Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 16·3-s − 11·4-s − 6·5-s − 13·7-s − 3·8-s + 136·9-s − 5·11-s − 176·12-s − 16·13-s − 96·15-s + 52·16-s − 17-s + 6·19-s + 66·20-s − 208·21-s − 21·23-s − 48·24-s − 27·25-s + 816·27-s + 143·28-s − 17·29-s − 33·31-s + 33·32-s − 80·33-s + 78·35-s − 1.49e3·36-s − 23·37-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 9.23·3-s − 5.5·4-s − 2.68·5-s − 4.91·7-s − 1.06·8-s + 45.3·9-s − 1.50·11-s − 50.8·12-s − 4.43·13-s − 24.7·15-s + 13·16-s − 0.242·17-s + 1.37·19-s + 14.7·20-s − 45.3·21-s − 4.37·23-s − 9.79·24-s − 5.39·25-s + 157.·27-s + 27.0·28-s − 3.15·29-s − 5.92·31-s + 5.83·32-s − 13.9·33-s + 13.1·35-s − 249.·36-s − 3.78·37-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{16} \cdot 13^{16} \cdot 103^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{16} \cdot 13^{16} \cdot 103^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(32\) |
| Conductor: | \(3^{16} \cdot 13^{16} \cdot 103^{16}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.25563\times 10^{24}\) |
| Root analytic conductor: | \(5.66355\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(16\) |
| Selberg data: | \((32,\ 3^{16} \cdot 13^{16} \cdot 103^{16} ,\ ( \ : [1/2]^{16} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 - T )^{16} \) |
| 13 | \( ( 1 + T )^{16} \) | |
| 103 | \( ( 1 - T )^{16} \) | |
| good | 2 | \( 1 + 11 T^{2} + 3 T^{3} + 69 T^{4} + 33 T^{5} + 321 T^{6} + 197 T^{7} + 1207 T^{8} + 843 T^{9} + 1919 p T^{10} + 707 p^{2} T^{11} + 10577 T^{12} + 7805 T^{13} + 25545 T^{14} + 285 p^{6} T^{15} + 54371 T^{16} + 285 p^{7} T^{17} + 25545 p^{2} T^{18} + 7805 p^{3} T^{19} + 10577 p^{4} T^{20} + 707 p^{7} T^{21} + 1919 p^{7} T^{22} + 843 p^{7} T^{23} + 1207 p^{8} T^{24} + 197 p^{9} T^{25} + 321 p^{10} T^{26} + 33 p^{11} T^{27} + 69 p^{12} T^{28} + 3 p^{13} T^{29} + 11 p^{14} T^{30} + p^{16} T^{32} \) |
| 5 | \( 1 + 6 T + 63 T^{2} + 297 T^{3} + 1808 T^{4} + 1423 p T^{5} + 6481 p T^{6} + 22109 p T^{7} + 414963 T^{8} + 1258263 T^{9} + 817962 p T^{10} + 11204141 T^{11} + 32424912 T^{12} + 81010514 T^{13} + 212055774 T^{14} + 485086372 T^{15} + 1158154701 T^{16} + 485086372 p T^{17} + 212055774 p^{2} T^{18} + 81010514 p^{3} T^{19} + 32424912 p^{4} T^{20} + 11204141 p^{5} T^{21} + 817962 p^{7} T^{22} + 1258263 p^{7} T^{23} + 414963 p^{8} T^{24} + 22109 p^{10} T^{25} + 6481 p^{11} T^{26} + 1423 p^{12} T^{27} + 1808 p^{12} T^{28} + 297 p^{13} T^{29} + 63 p^{14} T^{30} + 6 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 7 | \( 1 + 13 T + 149 T^{2} + 1172 T^{3} + 8306 T^{4} + 48983 T^{5} + 265941 T^{6} + 1280626 T^{7} + 5759546 T^{8} + 23663083 T^{9} + 91657373 T^{10} + 329497626 T^{11} + 1123505752 T^{12} + 3587011075 T^{13} + 10901801474 T^{14} + 31166268813 T^{15} + 84960123175 T^{16} + 31166268813 p T^{17} + 10901801474 p^{2} T^{18} + 