Properties

Degree 64
Conductor $ 3^{32} \cdot 17^{32} \cdot 79^{32} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 0

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 2-s − 32·3-s − 11·4-s − 5-s + 32·6-s + 4·7-s + 11·8-s + 528·9-s + 10-s + 8·11-s + 352·12-s + 17·13-s − 4·14-s + 32·15-s + 54·16-s − 32·17-s − 528·18-s + 48·19-s + 11·20-s − 128·21-s − 8·22-s − 19·23-s − 352·24-s − 48·25-s − 17·26-s − 5.98e3·27-s − 44·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 0.707·2-s − 18.4·3-s − 5.5·4-s − 0.447·5-s + 13.0·6-s + 1.51·7-s + 3.88·8-s + 176·9-s + 0.316·10-s + 2.41·11-s + 101.·12-s + 4.71·13-s − 1.06·14-s + 8.26·15-s + 27/2·16-s − 7.76·17-s − 124.·18-s + 11.0·19-s + 2.45·20-s − 27.9·21-s − 1.70·22-s − 3.96·23-s − 71.8·24-s − 9.59·25-s − 3.33·26-s − 1.15e3·27-s − 8.31·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{32} \cdot 17^{32} \cdot 79^{32}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{32} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{32} \cdot 17^{32} \cdot 79^{32}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{32} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

\( d \)  =  \(64\)
\( N \)  =  \(3^{32} \cdot 17^{32} \cdot 79^{32}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{4029} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  0
Selberg data  =  $(64,\ 3^{32} \cdot 17^{32} \cdot 79^{32} ,\ ( \ : [1/2]^{32} ),\ 1 )$
$L(1)$  $\approx$  $0.002460820029$
$L(\frac12)$  $\approx$  $0.002460820029$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \]where, for $p \notin \{3,\;17,\;79\}$,\(F_p(T)\) is a polynomial of degree 64. If $p \in \{3,\;17,\;79\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 63.
$p$$F_p(T)$
bad3 \( ( 1 + T )^{32} \)
17 \( ( 1 + T )^{32} \)
79 \( ( 1 - T )^{32} \)
good2 \( 1 + T + 3 p^{2} T^{2} + 3 p^{2} T^{3} + 79 T^{4} + 75 T^{5} + 371 T^{6} + 331 T^{7} + 175 p^{3} T^{8} + 1185 T^{9} + 573 p^{3} T^{10} + 3747 T^{11} + 13653 T^{12} + 2747 p^{2} T^{13} + 18995 p T^{14} + 15259 p T^{15} + 100125 T^{16} + 81011 T^{17} + 125973 p T^{18} + 103251 p T^{19} + 38029 p^{4} T^{20} + 31651 p^{4} T^{21} + 1415227 T^{22} + 298849 p^{2} T^{23} + 1590795 p T^{24} + 679961 p^{2} T^{25} + 3470509 p T^{26} + 2989477 p T^{27} + 3685919 p^{2} T^{28} + 3181083 p^{2} T^{29} + 59675 p^{9} T^{30} + 3280527 p^{3} T^{31} + 1932125 p^{5} T^{32} + 3280527 p^{4} T^{33} + 59675 p^{11} T^{34} + 3181083 p^{5} T^{35} + 3685919 p^{6} T^{36} + 2989477 p^{6} T^{37} + 3470509 p^{7} T^{38} + 679961 p^{9} T^{39} + 1590795 p^{9} T^{40} + 298849 p^{11} T^{41} + 1415227 p^{10} T^{42} + 31651 p^{15} T^{43} + 38029 p^{16} T^{44} + 103251 p^{14} T^{45} + 125973 p^{15} T^{46} + 81011 p^{15} T^{47} + 100125 p^{16} T^{48} + 15259 p^{18} T^{49} + 18995 p^{19} T^{50} + 2747 p^{21} T^{51} + 13653 p^{20} T^{52} + 3747 p^{21} T^{53} + 573 p^{25} T^{54} + 1185 p^{23} T^{55} + 175 p^{27} T^{56} + 331 p^{25} T^{57} + 371 p^{26} T^{58} + 75 p^{27} T^{59} + 79 p^{28} T^{60} + 3 p^{31} T^{61} + 3 p^{32} T^{62} + p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
5 \( 1 + T + 49 T^{2} + 48 T^{3} + 1249 T^{4} + 9 p^{3} T^{5} + 21889 T^{6} + 17404 T^{7} + 295326 T^{8} + 40342 p T^{9} + 653336 p T^{10} + 1893864 T^{11} + 30845926 T^{12} + 15351979 T^{13} + 255597966 T^{14} + 114021406 T^{15} + 1893895599 T^{16} + 815927454 T^{17} + 508278631 p^{2} T^{18} + 5782593961 T^{19} + 77873905122 T^{20} + 8119874666 p T^{21} + 17569828304 p^{2} T^{22} + 278056019903 T^{23} + 2302402534672 T^{24} + 1825566008104 T^{25} + 11386427811116 T^{26} + 2266417443822 p T^{27} + 54396780722991 T^{28} + 65836058558166 T^{29} + 259106322624514 T^{30} + 355487055833827 T^{31} + 1269069973161546 T^{32} + 355487055833827 p T^{33} + 259106322624514 p^{2} T^{34} + 65836058558166 p^{3} T^{35} + 54396780722991 p^{4} T^{36} + 2266417443822 p^{6} T^{37} + 11386427811116 p^{6} T^{38} + 1825566008104 p^{7} T^{39} + 2302402534672 p^{8} T^{40} + 278056019903 p^{9} T^{41} + 17569828304 p^{12} T^{42} + 8119874666 p^{12} T^{43} + 77873905122 p^{12} T^{44} + 5782593961 p^{13} T^{45} + 508278631 p^{16} T^{46} + 815927454 p^{15} T^{47} + 1893895599 p^{16} T^{48} + 114021406 p^{17} T^{49} + 255597966 p^{18} T^{50} + 15351979 p^{19} T^{51} + 30845926 p^{20} T^{52} + 1893864 p^{21} T^{53} + 653336 p^{23} T^{54} + 40342 p^{24} T^{55} + 295326 p^{24} T^{56} + 17404 p^{25} T^{57} + 21889 p^{26} T^{58} + 9 p^{30} T^{59} + 1249 p^{28} T^{60} + 48 p^{29} T^{61} + 49 p^{30} T^{62} + p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
7 \( 1 - 4 T + 76 T^{2} - 316 T^{3} + 438 p T^{4} - 12655 T^{5} + 86663 T^{6} - 347295 T^{7} + 1913923 T^{8} - 1056147 p T^{9} + 35076047 T^{10} - 2662420 p^{2} T^{11} + 79219457 p T^{12} - 1987481659 T^{13} + 7764135411 T^{14} - 26846589566 T^{15} + 98045983936 T^{16} - 327424820930 T^{17} + 1131265367689 T^{18} - 3652045690556 T^{19} + 12038656186348 T^{20} - 37603110723068 T^{21} + 118986647039429 T^{22} - 1049285206852 p^{3} T^{23} + 1097947907219475 T^{24} - 3218538357864940 T^{25} + 9494718583612665 T^{26} - 26993037446211393 T^{27} + 11022388260795253 p T^{28} - 212857089720343407 T^{29} + 590260462730204564 T^{30} - 1580814543488738374 T^{31} + 4255482052660346258 T^{32} - 1580814543488738374 p T^{33} + 590260462730204564 p^{2} T^{34} - 212857089720343407 p^{3} T^{35} + 11022388260795253 p^{5} T^{36} - 26993037446211393 p^{5} T^{37} + 9494718583612665 p^{6} T^{38} - 3218538357864940 p^{7} T^{39} + 1097947907219475 p^{8} T^{40} - 1049285206852 p^{12} T^{41} + 118986647039429 p^{10} T^{42} - 37603110723068 p^{11} T^{43} + 12038656186348 p^{12} T^{44} - 3652045690556 p^{13} T^{45} + 1131265367689 p^{14} T^{46} - 327424820930 p^{15} T^{47} + 98045983936 p^{16} T^{48} - 26846589566 p^{17} T^{49} + 7764135411 p^{18} T^{50} - 1987481659 p^{19} T^{51} + 79219457 p^{21} T^{52} - 2662420 p^{23} T^{53} + 35076047 p^{22} T^{54} - 1056147 p^{24} T^{55} + 1913923 p^{24} T^{56} - 347295 p^{25} T^{57} + 86663 p^{26} T^{58} - 12655 p^{27} T^{59} + 438 p^{29} T^{60} - 316 p^{29} T^{61} + 76 p^{30} T^{62} - 4 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
