^{36} - 617 p^{17} T^{37} + 197 p^{18} T^{38} + 26 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 43 | \( ( 1 - 14 T + 413 T^{2} - 4578 T^{3} + 76600 T^{4} - 698566 T^{5} + 8484683 T^{6} - 64879294 T^{7} + 624469663 T^{8} - 4028889692 T^{9} + 31979043168 T^{10} - 4028889692 p T^{11} + 624469663 p^{2} T^{12} - 64879294 p^{3} T^{13} + 8484683 p^{4} T^{14} - 698566 p^{5} T^{15} + 76600 p^{6} T^{16} - 4578 p^{7} T^{17} + 413 p^{8} T^{18} - 14 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 47 | \( 1 - 8 T - 176 T^{2} + 1061 T^{3} + 20218 T^{4} - 144634 T^{5} - 27155 p T^{6} + 16642511 T^{7} + 56885384 T^{8} - 1594167487 T^{9} - 742694222 T^{10} + 112781088903 T^{11} - 209348294259 T^{12} - 6389696206035 T^{13} + 31088177032737 T^{14} + 304478318554960 T^{15} - 2586124797903437 T^{16} - 11363960076834261 T^{17} + 157688829248253892 T^{18} + 210858674755512370 T^{19} - 7981446337157518653 T^{20} + 210858674755512370 p T^{21} + 157688829248253892 p^{2} T^{22} - 11363960076834261 p^{3} T^{23} - 2586124797903437 p^{4} T^{24} + 304478318554960 p^{5} T^{25} + 31088177032737 p^{6} T^{26} - 6389696206035 p^{7} T^{27} - 209348294259 p^{8} T^{28} + 112781088903 p^{9} T^{29} - 742694222 p^{10} T^{30} - 1594167487 p^{11} T^{31} + 56885384 p^{12} T^{32} + 16642511 p^{13} T^{33} - 27155 p^{15} T^{34} - 144634 p^{15} T^{35} + 20218 p^{16} T^{36} + 1061 p^{17} T^{37} - 176 p^{18} T^{38} - 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 53 | \( 1 - T + 20 T^{2} + 646 T^{3} + 4651 T^{4} + 63486 T^{5} + 330470 T^{6} + 2072635 T^{7} + 65228764 T^{8} + 278984009 T^{9} + 2533883616 T^{10} + 24738559697 T^{11} + 148241334157 T^{12} + 2124697491569 T^{13} + 12599441933362 T^{14} + 54989213329748 T^{15} + 969647601698390 T^{16} + 4419586412246798 T^{17} + 45426021256457316 T^{18} + 354019382652318267 T^{19} + 1319267744508966295 T^{20} + 354019382652318267 p T^{21} + 45426021256457316 p^{2} T^{22} + 4419586412246798 p^{3} T^{23} + 969647601698390 p^{4} T^{24} + 54989213329748 p^{5} T^{25} + 12599441933362 p^{6} T^{26} + 2124697491569 p^{7} T^{27} + 148241334157 p^{8} T^{28} + 24738559697 p^{9} T^{29} + 2533883616 p^{10} T^{30} + 278984009 p^{11} T^{31} + 65228764 p^{12} T^{32} + 2072635 p^{13} T^{33} + 330470 p^{14} T^{34} + 63486 p^{15} T^{35} + 4651 p^{16} T^{36} + 646 p^{17} T^{37} + 20 p^{18} T^{38} - p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 59 | \( 1 + 21 T + 33 T^{2} - 349 T^{3} + 27857 T^{4} + 237092 T^{5} - 470488 T^{6} + 11381845 T^{7} + 222005298 T^{8} + 264197470 T^{9} + 4053765820 T^{10} + 127978042858 T^{11} + 417172651479 T^{12} + 1233107391492 T^{13} + 58641742307921 T^{14} + 405861061414542 T^{15} + 1124170369682884 T^{16} + 18274142445351916 T^{17} + 221103277294904194 T^{18} + 1253827617988489275 T^{19} + 6519534844475234658 T^{20} + 1253827617988489275 p T^{21} + 221103277294904194 p^{2} T^{22} + 18274142445351916 p^{3} T^{23} + 1124170369682884 p^{4} T^{24} + 405861061414542 p^{5} T^{25} + 