Properties

Degree 62
Conductor $ 3^{31} \cdot 17^{31} \cdot 79^{31} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 0

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 4·2-s + 31·3-s − 6·4-s + 11·5-s + 124·6-s + 4·7-s − 44·8-s + 496·9-s + 44·10-s + 26·11-s − 186·12-s + 7·13-s + 16·14-s + 341·15-s − 5·16-s + 31·17-s + 1.98e3·18-s + 32·19-s − 66·20-s + 124·21-s + 104·22-s + 29·23-s − 1.36e3·24-s − 25-s + 28·26-s + 5.45e3·27-s − 24·28-s + ⋯
L(s)  = 1  + 2.82·2-s + 17.8·3-s − 3·4-s + 4.91·5-s + 50.6·6-s + 1.51·7-s − 15.5·8-s + 165.·9-s + 13.9·10-s + 7.83·11-s − 53.6·12-s + 1.94·13-s + 4.27·14-s + 88.0·15-s − 5/4·16-s + 7.51·17-s + 467.·18-s + 7.34·19-s − 14.7·20-s + 27.0·21-s + 22.1·22-s + 6.04·23-s − 278.·24-s − 1/5·25-s + 5.49·26-s + 1.05e3·27-s − 4.53·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{31} \cdot 17^{31} \cdot 79^{31}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{31} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{31} \cdot 17^{31} \cdot 79^{31}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{31} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

\( d \)  =  \(62\)
\( N \)  =  \(3^{31} \cdot 17^{31} \cdot 79^{31}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{4029} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  0
Selberg data  =  $(62,\ 3^{31} \cdot 17^{31} \cdot 79^{31} ,\ ( \ : [1/2]^{31} ),\ 1 )$
$L(1)$  $\approx$  $1.440912861e10$
$L(\frac12)$  $\approx$  $1.440912861e10$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \]where, for $p \notin \{3,\;17,\;79\}$,\(F_p(T)\) is a polynomial of degree 62. If $p \in \{3,\;17,\;79\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 61.
$p$$F_p(T)$
bad3 \( ( 1 - T )^{31} \)
17 \( ( 1 - T )^{31} \)
79 \( ( 1 - T )^{31} \)
good2 \( 1 - p^{2} T + 11 p T^{2} - 17 p^{2} T^{3} + 233 T^{4} - 19 p^{5} T^{5} + 1655 T^{6} - 959 p^{2} T^{7} + 4533 p T^{8} - 19259 T^{9} + 41297 T^{10} - 41021 p T^{11} + 163637 T^{12} - 308081 T^{13} + 580315 T^{14} - 1044633 T^{15} + 469181 p^{2} T^{16} - 3249959 T^{17} + 5606737 T^{18} - 9381695 T^{19} + 15618143 T^{20} - 25333337 T^{21} + 20420197 p T^{22} - 32182373 p T^{23} + 25184425 p^{2} T^{24} - 38625643 p^{2} T^{25} + 58794555 p^{2} T^{26} - 175690355 p T^{27} + 260412199 p T^{28} - 379272639 p T^{29} + 547859469 p T^{30} - 194503427 p^{3} T^{31} + 547859469 p^{2} T^{32} - 379272639 p^{3} T^{33} + 260412199 p^{4} T^{34} - 175690355 p^{5} T^{35} + 58794555 p^{7} T^{36} - 38625643 p^{8} T^{37} + 25184425 p^{9} T^{38} - 32182373 p^{9} T^{39} + 20420197 p^{10} T^{40} - 25333337 p^{10} T^{41} + 15618143 p^{11} T^{42} - 9381695 p^{12} T^{43} + 5606737 p^{13} T^{44} - 3249959 p^{14} T^{45} + 469181 p^{17} T^{46} - 1044633 p^{16} T^{47} + 580315 p^{17} T^{48} - 308081 p^{18} T^{49} + 163637 p^{19} T^{50} - 41021 p^{21} T^{51} + 41297 p^{21} T^{52} - 19259 p^{22} T^{53} + 4533 p^{24} T^{54} - 959 p^{26} T^{55} + 1655 p^{25} T^{56} - 19 p^{31} T^{57} + 233 p^{27} T^{58} - 17 p^{30} T^{59} + 11 p^{30} T^{60} - p^{32} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
5 \( 1 - 11 T + 122 T^{2} - 883 T^{3} + 6089 T^{4} - 34194 T^{5} + 182582 T^{6} - 855796 T^{7} + 3833972 T^{8} - 15620886 T^{9} + 61195564 T^{10} - 222437238 T^{11} + 781857304 T^{12} - 2582837269 T^{13} + 8295854922 T^{14} - 25271219961 T^{15} + 3010029937 p^{2} T^{16} - 214008019079 T^{17} + 598138392668 T^{18} - 1605685500532 T^{19} + 4258816407426 T^{20} - 10899556699048 T^{21} + 27701789760154 T^{22} - 68184312775503 T^{23} + 167424603459452 T^{24} - 79844076987537 p T^{25} + 953258757453772 T^{26} - 2214561180391339 T^{27} + 5166738076277903 T^{28} - 11742069586021617 T^{29} + 26848190966565363 T^{30} - 59833224778518096 T^{31} + 26848190966565363 p T^{32} - 11742069586021617 p^{2} T^{33} + 5166738076277903 p^{3} T^{34} - 2214561180391339 p^{4} T^{35} + 953258757453772 p^{5} T^{36} - 79844076987537 p^{7} T^{37} + 167424603459452 p^{7} T^{38} - 68184312775503 p^{8} T^{39} + 27701789760154 p^{9} T^{40} - 10899556699048 p^{10} T^{41} + 4258816407426 p^{11} T^{42} - 1605685500532 p^{12} T^{43} + 598138392668 p^{13} T^{44} - 214008019079 p^{14} T^{45} + 3010029937 p^{17} T^{46} - 25271219961 p^{16} T^{47} + 8295854922 p^{17} T^{48} - 2582837269 p^{18} T^{49} + 781857304 p^{19} T^{50} - 222437238 p^{20} T^{51} + 61195564 p^{21} T^{52} - 15620886 p^{22} T^{53} + 3833972 p^{23} T^{54} - 855796 p^{24} T^{55} + 182582 p^{25} T^{56} - 34194 p^{26} T^{57} + 6089 p^{27} T^{58} - 883 p^{28} T^{59} + 122 p^{29} T^{60} - 11 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
7 \( 1 - 4 T + 101 T^{2} - 360 T^{3} + 5065 T^{4} - 16195 T^{5} + 168214 T^{6} - 483790 T^{7} + 4160493 T^{8} - 10752289 T^{9} + 81713764 T^{10} - 188901607 T^{11} + 1327892561 T^{12} - 2723680692 T^{13} + 2627397940 p T^{14} - 33082951722 T^{15} + 31763177220 p T^{16} - 49379101540 p T^{17} + 2395991608399 T^{18} - 3169145485116 T^{19} + 23470653216247 T^{20} - 26086128786106 T^{21} + 212799210553042 T^{22} - 198254372161166 T^{23} + 1812653558797101 T^{24} - 1436029574797828 T^{25} + 2093196102603086 p T^{26} - 10191643039679165 T^{27} + 112895966992408249 T^{28} - 71898595642639002 T^{29} + 829465698507864955 T^{30} - 504869317457408740 T^{31} + 829465698507864955 p T^{32} - 71898595642639002 p^{2} T^{33} + 112895966992408249 p^{3} T^{34} - 10191643039679165 p^{4} T^{35} + 2093196102603086 p^{6} T^{36} - 1436029574797828 p^{6} T^{37} + 1812653558797101 p^{7} T^{38} - 198254372161166 p^{8} T^{39} + 212799210553042 p^{9} T^{40} - 26086128786106 p^{10} T^{41} + 23470653216247 p^{11} T^{42} - 3169145485116 p^{12} T^{43} + 2395991608399 p^{13} T^{44} - 49379101540 p^{15} T^{45} + 31763177220 p^{16} T^{46} - 33082951722 p^{16} T^{47} + 2627397940 p^{18} T^{48} - 2723680692 p^{18} T^{49} + 1327892561 p^{19} T^{50} - 188901607 p^{20} T^{51} + 81713764 p^{21} T^{52} - 10752289 p^{22} T^{53} + 4160493 p^{23} T^{54} - 483790 p^{24} T^{55} + 168214 p^{25} T^{56} - 16195 p^{26} T^{57} + 5065 p^{27} T^{58} - 360 p^{28} T^{59} + 101 p^{29} T^{60} - 4 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
