Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 2·2-s + 5·3-s − 4·4-s + 18·5-s + 10·6-s + 18·7-s − 10·8-s + 4·9-s + 36·10-s − 20·12-s + 8·13-s + 36·14-s + 90·15-s + 7·16-s − 5·17-s + 8·18-s + 15·19-s − 72·20-s + 90·21-s + 4·23-s − 50·24-s + 171·25-s + 16·26-s − 20·27-s − 72·28-s − 6·29-s + 180·30-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 1.41·2-s + 2.88·3-s − 2·4-s + 8.04·5-s + 4.08·6-s + 6.80·7-s − 3.53·8-s + 4/3·9-s + 11.3·10-s − 5.77·12-s + 2.21·13-s + 9.62·14-s + 23.2·15-s + 7/4·16-s − 1.21·17-s + 1.88·18-s + 3.44·19-s − 16.0·20-s + 19.6·21-s + 0.834·23-s − 10.2·24-s + 34.1·25-s + 3.13·26-s − 3.84·27-s − 13.6·28-s − 1.11·29-s + 32.8·30-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{18} \cdot 7^{18} \cdot 11^{36}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{18} \cdot 7^{18} \cdot 11^{36}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(5^{18} \cdot 7^{18} \cdot 11^{36}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(3.34464\times 10^{27}\) |
| Root analytic conductor: | \(5.81520\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((36,\ 5^{18} \cdot 7^{18} \cdot 11^{36} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(564133.4820\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(564133.4820\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 5 | \( ( 1 - T )^{18} \) |
| 7 | \( ( 1 - T )^{18} \) | |
| 11 | \( 1 \) | |
| good | 2 | \( 1 - p T + p^{3} T^{2} - 7 p T^{3} + 33 T^{4} - 3 p^{4} T^{5} + 45 p T^{6} - 61 p T^{7} + 111 p T^{8} - 39 p^{3} T^{9} + 573 T^{10} - 13 p^{6} T^{11} + 721 p T^{12} - 253 p^{3} T^{13} + 3311 T^{14} - 2291 p T^{15} + 895 p^{3} T^{16} - 2469 p^{2} T^{17} + 1847 p^{3} T^{18} - 2469 p^{3} T^{19} + 895 p^{5} T^{20} - 2291 p^{4} T^{21} + 3311 p^{4} T^{22} - 253 p^{8} T^{23} + 721 p^{7} T^{24} - 13 p^{13} T^{25} + 573 p^{8} T^{26} - 39 p^{12} T^{27} + 111 p^{11} T^{28} - 61 p^{12} T^{29} + 45 p^{13} T^{30} - 3 p^{17} T^{31} + 33 p^{14} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{19} T^{34} - p^{18} T^{35} + p^{18} T^{36} \) |
| 3 | \( 1 - 5 T + 7 p T^{2} - 65 T^{3} + 59 p T^{4} - 134 p T^{5} + 833 T^{6} - 497 p T^{7} + 844 p T^{8} - 3872 T^{9} + 2072 p T^{10} - 9551 T^{11} + 5488 p T^{12} - 25757 T^{13} + 40538 T^{14} - 47866 T^{15} + 17318 p T^{16} - 20749 T^{17} + 22544 T^{18} - 20749 p T^{19} + 17318 p^{3} T^{20} - 47866 p^{3} T^{21} + 40538 p^{4} T^{22} - 25757 p^{5} T^{23} + 5488 p^{7} T^{24} - 9551 p^{7} T^{25} + 2072 p^{9} T^{26} - 3872 p^{9} T^{27} + 844 p^{11} T^{28} - 497 p^{12} T^{29} + 833 p^{12} T^{30} - 134 p^{14} T^{31} + 59 p^{15} T^{32} - 65 p^{15} T^{33} + 7 p^{17} T^{34} - 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 13 | \( 1 - 8 T + 123 T^{2} - 782 T^{3} + 7060 T^{4} - 38583 T^{5} + 265894 T^{6} - 1317912 T^{7} + 7647063 T^{8} - 35407336 T^{9} + 181105317 T^{10} - 792792460 T^{11} + 3664784140 T^{12} - 15217109822 T^{13} + 64605933897 T^{14} - 254373375485 T^{15} + 1003565570684 T^{16} - 3739762783096 T^{17} + 13832174052426 T^{18} - 3739762783096 p T^{19} + 1003565570684 p^{2} T^{20} - 254373375485 p^{3} T^{21} + 