11 \( 1 - 8 T + 156 T^{2} - 1149 T^{3} + 1135 p T^{4} - 84379 T^{5} + 680689 T^{6} - 384309 p T^{7} + 28338416 T^{8} - 162573550 T^{9} + 958391254 T^{10} - 5115390738 T^{11} + 2489104182 p T^{12} - 136981827896 T^{13} + 678891177970 T^{14} - 3205080715104 T^{15} + 123139510115 p^{2} T^{16} - 66758148989919 T^{17} + 293751808086778 T^{18} - 114086132295507 p T^{19} + 478268355616244 p T^{20} - 21513090505788615 T^{21} + 86333749396653536 T^{22} - 338969353371226275 T^{23} + 1306807373000051876 T^{24} - 4938504681807348720 T^{25} + 18337625371012450649 T^{26} - 66825293686801289340 T^{27} + \)\(23\!\cdots\!85\)\( T^{28} - \)\(84\!\cdots\!86\)\( T^{29} + \)\(29\!\cdots\!52\)\( T^{30} - \)\(99\!\cdots\!55\)\( T^{31} + \)\(33\!\cdots\!40\)\( T^{32} - \)\(99\!\cdots\!55\)\( p T^{33} + \)\(29\!\cdots\!52\)\( p^{2} T^{34} - \)\(84\!\cdots\!86\)\( p^{3} T^{35} + \)\(23\!\cdots\!85\)\( p^{4} T^{36} - 66825293686801289340 p^{5} T^{37} + 18337625371012450649 p^{6} T^{38} - 4938504681807348720 p^{7} T^{39} + 1306807373000051876 p^{8} T^{40} - 338969353371226275 p^{9} T^{41} + 86333749396653536 p^{10} T^{42} - 21513090505788615 p^{11} T^{43} + 478268355616244 p^{13} T^{44} - 114086132295507 p^{14} T^{45} + 293751808086778 p^{14} T^{46} - 66758148989919 p^{15} T^{47} + 123139510115 p^{18} T^{48} - 3205080715104 p^{17} T^{49} + 678891177970 p^{18} T^{50} - 136981827896 p^{19} T^{51} + 2489104182 p^{21} T^{52} - 5115390738 p^{21} T^{53} + 958391254 p^{22} T^{54} - 162573550 p^{23} T^{55} + 28338416 p^{24} T^{56} - 384309 p^{26} T^{57} + 680689 p^{26} T^{58} - 84379 p^{27} T^{59} + 1135 p^{29} T^{60} - 1149 p^{29} T^{61} + 156 p^{30} T^{62} - 8 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
13 \( 1 - 17 T + 296 T^{2} - 3359 T^{3} + 36626 T^{4} - 328134 T^{5} + 2809216 T^{6} - 1647242 p T^{7} + 156458413 T^{8} - 1057241668 T^{9} + 6876335916 T^{10} - 42238806836 T^{11} + 250721797788 T^{12} - 1423475493979 T^{13} + 7836643409014 T^{14} - 41603925430069 T^{15} + 214797249667963 T^{16} - 1075308759821085 T^{17} + 5247909771309064 T^{18} - 147509318209117 p^{2} T^{19} + 115676996923029926 T^{20} - 523879048978365347 T^{21} + 2321367173663908616 T^{22} - 773754692226850339 p T^{23} + 42701182646765312083 T^{24} - \)\(17\!\cdots\!49\)\( T^{25} + \)\(72\!\cdots\!36\)\( T^{26} - \)\(28\!\cdots\!29\)\( T^{27} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( T^{28} - \)\(43\!\cdots\!95\)\( T^{29} + \)\(16\!\cdots\!98\)\( T^{30} - \)\(61\!\cdots\!15\)\( T^{31} + \)\(22\!\cdots\!88\)\( T^{32} - \)\(61\!\cdots\!15\)\( p T^{33} + \)\(16\!\cdots\!98\)\( p^{2} T^{34} - \)\(43\!\cdots\!95\)\( p^{3} T^{35} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( p^{4} T^{36} - \)\(28\!\cdots\!29\)\( p^{5} T^{37} + \)\(72\!\cdots\!36\)\( p^{6} T^{38} - \)\(17\!\cdots\!49\)\( p^{7} T^{39} + 42701182646765312083 p^{8} T^{40} - 773754692226850339 p^{10} T^{41} + 2321367173663908616 p^{10} T^{42} - 523879048978365347 p^{11} T^{43} + 115676996923029926 p^{12} T^{44} - 147509318209117 p^{15} T^{45} + 5247909771309064 p^{14} T^{46} - 1075308759821085 p^{15} T^{47} + 214797249667963 p^{16} T^{48} - 41603925430069 p^{17} T^{49} + 7836643409014 p^{18} T^{50} - 1423475493979 p^{19} T^{51} + 250721797788 p^{20} T^{52} - 42238806836 p^{21} T^{53} + 6876335916 p^{22} T^{54} - 1057241668 p^{23} T^{55} + 156458413 p^{24} T^{56} - 1647242 p^{26} T^{57} + 2809216 p^{26} T^{58} - 328134 p^{27} T^{59} + 36626 p^{28} T^{60} - 3359 p^{29} T^{61} + 296 p^{30} T^{62} - 17 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
19 \( 1 - 48 T + 1416 T^{2} - 30810 T^{3} + 546765 T^{4} - 8279560 T^{5} + 110472165 T^{6} - 1325037923 T^{7} + 14509831370 T^{8} - 406335266 p^{2} T^{9} + 1381487876458 T^{10} - 12206186652568 T^{11} + 101777934780087 T^{12} - 804740221902247 T^{13} + 6058769919724329 T^{14} - 43586792497914056 T^{15} + 15817801441004281 p T^{16} - 1991460118933762026 T^{17} + 12711702764532152735 T^{18} - 78326625726890744000 T^{19} + \)\(46\!\cdots\!02\)\( T^{20} - \)\(26\!\cdots\!58\)\( T^{21} + \)\(15\!\cdots\!73\)\( T^{22} - \)\(82\!\cdots\!42\)\( T^{23} + \)\(43\!\cdots\!28\)\( T^{24} - \)\(22\!\cdots\!74\)\( T^{25} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( T^{26} - \)\(55\!\cdots\!91\)\( T^{27} + \)\(26\!\cdots\!96\)\( T^{28} - \)\(12\!\cdots\!76\)\( T^{29} + \)\(30\!\cdots\!83\)\( p T^{30} - \)\(25\!\cdots\!21\)\( T^{31} + \)\(11\!\cdots\!32\)\( T^{32} - \)\(25\!\cdots\!21\)\( p T^{33} + \)\(30\!\cdots\!83\)\( p^{3} T^{34} - \)\(12\!\cdots\!76\)\( p^{3} T^{35} + \)\(26\!\cdots\!96\)\( p^{4} T^{36} - \)\(55\!\cdots\!91\)\( p^{5} T^{37} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( p^{6} T^{38} - \)\(22\!\cdots\!74\)\( p^{7} T^{39} + \)\(43\!\cdots\!28\)\( p^{8} T^{40} - \)\(82\!\cdots\!42\)\( p^{9} T^{41} + \)\(15\!\cdots\!73\)\( p^{10} T^{42} - \)\(26\!\cdots\!58\)\( p^{11} T^{43} + \)\(46\!\cdots\!02\)\( p^{12} T^{44} - 78326625726890744000 p^{13} T^{45} + 12711702764532152735 p^{14} T^{46} - 1991460118933762026 p^{15} T^{47} + 15817801441004281 p^{17} T^{48} - 43586792497914056 p^{17} T^{49} + 6058769919724329 p^{18} T^{50} - 804740221902247 p^{19} T^{51} + 101777934780087 p^{20} T^{52} - 12206186652568 p^{21} T^{53} + 1381487876458 p^{22} T^{54} - 406335266 p^{25} T^{55} + 14509831370 p^{24} T^{56} - 1325037923 p^{25} T^{57} + 110472165 p^{26} T^{58} - 8279560 p^{27} T^{59} + 546765 p^{28} T^{60} - 30810 p^{29} T^{61} + 1416 p^{30} T^{62} - 48 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