3587011075 p^{3} T^{19} + 1123505752 p^{4} T^{20} + 329497626 p^{5} T^{21} + 91657373 p^{6} T^{22} + 23663083 p^{7} T^{23} + 5759546 p^{8} T^{24} + 1280626 p^{9} T^{25} + 265941 p^{10} T^{26} + 48983 p^{11} T^{27} + 8306 p^{12} T^{28} + 1172 p^{13} T^{29} + 149 p^{14} T^{30} + 13 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 11 | \( 1 + 5 T + 103 T^{2} + 468 T^{3} + 5155 T^{4} + 21737 T^{5} + 15360 p T^{6} + 674495 T^{7} + 4125967 T^{8} + 15786120 T^{9} + 80534912 T^{10} + 295906003 T^{11} + 1306828751 T^{12} + 4581629419 T^{13} + 148876945 p^{2} T^{14} + 59563908141 T^{15} + 213368671275 T^{16} + 59563908141 p T^{17} + 148876945 p^{4} T^{18} + 4581629419 p^{3} T^{19} + 1306828751 p^{4} T^{20} + 295906003 p^{5} T^{21} + 80534912 p^{6} T^{22} + 15786120 p^{7} T^{23} + 4125967 p^{8} T^{24} + 674495 p^{9} T^{25} + 15360 p^{11} T^{26} + 21737 p^{11} T^{27} + 5155 p^{12} T^{28} + 468 p^{13} T^{29} + 103 p^{14} T^{30} + 5 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 17 | \( 1 + T + 185 T^{2} + 128 T^{3} + 16210 T^{4} + 5248 T^{5} + 896252 T^{6} - 97966 T^{7} + 35234374 T^{8} - 1242264 p T^{9} + 1057224025 T^{10} - 1172403634 T^{11} + 25563421147 T^{12} - 39596372033 T^{13} + 522806390149 T^{14} - 929982009080 T^{15} + 9402855969331 T^{16} - 929982009080 p T^{17} + 522806390149 p^{2} T^{18} - 39596372033 p^{3} T^{19} + 25563421147 p^{4} T^{20} - 1172403634 p^{5} T^{21} + 1057224025 p^{6} T^{22} - 1242264 p^{8} T^{23} + 35234374 p^{8} T^{24} - 97966 p^{9} T^{25} + 896252 p^{10} T^{26} + 5248 p^{11} T^{27} + 16210 p^{12} T^{28} + 128 p^{13} T^{29} + 185 p^{14} T^{30} + p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 19 | \( 1 - 6 T + 189 T^{2} - 896 T^{3} + 16481 T^{4} - 59325 T^{5} + 870526 T^{6} - 2078906 T^{7} + 30498830 T^{8} - 25915099 T^{9} + 721784287 T^{10} + 1149666723 T^{11} + 11008302177 T^{12} + 75193606493 T^{13} + 93098661367 T^{14} + 2256718908251 T^{15} + 606067442715 T^{16} + 2256718908251 p T^{17} + 93098661367 p^{2} T^{18} + 75193606493 p^{3} T^{19} + 11008302177 p^{4} T^{20} + 1149666723 p^{5} T^{21} + 721784287 p^{6} T^{22} - 25915099 p^{7} T^{23} + 30498830 p^{8} T^{24} - 2078906 p^{9} T^{25} + 870526 p^{10} T^{26} - 59325 p^{11} T^{27} + 16481 p^{12} T^{28} - 896 p^{13} T^{29} + 189 p^{14} T^{30} - 6 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 23 | \( 1 + 21 T + 420 T^{2} + 5588 T^{3} + 68980 T^{4} + 699998 T^{5} + 6639302 T^{6} + 55581914 T^{7} + 19079526 p T^{8} + 3160467956 T^{9} + 21623399241 T^{10} + 137363499366 T^{11} + 833411377896 T^{12} + 4741844098829 T^{13} + 25858406038707 T^{14} + 132926304470906 T^{15} + 656062497467189 T^{16} + 132926304470906 p T^{17} + 25858406038707 p^{2} T^{18} + 4741844098829 p^{3} T^{19} + 833411377896 p^{4} T^{20} + 137363499366 p^{5} T^{21} + 21623399241 p^{6} T^{22} + 3160467956 p^{7} T^{23} + 