64605933897 p^{4} T^{22} - 15217109822 p^{5} T^{23} + 3664784140 p^{6} T^{24} - 792792460 p^{7} T^{25} + 181105317 p^{8} T^{26} - 35407336 p^{9} T^{27} + 7647063 p^{10} T^{28} - 1317912 p^{11} T^{29} + 265894 p^{12} T^{30} - 38583 p^{13} T^{31} + 7060 p^{14} T^{32} - 782 p^{15} T^{33} + 123 p^{16} T^{34} - 8 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 17 | \( 1 + 5 T + 110 T^{2} + 536 T^{3} + 7402 T^{4} + 34299 T^{5} + 358182 T^{6} + 1584228 T^{7} + 13787397 T^{8} + 58024207 T^{9} + 439242426 T^{10} + 1758985333 T^{11} + 11928902885 T^{12} + 45348097128 T^{13} + 280432499271 T^{14} + 1009841267655 T^{15} + 5770755748567 T^{16} + 19606898522617 T^{17} + 104472872794142 T^{18} + 19606898522617 p T^{19} + 5770755748567 p^{2} T^{20} + 1009841267655 p^{3} T^{21} + 280432499271 p^{4} T^{22} + 45348097128 p^{5} T^{23} + 11928902885 p^{6} T^{24} + 1758985333 p^{7} T^{25} + 439242426 p^{8} T^{26} + 58024207 p^{9} T^{27} + 13787397 p^{10} T^{28} + 1584228 p^{11} T^{29} + 358182 p^{12} T^{30} + 34299 p^{13} T^{31} + 7402 p^{14} T^{32} + 536 p^{15} T^{33} + 110 p^{16} T^{34} + 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 19 | \( 1 - 15 T + 245 T^{2} - 2576 T^{3} + 26554 T^{4} - 223921 T^{5} + 1825394 T^{6} - 13167829 T^{7} + 91830359 T^{8} - 587042883 T^{9} + 3637165168 T^{10} - 21050292787 T^{11} + 118379290013 T^{12} - 628731634053 T^{13} + 3251314978382 T^{14} - 15982104194921 T^{15} + 76599183709641 T^{16} - 18430695418991 p T^{17} + 82213231146930 p T^{18} - 18430695418991 p^{2} T^{19} + 76599183709641 p^{2} T^{20} - 15982104194921 p^{3} T^{21} + 3251314978382 p^{4} T^{22} - 628731634053 p^{5} T^{23} + 118379290013 p^{6} T^{24} - 21050292787 p^{7} T^{25} + 3637165168 p^{8} T^{26} - 587042883 p^{9} T^{27} + 91830359 p^{10} T^{28} - 13167829 p^{11} T^{29} + 1825394 p^{12} T^{30} - 223921 p^{13} T^{31} + 26554 p^{14} T^{32} - 2576 p^{15} T^{33} + 245 p^{16} T^{34} - 15 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 - 4 T + 141 T^{2} - 703 T^{3} + 11575 T^{4} - 60864 T^{5} + 703877 T^{6} - 3632421 T^{7} + 34158259 T^{8} - 169290424 T^{9} + 1379519800 T^{10} - 6528514826 T^{11} + 47800709107 T^{12} - 215496561707 T^{13} + 1451829809363 T^{14} - 6229119218014 T^{15} + 39220354622338 T^{16} - 160030542774629 T^{17} + 950787374404358 T^{18} - 160030542774629 p T^{19} + 39220354622338 p^{2} T^{20} - 6229119218014 p^{3} T^{21} + 1451829809363 p^{4} T^{22} - 215496561707 p^{5} T^{23} + 47800709107 p^{6} T^{24} - 6528514826 p^{7} T^{25} + 1379519800 p^{8} T^{26} - 169290424 p^{9} T^{27} + 34158259 p^{10} T^{28} - 3632421 p^{11} T^{29} + 703877 p^{12} T^{30} - 60864 p^{13} T^{31} + 11575 p^{14} T^{32} - 703 p^{15} T^{33} + 141 p^{16} T^{34} - 4 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 29 | \( 1 + 6 T + 330 T^{2} + 1792 T^{3} + 53542 T^{4} + 265475 T^{5} + 5707594 T^{6} + 26013129 T^{7} + 449913354 T^{8} + 1893877863 T^{9} + 27941884289 T^{10} + 108990466857 T^{11} + 1420693410148 T^{12} + 5146447293090 T^{13} + 60603562832417 T^{14} + 204146619681646 T^{15} + 2202736756715969 T^{16} + 6900553302797960 T^{17} + 