58641742307921 p^{6} T^{26} + 1233107391492 p^{7} T^{27} + 417172651479 p^{8} T^{28} + 127978042858 p^{9} T^{29} + 4053765820 p^{10} T^{30} + 264197470 p^{11} T^{31} + 222005298 p^{12} T^{32} + 11381845 p^{13} T^{33} - 470488 p^{14} T^{34} + 237092 p^{15} T^{35} + 27857 p^{16} T^{36} - 349 p^{17} T^{37} + 33 p^{18} T^{38} + 21 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 61 | \( 1 - 26 T + 7 T^{2} + 5128 T^{3} - 26661 T^{4} - 441958 T^{5} + 2432187 T^{6} + 33759294 T^{7} - 48161031 T^{8} - 3595281419 T^{9} + 1720280889 T^{10} + 279612608475 T^{11} - 512942278164 T^{12} - 11009960035756 T^{13} + 12132504110451 T^{14} + 319422513642532 T^{15} + 1501699444690732 T^{16} - 27743772032551022 T^{17} + 61084644238717321 T^{18} + 1118218671542414922 T^{19} - 14212301508560631463 T^{20} + 1118218671542414922 p T^{21} + 61084644238717321 p^{2} T^{22} - 27743772032551022 p^{3} T^{23} + 1501699444690732 p^{4} T^{24} + 319422513642532 p^{5} T^{25} + 12132504110451 p^{6} T^{26} - 11009960035756 p^{7} T^{27} - 512942278164 p^{8} T^{28} + 279612608475 p^{9} T^{29} + 1720280889 p^{10} T^{30} - 3595281419 p^{11} T^{31} - 48161031 p^{12} T^{32} + 33759294 p^{13} T^{33} + 2432187 p^{14} T^{34} - 441958 p^{15} T^{35} - 26661 p^{16} T^{36} + 5128 p^{17} T^{37} + 7 p^{18} T^{38} - 26 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 67 | \( ( 1 - 28 T + 654 T^{2} - 10983 T^{3} + 168091 T^{4} - 2179787 T^{5} + 26282101 T^{6} - 281656931 T^{7} + 2831357564 T^{8} - 384816969 p T^{9} + 221102667034 T^{10} - 384816969 p^{2} T^{11} + 2831357564 p^{2} T^{12} - 281656931 p^{3} T^{13} + 26282101 p^{4} T^{14} - 2179787 p^{5} T^{15} + 168091 p^{6} T^{16} - 10983 p^{7} T^{17} + 654 p^{8} T^{18} - 28 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 71 | \( 1 + 28 T + 358 T^{2} + 4905 T^{3} + 75193 T^{4} + 820124 T^{5} + 7844462 T^{6} + 87191532 T^{7} + 840114215 T^{8} + 6702023336 T^{9} + 57224322898 T^{10} + 442353042913 T^{11} + 2535202846871 T^{12} + 12241594294907 T^{13} - 5592592602222 T^{14} - 1309669971830150 T^{15} - 18017729518438189 T^{16} - 211386757079702662 T^{17} - 2454055975516280856 T^{18} - 22443043463458429683 T^{19} - \)\(18\!\cdots\!26\)\( T^{20} - 22443043463458429683 p T^{21} - 2454055975516280856 p^{2} T^{22} - 211386757079702662 p^{3} T^{23} - 18017729518438189 p^{4} T^{24} - 1309669971830150 p^{5} T^{25} - 5592592602222 p^{6} T^{26} + 12241594294907 p^{7} T^{27} + 2535202846871 p^{8} T^{28} + 442353042913 p^{9} T^{29} + 57224322898 p^{10} T^{30} + 6702023336 p^{11} T^{31} + 840114215 p^{12} T^{32} + 87191532 p^{13} T^{33} + 7844462 p^{14} T^{34} + 820124 p^{15} T^{35} + 75193 p^{16} T^{36} + 4905 p^{17} T^{37} + 358 p^{18} T^{38} + 28 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 73 | \( 1 - 45 T + 809 T^{2} - 7474 T^{3} + 53320 T^{4} - 638207 T^{5} + 6643769 T^{6} - 21446690 T^{7} - 230025925 T^{8} + 3589072164 T^{9} - 46109572375 T^{10} + 589795012170 T^{11} - 5977239519818 T^{12} + 52863535141558 T^{13} - 376209907984225 T^{14} + 1216983656262027 T^{15} + 7101149563028325 T^{16} - 132749283806168118 T^{17} + 1843257453690986351 T^{18} - 25885647216924510517 T^{19} + \)\(26\!