23 \( 1 + 19 T + 454 T^{2} + 6655 T^{3} + 98893 T^{4} + 1194561 T^{5} + 13976123 T^{6} + 6331712 p T^{7} + 1457195540 T^{8} + 13508475740 T^{9} + 120374098966 T^{10} + 1014118167196 T^{11} + 8239798520273 T^{12} + 64046847826028 T^{13} + 481798991332233 T^{14} + 3493366760559971 T^{15} + 24589259209241693 T^{16} + 167671221386358667 T^{17} + 1112759015323129999 T^{18} + 7179704080182076679 T^{19} + 45178457015420866386 T^{20} + \)\(27\!\cdots\!15\)\( T^{21} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( T^{22} + \)\(97\!\cdots\!65\)\( T^{23} + \)\(55\!\cdots\!46\)\( T^{24} + \)\(31\!\cdots\!10\)\( T^{25} + \)\(17\!\cdots\!81\)\( T^{26} + \)\(91\!\cdots\!27\)\( T^{27} + \)\(48\!\cdots\!70\)\( T^{28} + \)\(24\!\cdots\!69\)\( T^{29} + \)\(12\!\cdots\!69\)\( T^{30} + \)\(61\!\cdots\!64\)\( T^{31} + \)\(29\!\cdots\!16\)\( T^{32} + \)\(61\!\cdots\!64\)\( p T^{33} + \)\(12\!\cdots\!69\)\( p^{2} T^{34} + \)\(24\!\cdots\!69\)\( p^{3} T^{35} + \)\(48\!\cdots\!70\)\( p^{4} T^{36} + \)\(91\!\cdots\!27\)\( p^{5} T^{37} + \)\(17\!\cdots\!81\)\( p^{6} T^{38} + \)\(31\!\cdots\!10\)\( p^{7} T^{39} + \)\(55\!\cdots\!46\)\( p^{8} T^{40} + \)\(97\!\cdots\!65\)\( p^{9} T^{41} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( p^{10} T^{42} + \)\(27\!\cdots\!15\)\( p^{11} T^{43} + 45178457015420866386 p^{12} T^{44} + 7179704080182076679 p^{13} T^{45} + 1112759015323129999 p^{14} T^{46} + 167671221386358667 p^{15} T^{47} + 24589259209241693 p^{16} T^{48} + 3493366760559971 p^{17} T^{49} + 481798991332233 p^{18} T^{50} + 64046847826028 p^{19} T^{51} + 8239798520273 p^{20} T^{52} + 1014118167196 p^{21} T^{53} + 120374098966 p^{22} T^{54} + 13508475740 p^{23} T^{55} + 1457195540 p^{24} T^{56} + 6331712 p^{26} T^{57} + 13976123 p^{26} T^{58} + 1194561 p^{27} T^{59} + 98893 p^{28} T^{60} + 6655 p^{29} T^{61} + 454 p^{30} T^{62} + 19 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
29 \( 1 + 15 T + 489 T^{2} + 6102 T^{3} + 116177 T^{4} + 1263139 T^{5} + 18175205 T^{6} + 177187104 T^{7} + 2123290153 T^{8} + 18918954089 T^{9} + 198384705975 T^{10} + 1637654636720 T^{11} + 15475579747772 T^{12} + 119553679188131 T^{13} + 1037958991569883 T^{14} + 7562531910079664 T^{15} + 61143895669675900 T^{16} + 422743947196401870 T^{17} + 3214817955312542865 T^{18} + 21196710717775822295 T^{19} + \)\(15\!\cdots\!74\)\( T^{20} + \)\(96\!\cdots\!42\)\( T^{21} + \)\(66\!\cdots\!89\)\( T^{22} + \)\(40\!\cdots\!05\)\( T^{23} + \)\(26\!\cdots\!27\)\( T^{24} + \)\(15\!\cdots\!58\)\( T^{25} + \)\(97\!\cdots\!31\)\( T^{26} + \)\(55\!\cdots\!27\)\( T^{27} + \)\(33\!\cdots\!17\)\( T^{28} + \)\(18\!\cdots\!44\)\( T^{29} + \)\(10\!\cdots\!15\)\( T^{30} + \)\(19\!\cdots\!31\)\( p T^{31} + \)\(32\!\cdots\!90\)\( T^{32} + \)\(19\!\cdots\!31\)\( p^{2} T^{33} + \)\(10\!\cdots\!15\)\( p^{2} T^{34} + \)\(18\!\cdots\!44\)\( p^{3} T^{35} + \)\(33\!\cdots\!17\)\( p^{4} T^{36} + \)\(55\!\cdots\!27\)\( p^{5} T^{37} + \)\(97\!\cdots\!31\)\( p^{6} T^{38} + \)\(15\!\cdots\!58\)\( p^{7} T^{39} + \)\(26\!\cdots\!27\)\( p^{8} T^{40} + \)\(40\!\cdots\!05\)\( p^{9} T^{41} + \)\(66\!\cdots\!89\)\( p^{10} T^{42} + \)\(96\!\cdots\!42\)\( p^{11} T^{43} + \)\(15\!\cdots\!74\)\( p^{12} T^{44} + 21196710717775822295 p^{13} T^{45} + 3214817955312542865 p^{14} T^{46} + 422743947196401870 p^{15} T^{47} + 61143895669675900 p^{16} T^{48} + 7562531910079664 p^{17} T^{49} + 1037958991569883 p^{18} T^{50} + 119553679188131 p^{19} T^{51} + 15475579747772 p^{20} T^{52} + 1637654636720 p^{21} T^{53} + 198384705975 p^{22} T^{54} + 18918954089 p^{23} T^{55} + 2123290153 p^{24} T^{56} + 177187104 p^{25} T^{57} + 18175205 p^{26} T^{58} + 1263139 p^{27} T^{59} + 116177 p^{28} T^{60} + 6102 p^{29} T^{61} + 489 p^{30} T^{62} + 15 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
31 \( 1 - 20 T + 681 T^{2} - 10629 T^{3} + 213631 T^{4} - 2786523 T^{5} + 42420887 T^{6} - 481256507 T^{7} + 6092085338 T^{8} - 1990070527 p T^{9} + 681197286734 T^{10} - 6270412165296 T^{11} + 62166020529505 T^{12} - 527215078030646 T^{13} + 4785124839803166 T^{14} - 37781807055905972 T^{15} + 318366577334897602 T^{16} - 2360070304533882284 T^{17} + 18660791481150134593 T^{18} - \)\(13\!\cdots\!26\)\( T^{19} + \)\(97\!\cdots\!04\)\( T^{20} - \)\(65\!\cdots\!10\)\( T^{21} + \)\(14\!\cdots\!85\)\( p T^{22} - \)\(29\!\cdots\!43\)\( T^{23} + \)\(20\!\cdots\!24\)\( T^{24} - \)\(12\!\cdots\!69\)\( T^{25} + \)\(80\!\cdots\!76\)\( T^{26} - \)\(47\!\cdots\!45\)\( T^{27} + \)\(29\!\cdots\!32\)\( T^{28} - \)\(16\!\cdots\!93\)\( T^{29} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( T^{30} - \)\(56\!\cdots\!48\)\( T^{31} + \)\(33\!\cdots\!46\)\( T^{32} - \)\(56\!\cdots\!48\)\( p T^{33} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( p^{2} T^{34} - \)\(16\!\cdots\!93\)\( p^{3} T^{35} + \)\(29\!\cdots\!32\)\( p^{4} T^{36} - \)\(47\!\cdots\!45\)\( p^{5} T^{37} + \)\(80\!\cdots\!76\)\( p^{6} T^{38} - \)\(12\!\cdots\!69\)\( p^{7} T^{39} + \)\(20\!\cdots\!24\)\( p^{8} T^{40} - \)\(29\!\cdots\!43\)\( p^{9} T^{41} + \)\(14\!\cdots\!85\)\( p^{11} T^{42} - \)\(65\!\cdots\!10\)\( p^{11} T^{43} + \)\(97\!\cdots\!04\)\( p^{12} T^{44} - \)\(13\!\cdots\!26\)\( p^{13} T^{45} + 18660791481150134593 p^{14} T^{46} - 2360070304533882284 p^{15} T^{47} + 318366577334897602 p^{16} T^{48} - 37781807055905972 p^{17} T^{49} + 4785124839803166 p^{18} T^{50} - 527215078030646 p^{19} T^{51} + 62166020529505 p^{20} T^{52} - 6270412165296 p^{21} T^{53} + 681197286734 p^{22} T^{54} - 1990070527 p^{24} T^{55} + 6092085338 p^{24} T^{56} - 481256507 p^{25} T^{57} + 42420887 p^{26} T^{58} - 2786523 p^{27} T^{59} + 213631 p^{28} T^{60} - 10629 p^{29} T^{61} + 681 p^{30} T^{62} - 20 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