68809091704890417 T^{18} + 6900553302797960 p T^{19} + 2202736756715969 p^{2} T^{20} + 204146619681646 p^{3} T^{21} + 60603562832417 p^{4} T^{22} + 5146447293090 p^{5} T^{23} + 1420693410148 p^{6} T^{24} + 108990466857 p^{7} T^{25} + 27941884289 p^{8} T^{26} + 1893877863 p^{9} T^{27} + 449913354 p^{10} T^{28} + 26013129 p^{11} T^{29} + 5707594 p^{12} T^{30} + 265475 p^{13} T^{31} + 53542 p^{14} T^{32} + 1792 p^{15} T^{33} + 330 p^{16} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 31 | \( 1 - 22 T + 444 T^{2} - 6175 T^{3} + 79514 T^{4} - 861539 T^{5} + 8778778 T^{6} - 80558703 T^{7} + 703682287 T^{8} - 5714732049 T^{9} + 44536899636 T^{10} - 328095876277 T^{11} + 2331098280525 T^{12} - 15796255029851 T^{13} + 103552062722950 T^{14} - 650608193970319 T^{15} + 3962129618340713 T^{16} - 23185173431878957 T^{17} + 131636610182771424 T^{18} - 23185173431878957 p T^{19} + 3962129618340713 p^{2} T^{20} - 650608193970319 p^{3} T^{21} + 103552062722950 p^{4} T^{22} - 15796255029851 p^{5} T^{23} + 2331098280525 p^{6} T^{24} - 328095876277 p^{7} T^{25} + 44536899636 p^{8} T^{26} - 5714732049 p^{9} T^{27} + 703682287 p^{10} T^{28} - 80558703 p^{11} T^{29} + 8778778 p^{12} T^{30} - 861539 p^{13} T^{31} + 79514 p^{14} T^{32} - 6175 p^{15} T^{33} + 444 p^{16} T^{34} - 22 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 37 | \( 1 - 26 T + 609 T^{2} - 9956 T^{3} + 149403 T^{4} - 1890234 T^{5} + 22386357 T^{6} - 237893166 T^{7} + 2396565499 T^{8} - 22296986322 T^{9} + 198287417184 T^{10} - 1654235818506 T^{11} + 13263793902539 T^{12} - 100688612873326 T^{13} + 737237718775443 T^{14} - 5138362254876442 T^{15} + 34616931259508942 T^{16} - 6017103849593046 p T^{17} + 1385401210530931918 T^{18} - 6017103849593046 p^{2} T^{19} + 34616931259508942 p^{2} T^{20} - 5138362254876442 p^{3} T^{21} + 737237718775443 p^{4} T^{22} - 100688612873326 p^{5} T^{23} + 13263793902539 p^{6} T^{24} - 1654235818506 p^{7} T^{25} + 198287417184 p^{8} T^{26} - 22296986322 p^{9} T^{27} + 2396565499 p^{10} T^{28} - 237893166 p^{11} T^{29} + 22386357 p^{12} T^{30} - 1890234 p^{13} T^{31} + 149403 p^{14} T^{32} - 9956 p^{15} T^{33} + 609 p^{16} T^{34} - 26 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 41 | \( 1 - 7 T + 280 T^{2} - 1431 T^{3} + 39106 T^{4} - 137220 T^{5} + 3743510 T^{6} - 8191720 T^{7} + 285225375 T^{8} - 313532144 T^{9} + 18683014876 T^{10} - 5162199216 T^{11} + 1092176996573 T^{12} + 267672712144 T^{13} + 57851901440138 T^{14} + 29281911951612 T^{15} + 2774263414926065 T^{16} + 1638262231222054 T^{17} + 119891998360740952 T^{18} + 1638262231222054 p T^{19} + 2774263414926065 p^{2} T^{20} + 29281911951612 p^{3} T^{21} + 57851901440138 p^{4} T^{22} + 267672712144 p^{5} T^{23} + 1092176996573 p^{6} T^{24} - 5162199216 p^{7} T^{25} + 18683014876 p^{8} T^{26} - 313532144 p^{9} T^{27} + 285225375 p^{10} T^{28} - 8191720 p^{11} T^{29} + 3743510 p^{12} T^{30} - 137220 p^{13} T^{31} + 39106 p^{14} T^{32} - 1431 p^{15} T^{33} + 280 p^{16} T^{34} - 7 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 43 | \( 1 - 10 T + 491 T^{2} - 3910 T^{3} + 111451 T^{4} - 