# Properties

 Degree 10 Conductor $5^{10} \cdot 7^{5} \cdot 23^{5}$ Sign $1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 0

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 2·2-s + 3·4-s − 5·7-s − 3·8-s − 2·9-s − 4·11-s + 6·13-s + 10·14-s − 16-s + 12·17-s + 4·18-s + 6·19-s + 8·22-s + 5·23-s − 12·26-s − 15·28-s − 4·29-s + 30·31-s + 5·32-s − 24·34-s − 6·36-s − 4·37-s − 12·38-s + 6·41-s + 12·43-s − 12·44-s − 10·46-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 1.41·2-s + 3/2·4-s − 1.88·7-s − 1.06·8-s − 2/3·9-s − 1.20·11-s + 1.66·13-s + 2.67·14-s − 1/4·16-s + 2.91·17-s + 0.942·18-s + 1.37·19-s + 1.70·22-s + 1.04·23-s − 2.35·26-s − 2.83·28-s − 0.742·29-s + 5.38·31-s + 0.883·32-s − 4.11·34-s − 36-s − 0.657·37-s − 1.94·38-s + 0.937·41-s + 1.82·43-s − 1.80·44-s − 1.47·46-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{10} \cdot 7^{5} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{10} \cdot 7^{5} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$10$$ $$N$$ = $$5^{10} \cdot 7^{5} \cdot 23^{5}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{4025} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = 0 Selberg data = $(10,\ 5^{10} \cdot 7^{5} \cdot 23^{5} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$ $L(1)$ $\approx$ $2.446388343$ $L(\frac12)$ $\approx$ $2.446388343$ $L(\frac{3}{2})$ not available $L(1)$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$where, for $p \notin \{5,\;7,\;23\}$,$$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 10. If $p \in \{5,\;7,\;23\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 9.
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad5 $$1$$
7$C_1$ $$( 1 + T )^{5}$$
23$C_1$ $$( 1 - T )^{5}$$
good2$C_2 \wr S_5$ $$1 + p T + T^{2} - T^{3} + p T^{4} + 7 T^{5} + p^{2} T^{6} - p^{2} T^{7} + p^{3} T^{8} + p^{5} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
3$C_2 \wr S_5$ $$1 + 2 T^{2} + 11 T^{4} - 10 T^{5} + 11 p T^{6} + 2 p^{3} T^{8} + p^{5} T^{10}$$
11$C_2 \wr S_5$ $$1 + 4 T + 27 T^{2} + 28 T^{3} + 126 T^{4} - 400 T^{5} + 126 p T^{6} + 28 p^{2} T^{7} + 27 p^{3} T^{8} + 4 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
13$C_2 \wr S_5$ $$1 - 6 T + 56 T^{2} - 266 T^{3} + 1351 T^{4} - 4944 T^{5} + 1351 p T^{6} - 266 p^{2} T^{7} + 56 p^{3} T^{8} - 6 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
17$C_2 \wr S_5$ $$1 - 12 T + 91 T^{2} - 430 T^{3} + 1692 T^{4} - 6148 T^{5} + 1692 p T^{6} - 430 p^{2} T^{7} + 91 p^{3} T^{8} - 12 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
19$C_2 \wr S_5$ $$1 - 6 T + 67 T^{2} - 360 T^{3} + 2334 T^{4} - 9220 T^{5} + 2334 p T^{6} - 360 p^{2} T^{7} + 67 p^{3} T^{8} - 6 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
29$C_2 \wr S_5$ $$1 + 4 T + 34 T^{2} + 214 T^{3} + 1217 T^{4} + 4232 T^{5} + 1217 p T^{6} + 214 p^{2} T^{7} + 34 p^{3} T^{8} + 4 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