37 \( 1 - 6 T + 657 T^{2} - 3643 T^{3} + 212304 T^{4} - 1099462 T^{5} + 45171019 T^{6} - 220662474 T^{7} + 7145168017 T^{8} - 898041802 p T^{9} + 899209958623 T^{10} - 4012888640694 T^{11} + 94045379444142 T^{12} - 405432472837088 T^{13} + 8425839882796933 T^{14} - 35264087054640502 T^{15} + 661103152804843546 T^{16} - 2694816626804595481 T^{17} + 46178238867949015100 T^{18} - \)\(18\!\cdots\!22\)\( T^{19} + \)\(29\!\cdots\!78\)\( T^{20} - \)\(11\!\cdots\!82\)\( T^{21} + \)\(16\!\cdots\!76\)\( T^{22} - \)\(63\!\cdots\!49\)\( T^{23} + \)\(87\!\cdots\!19\)\( T^{24} - \)\(32\!\cdots\!74\)\( T^{25} + \)\(42\!\cdots\!74\)\( T^{26} - \)\(15\!\cdots\!27\)\( T^{27} + \)\(18\!\cdots\!48\)\( T^{28} - \)\(65\!\cdots\!82\)\( T^{29} + \)\(78\!\cdots\!14\)\( T^{30} - \)\(26\!\cdots\!96\)\( T^{31} + \)\(29\!\cdots\!38\)\( T^{32} - \)\(26\!\cdots\!96\)\( p T^{33} + \)\(78\!\cdots\!14\)\( p^{2} T^{34} - \)\(65\!\cdots\!82\)\( p^{3} T^{35} + \)\(18\!\cdots\!48\)\( p^{4} T^{36} - \)\(15\!\cdots\!27\)\( p^{5} T^{37} + \)\(42\!\cdots\!74\)\( p^{6} T^{38} - \)\(32\!\cdots\!74\)\( p^{7} T^{39} + \)\(87\!\cdots\!19\)\( p^{8} T^{40} - \)\(63\!\cdots\!49\)\( p^{9} T^{41} + \)\(16\!\cdots\!76\)\( p^{10} T^{42} - \)\(11\!\cdots\!82\)\( p^{11} T^{43} + \)\(29\!\cdots\!78\)\( p^{12} T^{44} - \)\(18\!\cdots\!22\)\( p^{13} T^{45} + 46178238867949015100 p^{14} T^{46} - 2694816626804595481 p^{15} T^{47} + 661103152804843546 p^{16} T^{48} - 35264087054640502 p^{17} T^{49} + 8425839882796933 p^{18} T^{50} - 405432472837088 p^{19} T^{51} + 94045379444142 p^{20} T^{52} - 4012888640694 p^{21} T^{53} + 899209958623 p^{22} T^{54} - 898041802 p^{24} T^{55} + 7145168017 p^{24} T^{56} - 220662474 p^{25} T^{57} + 45171019 p^{26} T^{58} - 1099462 p^{27} T^{59} + 212304 p^{28} T^{60} - 3643 p^{29} T^{61} + 657 p^{30} T^{62} - 6 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
41 \( 1 - T + 592 T^{2} - 732 T^{3} + 176941 T^{4} - 270110 T^{5} + 35645584 T^{6} - 66516115 T^{7} + 5448744831 T^{8} - 12245573834 T^{9} + 674300357006 T^{10} - 1794245248532 T^{11} + 70376161900895 T^{12} - 217809024129933 T^{13} + 6370837479379420 T^{14} - 22528102727541383 T^{15} + 510513265094628638 T^{16} - 49424610936411369 p T^{17} + 36771558360581910452 T^{18} - \)\(16\!\cdots\!09\)\( T^{19} + \)\(24\!\cdots\!97\)\( T^{20} - \)\(11\!\cdots\!92\)\( T^{21} + \)\(14\!\cdots\!22\)\( T^{22} - \)\(73\!\cdots\!36\)\( T^{23} + \)\(80\!\cdots\!29\)\( T^{24} - \)\(42\!\cdots\!75\)\( T^{25} + \)\(41\!\cdots\!12\)\( T^{26} - \)\(22\!\cdots\!78\)\( T^{27} + \)\(20\!\cdots\!83\)\( T^{28} - \)\(10\!\cdots\!02\)\( T^{29} + \)\(90\!\cdots\!48\)\( T^{30} - \)\(48\!\cdots\!11\)\( T^{31} + \)\(38\!\cdots\!74\)\( T^{32} - \)\(48\!\cdots\!11\)\( p T^{33} + \)\(90\!\cdots\!48\)\( p^{2} T^{34} - \)\(10\!\cdots\!02\)\( p^{3} T^{35} + \)\(20\!\cdots\!83\)\( p^{4} T^{36} - \)\(22\!\cdots\!78\)\( p^{5} T^{37} + \)\(41\!\cdots\!12\)\( p^{6} T^{38} - \)\(42\!\cdots\!75\)\( p^{7} T^{39} + \)\(80\!\cdots\!29\)\( p^{8} T^{40} - \)\(73\!\cdots\!36\)\( p^{9} T^{41} + \)\(14\!\cdots\!22\)\( p^{10} T^{42} - \)\(11\!\cdots\!92\)\( p^{11} T^{43} + \)\(24\!\cdots\!97\)\( p^{12} T^{44} - \)\(16\!\cdots\!09\)\( p^{13} T^{45} + 36771558360581910452 p^{14} T^{46} - 49424610936411369 p^{16} T^{47} + 510513265094628638 p^{16} T^{48} - 22528102727541383 p^{17} T^{49} + 6370837479379420 p^{18} T^{50} - 217809024129933 p^{19} T^{51} + 70376161900895 p^{20} T^{52} - 1794245248532 p^{21} T^{53} + 674300357006 p^{22} T^{54} - 12245573834 p^{23} T^{55} + 5448744831 p^{24} T^{56} - 66516115 p^{25} T^{57} + 35645584 p^{26} T^{58} - 270110 p^{27} T^{59} + 176941 p^{28} T^{60} - 732 p^{29} T^{61} + 592 p^{30} T^{62} - p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
43 \( 1 - 40 T + 1463 T^{2} - 36955 T^{3} + 848087 T^{4} - 16372116 T^{5} + 291986997 T^{6} - 4671823256 T^{7} + 70032905538 T^{8} - 970504021797 T^{9} + 12732983950253 T^{10} - 157064151001124 T^{11} + 1848694717795875 T^{12} - 20679758172318221 T^{13} + 222069442681015221 T^{14} - 2283409854818155478 T^{15} + 22648003684690691310 T^{16} - \)\(21\!\cdots\!75\)\( T^{17} + \)\(20\!\cdots\!91\)\( T^{18} - \)\(17\!\cdots\!14\)\( T^{19} + \)\(15\!\cdots\!45\)\( T^{20} - \)\(13\!\cdots\!33\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!39\)\( T^{22} - \)\(86\!\cdots\!56\)\( T^{23} + \)\(67\!\cdots\!82\)\( T^{24} - \)\(51\!\cdots\!67\)\( T^{25} + \)\(38\!\cdots\!31\)\( T^{26} - \)\(28\!\cdots\!13\)\( T^{27} + \)\(20\!\cdots\!81\)\( T^{28} - \)\(14\!\cdots\!96\)\( T^{29} + \)\(96\!\cdots\!41\)\( T^{30} - \)\(65\!\cdots\!89\)\( T^{31} + \)\(43\!\cdots\!06\)\( T^{32} - \)\(65\!\cdots\!89\)\( p T^{33} + \)\(96\!\cdots\!41\)\( p^{2} T^{34} - \)\(14\!\cdots\!96\)\( p^{3} T^{35} + \)\(20\!\cdots\!81\)\( p^{4} T^{36} - \)\(28\!\cdots\!13\)\( p^{5} T^{37} + \)\(38\!\cdots\!31\)\( p^{6} T^{38} - \)\(51\!\cdots\!67\)\( p^{7} T^{39} + \)\(67\!\cdots\!82\)\( p^{8} T^{40} - \)\(86\!\cdots\!56\)\( p^{9} T^{41} + \)\(10\!\cdots\!39\)\( p^{10} T^{42} - \)\(13\!\cdots\!33\)\( p^{11} T^{43} + \)\(15\!\cdots\!45\)\( p^{12} T^{44} - \)\(17\!\cdots\!14\)\( p^{13} T^{45} + \)\(20\!\cdots\!91\)\( p^{14} T^{46} - \)\(21\!\cdots\!75\)\( p^{15} T^{47} + 22648003684690691310 p^{16} T^{48} - 2283409854818155478 p^{17} T^{49} + 222069442681015221 p^{18} T^{50} - 20679758172318221 p^{19} T^{51} + 1848694717795875 p^{20} T^{52} - 157064151001124 p^{21} T^{53} + 12732983950253 p^{22} T^{54} - 970504021797 p^{23} T^{55} + 70032905538 p^{24} T^{56} - 4671823256 p^{25} T^{57} + 291986997 p^{26} T^{58} - 16372116 p^{27} T^{59} + 848087 p^{28} T^{60} - 36955 p^{29} T^{61} + 1463 p^{30} T^{62} - 40 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
