Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 17·2-s + 3·3-s + 153·4-s − 17·5-s − 51·6-s + 4·7-s − 969·8-s − 18·9-s + 289·10-s − 8·11-s + 459·12-s + 14·13-s − 68·14-s − 51·15-s + 4.84e3·16-s − 8·17-s + 306·18-s + 7·19-s − 2.60e3·20-s + 12·21-s + 136·22-s + 23-s − 2.90e3·24-s + 153·25-s − 238·26-s − 61·27-s + 612·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 12.0·2-s + 1.73·3-s + 76.5·4-s − 7.60·5-s − 20.8·6-s + 1.51·7-s − 342.·8-s − 6·9-s + 91.3·10-s − 2.41·11-s + 132.·12-s + 3.88·13-s − 18.1·14-s − 13.1·15-s + 1.21e3·16-s − 1.94·17-s + 72.1·18-s + 1.60·19-s − 581.·20-s + 2.61·21-s + 28.9·22-s + 0.208·23-s − 593.·24-s + 30.5·25-s − 46.6·26-s − 11.7·27-s + 115.·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 5^{17} \cdot 401^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{17} \cdot 5^{17} \cdot 401^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(2^{17} \cdot 5^{17} \cdot 401^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(3.90989\times 10^{25}\) |
| Root analytic conductor: | \(5.65862\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 2^{17} \cdot 5^{17} \cdot 401^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(0.01415593593\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.01415593593\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 + T )^{17} \) |
| 5 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| 401 | \( ( 1 - T )^{17} \) | |
| good | 3 | \( 1 - p T + p^{3} T^{2} - 74 T^{3} + 124 p T^{4} - 938 T^{5} + 3497 T^{6} - 8144 T^{7} + 2785 p^{2} T^{8} - 54067 T^{9} + 144730 T^{10} - 96652 p T^{11} + 694811 T^{12} - 431779 p T^{13} + 2826331 T^{14} - 4904990 T^{15} + 9848296 T^{16} - 15887336 T^{17} + 9848296 p T^{18} - 4904990 p^{2} T^{19} + 2826331 p^{3} T^{20} - 431779 p^{5} T^{21} + 694811 p^{5} T^{22} - 96652 p^{7} T^{23} + 144730 p^{7} T^{24} - 54067 p^{8} T^{25} + 2785 p^{11} T^{26} - 8144 p^{10} T^{27} + 3497 p^{11} T^{28} - 938 p^{12} T^{29} + 124 p^{14} T^{30} - 74 p^{14} T^{31} + p^{18} T^{32} - p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 7 | \( 1 - 4 T + 54 T^{2} - 194 T^{3} + 29 p^{2} T^{4} - 4579 T^{5} + 24260 T^{6} - 70066 T^{7} + 305451 T^{8} - 796809 T^{9} + 3110613 T^{10} - 7488895 T^{11} + 27727668 T^{12} - 63462879 T^{13} + 227702190 T^{14} - 503646169 T^{15} + 1737275532 T^{16} - 3693969338 T^{17} + 1737275532 p T^{18} - 503646169 p^{2} T^{19} + 227702190 p^{3} T^{20} - 63462879 p^{4} T^{21} + 27727668 p^{5} T^{22} - 7488895 p^{6} T^{23} + 3110613 p^{7} T^{24} - 796809 p^{8} T^{25} + 305451 p^{9} T^{26} - 70066 p^{10} T^{27} + 24260 p^{11} T^{28} - 4579 p^{12} T^{29} + 29 p^{15} T^{30} - 194 p^{14} T^{31} + 54 p^{15} T^{32} - 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 + 8 T + 119 T^{2} + 756 T^{3} + 6421 T^{4} + 34108 T^{5} + 215576 T^{6} + 995396 T^{7} + 5217488 T^{8} + 1967726 p T^{9} + 100122992 T^{10} + 383402870 T^{11} + 1624676799 T^{12} + 5837071158 T^{13} + 23056429337 T^{14} + 78020337916 T^{15} + 288444048531 T^{16} + 916491513240 T^{17} + 288444048531 p T^{18} + 