720276 T^{5} + 15883709 T^{6} - 83192436 T^{7} + 1617282229 T^{8} - 6707672774 T^{9} + 126510739776 T^{10} - 394801663846 T^{11} + 7998683591421 T^{12} - 17210918710240 T^{13} + 427976708305195 T^{14} - 566718426891568 T^{15} + 20347304363892690 T^{16} - 16622719074047948 T^{17} + 898894024719364666 T^{18} - 16622719074047948 p T^{19} + 20347304363892690 p^{2} T^{20} - 566718426891568 p^{3} T^{21} + 427976708305195 p^{4} T^{22} - 17210918710240 p^{5} T^{23} + 7998683591421 p^{6} T^{24} - 394801663846 p^{7} T^{25} + 126510739776 p^{8} T^{26} - 6707672774 p^{9} T^{27} + 1617282229 p^{10} T^{28} - 83192436 p^{11} T^{29} + 15883709 p^{12} T^{30} - 720276 p^{13} T^{31} + 111451 p^{14} T^{32} - 3910 p^{15} T^{33} + 491 p^{16} T^{34} - 10 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 47 | \( 1 + T + 10 p T^{2} + 1286 T^{3} + 109324 T^{4} + 460179 T^{5} + 17164338 T^{6} + 90775400 T^{7} + 2061510743 T^{8} + 12223946081 T^{9} + 200830398268 T^{10} + 1243264807109 T^{11} + 16337430218231 T^{12} + 100816390160240 T^{13} + 1127220851019443 T^{14} + 6720705140283079 T^{15} + 66521816962383689 T^{16} + 374709058825680765 T^{17} + 3371600537296378362 T^{18} + 374709058825680765 p T^{19} + 66521816962383689 p^{2} T^{20} + 6720705140283079 p^{3} T^{21} + 1127220851019443 p^{4} T^{22} + 100816390160240 p^{5} T^{23} + 16337430218231 p^{6} T^{24} + 1243264807109 p^{7} T^{25} + 200830398268 p^{8} T^{26} + 12223946081 p^{9} T^{27} + 2061510743 p^{10} T^{28} + 90775400 p^{11} T^{29} + 17164338 p^{12} T^{30} + 460179 p^{13} T^{31} + 109324 p^{14} T^{32} + 1286 p^{15} T^{33} + 10 p^{17} T^{34} + p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 53 | \( 1 - 23 T + 14 p T^{2} - 12719 T^{3} + 249294 T^{4} - 3507636 T^{5} + 52961948 T^{6} - 643063061 T^{7} + 8152664740 T^{8} - 87900800085 T^{9} + 975709493430 T^{10} - 9503384829077 T^{11} + 94539802607430 T^{12} - 840688966679741 T^{13} + 7600268220258316 T^{14} - 62098060543911606 T^{15} + 514492245392459815 T^{16} - 3875036779954564256 T^{17} + 29560819891281990840 T^{18} - 3875036779954564256 p T^{19} + 514492245392459815 p^{2} T^{20} - 62098060543911606 p^{3} T^{21} + 7600268220258316 p^{4} T^{22} - 840688966679741 p^{5} T^{23} + 94539802607430 p^{6} T^{24} - 9503384829077 p^{7} T^{25} + 975709493430 p^{8} T^{26} - 87900800085 p^{9} T^{27} + 8152664740 p^{10} T^{28} - 643063061 p^{11} T^{29} + 52961948 p^{12} T^{30} - 3507636 p^{13} T^{31} + 249294 p^{14} T^{32} - 12719 p^{15} T^{33} + 14 p^{17} T^{34} - 23 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 59 | \( 1 - 30 T + 902 T^{2} - 16881 T^{3} + 314626 T^{4} - 4576229 T^{5} + 66905834 T^{6} - 826536849 T^{7} + 10321304311 T^{8} - 113054386451 T^{9} + 1255337547644 T^{10} - 12475813889747 T^{11} + 125877376157117 T^{12} - 1150244557973321 T^{13} + 10682323167161622 T^{14} - 90484610192802837 T^{15} + 779493853625107217 T^{16} - 104196230087653625 p T^{17} + 835985689749761268 p T^{18} - 104196230087653625 p^{2} T^{19} + 779493853625107217 p^{2} T^{20} - 90484610192802837 p^{3} T^{21} + 10682323167161622 p^{4} T^{22} - 1150244557973321 