11 \( 1 - 26 T + 45 p T^{2} - 6923 T^{3} + 82590 T^{4} - 846702 T^{5} + 7817393 T^{6} - 65389013 T^{7} + 506289717 T^{8} - 3644338347 T^{9} + 24681185527 T^{10} - 157759621991 T^{11} + 958891406895 T^{12} - 5554913037865 T^{13} + 30826866658481 T^{14} - 164155800062541 T^{15} + 841855923846998 T^{16} - 4163061095648030 T^{17} + 19904608878665578 T^{18} - 92098578205642951 T^{19} + 413240652338401612 T^{20} - 1799206511807962970 T^{21} + 7613376573838629262 T^{22} - 31323790749404730235 T^{23} + \)\(12\!\cdots\!98\)\( T^{24} - \)\(48\!\cdots\!17\)\( T^{25} + \)\(18\!\cdots\!75\)\( T^{26} - \)\(68\!\cdots\!67\)\( T^{27} + \)\(24\!\cdots\!26\)\( T^{28} - \)\(87\!\cdots\!31\)\( T^{29} + \)\(30\!\cdots\!58\)\( T^{30} - \)\(10\!\cdots\!98\)\( T^{31} + \)\(30\!\cdots\!58\)\( p T^{32} - \)\(87\!\cdots\!31\)\( p^{2} T^{33} + \)\(24\!\cdots\!26\)\( p^{3} T^{34} - \)\(68\!\cdots\!67\)\( p^{4} T^{35} + \)\(18\!\cdots\!75\)\( p^{5} T^{36} - \)\(48\!\cdots\!17\)\( p^{6} T^{37} + \)\(12\!\cdots\!98\)\( p^{7} T^{38} - 31323790749404730235 p^{8} T^{39} + 7613376573838629262 p^{9} T^{40} - 1799206511807962970 p^{10} T^{41} + 413240652338401612 p^{11} T^{42} - 92098578205642951 p^{12} T^{43} + 19904608878665578 p^{13} T^{44} - 4163061095648030 p^{14} T^{45} + 841855923846998 p^{15} T^{46} - 164155800062541 p^{16} T^{47} + 30826866658481 p^{17} T^{48} - 5554913037865 p^{18} T^{49} + 958891406895 p^{19} T^{50} - 157759621991 p^{20} T^{51} + 24681185527 p^{21} T^{52} - 3644338347 p^{22} T^{53} + 506289717 p^{23} T^{54} - 65389013 p^{24} T^{55} + 7817393 p^{25} T^{56} - 846702 p^{26} T^{57} + 82590 p^{27} T^{58} - 6923 p^{28} T^{59} + 45 p^{30} T^{60} - 26 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
13 \( 1 - 7 T + 217 T^{2} - 1438 T^{3} + 23281 T^{4} - 145638 T^{5} + 1644127 T^{6} - 9700050 T^{7} + 85932630 T^{8} - 478321178 T^{9} + 3546538082 T^{10} - 18649114402 T^{11} + 120525524046 T^{12} - 599960931857 T^{13} + 3475971640098 T^{14} - 16424704821672 T^{15} + 87095214029705 T^{16} - 391958566139279 T^{17} + 1933045011167237 T^{18} - 8317025310572120 T^{19} + 38633400397693521 T^{20} - 159561336745858261 T^{21} + 705019963286908785 T^{22} - 2806056040726646268 T^{23} + 11881269375614170642 T^{24} - 45720505898254423633 T^{25} + \)\(18\!\cdots\!32\)\( T^{26} - \)\(69\!\cdots\!40\)\( T^{27} + \)\(27\!\cdots\!52\)\( T^{28} - \)\(99\!\cdots\!19\)\( T^{29} + \)\(37\!\cdots\!36\)\( T^{30} - \)\(13\!\cdots\!24\)\( T^{31} + \)\(37\!\cdots\!36\)\( p T^{32} - \)\(99\!\cdots\!19\)\( p^{2} T^{33} + \)\(27\!\cdots\!52\)\( p^{3} T^{34} - \)\(69\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{35} + \)\(18\!\cdots\!32\)\( p^{5} T^{36} - 45720505898254423633 p^{6} T^{37} + 11881269375614170642 p^{7} T^{38} - 2806056040726646268 p^{8} T^{39} + 705019963286908785 p^{9} T^{40} - 159561336745858261 p^{10} T^{41} + 38633400397693521 p^{11} T^{42} - 8317025310572120 p^{12} T^{43} + 1933045011167237 p^{13} T^{44} - 391958566139279 p^{14} T^{45} + 87095214029705 p^{15} T^{46} - 16424704821672 p^{16} T^{47} + 3475971640098 p^{17} T^{48} - 599960931857 p^{18} T^{49} + 120525524046 p^{19} T^{50} - 18649114402 p^{20} T^{51} + 3546538082 p^{21} T^{52} - 478321178 p^{22} T^{53} + 85932630 p^{23} T^{54} - 9700050 p^{24} T^{55} + 1644127 p^{25} T^{56} - 145638 p^{26} T^{57} + 23281 p^{27} T^{58} - 1438 p^{28} T^{59} + 217 p^{29} T^{60} - 7 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
19 \( 1 - 32 T + 797 T^{2} - 14434 T^{3} + 224890 T^{4} - 2998090 T^{5} + 35965063 T^{6} - 389406765 T^{7} + 3890089045 T^{8} - 35998689827 T^{9} + 312286004951 T^{10} - 2548816918023 T^{11} + 19718711893334 T^{12} - 145053095119630 T^{13} + 53674505806681 p T^{14} - 6870824023278358 T^{15} + 44528740247189758 T^{16} - 278212205817607544 T^{17} + 1680645268651222257 T^{18} - 9833925462669299964 T^{19} + 55859413896932758183 T^{20} - \)\(30\!\cdots\!66\)\( T^{21} + \)\(16\!\cdots\!12\)\( T^{22} - \)\(86\!\cdots\!04\)\( T^{23} + \)\(44\!\cdots\!68\)\( T^{24} - \)\(22\!\cdots\!78\)\( T^{25} + \)\(10\!\cdots\!67\)\( T^{26} - \)\(52\!\cdots\!25\)\( T^{27} + \)\(12\!\cdots\!77\)\( p T^{28} - \)\(11\!\cdots\!13\)\( T^{29} + \)\(50\!\cdots\!44\)\( T^{30} - \)\(11\!\cdots\!62\)\( p T^{31} + \)\(50\!\cdots\!44\)\( p T^{32} - \)\(11\!\cdots\!13\)\( p^{2} T^{33} + \)\(12\!\cdots\!77\)\( p^{4} T^{34} - \)\(52\!\cdots\!25\)\( p^{4} T^{35} + \)\(10\!\cdots\!67\)\( p^{5} T^{36} - \)\(22\!\cdots\!78\)\( p^{6} T^{37} + \)\(44\!\cdots\!68\)\( p^{7} T^{38} - \)\(86\!\cdots\!04\)\( p^{8} T^{39} + \)\(16\!\cdots\!12\)\( p^{9} T^{40} - \)\(30\!\cdots\!66\)\( p^{10} T^{41} + 55859413896932758183 p^{11} T^{42} - 9833925462669299964 p^{12} T^{43} + 1680645268651222257 p^{13} T^{44} - 278212205817607544 p^{14} T^{45} + 44528740247189758 p^{15} T^{46} - 6870824023278358 p^{16} T^{47} + 53674505806681 p^{18} T^{48} - 145053095119630 p^{18} T^{49} + 19718711893334 p^{19} T^{50} - 2548816918023 p^{20} T^{51} + 312286004951 p^{21} T^{52} - 35998689827 p^{22} T^{53} + 3890089045 p^{23} T^{54} - 389406765 p^{24} T^{55} + 35965063 p^{25} T^{56} - 2998090 p^{26} T^{57} + 224890 p^{27} T^{58} - 14434 p^{28} T^{59} + 797 p^{29} T^{60} - 32 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