78020337916 p^{2} T^{19} + 23056429337 p^{3} T^{20} + 5837071158 p^{4} T^{21} + 1624676799 p^{5} T^{22} + 383402870 p^{6} T^{23} + 100122992 p^{7} T^{24} + 1967726 p^{9} T^{25} + 5217488 p^{9} T^{26} + 995396 p^{10} T^{27} + 215576 p^{11} T^{28} + 34108 p^{12} T^{29} + 6421 p^{13} T^{30} + 756 p^{14} T^{31} + 119 p^{15} T^{32} + 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 - 14 T + 188 T^{2} - 1709 T^{3} + 14688 T^{4} - 104729 T^{5} + 710895 T^{6} - 4286064 T^{7} + 24770030 T^{8} - 131212980 T^{9} + 669741138 T^{10} - 3186738722 T^{11} + 14663661497 T^{12} - 63509366239 T^{13} + 266641393844 T^{14} - 1059405873689 T^{15} + 4085863671859 T^{16} - 14949155109868 T^{17} + 4085863671859 p T^{18} - 1059405873689 p^{2} T^{19} + 266641393844 p^{3} T^{20} - 63509366239 p^{4} T^{21} + 14663661497 p^{5} T^{22} - 3186738722 p^{6} T^{23} + 669741138 p^{7} T^{24} - 131212980 p^{8} T^{25} + 24770030 p^{9} T^{26} - 4286064 p^{10} T^{27} + 710895 p^{11} T^{28} - 104729 p^{12} T^{29} + 14688 p^{13} T^{30} - 1709 p^{14} T^{31} + 188 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 + 8 T + 168 T^{2} + 1094 T^{3} + 12936 T^{4} + 72676 T^{5} + 638266 T^{6} + 3230701 T^{7} + 23535657 T^{8} + 110236578 T^{9} + 704135559 T^{10} + 3089429848 T^{11} + 17850678593 T^{12} + 73710688863 T^{13} + 23098331122 p T^{14} + 1527388326679 T^{15} + 7581461046292 T^{16} + 27721055960372 T^{17} + 7581461046292 p T^{18} + 1527388326679 p^{2} T^{19} + 23098331122 p^{4} T^{20} + 73710688863 p^{4} T^{21} + 17850678593 p^{5} T^{22} + 3089429848 p^{6} T^{23} + 704135559 p^{7} T^{24} + 110236578 p^{8} T^{25} + 23535657 p^{9} T^{26} + 3230701 p^{10} T^{27} + 638266 p^{11} T^{28} + 72676 p^{12} T^{29} + 12936 p^{13} T^{30} + 1094 p^{14} T^{31} + 168 p^{15} T^{32} + 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 - 7 T + 7 p T^{2} - 705 T^{3} + 8374 T^{4} - 35180 T^{5} + 345811 T^{6} - 1208188 T^{7} + 11190229 T^{8} - 34531294 T^{9} + 315792563 T^{10} - 906583990 T^{11} + 8040380821 T^{12} - 21775619948 T^{13} + 183703598236 T^{14} - 469086364517 T^{15} + 3792015256306 T^{16} - 9233975523846 T^{17} + 3792015256306 p T^{18} - 469086364517 p^{2} T^{19} + 183703598236 p^{3} T^{20} - 21775619948 p^{4} T^{21} + 8040380821 p^{5} T^{22} - 906583990 p^{6} T^{23} + 315792563 p^{7} T^{24} - 34531294 p^{8} T^{25} + 11190229 p^{9} T^{26} - 1208188 p^{10} T^{27} + 345811 p^{11} T^{28} - 35180 p^{12} T^{29} + 8374 p^{13} T^{30} - 705 p^{14} T^{31} + 7 p^{16} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - T + 258 T^{2} - 586 T^{3} + 32167 T^{4} - 110407 T^{5} + 2627477 T^{6} - 11472227 T^{7} + 159987825 T^{8} - 793118792 T^{9} + 7755873787 T^{10} - 40094248967 T^{11} + 308835875999 T^{12} - 1566359147625 T^{13} + 10221086295673 T^{14} - 48903765882012 T^{15} + 281969559330651 T^{16} - 1242948205696206 T^{17} + 281969559330651 p T^{18} - 48903765882012 p^{2} T^{19} + 10221086295673 p^{3} T^{20} - 1566359147625 p^{4} T^{21} + 308835875999 p^{5} T^{22} - 40094248967 p^{6} T^{23} + 7755873787 p^{7} T^{24} - 793118792 