p^{5} T^{23} + 125877376157117 p^{6} T^{24} - 12475813889747 p^{7} T^{25} + 1255337547644 p^{8} T^{26} - 113054386451 p^{9} T^{27} + 10321304311 p^{10} T^{28} - 826536849 p^{11} T^{29} + 66905834 p^{12} T^{30} - 4576229 p^{13} T^{31} + 314626 p^{14} T^{32} - 16881 p^{15} T^{33} + 902 p^{16} T^{34} - 30 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 61 | \( 1 - 17 T + 787 T^{2} - 10682 T^{3} + 284008 T^{4} - 3240497 T^{5} + 64458510 T^{6} - 638805163 T^{7} + 10543535961 T^{8} - 92916326539 T^{9} + 1343615217472 T^{10} - 10720732861413 T^{11} + 140145807545587 T^{12} - 1026132971691733 T^{13} + 12339625969070834 T^{14} - 83642967361601831 T^{15} + 933204975611952899 T^{16} - 5883374797065464953 T^{17} + 61108393403119829722 T^{18} - 5883374797065464953 p T^{19} + 933204975611952899 p^{2} T^{20} - 83642967361601831 p^{3} T^{21} + 12339625969070834 p^{4} T^{22} - 1026132971691733 p^{5} T^{23} + 140145807545587 p^{6} T^{24} - 10720732861413 p^{7} T^{25} + 1343615217472 p^{8} T^{26} - 92916326539 p^{9} T^{27} + 10543535961 p^{10} T^{28} - 638805163 p^{11} T^{29} + 64458510 p^{12} T^{30} - 3240497 p^{13} T^{31} + 284008 p^{14} T^{32} - 10682 p^{15} T^{33} + 787 p^{16} T^{34} - 17 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 67 | \( 1 - 29 T + 1071 T^{2} - 21588 T^{3} + 470769 T^{4} - 7367202 T^{5} + 119747881 T^{6} - 1535045160 T^{7} + 20250316367 T^{8} - 218960242753 T^{9} + 2449945897768 T^{10} - 22732270339925 T^{11} + 222544887170019 T^{12} - 1797146172483624 T^{13} + 15961128856613903 T^{14} - 115363959991524378 T^{15} + 990687523752732764 T^{16} - 6896136108173540959 T^{17} + 62488864940747915650 T^{18} - 6896136108173540959 p T^{19} + 990687523752732764 p^{2} T^{20} - 115363959991524378 p^{3} T^{21} + 15961128856613903 p^{4} T^{22} - 1797146172483624 p^{5} T^{23} + 222544887170019 p^{6} T^{24} - 22732270339925 p^{7} T^{25} + 2449945897768 p^{8} T^{26} - 218960242753 p^{9} T^{27} + 20250316367 p^{10} T^{28} - 1535045160 p^{11} T^{29} + 119747881 p^{12} T^{30} - 7367202 p^{13} T^{31} + 470769 p^{14} T^{32} - 21588 p^{15} T^{33} + 1071 p^{16} T^{34} - 29 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 + 2 T + 623 T^{2} + 1439 T^{3} + 199998 T^{4} + 460513 T^{5} + 43593243 T^{6} + 93092758 T^{7} + 7199899754 T^{8} + 13562759053 T^{9} + 957632724752 T^{10} + 1530638562926 T^{11} + 106699882956590 T^{12} + 141369229103390 T^{13} + 10242625294490440 T^{14} + 11295275687668455 T^{15} + 864260250806668775 T^{16} + 830688956634751815 T^{17} + 64903877880230740175 T^{18} + 830688956634751815 p T^{19} + 864260250806668775 p^{2} T^{20} + 11295275687668455 p^{3} T^{21} + 10242625294490440 p^{4} T^{22} + 141369229103390 p^{5} T^{23} + 106699882956590 p^{6} T^{24} + 1530638562926 p^{7} T^{25} + 957632724752 p^{8} T^{26} + 13562759053 p^{9} T^{27} + 7199899754 p^{10} T^{28} + 93092758 p^{11} T^{29} + 43593243 p^{12} T^{30} + 460513 p^{13} T^{31} + 199998 p^{14} T^{32} + 1439 p^{15} T^{33} + 623 p^{16} T^{34} + 2 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 - 3 T + 593 T^{2} + 112 T^{3} + 169616 T^{4} + 533600 T^{5} + 33042888 