23 \( 1 - 29 T + 789 T^{2} - 14354 T^{3} + 240958 T^{4} - 3328455 T^{5} + 42913459 T^{6} - 488499179 T^{7} + 5249703515 T^{8} - 51528104505 T^{9} + 481927085895 T^{10} - 4198657725709 T^{11} + 35117278316940 T^{12} - 277163697649189 T^{13} + 2113051203031493 T^{14} - 15341926845664816 T^{15} + 108151541336892196 T^{16} - 731059094344196297 T^{17} + 4818226240956978981 T^{18} - 30607824941396710960 T^{19} + \)\(19\!\cdots\!97\)\( T^{20} - \)\(11\!\cdots\!69\)\( T^{21} + \)\(67\!\cdots\!36\)\( T^{22} - \)\(38\!\cdots\!72\)\( T^{23} + \)\(21\!\cdots\!14\)\( T^{24} - \)\(11\!\cdots\!10\)\( T^{25} + \)\(63\!\cdots\!11\)\( T^{26} - \)\(33\!\cdots\!91\)\( T^{27} + \)\(17\!\cdots\!27\)\( T^{28} - \)\(86\!\cdots\!38\)\( T^{29} + \)\(18\!\cdots\!08\)\( p T^{30} - \)\(20\!\cdots\!58\)\( T^{31} + \)\(18\!\cdots\!08\)\( p^{2} T^{32} - \)\(86\!\cdots\!38\)\( p^{2} T^{33} + \)\(17\!\cdots\!27\)\( p^{3} T^{34} - \)\(33\!\cdots\!91\)\( p^{4} T^{35} + \)\(63\!\cdots\!11\)\( p^{5} T^{36} - \)\(11\!\cdots\!10\)\( p^{6} T^{37} + \)\(21\!\cdots\!14\)\( p^{7} T^{38} - \)\(38\!\cdots\!72\)\( p^{8} T^{39} + \)\(67\!\cdots\!36\)\( p^{9} T^{40} - \)\(11\!\cdots\!69\)\( p^{10} T^{41} + \)\(19\!\cdots\!97\)\( p^{11} T^{42} - 30607824941396710960 p^{12} T^{43} + 4818226240956978981 p^{13} T^{44} - 731059094344196297 p^{14} T^{45} + 108151541336892196 p^{15} T^{46} - 15341926845664816 p^{16} T^{47} + 2113051203031493 p^{17} T^{48} - 277163697649189 p^{18} T^{49} + 35117278316940 p^{19} T^{50} - 4198657725709 p^{20} T^{51} + 481927085895 p^{21} T^{52} - 51528104505 p^{22} T^{53} + 5249703515 p^{23} T^{54} - 488499179 p^{24} T^{55} + 42913459 p^{25} T^{56} - 3328455 p^{26} T^{57} + 240958 p^{27} T^{58} - 14354 p^{28} T^{59} + 789 p^{29} T^{60} - 29 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
29 \( 1 - 25 T + 838 T^{2} - 15191 T^{3} + 302471 T^{4} - 4381756 T^{5} + 65796226 T^{6} - 802165204 T^{7} + 9919798799 T^{8} - 105042326449 T^{9} + 1118688911094 T^{10} - 10505128786787 T^{11} + 98953326169952 T^{12} - 835901580351844 T^{13} + 7086542845366729 T^{14} - 54383462069689070 T^{15} + 419955194647594555 T^{16} - 2946774293627915990 T^{17} + 20903837653180504336 T^{18} - \)\(13\!\cdots\!81\)\( T^{19} + \)\(88\!\cdots\!72\)\( T^{20} - \)\(52\!\cdots\!61\)\( T^{21} + \)\(31\!\cdots\!71\)\( T^{22} - \)\(17\!\cdots\!36\)\( T^{23} + \)\(98\!\cdots\!52\)\( T^{24} - \)\(49\!\cdots\!18\)\( T^{25} + \)\(26\!\cdots\!35\)\( T^{26} - \)\(12\!\cdots\!41\)\( T^{27} + \)\(65\!\cdots\!50\)\( T^{28} - \)\(28\!\cdots\!13\)\( T^{29} + \)\(16\!\cdots\!87\)\( T^{30} - \)\(75\!\cdots\!60\)\( T^{31} + \)\(16\!\cdots\!87\)\( p T^{32} - \)\(28\!\cdots\!13\)\( p^{2} T^{33} + \)\(65\!\cdots\!50\)\( p^{3} T^{34} - \)\(12\!\cdots\!41\)\( p^{4} T^{35} + \)\(26\!\cdots\!35\)\( p^{5} T^{36} - \)\(49\!\cdots\!18\)\( p^{6} T^{37} + \)\(98\!\cdots\!52\)\( p^{7} T^{38} - \)\(17\!\cdots\!36\)\( p^{8} T^{39} + \)\(31\!\cdots\!71\)\( p^{9} T^{40} - \)\(52\!\cdots\!61\)\( p^{10} T^{41} + \)\(88\!\cdots\!72\)\( p^{11} T^{42} - \)\(13\!\cdots\!81\)\( p^{12} T^{43} + 20903837653180504336 p^{13} T^{44} - 2946774293627915990 p^{14} T^{45} + 419955194647594555 p^{15} T^{46} - 54383462069689070 p^{16} T^{47} + 7086542845366729 p^{17} T^{48} - 835901580351844 p^{18} T^{49} + 98953326169952 p^{19} T^{50} - 10505128786787 p^{20} T^{51} + 1118688911094 p^{21} T^{52} - 105042326449 p^{22} T^{53} + 9919798799 p^{23} T^{54} - 802165204 p^{24} T^{55} + 65796226 p^{25} T^{56} - 4381756 p^{26} T^{57} + 302471 p^{27} T^{58} - 15191 p^{28} T^{59} + 838 p^{29} T^{60} - 25 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
31 \( 1 - 22 T + 692 T^{2} - 12119 T^{3} + 226913 T^{4} - 3311904 T^{5} + 47494060 T^{6} - 596528197 T^{7} + 7174713584 T^{8} - 79371487954 T^{9} + 836290318500 T^{10} - 8289970758368 T^{11} + 78386862733087 T^{12} - 705263433588150 T^{13} + 6073345511042893 T^{14} - 50077101551894150 T^{15} + 396556508538330353 T^{16} - 3018694851491185766 T^{17} + 22134815062344915322 T^{18} - \)\(15\!\cdots\!76\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!22\)\( T^{20} - \)\(70\!\cdots\!56\)\( T^{21} + \)\(45\!\cdots\!87\)\( T^{22} - \)\(27\!\cdots\!71\)\( T^{23} + \)\(16\!\cdots\!05\)\( T^{24} - \)\(99\!\cdots\!30\)\( T^{25} + \)\(57\!\cdots\!41\)\( T^{26} - \)\(32\!\cdots\!21\)\( T^{27} + \)\(18\!\cdots\!77\)\( T^{28} - \)\(10\!\cdots\!74\)\( T^{29} + \)\(55\!\cdots\!79\)\( T^{30} - \)\(31\!\cdots\!36\)\( T^{31} + \)\(55\!\cdots\!79\)\( p T^{32} - \)\(10\!\cdots\!74\)\( p^{2} T^{33} + \)\(18\!\cdots\!77\)\( p^{3} T^{34} - \)\(32\!\cdots\!21\)\( p^{4} T^{35} + \)\(57\!\cdots\!41\)\( p^{5} T^{36} - \)\(99\!\cdots\!30\)\( p^{6} T^{37} + \)\(16\!\cdots\!05\)\( p^{7} T^{38} - \)\(27\!\cdots\!71\)\( p^{8} T^{39} + \)\(45\!\cdots\!87\)\( p^{9} T^{40} - \)\(70\!\cdots\!56\)\( p^{10} T^{41} + \)\(10\!\cdots\!22\)\( p^{11} T^{42} - \)\(15\!\cdots\!76\)\( p^{12} T^{43} + 22134815062344915322 p^{13} T^{44} - 3018694851491185766 p^{14} T^{45} + 396556508538330353 p^{15} T^{46} - 50077101551894150 p^{16} T^{47} + 6073345511042893 p^{17} T^{48} - 705263433588150 p^{18} T^{49} + 78386862733087 p^{19} T^{50} - 8289970758368 p^{20} T^{51} + 836290318500 p^{21} T^{52} - 79371487954 p^{22} T^{53} + 7174713584 p^{23} T^{54} - 596528197 p^{24} T^{55} + 47494060 p^{25} T^{56} - 3311904 p^{26} T^{57} + 226913 p^{27} T^{58} - 12119 p^{28} T^{59} + 692 p^{29} T^{60} - 22 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