p^{8} T^{25} + 159987825 p^{9} T^{26} - 11472227 p^{10} T^{27} + 2627477 p^{11} T^{28} - 110407 p^{12} T^{29} + 32167 p^{13} T^{30} - 586 p^{14} T^{31} + 258 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 + 18 T + 422 T^{2} + 5366 T^{3} + 74920 T^{4} + 759404 T^{5} + 8051121 T^{6} + 69428979 T^{7} + 613731180 T^{8} + 4684021786 T^{9} + 36208020002 T^{10} + 250319762307 T^{11} + 1736799896485 T^{12} + 11012058661404 T^{13} + 69594977253398 T^{14} + 407119920018492 T^{15} + 2364206156173403 T^{16} + 12786761412429272 T^{17} + 2364206156173403 p T^{18} + 407119920018492 p^{2} T^{19} + 69594977253398 p^{3} T^{20} + 11012058661404 p^{4} T^{21} + 1736799896485 p^{5} T^{22} + 250319762307 p^{6} T^{23} + 36208020002 p^{7} T^{24} + 4684021786 p^{8} T^{25} + 613731180 p^{9} T^{26} + 69428979 p^{10} T^{27} + 8051121 p^{11} T^{28} + 759404 p^{12} T^{29} + 74920 p^{13} T^{30} + 5366 p^{14} T^{31} + 422 p^{15} T^{32} + 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 - 8 T + 312 T^{2} - 1959 T^{3} + 44439 T^{4} - 218039 T^{5} + 3922014 T^{6} - 14675929 T^{7} + 248125485 T^{8} - 684671706 T^{9} + 12521348281 T^{10} - 25349781723 T^{11} + 548292039678 T^{12} - 880790272986 T^{13} + 21689791691904 T^{14} - 31097258913017 T^{15} + 768095225334912 T^{16} - 1028370458485346 T^{17} + 768095225334912 p T^{18} - 31097258913017 p^{2} T^{19} + 21689791691904 p^{3} T^{20} - 880790272986 p^{4} T^{21} + 548292039678 p^{5} T^{22} - 25349781723 p^{6} T^{23} + 12521348281 p^{7} T^{24} - 684671706 p^{8} T^{25} + 248125485 p^{9} T^{26} - 14675929 p^{10} T^{27} + 3922014 p^{11} T^{28} - 218039 p^{12} T^{29} + 44439 p^{13} T^{30} - 1959 p^{14} T^{31} + 312 p^{15} T^{32} - 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 - 49 T + 1469 T^{2} - 32090 T^{3} + 566892 T^{4} - 8466258 T^{5} + 110624422 T^{6} - 1291076383 T^{7} + 13694744232 T^{8} - 3611619508 p T^{9} + 1212080214934 T^{10} - 10296247480623 T^{11} + 82429685546352 T^{12} - 624601352421982 T^{13} + 4495064660144854 T^{14} - 30787282954238032 T^{15} + 201000306711998104 T^{16} - 1251645098480898870 T^{17} + 201000306711998104 p T^{18} - 30787282954238032 p^{2} T^{19} + 4495064660144854 p^{3} T^{20} - 624601352421982 p^{4} T^{21} + 82429685546352 p^{5} T^{22} - 10296247480623 p^{6} T^{23} + 1212080214934 p^{7} T^{24} - 3611619508 p^{9} T^{25} + 13694744232 p^{9} T^{26} - 1291076383 p^{10} T^{27} + 110624422 p^{11} T^{28} - 8466258 p^{12} T^{29} + 566892 p^{13} T^{30} - 32090 p^{14} T^{31} + 1469 p^{15} T^{32} - 49 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 23 T + 620 T^{2} + 9604 T^{3} + 150152 T^{4} + 1746449 T^{5} + 19856985 T^{6} + 183192678 T^{7} + 1652492326 T^{8} + 12639253899 T^{9} + 97054103390 T^{10} + 660616002064 T^{11} + 116372542597 p T^{12} + 32067998683418 T^{13} + 235132990774778 T^{14} + 1596412759123138 T^{15} + 11325808375103459 T^{16} + 71952763534328646 T^{17} + 11325808375103459 p T^{18} + 1596412759123138 p^{2} T^{19} + 235132990774778 p^{3} T^{20} + 32067998683418 p^{4} T^{21} + 116372542597 