47 \( 1 + 5 T + 769 T^{2} + 3420 T^{3} + 293954 T^{4} + 23953 p T^{5} + 74256420 T^{6} + 233693651 T^{7} + 13921735697 T^{8} + 33351170869 T^{9} + 2065218746288 T^{10} + 3244540562921 T^{11} + 252726166967543 T^{12} + 169863390843578 T^{13} + 26303112836307258 T^{14} - 7733319614297766 T^{15} + 2386134736303825824 T^{16} - 3114417682296836079 T^{17} + \)\(19\!\cdots\!19\)\( T^{18} - \)\(44\!\cdots\!64\)\( T^{19} + \)\(14\!\cdots\!78\)\( T^{20} - \)\(46\!\cdots\!16\)\( T^{21} + \)\(94\!\cdots\!43\)\( T^{22} - \)\(38\!\cdots\!45\)\( T^{23} + \)\(59\!\cdots\!81\)\( T^{24} - \)\(28\!\cdots\!65\)\( T^{25} + \)\(34\!\cdots\!17\)\( T^{26} - \)\(17\!\cdots\!36\)\( T^{27} + \)\(19\!\cdots\!05\)\( T^{28} - \)\(10\!\cdots\!16\)\( T^{29} + \)\(99\!\cdots\!70\)\( T^{30} - \)\(52\!\cdots\!22\)\( T^{31} + \)\(48\!\cdots\!50\)\( T^{32} - \)\(52\!\cdots\!22\)\( p T^{33} + \)\(99\!\cdots\!70\)\( p^{2} T^{34} - \)\(10\!\cdots\!16\)\( p^{3} T^{35} + \)\(19\!\cdots\!05\)\( p^{4} T^{36} - \)\(17\!\cdots\!36\)\( p^{5} T^{37} + \)\(34\!\cdots\!17\)\( p^{6} T^{38} - \)\(28\!\cdots\!65\)\( p^{7} T^{39} + \)\(59\!\cdots\!81\)\( p^{8} T^{40} - \)\(38\!\cdots\!45\)\( p^{9} T^{41} + \)\(94\!\cdots\!43\)\( p^{10} T^{42} - \)\(46\!\cdots\!16\)\( p^{11} T^{43} + \)\(14\!\cdots\!78\)\( p^{12} T^{44} - \)\(44\!\cdots\!64\)\( p^{13} T^{45} + \)\(19\!\cdots\!19\)\( p^{14} T^{46} - 3114417682296836079 p^{15} T^{47} + 2386134736303825824 p^{16} T^{48} - 7733319614297766 p^{17} T^{49} + 26303112836307258 p^{18} T^{50} + 169863390843578 p^{19} T^{51} + 252726166967543 p^{20} T^{52} + 3244540562921 p^{21} T^{53} + 2065218746288 p^{22} T^{54} + 33351170869 p^{23} T^{55} + 13921735697 p^{24} T^{56} + 233693651 p^{25} T^{57} + 74256420 p^{26} T^{58} + 23953 p^{28} T^{59} + 293954 p^{28} T^{60} + 3420 p^{29} T^{61} + 769 p^{30} T^{62} + 5 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
53 \( 1 + 34 T + 1418 T^{2} + 34561 T^{3} + 877165 T^{4} + 17162056 T^{5} + 335392319 T^{6} + 5585580611 T^{7} + 91687682293 T^{8} + 1346480819651 T^{9} + 19408307914504 T^{10} + 257256878891354 T^{11} + 3343909484359043 T^{12} + 40661055808636367 T^{13} + 485024634702716817 T^{14} + 5474422183435079044 T^{15} + 60661687468036472847 T^{16} + \)\(64\!\cdots\!17\)\( T^{17} + \)\(66\!\cdots\!76\)\( T^{18} + \)\(66\!\cdots\!57\)\( T^{19} + \)\(64\!\cdots\!26\)\( T^{20} + \)\(61\!\cdots\!57\)\( T^{21} + \)\(56\!\cdots\!30\)\( T^{22} + \)\(51\!\cdots\!89\)\( T^{23} + \)\(45\!\cdots\!26\)\( T^{24} + \)\(38\!\cdots\!66\)\( T^{25} + \)\(32\!\cdots\!81\)\( T^{26} + \)\(26\!\cdots\!96\)\( T^{27} + \)\(21\!\cdots\!10\)\( T^{28} + \)\(16\!\cdots\!36\)\( T^{29} + \)\(12\!\cdots\!55\)\( T^{30} + \)\(96\!\cdots\!88\)\( T^{31} + \)\(71\!\cdots\!10\)\( T^{32} + \)\(96\!\cdots\!88\)\( p T^{33} + \)\(12\!\cdots\!55\)\( p^{2} T^{34} + \)\(16\!\cdots\!36\)\( p^{3} T^{35} + \)\(21\!\cdots\!10\)\( p^{4} T^{36} + \)\(26\!\cdots\!96\)\( p^{5} T^{37} + \)\(32\!\cdots\!81\)\( p^{6} T^{38} + \)\(38\!\cdots\!66\)\( p^{7} T^{39} + \)\(45\!\cdots\!26\)\( p^{8} T^{40} + \)\(51\!\cdots\!89\)\( p^{9} T^{41} + \)\(56\!\cdots\!30\)\( p^{10} T^{42} + \)\(61\!\cdots\!57\)\( p^{11} T^{43} + \)\(64\!\cdots\!26\)\( p^{12} T^{44} + \)\(66\!\cdots\!57\)\( p^{13} T^{45} + \)\(66\!\cdots\!76\)\( p^{14} T^{46} + \)\(64\!\cdots\!17\)\( p^{15} T^{47} + 60661687468036472847 p^{16} T^{48} + 5474422183435079044 p^{17} T^{49} + 485024634702716817 p^{18} T^{50} + 40661055808636367 p^{19} T^{51} + 3343909484359043 p^{20} T^{52} + 257256878891354 p^{21} T^{53} + 19408307914504 p^{22} T^{54} + 1346480819651 p^{23} T^{55} + 91687682293 p^{24} T^{56} + 5585580611 p^{25} T^{57} + 335392319 p^{26} T^{58} + 17162056 p^{27} T^{59} + 877165 p^{28} T^{60} + 34561 p^{29} T^{61} + 1418 p^{30} T^{62} + 34 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
59 \( 1 - 41 T + 1771 T^{2} - 48285 T^{3} + 1277340 T^{4} - 27032153 T^{5} + 549271905 T^{6} - 9697027441 T^{7} + 164623441685 T^{8} - 42819855376 p T^{9} + 37429044333289 T^{10} - 512669711439731 T^{11} + 6807159106207032 T^{12} - 84756543470826138 T^{13} + 1026946363172935707 T^{14} - 11781255412179700303 T^{15} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( T^{16} - \)\(14\!\cdots\!07\)\( T^{17} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( T^{18} - \)\(14\!\cdots\!53\)\( T^{19} + \)\(14\!\cdots\!68\)\( T^{20} - \)\(13\!\cdots\!73\)\( T^{21} + \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{22} - \)\(11\!\cdots\!39\)\( T^{23} + \)\(10\!\cdots\!95\)\( T^{24} - \)\(90\!\cdots\!98\)\( T^{25} + \)\(77\!\cdots\!22\)\( T^{26} - \)\(64\!\cdots\!05\)\( T^{27} + \)\(53\!\cdots\!60\)\( T^{28} - \)\(42\!\cdots\!38\)\( T^{29} + \)\(34\!\cdots\!92\)\( T^{30} - \)\(26\!\cdots\!75\)\( T^{31} + \)\(20\!\cdots\!06\)\( T^{32} - \)\(26\!\cdots\!75\)\( p T^{33} + \)\(34\!\cdots\!92\)\( p^{2} T^{34} - \)\(42\!\cdots\!38\)\( p^{3} T^{35} + \)\(53\!\cdots\!60\)\( p^{4} T^{36} - \)\(64\!