37 \( 1 + 4 T + 560 T^{2} + 2931 T^{3} + 161086 T^{4} + 1009261 T^{5} + 31821043 T^{6} + 224181493 T^{7} + 4851310274 T^{8} + 36667934951 T^{9} + 606506437033 T^{10} + 4747337512921 T^{11} + 64413499073131 T^{12} + 508786543761513 T^{13} + 5941445978922658 T^{14} + 46503422201284051 T^{15} + 483062477550635910 T^{16} + 3700808990678889048 T^{17} + 34983466144977014344 T^{18} + \)\(26\!\cdots\!36\)\( T^{19} + \)\(22\!\cdots\!80\)\( T^{20} + \)\(16\!\cdots\!04\)\( T^{21} + \)\(13\!\cdots\!60\)\( T^{22} + \)\(92\!\cdots\!67\)\( T^{23} + \)\(71\!\cdots\!39\)\( T^{24} + \)\(47\!\cdots\!15\)\( T^{25} + \)\(34\!\cdots\!43\)\( T^{26} + \)\(22\!\cdots\!94\)\( T^{27} + \)\(15\!\cdots\!91\)\( T^{28} + \)\(93\!\cdots\!08\)\( T^{29} + \)\(61\!\cdots\!19\)\( T^{30} + \)\(36\!\cdots\!22\)\( T^{31} + \)\(61\!\cdots\!19\)\( p T^{32} + \)\(93\!\cdots\!08\)\( p^{2} T^{33} + \)\(15\!\cdots\!91\)\( p^{3} T^{34} + \)\(22\!\cdots\!94\)\( p^{4} T^{35} + \)\(34\!\cdots\!43\)\( p^{5} T^{36} + \)\(47\!\cdots\!15\)\( p^{6} T^{37} + \)\(71\!\cdots\!39\)\( p^{7} T^{38} + \)\(92\!\cdots\!67\)\( p^{8} T^{39} + \)\(13\!\cdots\!60\)\( p^{9} T^{40} + \)\(16\!\cdots\!04\)\( p^{10} T^{41} + \)\(22\!\cdots\!80\)\( p^{11} T^{42} + \)\(26\!\cdots\!36\)\( p^{12} T^{43} + 34983466144977014344 p^{13} T^{44} + 3700808990678889048 p^{14} T^{45} + 483062477550635910 p^{15} T^{46} + 46503422201284051 p^{16} T^{47} + 5941445978922658 p^{17} T^{48} + 508786543761513 p^{18} T^{49} + 64413499073131 p^{19} T^{50} + 4747337512921 p^{20} T^{51} + 606506437033 p^{21} T^{52} + 36667934951 p^{22} T^{53} + 4851310274 p^{23} T^{54} + 224181493 p^{24} T^{55} + 31821043 p^{25} T^{56} + 1009261 p^{26} T^{57} + 161086 p^{27} T^{58} + 2931 p^{28} T^{59} + 560 p^{29} T^{60} + 4 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
41 \( 1 - 33 T + 1167 T^{2} - 25949 T^{3} + 562270 T^{4} - 9777831 T^{5} + 163228530 T^{6} - 2383233284 T^{7} + 33389677353 T^{8} - 426520107032 T^{9} + 5243309042937 T^{10} - 60180674497718 T^{11} + 667008558909510 T^{12} - 7006126791093951 T^{13} + 71285331727031020 T^{14} - 694276933343249852 T^{15} + 6567061350815090582 T^{16} - 59872939203449277001 T^{17} + 12957409696342252292 p T^{18} - \)\(45\!\cdots\!00\)\( T^{19} + \)\(38\!\cdots\!29\)\( T^{20} - \)\(31\!\cdots\!86\)\( T^{21} + \)\(24\!\cdots\!93\)\( T^{22} - \)\(19\!\cdots\!20\)\( T^{23} + \)\(14\!\cdots\!88\)\( T^{24} - \)\(10\!\cdots\!71\)\( T^{25} + \)\(77\!\cdots\!72\)\( T^{26} - \)\(54\!\cdots\!33\)\( T^{27} + \)\(37\!\cdots\!63\)\( T^{28} - \)\(25\!\cdots\!59\)\( T^{29} + \)\(16\!\cdots\!93\)\( T^{30} - \)\(10\!\cdots\!32\)\( T^{31} + \)\(16\!\cdots\!93\)\( p T^{32} - \)\(25\!\cdots\!59\)\( p^{2} T^{33} + \)\(37\!\cdots\!63\)\( p^{3} T^{34} - \)\(54\!\cdots\!33\)\( p^{4} T^{35} + \)\(77\!\cdots\!72\)\( p^{5} T^{36} - \)\(10\!\cdots\!71\)\( p^{6} T^{37} + \)\(14\!\cdots\!88\)\( p^{7} T^{38} - \)\(19\!\cdots\!20\)\( p^{8} T^{39} + \)\(24\!\cdots\!93\)\( p^{9} T^{40} - \)\(31\!\cdots\!86\)\( p^{10} T^{41} + \)\(38\!\cdots\!29\)\( p^{11} T^{42} - \)\(45\!\cdots\!00\)\( p^{12} T^{43} + 12957409696342252292 p^{14} T^{44} - 59872939203449277001 p^{14} T^{45} + 6567061350815090582 p^{15} T^{46} - 694276933343249852 p^{16} T^{47} + 71285331727031020 p^{17} T^{48} - 7006126791093951 p^{18} T^{49} + 667008558909510 p^{19} T^{50} - 60180674497718 p^{20} T^{51} + 5243309042937 p^{21} T^{52} - 426520107032 p^{22} T^{53} + 33389677353 p^{23} T^{54} - 2383233284 p^{24} T^{55} + 163228530 p^{25} T^{56} - 9777831 p^{26} T^{57} + 562270 p^{27} T^{58} - 25949 p^{28} T^{59} + 1167 p^{29} T^{60} - 33 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
43 \( 1 - 6 T + 632 T^{2} - 3519 T^{3} + 196481 T^{4} - 1014975 T^{5} + 40175738 T^{6} - 192891379 T^{7} + 6102008190 T^{8} - 27348904568 T^{9} + 737716333865 T^{10} - 3109087782600 T^{11} + 74317821917732 T^{12} - 297474482163921 T^{13} + 6446932370456517 T^{14} - 24801373451715531 T^{15} + 493540423150456887 T^{16} - 1847447664902893712 T^{17} + 33970211823292665636 T^{18} - \)\(12\!\cdots\!12\)\( T^{19} + \)\(21\!\cdots\!41\)\( T^{20} - \)\(77\!\cdots\!55\)\( T^{21} + \)\(12\!\cdots\!84\)\( T^{22} - \)\(10\!\cdots\!79\)\( p T^{23} + \)\(66\!\cdots\!28\)\( T^{24} - \)\(24\!\cdots\!74\)\( T^{25} + \)\(33\!\cdots\!29\)\( T^{26} - \)\(12\!\cdots\!97\)\( T^{27} + \)\(16\!\cdots\!92\)\( T^{28} - \)\(58\!\cdots\!33\)\( T^{29} + \)\(72\!\cdots\!99\)\( T^{30} - \)\(25\!\cdots\!42\)\( T^{31} + \)\(72\!\cdots\!99\)\( p T^{32} - \)\(58\!\cdots\!33\)\( p^{2} T^{33} + \)\(16\!\cdots\!92\)\( p^{3} T^{34} - \)\(12\!\cdots\!97\)\( p^{4} T^{35} + \)\(33\!\cdots\!29\)\( p^{5} T^{36} - \)\(24\!\cdots\!74\)\( p^{6} T^{37} + \)\(66\!\cdots\!28\)\( p^{7} T^{38} - \)\(10\!\cdots\!79\)\( p^{9} T^{39} + \)\(12\!\cdots\!84\)\( p^{9} T^{40} - \)\(77\!\cdots\!55\)\( p^{10} T^{41} + \)\(21\!\cdots\!41\)\( p^{11} T^{42} - \)\(12\!\cdots\!12\)\( p^{12} T^{43} + 33970211823292665636 p^{13} T^{44} - 1847447664902893712 p^{14} T^{45} + 493540423150456887 p^{15} T^{46} - 24801373451715531 p^{16} T^{47} + 6446932370456517 p^{17} T^{48} - 297474482163921 p^{18} T^{49} + 74317821917732 p^{19} T^{50} - 3109087782600 p^{20} T^{51} + 737716333865 p^{21} T^{52} - 27348904568 p^{22} T^{53} + 6102008190 p^{23} T^{54} - 192891379 p^{24} T^{55} + 40175738 p^{25} T^{56} - 1014975 p^{26} T^{57} + 196481 p^{27} T^{58} - 3519 p^{28} T^{59} + 632 p^{29} T^{60} - 6 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