p^{6} T^{22} + 660616002064 p^{6} T^{23} + 97054103390 p^{7} T^{24} + 12639253899 p^{8} T^{25} + 1652492326 p^{9} T^{26} + 183192678 p^{10} T^{27} + 19856985 p^{11} T^{28} + 1746449 p^{12} T^{29} + 150152 p^{13} T^{30} + 9604 p^{14} T^{31} + 620 p^{15} T^{32} + 23 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - 35 T + 988 T^{2} - 19244 T^{3} + 328086 T^{4} - 4626589 T^{5} + 59393385 T^{6} - 671846123 T^{7} + 7085796272 T^{8} - 68012421768 T^{9} + 619141166474 T^{10} - 5234558106879 T^{11} + 42543454724555 T^{12} - 325721078958459 T^{13} + 2423010400582732 T^{14} - 17145483709223346 T^{15} + 2761041962403271 p T^{16} - 786006320930521050 T^{17} + 2761041962403271 p^{2} T^{18} - 17145483709223346 p^{2} T^{19} + 2423010400582732 p^{3} T^{20} - 325721078958459 p^{4} T^{21} + 42543454724555 p^{5} T^{22} - 5234558106879 p^{6} T^{23} + 619141166474 p^{7} T^{24} - 68012421768 p^{8} T^{25} + 7085796272 p^{9} T^{26} - 671846123 p^{10} T^{27} + 59393385 p^{11} T^{28} - 4626589 p^{12} T^{29} + 328086 p^{13} T^{30} - 19244 p^{14} T^{31} + 988 p^{15} T^{32} - 35 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 11 T + 384 T^{2} - 4411 T^{3} + 82948 T^{4} - 906429 T^{5} + 12678465 T^{6} - 127861773 T^{7} + 1485841582 T^{8} - 13777717043 T^{9} + 139695948802 T^{10} - 1193142692196 T^{11} + 10836120090361 T^{12} - 85417448655262 T^{13} + 705428280282542 T^{14} - 5138863786936380 T^{15} + 828229327069899 p T^{16} - 262021781331596670 T^{17} + 828229327069899 p^{2} T^{18} - 5138863786936380 p^{2} T^{19} + 705428280282542 p^{3} T^{20} - 85417448655262 p^{4} T^{21} + 10836120090361 p^{5} T^{22} - 1193142692196 p^{6} T^{23} + 139695948802 p^{7} T^{24} - 13777717043 p^{8} T^{25} + 1485841582 p^{9} T^{26} - 127861773 p^{10} T^{27} + 12678465 p^{11} T^{28} - 906429 p^{12} T^{29} + 82948 p^{13} T^{30} - 4411 p^{14} T^{31} + 384 p^{15} T^{32} - 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 + 3 T + 326 T^{2} + 983 T^{3} + 57566 T^{4} + 166663 T^{5} + 7322872 T^{6} + 20720442 T^{7} + 747555581 T^{8} + 2093893066 T^{9} + 64373966381 T^{10} + 177949646220 T^{11} + 4807103795182 T^{12} + 13012418387745 T^{13} + 317328395006692 T^{14} + 833181625135947 T^{15} + 18727586656157603 T^{16} + 47032320818661622 T^{17} + 18727586656157603 p T^{18} + 833181625135947 p^{2} T^{19} + 317328395006692 p^{3} T^{20} + 13012418387745 p^{4} T^{21} + 4807103795182 p^{5} T^{22} + 177949646220 p^{6} T^{23} + 64373966381 p^{7} T^{24} + 2093893066 p^{8} T^{25} + 747555581 p^{9} T^{26} + 20720442 p^{10} T^{27} + 7322872 p^{11} T^{28} + 166663 p^{12} T^{29} + 57566 p^{13} T^{30} + 983 p^{14} T^{31} + 326 p^{15} T^{32} + 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 + 6 T + 505 T^{2} + 3070 T^{3} + 125887 T^{4} + 791977 T^{5} + 20728636 T^{6} + 136434219 T^{7} + 2551071979 T^{8} + 17573070808 T^{9} + 252273029925 T^{10} + 1801537488571 T^{11} + 21061805277486 T^{12} + 153170139109455 T^{13} + 1537327626331605 T^{14} + 11116274112352084 T^{15} + 100337494047722842 T^{16} + 701253578712838004 T^{17} + 100337494047722842 