\cdots\!05\)\( p^{5} T^{37} + \)\(77\!\cdots\!22\)\( p^{6} T^{38} - \)\(90\!\cdots\!98\)\( p^{7} T^{39} + \)\(10\!\cdots\!95\)\( p^{8} T^{40} - \)\(11\!\cdots\!39\)\( p^{9} T^{41} + \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{42} - \)\(13\!\cdots\!73\)\( p^{11} T^{43} + \)\(14\!\cdots\!68\)\( p^{12} T^{44} - \)\(14\!\cdots\!53\)\( p^{13} T^{45} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( p^{14} T^{46} - \)\(14\!\cdots\!07\)\( p^{15} T^{47} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{48} - 11781255412179700303 p^{17} T^{49} + 1026946363172935707 p^{18} T^{50} - 84756543470826138 p^{19} T^{51} + 6807159106207032 p^{20} T^{52} - 512669711439731 p^{21} T^{53} + 37429044333289 p^{22} T^{54} - 42819855376 p^{24} T^{55} + 164623441685 p^{24} T^{56} - 9697027441 p^{25} T^{57} + 549271905 p^{26} T^{58} - 27032153 p^{27} T^{59} + 1277340 p^{28} T^{60} - 48285 p^{29} T^{61} + 1771 p^{30} T^{62} - 41 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
61 \( 1 - 20 T + 1095 T^{2} - 19074 T^{3} + 582538 T^{4} - 9034744 T^{5} + 201906208 T^{6} - 2835385945 T^{7} + 51514381326 T^{8} - 663739741388 T^{9} + 10356094147867 T^{10} - 123731719486587 T^{11} + 1713720772511943 T^{12} - 19152399377992273 T^{13} + 240712864888459314 T^{14} - 2534825591267557670 T^{15} + 29366445242327250352 T^{16} - \)\(29\!\cdots\!06\)\( T^{17} + \)\(31\!\cdots\!22\)\( T^{18} - \)\(30\!\cdots\!43\)\( T^{19} + \)\(30\!\cdots\!56\)\( T^{20} - \)\(27\!\cdots\!89\)\( T^{21} + \)\(27\!\cdots\!88\)\( T^{22} - \)\(23\!\cdots\!80\)\( T^{23} + \)\(21\!\cdots\!83\)\( T^{24} - \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{25} + \)\(16\!\cdots\!99\)\( T^{26} - \)\(13\!\cdots\!15\)\( T^{27} + \)\(11\!\cdots\!67\)\( T^{28} - \)\(92\!\cdots\!15\)\( T^{29} + \)\(76\!\cdots\!15\)\( T^{30} - \)\(59\!\cdots\!83\)\( T^{31} + \)\(47\!\cdots\!44\)\( T^{32} - \)\(59\!\cdots\!83\)\( p T^{33} + \)\(76\!\cdots\!15\)\( p^{2} T^{34} - \)\(92\!\cdots\!15\)\( p^{3} T^{35} + \)\(11\!\cdots\!67\)\( p^{4} T^{36} - \)\(13\!\cdots\!15\)\( p^{5} T^{37} + \)\(16\!\cdots\!99\)\( p^{6} T^{38} - \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{39} + \)\(21\!\cdots\!83\)\( p^{8} T^{40} - \)\(23\!\cdots\!80\)\( p^{9} T^{41} + \)\(27\!\cdots\!88\)\( p^{10} T^{42} - \)\(27\!\cdots\!89\)\( p^{11} T^{43} + \)\(30\!\cdots\!56\)\( p^{12} T^{44} - \)\(30\!\cdots\!43\)\( p^{13} T^{45} + \)\(31\!\cdots\!22\)\( p^{14} T^{46} - \)\(29\!\cdots\!06\)\( p^{15} T^{47} + 29366445242327250352 p^{16} T^{48} - 2534825591267557670 p^{17} T^{49} + 240712864888459314 p^{18} T^{50} - 19152399377992273 p^{19} T^{51} + 1713720772511943 p^{20} T^{52} - 123731719486587 p^{21} T^{53} + 10356094147867 p^{22} T^{54} - 663739741388 p^{23} T^{55} + 51514381326 p^{24} T^{56} - 2835385945 p^{25} T^{57} + 201906208 p^{26} T^{58} - 9034744 p^{27} T^{59} + 582538 p^{28} T^{60} - 19074 p^{29} T^{61} + 1095 p^{30} T^{62} - 20 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
67 \( 1 - 52 T + 2207 T^{2} - 66982 T^{3} + 1795987 T^{4} - 41034677 T^{5} + 859568781 T^{6} - 16265894422 T^{7} + 288136384356 T^{8} - 4741474712157 T^{9} + 74001512349099 T^{10} - 1090274919919794 T^{11} + 15371807654073084 T^{12} - 206718953162563239 T^{13} + 2677590441273674236 T^{14} - 33320697619293822597 T^{15} + \)\(40\!\cdots\!39\)\( T^{16} - \)\(46\!\cdots\!15\)\( T^{17} + \)\(52\!\cdots\!14\)\( T^{18} - \)\(57\!\cdots\!41\)\( T^{19} + \)\(61\!\cdots\!50\)\( T^{20} - \)\(64\!\cdots\!64\)\( T^{21} + \)\(97\!\cdots\!55\)\( p T^{22} - \)\(64\!\cdots\!83\)\( T^{23} + \)\(62\!\cdots\!92\)\( T^{24} - \)\(59\!\cdots\!28\)\( T^{25} + \)\(55\!\cdots\!23\)\( T^{26} - \)\(50\!\cdots\!95\)\( T^{27} + \)\(44\!\cdots\!55\)\( T^{28} - \)\(39\!\cdots\!64\)\( T^{29} + \)\(33\!\cdots\!19\)\( T^{30} - \)\(28\!\cdots\!34\)\( T^{31} + \)\(23\!\cdots\!24\)\( T^{32} - \)\(28\!\cdots\!34\)\( p T^{33} + \)\(33\!\cdots\!19\)\( p^{2} T^{34} - \)\(39\!\cdots\!64\)\( p^{3} T^{35} + \)\(44\!\cdots\!55\)\( p^{4} T^{36} - \)\(50\!\cdots\!95\)\( p^{5} T^{37} + \)\(55\!\cdots\!23\)\( p^{6} T^{38} - \)\(59\!\cdots\!28\)\( p^{7} T^{39} + \)\(62\!\cdots\!92\)\( p^{8} T^{40} - \)\(64\!\cdots\!83\)\( p^{9} T^{41} + \)\(97\!\cdots\!55\)\( p^{11} T^{42} - \)\(64\!\cdots\!64\)\( p^{11} T^{43} + \)\(61\!\cdots\!50\)\( p^{12} T^{44} - \)\(57\!\cdots\!41\)\( p^{13} T^{45} + \)\(52\!\cdots\!14\)\( p^{14} T^{46} - \)\(46\!\cdots\!15\)\( p^{15} T^{47} + \)\(40\!\cdots\!39\)\( p^{16} T^{48} - 33320697619293822597 p^{17} T^{49} + 2677590441273674236 p^{18} T^{50} - 206718953162563239 p^{19} T^{51} + 15371807654073084 p^{20} T^{52} - 1090274919919794 p^{21} T^{53} + 74001512349099 p^{22} T^{54} - 4741474712157 p^{23} T^{55} + 288136384356 p^{24} T^{56} - 16265894422 p^{25} T^{57} + 859568781 p^{26} T^{58} - 41034677 p^{27} T^{59} + 1795987 p^{28} T^{60} - 66982 p^{29} T^{61} + 2207 p^{30} T^{62} - 52 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