47 \( 1 - 23 T + 20 p T^{2} - 16293 T^{3} + 392134 T^{4} - 5578968 T^{5} + 101743358 T^{6} - 1246512159 T^{7} + 18973111215 T^{8} - 206320427684 T^{9} + 2757353265001 T^{10} - 27164874942201 T^{11} + 328836573884848 T^{12} - 2978171665944463 T^{13} + 33349137208008790 T^{14} - 280700343103479219 T^{15} + 2952165827697667494 T^{16} - 23290801062233463800 T^{17} + \)\(23\!\cdots\!71\)\( T^{18} - \)\(17\!\cdots\!20\)\( T^{19} + \)\(16\!\cdots\!01\)\( T^{20} - \)\(11\!\cdots\!10\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( T^{22} - \)\(73\!\cdots\!41\)\( T^{23} + \)\(65\!\cdots\!61\)\( T^{24} - \)\(42\!\cdots\!72\)\( T^{25} + \)\(36\!\cdots\!20\)\( T^{26} - \)\(22\!\cdots\!02\)\( T^{27} + \)\(19\!\cdots\!01\)\( T^{28} - \)\(11\!\cdots\!56\)\( T^{29} + \)\(97\!\cdots\!55\)\( T^{30} - \)\(56\!\cdots\!94\)\( T^{31} + \)\(97\!\cdots\!55\)\( p T^{32} - \)\(11\!\cdots\!56\)\( p^{2} T^{33} + \)\(19\!\cdots\!01\)\( p^{3} T^{34} - \)\(22\!\cdots\!02\)\( p^{4} T^{35} + \)\(36\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{36} - \)\(42\!\cdots\!72\)\( p^{6} T^{37} + \)\(65\!\cdots\!61\)\( p^{7} T^{38} - \)\(73\!\cdots\!41\)\( p^{8} T^{39} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( p^{9} T^{40} - \)\(11\!\cdots\!10\)\( p^{10} T^{41} + \)\(16\!\cdots\!01\)\( p^{11} T^{42} - \)\(17\!\cdots\!20\)\( p^{12} T^{43} + \)\(23\!\cdots\!71\)\( p^{13} T^{44} - 23290801062233463800 p^{14} T^{45} + 2952165827697667494 p^{15} T^{46} - 280700343103479219 p^{16} T^{47} + 33349137208008790 p^{17} T^{48} - 2978171665944463 p^{18} T^{49} + 328836573884848 p^{19} T^{50} - 27164874942201 p^{20} T^{51} + 2757353265001 p^{21} T^{52} - 206320427684 p^{22} T^{53} + 18973111215 p^{23} T^{54} - 1246512159 p^{24} T^{55} + 101743358 p^{25} T^{56} - 5578968 p^{26} T^{57} + 392134 p^{27} T^{58} - 16293 p^{28} T^{59} + 20 p^{30} T^{60} - 23 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
53 \( 1 - 12 T + 947 T^{2} - 12435 T^{3} + 465392 T^{4} - 6302699 T^{5} + 157025297 T^{6} - 2105144474 T^{7} + 40466152584 T^{8} - 523863717511 T^{9} + 8409308820650 T^{10} - 103749111733293 T^{11} + 1456419536299473 T^{12} - 17022979339760056 T^{13} + 214988435045143040 T^{14} - 2376104666997792312 T^{15} + 518756296541567659 p T^{16} - \)\(28\!\cdots\!71\)\( T^{17} + \)\(30\!\cdots\!01\)\( T^{18} - \)\(30\!\cdots\!62\)\( T^{19} + \)\(30\!\cdots\!99\)\( T^{20} - \)\(28\!\cdots\!59\)\( T^{21} + \)\(27\!\cdots\!07\)\( T^{22} - \)\(24\!\cdots\!58\)\( T^{23} + \)\(21\!\cdots\!21\)\( T^{24} - \)\(34\!\cdots\!60\)\( p T^{25} + \)\(15\!\cdots\!86\)\( T^{26} - \)\(23\!\cdots\!04\)\( p T^{27} + \)\(99\!\cdots\!24\)\( T^{28} - \)\(76\!\cdots\!48\)\( T^{29} + \)\(58\!\cdots\!39\)\( T^{30} - \)\(42\!\cdots\!32\)\( T^{31} + \)\(58\!\cdots\!39\)\( p T^{32} - \)\(76\!\cdots\!48\)\( p^{2} T^{33} + \)\(99\!\cdots\!24\)\( p^{3} T^{34} - \)\(23\!\cdots\!04\)\( p^{5} T^{35} + \)\(15\!\cdots\!86\)\( p^{5} T^{36} - \)\(34\!\cdots\!60\)\( p^{7} T^{37} + \)\(21\!\cdots\!21\)\( p^{7} T^{38} - \)\(24\!\cdots\!58\)\( p^{8} T^{39} + \)\(27\!\cdots\!07\)\( p^{9} T^{40} - \)\(28\!\cdots\!59\)\( p^{10} T^{41} + \)\(30\!\cdots\!99\)\( p^{11} T^{42} - \)\(30\!\cdots\!62\)\( p^{12} T^{43} + \)\(30\!\cdots\!01\)\( p^{13} T^{44} - \)\(28\!\cdots\!71\)\( p^{14} T^{45} + 518756296541567659 p^{16} T^{46} - 2376104666997792312 p^{16} T^{47} + 214988435045143040 p^{17} T^{48} - 17022979339760056 p^{18} T^{49} + 1456419536299473 p^{19} T^{50} - 103749111733293 p^{20} T^{51} + 8409308820650 p^{21} T^{52} - 523863717511 p^{22} T^{53} + 40466152584 p^{23} T^{54} - 2105144474 p^{24} T^{55} + 157025297 p^{25} T^{56} - 6302699 p^{26} T^{57} + 465392 p^{27} T^{58} - 12435 p^{28} T^{59} + 947 p^{29} T^{60} - 12 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
59 \( 1 - 27 T + 1242 T^{2} - 26160 T^{3} + 701120 T^{4} - 12286415 T^{5} + 247104339 T^{6} - 3747901670 T^{7} + 62265861524 T^{8} - 839863591718 T^{9} + 12121005281131 T^{10} - 148364499984971 T^{11} + 32531937486721 p T^{12} - 21663435927323393 T^{13} + 256753250584897716 T^{14} - 2707037884200110832 T^{15} + 29865066572246499300 T^{16} - \)\(29\!\cdots\!47\)\( T^{17} + \)\(30\!\cdots\!90\)\( T^{18} - \)\(29\!\cdots\!72\)\( T^{19} + \)\(28\!\cdots\!48\)\( T^{20} - \)\(26\!\cdots\!55\)\( T^{21} + \)\(24\!\cdots\!44\)\( T^{22} - \)\(21\!\cdots\!38\)\( T^{23} + \)\(19\!\cdots\!99\)\( T^{24} - \)\(16\!\cdots\!02\)\( T^{25} + \)\(14\!\cdots\!17\)\( T^{26} - \)\(11\!\cdots\!93\)\( T^{27} + \)\(96\!\cdots\!45\)\( T^{28} - \)\(75\!\cdots\!31\)\( T^{29} + \)\(60\!\cdots\!25\)\( T^{30} - \)\(45\!\cdots\!08\)\( T^{31} + \)\(60\!\cdots\!25\)\( p T^{32} - \)\(75\!\cdots\!31\)\( p^{2} T^{33} + \)\(96\!\cdots\!45\)\( p^{3} T^{34} - \)\(11\!\cdots\!93\)\( p^{4} T^{35} + \)\(14\!