31$C_2 \wr S_5$ $$1 - 30 T + 502 T^{2} - 5646 T^{3} + 46995 T^{4} - 297598 T^{5} + 46995 p T^{6} - 5646 p^{2} T^{7} + 502 p^{3} T^{8} - 30 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
37$C_2 \wr S_5$ $$1 + 4 T + 109 T^{2} + 216 T^{3} + 5126 T^{4} + 5064 T^{5} + 5126 p T^{6} + 216 p^{2} T^{7} + 109 p^{3} T^{8} + 4 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
41$C_2 \wr S_5$ $$1 - 6 T + 176 T^{2} - 838 T^{3} + 13295 T^{4} - 49000 T^{5} + 13295 p T^{6} - 838 p^{2} T^{7} + 176 p^{3} T^{8} - 6 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
43$C_2 \wr S_5$ $$1 - 12 T + 191 T^{2} - 1696 T^{3} + 16226 T^{4} - 101736 T^{5} + 16226 p T^{6} - 1696 p^{2} T^{7} + 191 p^{3} T^{8} - 12 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
47$C_2 \wr S_5$ $$1 + 10 T + 110 T^{2} - 38 T^{3} - 3609 T^{4} - 58894 T^{5} - 3609 p T^{6} - 38 p^{2} T^{7} + 110 p^{3} T^{8} + 10 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
53$C_2 \wr S_5$ $$1 + 16 T + 317 T^{2} + 3240 T^{3} + 35942 T^{4} + 254032 T^{5} + 35942 p T^{6} + 3240 p^{2} T^{7} + 317 p^{3} T^{8} + 16 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
59$C_2 \wr S_5$ $$1 - 22 T + 7 p T^{2} - 5194 T^{3} + 54600 T^{4} - 458288 T^{5} + 54600 p T^{6} - 5194 p^{2} T^{7} + 7 p^{4} T^{8} - 22 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
61$C_2 \wr S_5$ $$1 + 18 T + 339 T^{2} + 3954 T^{3} + 43744 T^{4} + 348488 T^{5} + 43744 p T^{6} + 3954 p^{2} T^{7} + 339 p^{3} T^{8} + 18 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
67$C_2 \wr S_5$ $$1 - 2 T + 35 T^{2} + 204 T^{3} + 6790 T^{4} - 16644 T^{5} + 6790 p T^{6} + 204 p^{2} T^{7} + 35 p^{3} T^{8} - 2 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
71$C_2 \wr S_5$ $$1 - 4 T + 254 T^{2} - 860 T^{3} + 30833 T^{4} - 86976 T^{5} + 30833 p T^{6} - 860 p^{2} T^{7} + 254 p^{3} T^{8} - 4 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
73$C_2 \wr S_5$ $$1 - 2 T + 168 T^{2} - 946 T^{3} + 18175 T^{4} - 89144 T^{5} + 18175 p T^{6} - 946 p^{2} T^{7} + 168 p^{3} T^{8} - 2 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
79$C_2 \wr S_5$ $$1 - 30 T + 703 T^{2} - 10676 T^{3} + 136374 T^{4} - 1310412 T^{5} + 136374 p T^{6} - 10676 p^{2} T^{7} + 703 p^{3} T^{8} - 30 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
83$C_2 \wr S_5$ $$1 + 8 T + 359 T^{2} + 2224 T^{3} + 55778 T^{4} + 264336 T^{5} + 55778 p T^{6} + 2224 p^{2} T^{7} + 359 p^{3} T^{8} + 8 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
89$C_2 \wr S_5$ $$1 + 20 T + 511 T^{2} + 6422 T^{3} + 92672 T^{4} + 821572 T^{5} + 92672 p T^{6} + 6422 p^{2} T^{7} + 511 p^{3} T^{8} + 20 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
97$C_2 \wr S_5$ $$1 - 12 T + 371 T^{2} - 3294 T^{3} + 61432 T^{4} - 417340 T^{5} + 61432 p T^{6} - 3294 p^{2} T^{7} + 371 p^{3} T^{8} - 12 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}