19079526 p^{9} T^{24} + 55581914 p^{9} T^{25} + 6639302 p^{10} T^{26} + 699998 p^{11} T^{27} + 68980 p^{12} T^{28} + 5588 p^{13} T^{29} + 420 p^{14} T^{30} + 21 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 29 | \( 1 + 17 T + 382 T^{2} + 4493 T^{3} + 61304 T^{4} + 572658 T^{5} + 6003778 T^{6} + 47507896 T^{7} + 418744825 T^{8} + 2918415745 T^{9} + 22669608551 T^{10} + 142653322489 T^{11} + 1002250783092 T^{12} + 5775139652754 T^{13} + 37169837531505 T^{14} + 197275016475520 T^{15} + 1169024019773341 T^{16} + 197275016475520 p T^{17} + 37169837531505 p^{2} T^{18} + 5775139652754 p^{3} T^{19} + 1002250783092 p^{4} T^{20} + 142653322489 p^{5} T^{21} + 22669608551 p^{6} T^{22} + 2918415745 p^{7} T^{23} + 418744825 p^{8} T^{24} + 47507896 p^{9} T^{25} + 6003778 p^{10} T^{26} + 572658 p^{11} T^{27} + 61304 p^{12} T^{28} + 4493 p^{13} T^{29} + 382 p^{14} T^{30} + 17 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 31 | \( 1 + 33 T + 798 T^{2} + 13776 T^{3} + 200919 T^{4} + 2457514 T^{5} + 26725983 T^{6} + 257317564 T^{7} + 2261797203 T^{8} + 18088811728 T^{9} + 134494073707 T^{10} + 927661553610 T^{11} + 6053361007013 T^{12} + 37359222213316 T^{13} + 222554232877347 T^{14} + 1279029067003387 T^{15} + 7215455552667321 T^{16} + 1279029067003387 p T^{17} + 222554232877347 p^{2} T^{18} + 37359222213316 p^{3} T^{19} + 6053361007013 p^{4} T^{20} + 927661553610 p^{5} T^{21} + 134494073707 p^{6} T^{22} + 18088811728 p^{7} T^{23} + 2261797203 p^{8} T^{24} + 257317564 p^{9} T^{25} + 26725983 p^{10} T^{26} + 2457514 p^{11} T^{27} + 200919 p^{12} T^{28} + 13776 p^{13} T^{29} + 798 p^{14} T^{30} + 33 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 37 | \( 1 + 23 T + 546 T^{2} + 226 p T^{3} + 124217 T^{4} + 1497794 T^{5} + 17395660 T^{6} + 177027635 T^{7} + 1735971971 T^{8} + 15439423027 T^{9} + 132540944311 T^{10} + 1050736287635 T^{11} + 8052582550557 T^{12} + 57556305197255 T^{13} + 398120263677646 T^{14} + 2581256279955595 T^{15} + 16205026090197957 T^{16} + 2581256279955595 p T^{17} + 398120263677646 p^{2} T^{18} + 57556305197255 p^{3} T^{19} + 8052582550557 p^{4} T^{20} + 1050736287635 p^{5} T^{21} + 132540944311 p^{6} T^{22} + 15439423027 p^{7} T^{23} + 1735971971 p^{8} T^{24} + 177027635 p^{9} T^{25} + 17395660 p^{10} T^{26} + 1497794 p^{11} T^{27} + 124217 p^{12} T^{28} + 226 p^{14} T^{29} + 546 p^{14} T^{30} + 23 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 41 | \( 1 - 7 T + 433 T^{2} - 2795 T^{3} + 92046 T^{4} - 561342 T^{5} + 12862008 T^{6} - 74802669 T^{7} + 1325543074 T^{8} - 179271192 p T^{9} + 106865779223 T^{10} - 561760441455 T^{11} + 6970177220808 T^{12} - 34413366371858 T^{13} + 375022839134302 T^{14} - 1718157991944314 T^{15} + 16815911734423615 T^{16} - 1718157991944314 p T^{17} + 375022839134302 p^{2} T^{18} - 34413366371858 p^{3} T^{19} + 