# Properties

 Degree 12 Conductor $2^{6} \cdot 5^{6} \cdot 13^{6} \cdot 31^{6}$ Sign $1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 6

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 6·2-s − 3·3-s + 21·4-s − 6·5-s − 18·6-s − 2·7-s + 56·8-s − 5·9-s − 36·10-s − 4·11-s − 63·12-s + 6·13-s − 12·14-s + 18·15-s + 126·16-s − 8·17-s − 30·18-s − 9·19-s − 126·20-s + 6·21-s − 24·22-s − 7·23-s − 168·24-s + 21·25-s + 36·26-s + 30·27-s − 42·28-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 4.24·2-s − 1.73·3-s + 21/2·4-s − 2.68·5-s − 7.34·6-s − 0.755·7-s + 19.7·8-s − 5/3·9-s − 11.3·10-s − 1.20·11-s − 18.1·12-s + 1.66·13-s − 3.20·14-s + 4.64·15-s + 63/2·16-s − 1.94·17-s − 7.07·18-s − 2.06·19-s − 28.1·20-s + 1.30·21-s − 5.11·22-s − 1.45·23-s − 34.2·24-s + 21/5·25-s + 7.06·26-s + 5.77·27-s − 7.93·28-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{6} \cdot 5^{6} \cdot 13^{6} \cdot 31^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{6} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned}
\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{6} \cdot 5^{6} \cdot 13^{6} \cdot 31^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{6} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$12$$ $$N$$ = $$2^{6} \cdot 5^{6} \cdot 13^{6} \cdot 31^{6}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{4030} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = 6 Selberg data = $(12,\ 2^{6} \cdot 5^{6} \cdot 13^{6} \cdot 31^{6} ,\ ( \ : [1/2]^{6} ),\ 1 )$ $L(1)$ $=$ $0$ $L(\frac12)$ $=$ $0$ $L(\frac{3}{2})$ not available $L(1)$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$ where, for $p \notin \{2,\;5,\;13,\;31\}$, $$F_p$$ is a polynomial of degree 12. If $p \in \{2,\;5,\;13,\;31\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 11.
$p$$F_p$
bad2 $$( 1 - T )^{6}$$
5 $$( 1 + T )^{6}$$
13 $$( 1 - T )^{6}$$
31 $$( 1 + T )^{6}$$
good3 $$1 + p T + 14 T^{2} + p^{3} T^{3} + 25 p T^{4} + 110 T^{5} + 253 T^{6} + 110 p T^{7} + 25 p^{3} T^{8} + p^{6} T^{9} + 14 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
7 $$1 + 2 T + 30 T^{2} + 46 T^{3} + 415 T^{4} + 75 p T^{5} + 73 p^{2} T^{6} + 75 p^{2} T^{7} + 415 p^{2} T^{8} + 46 p^{3} T^{9} + 30 p^{4} T^{10} + 2 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
11 $$1 + 4 T + 37 T^{2} + 100 T^{3} + 697 T^{4} + 1796 T^{5} + 9721 T^{6} + 1796 p T^{7} + 697 p^{2} T^{8} + 100 p^{3} T^{9} + 37 p^{4} T^{10} + 4 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
17 $$1 + 8 T + 93 T^{2} + 598 T^{3} + 3836 T^{4} + 19017 T^{5} + 86373 T^{6} + 19017 p T^{7} + 3836 p^{2} T^{8} + 598 p^{3} T^{9} + 93 p^{4} T^{10} + 8 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
19 $$1 + 9 T + 101 T^{2} + 701 T^{3} + 4572 T^{4} + 24246 T^{5} + 113969 T^{6} + 24246 p T^{7} + 4572 p^{2} T^{8} + 701 p^{3} T^{9} + 101 p^{4} T^{10} + 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
23 $$1 + 7 T + 100 T^{2} + 495 T^{3} + 4146 T^{4} + 16185 T^{5} + 109519 T^{6} + 16185 p T^{7} + 4146 p^{2} T^{8} + 495 p^{3} T^{9} + 100 p^{4} T^{10} + 7 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