p T^{18} + 11116274112352084 p^{2} T^{19} + 1537327626331605 p^{3} T^{20} + 153170139109455 p^{4} T^{21} + 21061805277486 p^{5} T^{22} + 1801537488571 p^{6} T^{23} + 252273029925 p^{7} T^{24} + 17573070808 p^{8} T^{25} + 2551071979 p^{9} T^{26} + 136434219 p^{10} T^{27} + 20728636 p^{11} T^{28} + 791977 p^{12} T^{29} + 125887 p^{13} T^{30} + 3070 p^{14} T^{31} + 505 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 - 6 T + 638 T^{2} - 3040 T^{3} + 193424 T^{4} - 701244 T^{5} + 37488494 T^{6} - 97507187 T^{7} + 5298503792 T^{8} - 9207825017 T^{9} + 592081822043 T^{10} - 646238486588 T^{11} + 55187808991560 T^{12} - 37819521253901 T^{13} + 4425405985772070 T^{14} - 2128325343747833 T^{15} + 309116768894991602 T^{16} - 125849450850605128 T^{17} + 309116768894991602 p T^{18} - 2128325343747833 p^{2} T^{19} + 4425405985772070 p^{3} T^{20} - 37819521253901 p^{4} T^{21} + 55187808991560 p^{5} T^{22} - 646238486588 p^{6} T^{23} + 592081822043 p^{7} T^{24} - 9207825017 p^{8} T^{25} + 5298503792 p^{9} T^{26} - 97507187 p^{10} T^{27} + 37488494 p^{11} T^{28} - 701244 p^{12} T^{29} + 193424 p^{13} T^{30} - 3040 p^{14} T^{31} + 638 p^{15} T^{32} - 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 - 55 T + 1924 T^{2} - 48966 T^{3} + 1023988 T^{4} - 18256637 T^{5} + 289485380 T^{6} - 4152995037 T^{7} + 55024408171 T^{8} - 678804428324 T^{9} + 7881424800095 T^{10} - 86436352053773 T^{11} + 901118103211499 T^{12} - 8945554207616791 T^{13} + 84922104254306328 T^{14} - 771322655140452430 T^{15} + 6720698510301434406 T^{16} - 56140486494129784436 T^{17} + 6720698510301434406 p T^{18} - 771322655140452430 p^{2} T^{19} + 84922104254306328 p^{3} T^{20} - 8945554207616791 p^{4} T^{21} + 901118103211499 p^{5} T^{22} - 86436352053773 p^{6} T^{23} + 7881424800095 p^{7} T^{24} - 678804428324 p^{8} T^{25} + 55024408171 p^{9} T^{26} - 4152995037 p^{10} T^{27} + 289485380 p^{11} T^{28} - 18256637 p^{12} T^{29} + 1023988 p^{13} T^{30} - 48966 p^{14} T^{31} + 1924 p^{15} T^{32} - 55 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 5 T + 519 T^{2} - 2571 T^{3} + 131433 T^{4} - 690169 T^{5} + 21872731 T^{6} - 125504274 T^{7} + 38602489 p T^{8} - 17009452359 T^{9} + 283405432950 T^{10} - 1808238452159 T^{11} + 25827998546402 T^{12} - 157892004302432 T^{13} + 2152907138729751 T^{14} - 12051306559758872 T^{15} + 165790853562412576 T^{16} - 865664769327601806 T^{17} + 165790853562412576 p T^{18} - 12051306559758872 p^{2} T^{19} + 2152907138729751 p^{3} T^{20} - 157892004302432 p^{4} T^{21} + 25827998546402 p^{5} T^{22} - 1808238452159 p^{6} T^{23} + 283405432950 p^{7} T^{24} - 17009452359 p^{8} T^{25} + 38602489 p^{10} T^{26} - 125504274 p^{10} T^{27} + 21872731 p^{11} T^{28} - 690169 p^{12} T^{29} + 131433 p^{13} T^{30} - 2571 p^{14} T^{31} + 519 p^{15} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 - 62 T + 2345 T^{2} - 65692 T^{3} + 1499365 T^{4} - 29226596 T^{5} + 501467717 T^{6} - 7727718481 T^{7} + 108535496076 T^{8} - 1404999495118 T^{9} + 16917098044148 T^{10} - 190944343123749 T^{11} + 2034492673305731 T^{12} - 20595616166752516 T^{13} + 199272873329354339 T^{14} - 1852574097883943422 T^{15} + 16619414049924542894 T^{16} - \)\(14\!