\cdots\!05\)\( T^{20} - 25885647216924510517 p T^{21} + 1843257453690986351 p^{2} T^{22} - 132749283806168118 p^{3} T^{23} + 7101149563028325 p^{4} T^{24} + 1216983656262027 p^{5} T^{25} - 376209907984225 p^{6} T^{26} + 52863535141558 p^{7} T^{27} - 5977239519818 p^{8} T^{28} + 589795012170 p^{9} T^{29} - 46109572375 p^{10} T^{30} + 3589072164 p^{11} T^{31} - 230025925 p^{12} T^{32} - 21446690 p^{13} T^{33} + 6643769 p^{14} T^{34} - 638207 p^{15} T^{35} + 53320 p^{16} T^{36} - 7474 p^{17} T^{37} + 809 p^{18} T^{38} - 45 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 79 | \( 1 + 15 T + 7 T^{2} - 598 T^{3} + 14413 T^{4} + 176364 T^{5} - 867956 T^{6} - 11686804 T^{7} + 102210810 T^{8} + 588266515 T^{9} - 15538374711 T^{10} - 87433877211 T^{11} + 732122563917 T^{12} + 119715130994 T^{13} - 104191796505980 T^{14} - 253869033516958 T^{15} + 5579669374146768 T^{16} + 10309439988615440 T^{17} - 300600303686693769 T^{18} + 917565750237899809 T^{19} + 39329163299537072625 T^{20} + 917565750237899809 p T^{21} - 300600303686693769 p^{2} T^{22} + 10309439988615440 p^{3} T^{23} + 5579669374146768 p^{4} T^{24} - 253869033516958 p^{5} T^{25} - 104191796505980 p^{6} T^{26} + 119715130994 p^{7} T^{27} + 732122563917 p^{8} T^{28} - 87433877211 p^{9} T^{29} - 15538374711 p^{10} T^{30} + 588266515 p^{11} T^{31} + 102210810 p^{12} T^{32} - 11686804 p^{13} T^{33} - 867956 p^{14} T^{34} + 176364 p^{15} T^{35} + 14413 p^{16} T^{36} - 598 p^{17} T^{37} + 7 p^{18} T^{38} + 15 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 83 | \( 1 - 36 T + 88 T^{2} + 11539 T^{3} - 131219 T^{4} - 1074444 T^{5} + 28317786 T^{6} - 98536469 T^{7} - 2504194611 T^{8} + 35089182573 T^{9} - 8352220018 T^{10} - 3776790361877 T^{11} + 25616269389430 T^{12} + 144801490826465 T^{13} - 2816151971841358 T^{14} + 11701689324694822 T^{15} + 122689007014954042 T^{16} - 1928673254900977991 T^{17} + 4185487708736276700 T^{18} + 79803928945054215226 T^{19} - \)\(90\!\cdots\!15\)\( T^{20} + 79803928945054215226 p T^{21} + 4185487708736276700 p^{2} T^{22} - 1928673254900977991 p^{3} T^{23} + 122689007014954042 p^{4} T^{24} + 11701689324694822 p^{5} T^{25} - 2816151971841358 p^{6} T^{26} + 144801490826465 p^{7} T^{27} + 25616269389430 p^{8} T^{28} - 3776790361877 p^{9} T^{29} - 8352220018 p^{10} T^{30} + 35089182573 p^{11} T^{31} - 2504194611 p^{12} T^{32} - 98536469 p^{13} T^{33} + 28317786 p^{14} T^{34} - 1074444 p^{15} T^{35} - 131219 p^{16} T^{36} + 11539 p^{17} T^{37} + 88 p^{18} T^{38} - 36 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 89 | \( ( 1 + 63 T + 2302 T^{2} + 59988 T^{3} + 1242590 T^{4} + 21504769 T^{5} + 322580367 T^{6} + 4282365595 T^{7} + 51129725729 T^{8} + 553541695641 T^{9} + 5466045451286 T^{10} + 553541695641 p T^{11} + 51129725729 p^{2} T^{12} + 4282365595 p^{3} T^{13} + 