29 $$1 + 14 T + 149 T^{2} + 1306 T^{3} + 9448 T^{4} + 60477 T^{5} + 353623 T^{6} + 60477 p T^{7} + 9448 p^{2} T^{8} + 1306 p^{3} T^{9} + 149 p^{4} T^{10} + 14 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
37 $$1 + 125 T^{2} - 150 T^{3} + 8475 T^{4} - 10142 T^{5} + 389027 T^{6} - 10142 p T^{7} + 8475 p^{2} T^{8} - 150 p^{3} T^{9} + 125 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{12}$$
41 $$1 - 2 T + 183 T^{2} - 297 T^{3} + 15795 T^{4} - 21384 T^{5} + 816245 T^{6} - 21384 p T^{7} + 15795 p^{2} T^{8} - 297 p^{3} T^{9} + 183 p^{4} T^{10} - 2 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
43 $$1 + 7 T + 73 T^{2} + 227 T^{3} - 640 T^{4} - 17942 T^{5} - 154993 T^{6} - 17942 p T^{7} - 640 p^{2} T^{8} + 227 p^{3} T^{9} + 73 p^{4} T^{10} + 7 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
47 $$1 + 8 T + 240 T^{2} + 1462 T^{3} + 25055 T^{4} + 120015 T^{5} + 1501985 T^{6} + 120015 p T^{7} + 25055 p^{2} T^{8} + 1462 p^{3} T^{9} + 240 p^{4} T^{10} + 8 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
53 $$1 + 24 T + 385 T^{2} + 4565 T^{3} + 47881 T^{4} + 425376 T^{5} + 3362047 T^{6} + 425376 p T^{7} + 47881 p^{2} T^{8} + 4565 p^{3} T^{9} + 385 p^{4} T^{10} + 24 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
59 $$1 + 5 T + 182 T^{2} + 1283 T^{3} + 18686 T^{4} + 123043 T^{5} + 1356483 T^{6} + 123043 p T^{7} + 18686 p^{2} T^{8} + 1283 p^{3} T^{9} + 182 p^{4} T^{10} + 5 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
61 $$1 + 5 T + 273 T^{2} + 1441 T^{3} + 34337 T^{4} + 171791 T^{5} + 2610283 T^{6} + 171791 p T^{7} + 34337 p^{2} T^{8} + 1441 p^{3} T^{9} + 273 p^{4} T^{10} + 5 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
67 $$1 + 12 T + 188 T^{2} + 1692 T^{3} + 19871 T^{4} + 183775 T^{5} + 1664727 T^{6} + 183775 p T^{7} + 19871 p^{2} T^{8} + 1692 p^{3} T^{9} + 188 p^{4} T^{10} + 12 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
71 $$1 + 10 T + 237 T^{2} + 2002 T^{3} + 21842 T^{4} + 184106 T^{5} + 1433293 T^{6} + 184106 p T^{7} + 21842 p^{2} T^{8} + 2002 p^{3} T^{9} + 237 p^{4} T^{10} + 10 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
73 $$1 - 5 T + 157 T^{2} - 1015 T^{3} + 12753 T^{4} - 58937 T^{5} + 980785 T^{6} - 58937 p T^{7} + 12753 p^{2} T^{8} - 1015 p^{3} T^{9} + 157 p^{4} T^{10} - 5 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
79 $$1 + 16 T + 447 T^{2} + 4786 T^{3} + 77837 T^{4} + 629628 T^{5} + 7714993 T^{6} + 629628 p T^{7} + 77837 p^{2} T^{8} + 4786 p^{3} T^{9} + 447 p^{4} T^{10} + 16 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
83 $$1 + 22 T + 426 T^{2} + 6128 T^{3} + 74797 T^{4} + 776717 T^{5} + 7689041 T^{6} + 776717 p T^{7} + 74797 p^{2} T^{8} + 6128 p^{3} T^{9} + 426 p^{4} T^{10} + 22 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
89 $$1 - 14 T + 391 T^{2} - 4028 T^{3} + 71112 T^{4} - 592655 T^{5} + 7892149 T^{6} - 592655 p T^{7} + 71112 p^{2} T^{8} - 4028 p^{3} T^{9} + 391 p^{4} T^{10} - 14 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
97 $$1 + 9 T + 356 T^{2} + 2520 T^{3} + 61232 T^{4} + 351767 T^{5} + 6986163 T^{6} + 351767 p T^{7} + 61232 p^{2} T^{8} + 2520 p^{3} T^{9} + 356 p^{4} T^{10} + 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{12} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}