T^{6} + 183831663 T^{7} + 5140032668 T^{8} + 36122742263 T^{9} + 682737269018 T^{10} + 5159211848978 T^{11} + 78610290694802 T^{12} + 593924376893336 T^{13} + 7869139000916941 T^{14} + 57838807809806857 T^{15} + 690058787187327389 T^{16} + 4860326296625314226 T^{17} + 53482891360750319112 T^{18} + 4860326296625314226 p T^{19} + 690058787187327389 p^{2} T^{20} + 57838807809806857 p^{3} T^{21} + 7869139000916941 p^{4} T^{22} + 593924376893336 p^{5} T^{23} + 78610290694802 p^{6} T^{24} + 5159211848978 p^{7} T^{25} + 682737269018 p^{8} T^{26} + 36122742263 p^{9} T^{27} + 5140032668 p^{10} T^{28} + 183831663 p^{11} T^{29} + 33042888 p^{12} T^{30} + 533600 p^{13} T^{31} + 169616 p^{14} T^{32} + 112 p^{15} T^{33} + 593 p^{16} T^{34} - 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 79 | \( 1 + 18 T + 876 T^{2} + 11904 T^{3} + 342026 T^{4} + 47263 p T^{5} + 1064796 p T^{6} + 774479825 T^{7} + 15373897810 T^{8} + 123931576793 T^{9} + 2280225504035 T^{10} + 16464043761053 T^{11} + 285993544002828 T^{12} + 1876165614858178 T^{13} + 31010696886630583 T^{14} + 187416685948687662 T^{15} + 2950867571780005377 T^{16} + 16629478563143135848 T^{17} + \)\(24\!\cdots\!69\)\( T^{18} + 16629478563143135848 p T^{19} + 2950867571780005377 p^{2} T^{20} + 187416685948687662 p^{3} T^{21} + 31010696886630583 p^{4} T^{22} + 1876165614858178 p^{5} T^{23} + 285993544002828 p^{6} T^{24} + 16464043761053 p^{7} T^{25} + 2280225504035 p^{8} T^{26} + 123931576793 p^{9} T^{27} + 15373897810 p^{10} T^{28} + 774479825 p^{11} T^{29} + 1064796 p^{13} T^{30} + 47263 p^{14} T^{31} + 342026 p^{14} T^{32} + 11904 p^{15} T^{33} + 876 p^{16} T^{34} + 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 83 | \( 1 - 9 T + 713 T^{2} - 5262 T^{3} + 256306 T^{4} - 1657952 T^{5} + 63043772 T^{6} - 375438229 T^{7} + 11946784424 T^{8} - 67698186807 T^{9} + 1851043934718 T^{10} - 10168262094342 T^{11} + 242765599220200 T^{12} - 1300523343252750 T^{13} + 27551272584582429 T^{14} - 143307503689815115 T^{15} + 2744321488883859589 T^{16} - 13687853305942334294 T^{17} + \)\(24\!\cdots\!44\)\( T^{18} - 13687853305942334294 p T^{19} + 2744321488883859589 p^{2} T^{20} - 143307503689815115 p^{3} T^{21} + 27551272584582429 p^{4} T^{22} - 1300523343252750 p^{5} T^{23} + 242765599220200 p^{6} T^{24} - 10168262094342 p^{7} T^{25} + 1851043934718 p^{8} T^{26} - 67698186807 p^{9} T^{27} + 11946784424 p^{10} T^{28} - 375438229 p^{11} T^{29} + 63043772 p^{12} T^{30} - 1657952 p^{13} T^{31} + 256306 p^{14} T^{32} - 5262 p^{15} T^{33} + 713 p^{16} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 89 | \( 1 - 59 T + 2338 T^{2} - 67177 T^{3} + 1611182 T^{4} - 32948264 T^{5} + 6782766 p T^{6} - 9999885624 T^{7} + 153567366419 T^{8} - 2194666857686 T^{9} + 29628112237060 T^{10} - 378272437176650 T^{11} + 4613026939689305 T^{12} - 53705653000303640 T^{13} + 601028940972258338 T^{14} - 6454071866440863240 T^{15} + 66832994891420791477 T^{16} - \)\(66\!\cdots\!92\)\( T^{17} + \)\(64\!\cdots\!52\)\( T^{18} - \)\(66\!