71 \( 1 - T + 1158 T^{2} + 3 T^{3} + 676510 T^{4} + 598061 T^{5} + 266018522 T^{6} + 443609777 T^{7} + 79175096777 T^{8} + 187314573780 T^{9} + 19008411216103 T^{10} + 56736773163409 T^{11} + 3830247008945879 T^{12} + 13508765789839207 T^{13} + 665454014657714082 T^{14} + 2656635441388269368 T^{15} + \)\(10\!\cdots\!67\)\( T^{16} + \)\(44\!\cdots\!86\)\( T^{17} + \)\(13\!\cdots\!32\)\( T^{18} + \)\(64\!\cdots\!03\)\( T^{19} + \)\(16\!\cdots\!77\)\( T^{20} + \)\(83\!\cdots\!23\)\( T^{21} + \)\(18\!\cdots\!97\)\( T^{22} + \)\(13\!\cdots\!52\)\( p T^{23} + \)\(19\!\cdots\!59\)\( T^{24} + \)\(99\!\cdots\!81\)\( T^{25} + \)\(18\!\cdots\!66\)\( T^{26} + \)\(93\!\cdots\!71\)\( T^{27} + \)\(15\!\cdots\!82\)\( T^{28} + \)\(79\!\cdots\!03\)\( T^{29} + \)\(12\!\cdots\!68\)\( T^{30} + \)\(61\!\cdots\!49\)\( T^{31} + \)\(91\!\cdots\!76\)\( T^{32} + \)\(61\!\cdots\!49\)\( p T^{33} + \)\(12\!\cdots\!68\)\( p^{2} T^{34} + \)\(79\!\cdots\!03\)\( p^{3} T^{35} + \)\(15\!\cdots\!82\)\( p^{4} T^{36} + \)\(93\!\cdots\!71\)\( p^{5} T^{37} + \)\(18\!\cdots\!66\)\( p^{6} T^{38} + \)\(99\!\cdots\!81\)\( p^{7} T^{39} + \)\(19\!\cdots\!59\)\( p^{8} T^{40} + \)\(13\!\cdots\!52\)\( p^{10} T^{41} + \)\(18\!\cdots\!97\)\( p^{10} T^{42} + \)\(83\!\cdots\!23\)\( p^{11} T^{43} + \)\(16\!\cdots\!77\)\( p^{12} T^{44} + \)\(64\!\cdots\!03\)\( p^{13} T^{45} + \)\(13\!\cdots\!32\)\( p^{14} T^{46} + \)\(44\!\cdots\!86\)\( p^{15} T^{47} + \)\(10\!\cdots\!67\)\( p^{16} T^{48} + 2656635441388269368 p^{17} T^{49} + 665454014657714082 p^{18} T^{50} + 13508765789839207 p^{19} T^{51} + 3830247008945879 p^{20} T^{52} + 56736773163409 p^{21} T^{53} + 19008411216103 p^{22} T^{54} + 187314573780 p^{23} T^{55} + 79175096777 p^{24} T^{56} + 443609777 p^{25} T^{57} + 266018522 p^{26} T^{58} + 598061 p^{27} T^{59} + 676510 p^{28} T^{60} + 3 p^{29} T^{61} + 1158 p^{30} T^{62} - p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
73 \( 1 - 19 T + 1082 T^{2} - 19042 T^{3} + 593934 T^{4} - 9680690 T^{5} + 219420861 T^{6} - 3326358101 T^{7} + 61282179793 T^{8} - 868678866162 T^{9} + 13801195319272 T^{10} - 183890082198210 T^{11} + 2611890914241794 T^{12} - 32871613739731020 T^{13} + 427466079879069030 T^{14} - 5103867934697191921 T^{15} + 61779393159040974669 T^{16} - \)\(70\!\cdots\!17\)\( T^{17} + \)\(80\!\cdots\!64\)\( T^{18} - \)\(87\!\cdots\!04\)\( T^{19} + \)\(94\!\cdots\!00\)\( T^{20} - \)\(98\!\cdots\!36\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{22} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{23} + \)\(10\!\cdots\!75\)\( T^{24} - \)\(97\!\cdots\!69\)\( T^{25} + \)\(93\!\cdots\!23\)\( T^{26} - \)\(87\!\cdots\!28\)\( T^{27} + \)\(80\!\cdots\!88\)\( T^{28} - \)\(72\!\cdots\!78\)\( T^{29} + \)\(65\!\cdots\!28\)\( T^{30} - \)\(56\!\cdots\!91\)\( T^{31} + \)\(49\!\cdots\!96\)\( T^{32} - \)\(56\!\cdots\!91\)\( p T^{33} + \)\(65\!\cdots\!28\)\( p^{2} T^{34} - \)\(72\!\cdots\!78\)\( p^{3} T^{35} + \)\(80\!\cdots\!88\)\( p^{4} T^{36} - \)\(87\!\cdots\!28\)\( p^{5} T^{37} + \)\(93\!\cdots\!23\)\( p^{6} T^{38} - \)\(97\!\cdots\!69\)\( p^{7} T^{39} + \)\(10\!\cdots\!75\)\( p^{8} T^{40} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{9} T^{41} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{42} - \)\(98\!\cdots\!36\)\( p^{11} T^{43} + \)\(94\!\cdots\!00\)\( p^{12} T^{44} - \)\(87\!\cdots\!04\)\( p^{13} T^{45} + \)\(80\!\cdots\!64\)\( p^{14} T^{46} - \)\(70\!\cdots\!17\)\( p^{15} T^{47} + 61779393159040974669 p^{16} T^{48} - 5103867934697191921 p^{17} T^{49} + 427466079879069030 p^{18} T^{50} - 32871613739731020 p^{19} T^{51} + 2611890914241794 p^{20} T^{52} - 183890082198210 p^{21} T^{53} + 13801195319272 p^{22} T^{54} - 868678866162 p^{23} T^{55} + 61282179793 p^{24} T^{56} - 3326358101 p^{25} T^{57} + 219420861 p^{26} T^{58} - 9680690 p^{27} T^{59} + 593934 p^{28} T^{60} - 19042 p^{29} T^{61} + 1082 p^{30} T^{62} - 19 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
83 \( 1 - 31 T + 1590 T^{2} - 38369 T^{3} + 1160628 T^{4} - 23540521 T^{5} + 540191269 T^{6} - 9625535653 T^{7} + 184251515976 T^{8} - 2965839561623 T^{9} + 49713019422988 T^{10} - 736359643908338 T^{11} + 134037815108870 p T^{12} - 153582252957718548 T^{13} + 2131609712144288635 T^{14} - 27676973915983222940 T^{15} + \)\(35\!\cdots\!05\)\( T^{16} - \)\(43\!\cdots\!60\)\( T^{17} + \)\(53\!\cdots\!93\)\( T^{18} - \)\(62\!\cdots\!26\)\( T^{19} + \)\(72\!\cdots\!54\)\( T^{20} - \)\(80\!\cdots\!70\)\( T^{21} + \)\(88\!\cdots\!24\)\( T^{22} - \)\(95\!\cdots\!47\)\( T^{23} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( T^{24} - \)\(10\!\cdots\!65\)\( T^{25} + \)\(10\!\cdots\!11\)\( T^{26} - \)\(12\!\cdots\!03\)\( p T^{27} + \)\(10\!\cdots\!60\)\( T^{28} - \)\(98\!\cdots\!79\)\( T^{29} + \)\(93\!\cdots\!62\)\( T^{30} - \)\(87\!\cdots\!43\)\( T^{31} + \)\(80\!\cdots\!16\)\( T^{32} - \)\(87\!\cdots\!43\)\( p T^{33} + \)\(93\!\cdots\!62\)\( p^{2} T^{34} - \)\(98\!\cdots\!79\)\( p^{3} T^{35} + \)\(10\!\cdots\!60\)\( p^{4} T^{36} - \)\(12\!\cdots\!03\)\( p^{6} T^{37} + \)\(10\!\cdots\!11\)\( p^{6} T^{38} - \)\(10\!\cdots\!65\)\( p^{7} T^{39} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{8} T^{40} - \)\(95\!\cdots\!47\)\( p^{9} T^{41} + \)\(88\!\cdots\!24\)\( p^{10} T^{42} - \)\(80\!\cdots\!70\)\( p^{11} T^{43} + \)\(72\!\cdots\!54\)\( p^{12} T^{44} - \)\(62\!\cdots\!26\)\( p^{13} T^{45} + \)\(53\!\cdots\!93\)\( p^{14} T^{46} - \)\(43\!\cdots\!60\)\( p^{15} T^{47} + \)\(35\!\cdots\!05\)\( p^{16} T^{48} - 27676973915983222940 p^{17} T^{49} + 2131609712144288635 p^{18} T^{50} - 153582252957718548 p^{19} T^{51} + 134037815108870 p^{21} T^{52} - 736359643908338 p^{21} T^{53} + 49713019422988 p^{22} T^{54} - 2965839561623 p^{23} T^{55} + 184251515976 p^{24} T^{56} - 9625535653 p^{25} T^{57} + 540191269 p^{26} T^{58} - 23540521 p^{27} T^{59} + 1160628 p^{28} T^{60} - 38369 p^{29} T^{61} + 1590 p^{30} T^{62} - 31 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