6970177220808 p^{4} T^{20} - 561760441455 p^{5} T^{21} + 106865779223 p^{6} T^{22} - 179271192 p^{8} T^{23} + 1325543074 p^{8} T^{24} - 74802669 p^{9} T^{25} + 12862008 p^{10} T^{26} - 561342 p^{11} T^{27} + 92046 p^{12} T^{28} - 2795 p^{13} T^{29} + 433 p^{14} T^{30} - 7 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 43 | \( 1 + 33 T + 807 T^{2} + 14013 T^{3} + 210617 T^{4} + 2673429 T^{5} + 31041288 T^{6} + 323566690 T^{7} + 3174452934 T^{8} + 670377551 p T^{9} + 5825883432 p T^{10} + 2048975124703 T^{11} + 16184599779161 T^{12} + 121327338875479 T^{13} + 881781458787489 T^{14} + 6102466570046400 T^{15} + 40991254409033571 T^{16} + 6102466570046400 p T^{17} + 881781458787489 p^{2} T^{18} + 121327338875479 p^{3} T^{19} + 16184599779161 p^{4} T^{20} + 2048975124703 p^{5} T^{21} + 5825883432 p^{7} T^{22} + 670377551 p^{8} T^{23} + 3174452934 p^{8} T^{24} + 323566690 p^{9} T^{25} + 31041288 p^{10} T^{26} + 2673429 p^{11} T^{27} + 210617 p^{12} T^{28} + 14013 p^{13} T^{29} + 807 p^{14} T^{30} + 33 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 47 | \( 1 + 13 T + 506 T^{2} + 5531 T^{3} + 121933 T^{4} + 1151310 T^{5} + 18765873 T^{6} + 156130578 T^{7} + 2088051163 T^{8} + 15543390385 T^{9} + 180307471207 T^{10} + 1216379986349 T^{11} + 12664105586572 T^{12} + 78296720053043 T^{13} + 747345536131286 T^{14} + 4272703074590882 T^{15} + 37806653876981405 T^{16} + 4272703074590882 p T^{17} + 747345536131286 p^{2} T^{18} + 78296720053043 p^{3} T^{19} + 12664105586572 p^{4} T^{20} + 1216379986349 p^{5} T^{21} + 180307471207 p^{6} T^{22} + 15543390385 p^{7} T^{23} + 2088051163 p^{8} T^{24} + 156130578 p^{9} T^{25} + 18765873 p^{10} T^{26} + 1151310 p^{11} T^{27} + 121933 p^{12} T^{28} + 5531 p^{13} T^{29} + 506 p^{14} T^{30} + 13 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 53 | \( 1 + 20 T + 657 T^{2} + 11019 T^{3} + 3933 p T^{4} + 2968289 T^{5} + 42361540 T^{6} + 520856655 T^{7} + 6178485362 T^{8} + 66720949994 T^{9} + 687555638024 T^{10} + 6613477092993 T^{11} + 60572154748597 T^{12} + 524121427328877 T^{13} + 4320082712516532 T^{14} + 33825250778665414 T^{15} + 252463984338875259 T^{16} + 33825250778665414 p T^{17} + 4320082712516532 p^{2} T^{18} + 524121427328877 p^{3} T^{19} + 60572154748597 p^{4} T^{20} + 6613477092993 p^{5} T^{21} + 687555638024 p^{6} T^{22} + 66720949994 p^{7} T^{23} + 6178485362 p^{8} T^{24} + 520856655 p^{9} T^{25} + 42361540 p^{10} T^{26} + 2968289 p^{11} T^{27} + 3933 p^{13} T^{28} + 11019 p^{13} T^{29} + 657 p^{14} T^{30} + 20 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 59 | \( 1 - 6 T + 450 T^{2} - 3104 T^{3} + 107556 T^{4} - 793021 T^{5} + 17956435 T^{6} - 134051810 T^{7} + 2320209526 T^{8} - 16928358836 T^{9} + 243556826818 T^{10} - 1701915137751 T^{11} + 21337965113765 T^{12} - 141090837953809 T^{13} + 1586076706524103 