322580367 p^{4} T^{14} + 21504769 p^{5} T^{15} + 1242590 p^{6} T^{16} + 59988 p^{7} T^{17} + 2302 p^{8} T^{18} + 63 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 97 | \( 1 - 18 T - 411 T^{2} + 11118 T^{3} + 22297 T^{4} - 2746244 T^{5} + 19742227 T^{6} + 279030254 T^{7} - 5627680131 T^{8} + 12877813351 T^{9} + 654196395397 T^{10} - 7279530828957 T^{11} - 18378815313000 T^{12} + 903638579605150 T^{13} - 4686266333078425 T^{14} - 45483989779337144 T^{15} + 664955042068727826 T^{16} - 703120172262245162 T^{17} - 37009606611950150485 T^{18} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{19} + \)\(15\!\cdots\!25\)\( T^{20} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( p T^{21} - 37009606611950150485 p^{2} T^{22} - 703120172262245162 p^{3} T^{23} + 664955042068727826 p^{4} T^{24} - 45483989779337144 p^{5} T^{25} - 4686266333078425 p^{6} T^{26} + 903638579605150 p^{7} T^{27} - 18378815313000 p^{8} T^{28} - 7279530828957 p^{9} T^{29} + 654196395397 p^{10} T^{30} + 12877813351 p^{11} T^{31} - 5627680131 p^{12} T^{32} + 279030254 p^{13} T^{33} + 19742227 p^{14} T^{34} - 2746244 p^{15} T^{35} + 22297 p^{16} T^{36} + 11118 p^{17} T^{37} - 411 p^{18} T^{38} - 18 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.65603927338598413439359509182, −2.61315807780040320923821548101, −2.59153326446434694038300931785, −2.58557732147066819923288251342, −2.53861530802825477585110396343, −2.33172653434212178784193932903, −2.21690021937030744643466605786, −2.12466176716172386508387338221, −2.07963993833764807950707406998, −2.04278025727522896802144109606, −1.94339944191700799333119690543, −1.86376570139355683522117911285, −1.75557859170816049637735226467, −1.67141666182619588497826258310, −1.51500056393653012721319309376, −1.42272760579172130319010469076, −1.37494473303161638727798214457, −1.29843515128207536141016673227, −1.07503679439944496319618126559, −1.06180329020586573453631212529, −0.996872940391275884506708284584, −0.966239149922050835953435630128, −0.932340204146043758028936901997, −0.72604631377776729993950107887, −0.46841628696141568771114145380, 0.46841628696141568771114145380, 0.72604631377776729993950107887, 0.932340204146043758028936901997, 0.966239149922050835953435630128, 0.996872940391275884506708284584, 1.06180329020586573453631212529, 1.07503679439944496319618126559, 1.29843515128207536141016673227, 1.37494473303161638727798214457, 1.42272760579172130319010469076, 1.51500056393653012721319309376, 1.67141666182619588497826258310, 1.75557859170816049637735226467, 1.86376570139355683522117911285, 1.94339944191700799333119690543, 2.04278025727522896802144109606, 2.07963993833764807950707406998, 2.12466176716172386508387338221, 2.21690021937030744643466605786, 2.33172653434212178784193932903, 2.53861530802825477585110396343, 2.58557732147066819923288251342, 2.59153326446434694038300931785, 2.61315807780040320923821548101, 2.65603927338598413439359509182
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.