\cdots\!17\)\( p^{5} T^{36} - \)\(16\!\cdots\!02\)\( p^{6} T^{37} + \)\(19\!\cdots\!99\)\( p^{7} T^{38} - \)\(21\!\cdots\!38\)\( p^{8} T^{39} + \)\(24\!\cdots\!44\)\( p^{9} T^{40} - \)\(26\!\cdots\!55\)\( p^{10} T^{41} + \)\(28\!\cdots\!48\)\( p^{11} T^{42} - \)\(29\!\cdots\!72\)\( p^{12} T^{43} + \)\(30\!\cdots\!90\)\( p^{13} T^{44} - \)\(29\!\cdots\!47\)\( p^{14} T^{45} + 29865066572246499300 p^{15} T^{46} - 2707037884200110832 p^{16} T^{47} + 256753250584897716 p^{17} T^{48} - 21663435927323393 p^{18} T^{49} + 32531937486721 p^{20} T^{50} - 148364499984971 p^{20} T^{51} + 12121005281131 p^{21} T^{52} - 839863591718 p^{22} T^{53} + 62265861524 p^{23} T^{54} - 3747901670 p^{24} T^{55} + 247104339 p^{25} T^{56} - 12286415 p^{26} T^{57} + 701120 p^{27} T^{58} - 26160 p^{28} T^{59} + 1242 p^{29} T^{60} - 27 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
61 \( 1 + 4 T + 1144 T^{2} + 4146 T^{3} + 645688 T^{4} + 2132146 T^{5} + 239873638 T^{6} + 725155869 T^{7} + 66018933570 T^{8} + 3006643637 p T^{9} + 14365380662229 T^{10} + 36772024084132 T^{11} + 2575648067619276 T^{12} + 6083955490271115 T^{13} + 391626509693210358 T^{14} + 853867743855430629 T^{15} + 51584310484234282978 T^{16} + \)\(10\!\cdots\!15\)\( T^{17} + \)\(59\!\cdots\!30\)\( T^{18} + \)\(11\!\cdots\!26\)\( T^{19} + \)\(61\!\cdots\!38\)\( T^{20} + \)\(10\!\cdots\!47\)\( T^{21} + \)\(57\!\cdots\!88\)\( T^{22} + \)\(90\!\cdots\!11\)\( T^{23} + \)\(49\!\cdots\!99\)\( T^{24} + \)\(71\!\cdots\!09\)\( T^{25} + \)\(38\!\cdots\!42\)\( T^{26} + \)\(51\!\cdots\!10\)\( T^{27} + \)\(27\!\cdots\!97\)\( T^{28} + \)\(56\!\cdots\!75\)\( p T^{29} + \)\(17\!\cdots\!40\)\( T^{30} + \)\(21\!\cdots\!94\)\( T^{31} + \)\(17\!\cdots\!40\)\( p T^{32} + \)\(56\!\cdots\!75\)\( p^{3} T^{33} + \)\(27\!\cdots\!97\)\( p^{3} T^{34} + \)\(51\!\cdots\!10\)\( p^{4} T^{35} + \)\(38\!\cdots\!42\)\( p^{5} T^{36} + \)\(71\!\cdots\!09\)\( p^{6} T^{37} + \)\(49\!\cdots\!99\)\( p^{7} T^{38} + \)\(90\!\cdots\!11\)\( p^{8} T^{39} + \)\(57\!\cdots\!88\)\( p^{9} T^{40} + \)\(10\!\cdots\!47\)\( p^{10} T^{41} + \)\(61\!\cdots\!38\)\( p^{11} T^{42} + \)\(11\!\cdots\!26\)\( p^{12} T^{43} + \)\(59\!\cdots\!30\)\( p^{13} T^{44} + \)\(10\!\cdots\!15\)\( p^{14} T^{45} + 51584310484234282978 p^{15} T^{46} + 853867743855430629 p^{16} T^{47} + 391626509693210358 p^{17} T^{48} + 6083955490271115 p^{18} T^{49} + 2575648067619276 p^{19} T^{50} + 36772024084132 p^{20} T^{51} + 14365380662229 p^{21} T^{52} + 3006643637 p^{23} T^{53} + 66018933570 p^{23} T^{54} + 725155869 p^{24} T^{55} + 239873638 p^{25} T^{56} + 2132146 p^{26} T^{57} + 645688 p^{27} T^{58} + 4146 p^{28} T^{59} + 1144 p^{29} T^{60} + 4 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
67 \( 1 + 1152 T^{2} - 882 T^{3} + 666827 T^{4} - 954467 T^{5} + 258679776 T^{6} - 519652169 T^{7} + 75619146968 T^{8} - 189539431450 T^{9} + 17750420410623 T^{10} - 52012774851676 T^{11} + 3480500132319603 T^{12} - 11431063996972723 T^{13} + 585445881595245111 T^{14} - 2091186903360859184 T^{15} + 86087394796502625834 T^{16} - \)\(32\!\cdots\!59\)\( T^{17} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( T^{18} - \)\(44\!\cdots\!36\)\( T^{19} + \)\(13\!\cdots\!78\)\( T^{20} - \)\(53\!\cdots\!20\)\( T^{21} + \)\(13\!\cdots\!71\)\( T^{22} - \)\(56\!\cdots\!79\)\( T^{23} + \)\(13\!\cdots\!75\)\( T^{24} - \)\(54\!\cdots\!31\)\( T^{25} + \)\(11\!\cdots\!10\)\( T^{26} - \)\(46\!\cdots\!82\)\( T^{27} + \)\(91\!\cdots\!77\)\( T^{28} - \)\(36\!\cdots\!54\)\( T^{29} + \)\(67\!\cdots\!64\)\( T^{30} - \)\(25\!\cdots\!20\)\( T^{31} + \)\(67\!\cdots\!64\)\( p T^{32} - \)\(36\!\cdots\!54\)\( p^{2} T^{33} + \)\(91\!\cdots\!77\)\( p^{3} T^{34} - \)\(46\!\cdots\!82\)\( p^{4} T^{35} + \)\(11\!\cdots\!10\)\( p^{5} T^{36} - \)\(54\!\cdots\!31\)\( p^{6} T^{37} + \)\(13\!\cdots\!75\)\( p^{7} T^{38} - \)\(56\!\cdots\!79\)\( p^{8} T^{39} + \)\(13\!\cdots\!71\)\( p^{9} T^{40} - \)\(53\!\cdots\!20\)\( p^{10} T^{41} + \)\(13\!\cdots\!78\)\( p^{11} T^{42} - \)\(44\!\cdots\!36\)\( p^{12} T^{43} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( p^{13} T^{44} - \)\(32\!\cdots\!59\)\( p^{14} T^{45} + 86087394796502625834 p^{15} T^{46} - 2091186903360859184 p^{16} T^{47} + 585445881595245111 p^{17} T^{48} - 11431063996972723 p^{18} T^{49} + 3480500132319603 p^{19} T^{50} - 52012774851676 p^{20} T^{51} + 17750420410623 p^{21} T^{52} - 189539431450 p^{22} T^{53} + 75619146968 p^{23} T^{54} - 519652169 p^{24} T^{55} + 258679776 p^{25} T^{56} - 954467 p^{26} T^{57} + 666827 p^{27} T^{58} - 882 p^{28} T^{59} + 1152 p^{29} T^{60} + p^{31} T^{62} \)
71 \( 1 - 35 T + 1789 T^{2} - 47874 T^{3} + 1463261 T^{4} - 32388909 T^{5} + 756142441 T^{6} - 14472480228 T^{7} + 282480583252 T^{8} - 4807930844668 T^{9} + 82114098683051 T^{10} - 1266656398133205 T^{11} + 19443856455980012 T^{12} - 275521914521326698 T^{13} + 3868030561073310990 T^{14} - 50852280306320434184 T^{15} + \)\(66\!\cdots\!49\)\( T^{16} - \)\(81\!\cdots\!96\)\( T^{17} + \)\(98\!\cdots\!19\)\( T^{18} - \)\(11\!\cdots\!85\)\( T^{19} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{20} - \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{21} + \)\(15\!\cdots\!41\)\( T^{22} - \)\(15\!\cdots\!20\)\( T^{23} + \)\(16\!\cdots\!46\)\( T^{24} - \)\(15\!\cdots\!45\)\( T^{25} + \)\(15\!\cdots\!30\)\( T^{26} - \)\(14\!\cdots\!56\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( T^{28} - \)\(16\!