T^{14} - 9827215165558520 T^{15} + 100965940994665475 T^{16} - 9827215165558520 p T^{17} + 1586076706524103 p^{2} T^{18} - 141090837953809 p^{3} T^{19} + 21337965113765 p^{4} T^{20} - 1701915137751 p^{5} T^{21} + 243556826818 p^{6} T^{22} - 16928358836 p^{7} T^{23} + 2320209526 p^{8} T^{24} - 134051810 p^{9} T^{25} + 17956435 p^{10} T^{26} - 793021 p^{11} T^{27} + 107556 p^{12} T^{28} - 3104 p^{13} T^{29} + 450 p^{14} T^{30} - 6 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 61 | \( 1 + 49 T + 1445 T^{2} + 30643 T^{3} + 516127 T^{4} + 7207564 T^{5} + 85963998 T^{6} + 890252739 T^{7} + 8093675561 T^{8} + 64740574591 T^{9} + 452368767302 T^{10} + 2670323232598 T^{11} + 11946108049152 T^{12} + 19411519103057 T^{13} - 353341507738210 T^{14} - 5456325917254617 T^{15} - 50050491269126031 T^{16} - 5456325917254617 p T^{17} - 353341507738210 p^{2} T^{18} + 19411519103057 p^{3} T^{19} + 11946108049152 p^{4} T^{20} + 2670323232598 p^{5} T^{21} + 452368767302 p^{6} T^{22} + 64740574591 p^{7} T^{23} + 8093675561 p^{8} T^{24} + 890252739 p^{9} T^{25} + 85963998 p^{10} T^{26} + 7207564 p^{11} T^{27} + 516127 p^{12} T^{28} + 30643 p^{13} T^{29} + 1445 p^{14} T^{30} + 49 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 67 | \( 1 + 4 T + 554 T^{2} + 1713 T^{3} + 147685 T^{4} + 287141 T^{5} + 25021566 T^{6} + 12599179 T^{7} + 3018876326 T^{8} - 3981375073 T^{9} + 278089867837 T^{10} - 1003383262359 T^{11} + 20871040870445 T^{12} - 130529192959041 T^{13} + 1390286487767268 T^{14} - 11769338625737108 T^{15} + 91279376974770109 T^{16} - 11769338625737108 p T^{17} + 1390286487767268 p^{2} T^{18} - 130529192959041 p^{3} T^{19} + 20871040870445 p^{4} T^{20} - 1003383262359 p^{5} T^{21} + 278089867837 p^{6} T^{22} - 3981375073 p^{7} T^{23} + 3018876326 p^{8} T^{24} + 12599179 p^{9} T^{25} + 25021566 p^{10} T^{26} + 287141 p^{11} T^{27} + 147685 p^{12} T^{28} + 1713 p^{13} T^{29} + 554 p^{14} T^{30} + 4 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 71 | \( 1 + 29 T + 1067 T^{2} + 22461 T^{3} + 496204 T^{4} + 8372386 T^{5} + 140578765 T^{6} + 2003758465 T^{7} + 27871656891 T^{8} + 346350355143 T^{9} + 4166030041368 T^{10} + 46038827837200 T^{11} + 490677379082246 T^{12} + 4881574615448695 T^{13} + 46758782506118940 T^{14} + 421549755242357416 T^{15} + 3656604511028036343 T^{16} + 421549755242357416 p T^{17} + 46758782506118940 p^{2} T^{18} + 4881574615448695 p^{3} T^{19} + 490677379082246 p^{4} T^{20} + 46038827837200 p^{5} T^{21} + 4166030041368 p^{6} T^{22} + 346350355143 p^{7} T^{23} + 27871656891 p^{8} T^{24} + 2003758465 p^{9} T^{25} + 140578765 p^{10} T^{26} + 8372386 p^{11} T^{27} + 496204 p^{12} T^{28} + 22461 p^{13} T^{29} + 1067 p^{14} T^{30} + 29 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 73 | \( 1 + 21 T + 843 T^{2} + 12706 T^{3} + 301429 T^{4} + 3562537 T^{5} + 