\cdots\!92\)\( p T^{19} + 66832994891420791477 p^{2} T^{20} - 6454071866440863240 p^{3} T^{21} + 601028940972258338 p^{4} T^{22} - 53705653000303640 p^{5} T^{23} + 4613026939689305 p^{6} T^{24} - 378272437176650 p^{7} T^{25} + 29628112237060 p^{8} T^{26} - 2194666857686 p^{9} T^{27} + 153567366419 p^{10} T^{28} - 9999885624 p^{11} T^{29} + 6782766 p^{13} T^{30} - 32948264 p^{13} T^{31} + 1611182 p^{14} T^{32} - 67177 p^{15} T^{33} + 2338 p^{16} T^{34} - 59 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 - 30 T + 1327 T^{2} - 31535 T^{3} + 846647 T^{4} - 16792919 T^{5} + 347120780 T^{6} - 5954136361 T^{7} + 103114612590 T^{8} - 1565237992000 T^{9} + 23654339612467 T^{10} - 322651729427128 T^{11} + 4352415003664450 T^{12} - 53888393698531813 T^{13} + 657681232936250488 T^{14} - 7438537946503992475 T^{15} + 82800200525486127960 T^{16} - \)\(85\!\cdots\!67\)\( T^{17} + \)\(87\!\cdots\!64\)\( T^{18} - \)\(85\!\cdots\!67\)\( p T^{19} + 82800200525486127960 p^{2} T^{20} - 7438537946503992475 p^{3} T^{21} + 657681232936250488 p^{4} T^{22} - 53888393698531813 p^{5} T^{23} + 4352415003664450 p^{6} T^{24} - 322651729427128 p^{7} T^{25} + 23654339612467 p^{8} T^{26} - 1565237992000 p^{9} T^{27} + 103114612590 p^{10} T^{28} - 5954136361 p^{11} T^{29} + 347120780 p^{12} T^{30} - 16792919 p^{13} T^{31} + 846647 p^{14} T^{32} - 31535 p^{15} T^{33} + 1327 p^{16} T^{34} - 30 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.85717868339189494877261707843, −1.85434688591897822043866130696, −1.77659607682595808337630705541, −1.77527845131778071284685655818, −1.72786761048311506373812458458, −1.52775282859709924726491671628, −1.52170552075762396741980479487, −1.48518035223135150939285909419, −1.31660298444131175969974881313, −1.31377094184468501945433415655, −1.30300385133121303008501504269, −1.12218096253034625589997477204, −1.11986392696559769889080944164, −1.10010769324377596596671861121, −0.912389240987358381164749601030, −0.875945812188133270186667545354, −0.806425915102612975521116808585, −0.802497011457203458809216403516, −0.800463899913976810419887841736, −0.69121660609287113275004265000, −0.63193696216529530188224940792, −0.59753465757336858448106817332, −0.57455914434712772116560426897, −0.47711291818591927787061026580, −0.39109897555852846520368687803, 0.39109897555852846520368687803, 0.47711291818591927787061026580, 0.57455914434712772116560426897, 0.59753465757336858448106817332, 0.63193696216529530188224940792, 0.69121660609287113275004265000, 0.800463899913976810419887841736, 0.802497011457203458809216403516, 0.806425915102612975521116808585, 0.875945812188133270186667545354, 0.912389240987358381164749601030, 1.10010769324377596596671861121, 1.11986392696559769889080944164, 1.12218096253034625589997477204, 1.30300385133121303008501504269, 1.31377094184468501945433415655, 1.31660298444131175969974881313, 1.48518035223135150939285909419, 1.52170552075762396741980479487, 1.52775282859709924726491671628, 1.72786761048311506373812458458, 1.77527845131778071284685655818, 1.77659607682595808337630705541, 1.85434688591897822043866130696, 1.85717868339189494877261707843
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.