\cdots\!15\)\( p T^{29} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( T^{30} - \)\(87\!\cdots\!28\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( p T^{32} - \)\(16\!\cdots\!15\)\( p^{3} T^{33} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( p^{3} T^{34} - \)\(14\!\cdots\!56\)\( p^{4} T^{35} + \)\(15\!\cdots\!30\)\( p^{5} T^{36} - \)\(15\!\cdots\!45\)\( p^{6} T^{37} + \)\(16\!\cdots\!46\)\( p^{7} T^{38} - \)\(15\!\cdots\!20\)\( p^{8} T^{39} + \)\(15\!\cdots\!41\)\( p^{9} T^{40} - \)\(14\!\cdots\!40\)\( p^{10} T^{41} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( p^{11} T^{42} - \)\(11\!\cdots\!85\)\( p^{12} T^{43} + \)\(98\!\cdots\!19\)\( p^{13} T^{44} - \)\(81\!\cdots\!96\)\( p^{14} T^{45} + \)\(66\!\cdots\!49\)\( p^{15} T^{46} - 50852280306320434184 p^{16} T^{47} + 3868030561073310990 p^{17} T^{48} - 275521914521326698 p^{18} T^{49} + 19443856455980012 p^{19} T^{50} - 1266656398133205 p^{20} T^{51} + 82114098683051 p^{21} T^{52} - 4807930844668 p^{22} T^{53} + 282480583252 p^{23} T^{54} - 14472480228 p^{24} T^{55} + 756142441 p^{25} T^{56} - 32388909 p^{26} T^{57} + 1463261 p^{27} T^{58} - 47874 p^{28} T^{59} + 1789 p^{29} T^{60} - 35 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
73 \( 1 - 5 T + 1255 T^{2} - 8227 T^{3} + 784373 T^{4} - 6228953 T^{5} + 327198164 T^{6} - 2974522392 T^{7} + 102823184361 T^{8} - 1023394571536 T^{9} + 25996640753021 T^{10} - 273192165981362 T^{11} + 5504440224118539 T^{12} - 59320909173965448 T^{13} + 1001845270492856881 T^{14} - 10825560696230233369 T^{15} + \)\(15\!\cdots\!72\)\( T^{16} - \)\(17\!\cdots\!40\)\( T^{17} + \)\(22\!\cdots\!46\)\( T^{18} - \)\(23\!\cdots\!22\)\( T^{19} + \)\(28\!\cdots\!42\)\( T^{20} - \)\(28\!\cdots\!70\)\( T^{21} + \)\(32\!\cdots\!50\)\( T^{22} - \)\(31\!\cdots\!32\)\( T^{23} + \)\(33\!\cdots\!29\)\( T^{24} - \)\(31\!\cdots\!15\)\( T^{25} + \)\(31\!\cdots\!16\)\( T^{26} - \)\(28\!\cdots\!49\)\( T^{27} + \)\(27\!\cdots\!88\)\( T^{28} - \)\(23\!\cdots\!45\)\( T^{29} + \)\(21\!\cdots\!66\)\( T^{30} - \)\(17\!\cdots\!22\)\( T^{31} + \)\(21\!\cdots\!66\)\( p T^{32} - \)\(23\!\cdots\!45\)\( p^{2} T^{33} + \)\(27\!\cdots\!88\)\( p^{3} T^{34} - \)\(28\!\cdots\!49\)\( p^{4} T^{35} + \)\(31\!\cdots\!16\)\( p^{5} T^{36} - \)\(31\!\cdots\!15\)\( p^{6} T^{37} + \)\(33\!\cdots\!29\)\( p^{7} T^{38} - \)\(31\!\cdots\!32\)\( p^{8} T^{39} + \)\(32\!\cdots\!50\)\( p^{9} T^{40} - \)\(28\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{41} + \)\(28\!\cdots\!42\)\( p^{11} T^{42} - \)\(23\!\cdots\!22\)\( p^{12} T^{43} + \)\(22\!\cdots\!46\)\( p^{13} T^{44} - \)\(17\!\cdots\!40\)\( p^{14} T^{45} + \)\(15\!\cdots\!72\)\( p^{15} T^{46} - 10825560696230233369 p^{16} T^{47} + 1001845270492856881 p^{17} T^{48} - 59320909173965448 p^{18} T^{49} + 5504440224118539 p^{19} T^{50} - 273192165981362 p^{20} T^{51} + 25996640753021 p^{21} T^{52} - 1023394571536 p^{22} T^{53} + 102823184361 p^{23} T^{54} - 2974522392 p^{24} T^{55} + 327198164 p^{25} T^{56} - 6228953 p^{26} T^{57} + 784373 p^{27} T^{58} - 8227 p^{28} T^{59} + 1255 p^{29} T^{60} - 5 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
83 \( 1 - 67 T + 3129 T^{2} - 108784 T^{3} + 3183423 T^{4} - 80458695 T^{5} + 1823170776 T^{6} - 37566942802 T^{7} + 716188737892 T^{8} - 12744009857243 T^{9} + 213742900678074 T^{10} - 3398602226957843 T^{11} + 51546558423455590 T^{12} - 748710605741306543 T^{13} + 10457533774287643927 T^{14} - \)\(14\!\cdots\!57\)\( T^{15} + \)\(18\!\cdots\!48\)\( T^{16} - \)\(23\!\cdots\!29\)\( T^{17} + \)\(28\!\cdots\!99\)\( T^{18} - \)\(33\!\cdots\!03\)\( T^{19} + \)\(39\!\cdots\!59\)\( T^{20} - \)\(44\!\cdots\!93\)\( T^{21} + \)\(49\!\cdots\!97\)\( T^{22} - \)\(53\!\cdots\!94\)\( T^{23} + \)\(56\!\cdots\!35\)\( T^{24} - \)\(58\!\cdots\!43\)\( T^{25} + \)\(59\!\cdots\!98\)\( T^{26} - \)\(58\!\cdots\!06\)\( T^{27} + \)\(57\!\cdots\!40\)\( T^{28} - \)\(54\!\cdots\!59\)\( T^{29} + \)\(51\!\cdots\!04\)\( T^{30} - \)\(47\!\cdots\!70\)\( T^{31} + \)\(51\!\cdots\!04\)\( p T^{32} - \)\(54\!\cdots\!59\)\( p^{2} T^{33} + \)\(57\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{34} - \)\(58\!\cdots\!06\)\( p^{4} T^{35} + \)\(59\!\cdots\!98\)\( p^{5} T^{36} - \)\(58\!\cdots\!43\)\( p^{6} T^{37} + \)\(56\!\cdots\!35\)\( p^{7} T^{38} - \)\(53\!\cdots\!94\)\( p^{8} T^{39} + \)\(49\!\cdots\!97\)\( p^{9} T^{40} - \)\(44\!\cdots\!93\)\( p^{10} T^{41} + \)\(39\!\cdots\!59\)\( p^{11} T^{42} - \)\(33\!\cdots\!03\)\( p^{12} T^{43} + \)\(28\!\cdots\!99\)\( p^{13} T^{44} - \)\(23\!\cdots\!29\)\( p^{14} T^{45} + \)\(18\!\cdots\!48\)\( p^{15} T^{46} - \)\(14\!\cdots\!57\)\( p^{16} T^{47} + 10457533774287643927 p^{17} T^{48} - 748710605741306543 p^{18} T^{49} + 51546558423455590 p^{19} T^{50} - 3398602226957843 p^{20} T^{51} + 213742900678074 p^{21} T^{52} - 12744009857243 p^{22} T^{53} + 716188737892 p^{23} T^{54} - 37566942802 p^{24} T^{55} + 1823170776 p^{25} T^{56} - 80458695 p^{26} T^{57} + 3183423 p^{27} T^{58} - 108784 p^{28} T^{59} + 3129 p^{29} T^{60} - 67 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