64991253 T^{6} + 633326442 T^{7} + 9968974435 T^{8} + 83364066381 T^{9} + 1212228806064 T^{10} + 9033863092764 T^{11} + 125272833116271 T^{12} + 856091131617299 T^{13} + 11300665713265806 T^{14} + 71642851343601187 T^{15} + 886933815975108711 T^{16} + 71642851343601187 p T^{17} + 11300665713265806 p^{2} T^{18} + 856091131617299 p^{3} T^{19} + 125272833116271 p^{4} T^{20} + 9033863092764 p^{5} T^{21} + 1212228806064 p^{6} T^{22} + 83364066381 p^{7} T^{23} + 9968974435 p^{8} T^{24} + 633326442 p^{9} T^{25} + 64991253 p^{10} T^{26} + 3562537 p^{11} T^{27} + 301429 p^{12} T^{28} + 12706 p^{13} T^{29} + 843 p^{14} T^{30} + 21 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 79 | \( 1 + 70 T + 3181 T^{2} + 106206 T^{3} + 2903742 T^{4} + 67363691 T^{5} + 1370556324 T^{6} + 24863746244 T^{7} + 408341937164 T^{8} + 6127085067015 T^{9} + 84697311482740 T^{10} + 1084494938901919 T^{11} + 12925303174447985 T^{12} + 143837961451830280 T^{13} + 1498705028538343730 T^{14} + 14642810470765089212 T^{15} + \)\(13\!\cdots\!83\)\( T^{16} + 14642810470765089212 p T^{17} + 1498705028538343730 p^{2} T^{18} + 143837961451830280 p^{3} T^{19} + 12925303174447985 p^{4} T^{20} + 1084494938901919 p^{5} T^{21} + 84697311482740 p^{6} T^{22} + 6127085067015 p^{7} T^{23} + 408341937164 p^{8} T^{24} + 24863746244 p^{9} T^{25} + 1370556324 p^{10} T^{26} + 67363691 p^{11} T^{27} + 2903742 p^{12} T^{28} + 106206 p^{13} T^{29} + 3181 p^{14} T^{30} + 70 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 83 | \( 1 - 5 T + 788 T^{2} - 4064 T^{3} + 314344 T^{4} - 1642590 T^{5} + 83715189 T^{6} - 437000895 T^{7} + 16622508813 T^{8} - 85505455581 T^{9} + 2607632114640 T^{10} - 13029710377055 T^{11} + 334369739375426 T^{12} - 1597484401188633 T^{13} + 430917132039389 p T^{14} - 1933509966681008 p T^{15} + 5643275328307 p^{3} T^{16} - 1933509966681008 p^{2} T^{17} + 430917132039389 p^{3} T^{18} - 1597484401188633 p^{3} T^{19} + 334369739375426 p^{4} T^{20} - 13029710377055 p^{5} T^{21} + 2607632114640 p^{6} T^{22} - 85505455581 p^{7} T^{23} + 16622508813 p^{8} T^{24} - 437000895 p^{9} T^{25} + 83715189 p^{10} T^{26} - 1642590 p^{11} T^{27} + 314344 p^{12} T^{28} - 4064 p^{13} T^{29} + 788 p^{14} T^{30} - 5 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 89 | \( 1 + 8 T + 788 T^{2} + 5622 T^{3} + 314928 T^{4} + 1982365 T^{5} + 84101576 T^{6} + 462998681 T^{7} + 16774707768 T^{8} + 80263731785 T^{9} + 2656947249836 T^{10} + 11051808048320 T^{11} + 347589138735910 T^{12} + 1271156624445054 T^{13} + 38565010417995184 T^{14} + 127083106064549923 T^{15} + 3687295841422531449 T^{16} + 127083106064549923 p T^{17} + 38565010417995184 p^{2} T^{18} + 1271156624445054 p^{3} T^{19} + 347589138735910 p^{4} T^{20} + 11051808048320 p^{5} T^{21} + 2656947249836 p^{6} T^{22} + 80263731785 p^{7} T^{23} + 16774707768 p^{8} T^{24} + 