89 \( 1 - 18 T + 1535 T^{2} - 28588 T^{3} + 1235997 T^{4} - 22720809 T^{5} + 684910392 T^{6} - 12106930982 T^{7} + 289895821157 T^{8} - 4867814261582 T^{9} + 99037462941676 T^{10} - 17669464175917 p T^{11} + 28268550784255371 T^{12} - 424166896886594338 T^{13} + 6903484670667981371 T^{14} - 97993020562533413429 T^{15} + \)\(14\!\cdots\!67\)\( T^{16} - \)\(19\!\cdots\!99\)\( T^{17} + \)\(27\!\cdots\!65\)\( T^{18} - \)\(35\!\cdots\!40\)\( T^{19} + \)\(45\!\cdots\!89\)\( T^{20} - \)\(55\!\cdots\!09\)\( T^{21} + \)\(68\!\cdots\!80\)\( T^{22} - \)\(79\!\cdots\!64\)\( T^{23} + \)\(93\!\cdots\!63\)\( T^{24} - \)\(10\!\cdots\!84\)\( T^{25} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( T^{26} - \)\(12\!\cdots\!09\)\( T^{27} + \)\(12\!\cdots\!87\)\( T^{28} - \)\(12\!\cdots\!02\)\( T^{29} + \)\(14\!\cdots\!93\)\( p T^{30} - \)\(12\!\cdots\!54\)\( T^{31} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( T^{32} - \)\(12\!\cdots\!54\)\( p T^{33} + \)\(14\!\cdots\!93\)\( p^{3} T^{34} - \)\(12\!\cdots\!02\)\( p^{3} T^{35} + \)\(12\!\cdots\!87\)\( p^{4} T^{36} - \)\(12\!\cdots\!09\)\( p^{5} T^{37} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( p^{6} T^{38} - \)\(10\!\cdots\!84\)\( p^{7} T^{39} + \)\(93\!\cdots\!63\)\( p^{8} T^{40} - \)\(79\!\cdots\!64\)\( p^{9} T^{41} + \)\(68\!\cdots\!80\)\( p^{10} T^{42} - \)\(55\!\cdots\!09\)\( p^{11} T^{43} + \)\(45\!\cdots\!89\)\( p^{12} T^{44} - \)\(35\!\cdots\!40\)\( p^{13} T^{45} + \)\(27\!\cdots\!65\)\( p^{14} T^{46} - \)\(19\!\cdots\!99\)\( p^{15} T^{47} + \)\(14\!\cdots\!67\)\( p^{16} T^{48} - 97993020562533413429 p^{17} T^{49} + 6903484670667981371 p^{18} T^{50} - 424166896886594338 p^{19} T^{51} + 28268550784255371 p^{20} T^{52} - 17669464175917 p^{22} T^{53} + 99037462941676 p^{22} T^{54} - 4867814261582 p^{23} T^{55} + 289895821157 p^{24} T^{56} - 12106930982 p^{25} T^{57} + 684910392 p^{26} T^{58} - 22720809 p^{27} T^{59} + 1235997 p^{28} T^{60} - 28588 p^{29} T^{61} + 1535 p^{30} T^{62} - 18 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
97 \( 1 - 17 T + 1651 T^{2} - 25253 T^{3} + 1355364 T^{4} - 18973304 T^{5} + 740928055 T^{6} - 9615351629 T^{7} + 304265734741 T^{8} - 3697286483932 T^{9} + 100280024583474 T^{10} - 1150062912964549 T^{11} + 27651437787038603 T^{12} - 301189610330704163 T^{13} + 6561929991700409828 T^{14} - 68224002603042761787 T^{15} + \)\(13\!\cdots\!75\)\( T^{16} - \)\(13\!\cdots\!39\)\( T^{17} + \)\(25\!\cdots\!78\)\( T^{18} - \)\(24\!\cdots\!47\)\( T^{19} + \)\(42\!\cdots\!31\)\( T^{20} - \)\(39\!\cdots\!21\)\( T^{21} + \)\(64\!\cdots\!16\)\( T^{22} - \)\(57\!\cdots\!94\)\( T^{23} + \)\(89\!\cdots\!59\)\( T^{24} - \)\(77\!\cdots\!17\)\( T^{25} + \)\(11\!\cdots\!87\)\( T^{26} - \)\(95\!\cdots\!14\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!94\)\( T^{28} - \)\(10\!\cdots\!41\)\( T^{29} + \)\(14\!\cdots\!91\)\( T^{30} - \)\(11\!\cdots\!13\)\( T^{31} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( T^{32} - \)\(11\!\cdots\!13\)\( p T^{33} + \)\(14\!\cdots\!91\)\( p^{2} T^{34} - \)\(10\!\cdots\!41\)\( p^{3} T^{35} + \)\(13\!\cdots\!94\)\( p^{4} T^{36} - \)\(95\!\cdots\!14\)\( p^{5} T^{37} + \)\(11\!\cdots\!87\)\( p^{6} T^{38} - \)\(77\!\cdots\!17\)\( p^{7} T^{39} + \)\(89\!\cdots\!59\)\( p^{8} T^{40} - \)\(57\!\cdots\!94\)\( p^{9} T^{41} + \)\(64\!\cdots\!16\)\( p^{10} T^{42} - \)\(39\!\cdots\!21\)\( p^{11} T^{43} + \)\(42\!\cdots\!31\)\( p^{12} T^{44} - \)\(24\!\cdots\!47\)\( p^{13} T^{45} + \)\(25\!\cdots\!78\)\( p^{14} T^{46} - \)\(13\!\cdots\!39\)\( p^{15} T^{47} + \)\(13\!\cdots\!75\)\( p^{16} T^{48} - 68224002603042761787 p^{17} T^{49} + 6561929991700409828 p^{18} T^{50} - 301189610330704163 p^{19} T^{51} + 27651437787038603 p^{20} T^{52} - 1150062912964549 p^{21} T^{53} + 100280024583474 p^{22} T^{54} - 3697286483932 p^{23} T^{55} + 304265734741 p^{24} T^{56} - 9615351629 p^{25} T^{57} + 740928055 p^{26} T^{58} - 18973304 p^{27} T^{59} + 1355364 p^{28} T^{60} - 25253 p^{29} T^{61} + 1651 p^{30} T^{62} - 17 p^{31} T^{63} + p^{32} T^{64} \)
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\[\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{64} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.01140387182914709440985896253, −0.898969197176852867278467789047, −0.857800750055788107386272357740, −0.832315915935347838629209976950, −0.826986920900155936117324206955, −0.71463169451144713378904167196, −0.68134204419067878525433273602, −0.65315778291841160113057828433, −0.65312991770969700403449571202, −0.64790307381119679210632064530, −0.61829842328492096045704937369, −0.56633668115182396845649715471, −0.55600211036384933656828348437, −0.54960396624243223261140845623, −0.54213775513460817595242206053, −0.52604235847985783446426664158, −0.50502679549159315109542271185, −0.46499392726948219064697004202, −0.43559735900560952820837771987, −0.36704975522914059910474212238, −0.27967353701640543691449171198, −0.24769022010946652530868098900, −0.11302749347556525599494983765, −0.091045633880287094613261414961, −0.04968889666658495381935536458, 0.04968889666658495381935536458, 0.091045633880287094613261414961, 0.11302749347556525599494983765, 0.24769022010946652530868098900, 0.27967353701640543691449171198, 0.36704975522914059910474212238, 0.43559735900560952820837771987, 0.46499392726948219064697004202, 0.50502679549159315109542271185, 0.52604235847985783446426664158, 0.54213775513460817595242206053, 0.54960396624243223261140845623, 0.55600211036384933656828348437, 0.56633668115182396845649715471, 0.61829842328492096045704937369, 0.64790307381119679210632064530, 0.65312991770969700403449571202, 0.65315778291841160113057828433, 0.68134204419067878525433273602, 0.71463169451144713378904167196, 0.826986920900155936117324206955, 0.832315915935347838629209976950, 0.857800750055788107386272357740, 0.898969197176852867278467789047, 1.01140387182914709440985896253

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.