89 \( 1 - 22 T + 1542 T^{2} - 29910 T^{3} + 1163971 T^{4} - 20373557 T^{5} + 578539469 T^{6} - 9295476649 T^{7} + 214290338046 T^{8} - 3201513000353 T^{9} + 63343254820268 T^{10} - 888687379951944 T^{11} + 15603470267896699 T^{12} - 207135416379044148 T^{13} + 3298837857605468744 T^{14} - 41676840208976983347 T^{15} + \)\(61\!\cdots\!93\)\( T^{16} - \)\(73\!\cdots\!36\)\( T^{17} + \)\(10\!\cdots\!64\)\( T^{18} - \)\(11\!\cdots\!84\)\( T^{19} + \)\(14\!\cdots\!41\)\( T^{20} - \)\(16\!\cdots\!35\)\( T^{21} + \)\(20\!\cdots\!33\)\( T^{22} - \)\(21\!\cdots\!55\)\( T^{23} + \)\(24\!\cdots\!28\)\( T^{24} - \)\(25\!\cdots\!35\)\( T^{25} + \)\(28\!\cdots\!76\)\( T^{26} - \)\(28\!\cdots\!10\)\( T^{27} + \)\(29\!\cdots\!87\)\( T^{28} - \)\(28\!\cdots\!94\)\( T^{29} + \)\(28\!\cdots\!02\)\( T^{30} - \)\(26\!\cdots\!42\)\( T^{31} + \)\(28\!\cdots\!02\)\( p T^{32} - \)\(28\!\cdots\!94\)\( p^{2} T^{33} + \)\(29\!\cdots\!87\)\( p^{3} T^{34} - \)\(28\!\cdots\!10\)\( p^{4} T^{35} + \)\(28\!\cdots\!76\)\( p^{5} T^{36} - \)\(25\!\cdots\!35\)\( p^{6} T^{37} + \)\(24\!\cdots\!28\)\( p^{7} T^{38} - \)\(21\!\cdots\!55\)\( p^{8} T^{39} + \)\(20\!\cdots\!33\)\( p^{9} T^{40} - \)\(16\!\cdots\!35\)\( p^{10} T^{41} + \)\(14\!\cdots\!41\)\( p^{11} T^{42} - \)\(11\!\cdots\!84\)\( p^{12} T^{43} + \)\(10\!\cdots\!64\)\( p^{13} T^{44} - \)\(73\!\cdots\!36\)\( p^{14} T^{45} + \)\(61\!\cdots\!93\)\( p^{15} T^{46} - 41676840208976983347 p^{16} T^{47} + 3298837857605468744 p^{17} T^{48} - 207135416379044148 p^{18} T^{49} + 15603470267896699 p^{19} T^{50} - 888687379951944 p^{20} T^{51} + 63343254820268 p^{21} T^{52} - 3201513000353 p^{22} T^{53} + 214290338046 p^{23} T^{54} - 9295476649 p^{24} T^{55} + 578539469 p^{25} T^{56} - 20373557 p^{26} T^{57} + 1163971 p^{27} T^{58} - 29910 p^{28} T^{59} + 1542 p^{29} T^{60} - 22 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
97 \( 1 + 13 T + 2036 T^{2} + 25872 T^{3} + 2026752 T^{4} + 24977414 T^{5} + 1313426065 T^{6} + 15585206585 T^{7} + 622458798722 T^{8} + 7064444715895 T^{9} + 229782132210372 T^{10} + 2478612841271670 T^{11} + 68734901348987957 T^{12} + 700380849508040711 T^{13} + 17118684189800665551 T^{14} + \)\(16\!\cdots\!06\)\( T^{15} + \)\(36\!\cdots\!18\)\( T^{16} + \)\(32\!\cdots\!13\)\( T^{17} + \)\(66\!\cdots\!10\)\( T^{18} + \)\(54\!\cdots\!84\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!57\)\( T^{20} + \)\(80\!\cdots\!47\)\( T^{21} + \)\(14\!\cdots\!63\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!79\)\( T^{23} + \)\(19\!\cdots\!52\)\( T^{24} + \)\(12\!\cdots\!98\)\( T^{25} + \)\(22\!\cdots\!69\)\( T^{26} + \)\(13\!\cdots\!54\)\( T^{27} + \)\(24\!\cdots\!79\)\( T^{28} + \)\(13\!\cdots\!09\)\( T^{29} + \)\(24\!\cdots\!24\)\( T^{30} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( T^{31} + \)\(24\!\cdots\!24\)\( p T^{32} + \)\(13\!\cdots\!09\)\( p^{2} T^{33} + \)\(24\!\cdots\!79\)\( p^{3} T^{34} + \)\(13\!\cdots\!54\)\( p^{4} T^{35} + \)\(22\!\cdots\!69\)\( p^{5} T^{36} + \)\(12\!\cdots\!98\)\( p^{6} T^{37} + \)\(19\!\cdots\!52\)\( p^{7} T^{38} + \)\(10\!\cdots\!79\)\( p^{8} T^{39} + \)\(14\!\cdots\!63\)\( p^{9} T^{40} + \)\(80\!\cdots\!47\)\( p^{10} T^{41} + \)\(10\!\cdots\!57\)\( p^{11} T^{42} + \)\(54\!\cdots\!84\)\( p^{12} T^{43} + \)\(66\!\cdots\!10\)\( p^{13} T^{44} + \)\(32\!\cdots\!13\)\( p^{14} T^{45} + \)\(36\!\cdots\!18\)\( p^{15} T^{46} + \)\(16\!\cdots\!06\)\( p^{16} T^{47} + 17118684189800665551 p^{17} T^{48} + 700380849508040711 p^{18} T^{49} + 68734901348987957 p^{19} T^{50} + 2478612841271670 p^{20} T^{51} + 229782132210372 p^{21} T^{52} + 7064444715895 p^{22} T^{53} + 622458798722 p^{23} T^{54} + 15585206585 p^{24} T^{55} + 1313426065 p^{25} T^{56} + 24977414 p^{26} T^{57} + 2026752 p^{27} T^{58} + 25872 p^{28} T^{59} + 2036 p^{29} T^{60} + 13 p^{30} T^{61} + p^{31} T^{62} \)
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\[\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{62} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.27558022488927570413358658489, −1.22388629372659223769787181501, −1.19070889481419289845903346318, −1.14185815515325249597961012458, −1.13562048764686207624853076675, −1.04740337062937138399439037337, −1.01594040535453018298561865204, −1.01381305004215652564410974069, −0.974845110094286214063835361252, −0.944947113843457913111159014061, −0.932445305102377252574445124722, −0.911101847982377059564661825922, −0.847274792310917613042514131527, −0.829730491556810945611693655345, −0.809099136873830277606804673562, −0.78008025842949259207948904758, −0.71548112325960647166726685221, −0.65075938329851166663158904462, −0.62632184626964413810846970756, −0.62367107843450142498051304914, −0.52698195702404385626707144605, −0.50900657069477315550948831510, −0.48721874175169569244584397856, −0.37678374963793140303504878407, −0.12285119499056015249624317130, 0.12285119499056015249624317130, 0.37678374963793140303504878407, 0.48721874175169569244584397856, 0.50900657069477315550948831510, 0.52698195702404385626707144605, 0.62367107843450142498051304914, 0.62632184626964413810846970756, 0.65075938329851166663158904462, 0.71548112325960647166726685221, 0.78008025842949259207948904758, 0.809099136873830277606804673562, 0.829730491556810945611693655345, 0.847274792310917613042514131527, 0.911101847982377059564661825922, 0.932445305102377252574445124722, 0.944947113843457913111159014061, 0.974845110094286214063835361252, 1.01381305004215652564410974069, 1.01594040535453018298561865204, 1.04740337062937138399439037337, 1.13562048764686207624853076675, 1.14185815515325249597961012458, 1.19070889481419289845903346318, 1.22388629372659223769787181501, 1.27558022488927570413358658489

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.