462998681 p^{9} T^{25} + 84101576 p^{10} T^{26} + 1982365 p^{11} T^{27} + 314928 p^{12} T^{28} + 5622 p^{13} T^{29} + 788 p^{14} T^{30} + 8 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 97 | \( 1 + 30 T + 1384 T^{2} + 30095 T^{3} + 821624 T^{4} + 14435275 T^{5} + 298548880 T^{6} + 4482639379 T^{7} + 76950885206 T^{8} + 1018756644687 T^{9} + 15174072985234 T^{10} + 180306557628117 T^{11} + 2387553095005840 T^{12} + 25718042088085683 T^{13} + 307027229025665160 T^{14} + 3012399828928057707 T^{15} + 32674113638507094703 T^{16} + 3012399828928057707 p T^{17} + 307027229025665160 p^{2} T^{18} + 25718042088085683 p^{3} T^{19} + 2387553095005840 p^{4} T^{20} + 180306557628117 p^{5} T^{21} + 15174072985234 p^{6} T^{22} + 1018756644687 p^{7} T^{23} + 76950885206 p^{8} T^{24} + 4482639379 p^{9} T^{25} + 298548880 p^{10} T^{26} + 14435275 p^{11} T^{27} + 821624 p^{12} T^{28} + 30095 p^{13} T^{29} + 1384 p^{14} T^{30} + 30 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{32} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.62751524693145256478112221003, −2.60985473756824753091339891398, −2.45808726394832801955671977840, −2.43868589067931884299178195323, −2.30836396127493035413230815038, −2.28594544801099318191702111640, −2.08713416682727039780923070276, −2.05013961592564703964815403486, −2.03462109800072485414545279016, −2.01636507994009584976808163806, −2.00847986827187506144225038297, −1.93139235165688225903184052529, −1.86960135884693575167360655063, −1.86091020804325146333062815442, −1.55454238515421423939922920450, −1.54560477655518194496459803156, −1.52589377920639088470854515941, −1.51844726640622959260073362442, −1.51229357085470165655104196778, −1.40358393588057097169111600984, −1.33683372612908241998225450378, −1.32530274365573583681952001050, −1.15566775160125572572985608510, −1.13761669062371569845174585161, −1.05463247670934054990169606954, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.05463247670934054990169606954, 1.13761669062371569845174585161, 1.15566775160125572572985608510, 1.32530274365573583681952001050, 1.33683372612908241998225450378, 1.40358393588057097169111600984, 1.51229357085470165655104196778, 1.51844726640622959260073362442, 1.52589377920639088470854515941, 1.54560477655518194496459803156, 1.55454238515421423939922920450, 1.86091020804325146333062815442, 1.86960135884693575167360655063, 1.93139235165688225903184052529, 2.00847986827187506144225038297, 2.01636507994009584976808163806, 2.03462109800072485414545279016, 2.05013961592564703964815403486, 2.08713416682727039780923070276, 2.28594544801099318191702111640, 2.30836396127493035413230815038, 2.43868589067931884299178195323, 2.45808726394832801955671977840, 2.60985473756824753091339891398, 2.62751524693145256478112221003
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.