\cdots\!84\)\( T^{17} + 16619414049924542894 p T^{18} - 1852574097883943422 p^{2} T^{19} + 199272873329354339 p^{3} T^{20} - 20595616166752516 p^{4} T^{21} + 2034492673305731 p^{5} T^{22} - 190944343123749 p^{6} T^{23} + 16917098044148 p^{7} T^{24} - 1404999495118 p^{8} T^{25} + 108535496076 p^{9} T^{26} - 7727718481 p^{10} T^{27} + 501467717 p^{11} T^{28} - 29226596 p^{12} T^{29} + 1499365 p^{13} T^{30} - 65692 p^{14} T^{31} + 2345 p^{15} T^{32} - 62 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 + 3 T + 585 T^{2} + 1043 T^{3} + 177679 T^{4} + 64512 T^{5} + 36697381 T^{6} - 39312354 T^{7} + 5837371543 T^{8} - 13647513730 T^{9} + 771378841851 T^{10} - 2486630200488 T^{11} + 88642184872350 T^{12} - 321453678475485 T^{13} + 9015673700440774 T^{14} - 32833650134036701 T^{15} + 810513346635652698 T^{16} - 2807305074783810208 T^{17} + 810513346635652698 p T^{18} - 32833650134036701 p^{2} T^{19} + 9015673700440774 p^{3} T^{20} - 321453678475485 p^{4} T^{21} + 88642184872350 p^{5} T^{22} - 2486630200488 p^{6} T^{23} + 771378841851 p^{7} T^{24} - 13647513730 p^{8} T^{25} + 5837371543 p^{9} T^{26} - 39312354 p^{10} T^{27} + 36697381 p^{11} T^{28} + 64512 p^{12} T^{29} + 177679 p^{13} T^{30} + 1043 p^{14} T^{31} + 585 p^{15} T^{32} + 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 7 T + 848 T^{2} - 5302 T^{3} + 363344 T^{4} - 2065443 T^{5} + 104359263 T^{6} - 545448991 T^{7} + 22432325052 T^{8} - 108460590636 T^{9} + 3817692384918 T^{10} - 17124472064727 T^{11} + 531403985345169 T^{12} - 2212501967360181 T^{13} + 61689215608266670 T^{14} - 238030226504530236 T^{15} + 6039763231142169521 T^{16} - 21520308264914614218 T^{17} + 6039763231142169521 p T^{18} - 238030226504530236 p^{2} T^{19} + 61689215608266670 p^{3} T^{20} - 2212501967360181 p^{4} T^{21} + 531403985345169 p^{5} T^{22} - 17124472064727 p^{6} T^{23} + 3817692384918 p^{7} T^{24} - 108460590636 p^{8} T^{25} + 22432325052 p^{9} T^{26} - 545448991 p^{10} T^{27} + 104359263 p^{11} T^{28} - 2065443 p^{12} T^{29} + 363344 p^{13} T^{30} - 5302 p^{14} T^{31} + 848 p^{15} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 + 18 T + 973 T^{2} + 13541 T^{3} + 423651 T^{4} + 4707002 T^{5} + 113091725 T^{6} + 1018344814 T^{7} + 21456097611 T^{8} + 158520556203 T^{9} + 3209494793181 T^{10} + 19969966846364 T^{11} + 410153301259870 T^{12} + 2249075818418931 T^{13} + 46721366186577296 T^{14} + 235166727751100061 T^{15} + 4740958967140044580 T^{16} + 22244931566777751028 T^{17} + 4740958967140044580 p T^{18} + 235166727751100061 p^{2} T^{19} + 46721366186577296 p^{3} T^{20} + 2249075818418931 p^{4} T^{21} + 410153301259870 p^{5} T^{22} + 19969966846364 p^{6} T^{23} + 3209494793181 p^{7} T^{24} + 158520556203 p^{8} T^{25} + 21456097611 p^{9} T^{26} + 1018344814 p^{10} T^{27} + 113091725 p^{11} T^{28} + 4707002 p^{12} T^{29} + 423651 p^{13} T^{30} + 13541 p^{14} T^{31} + 973 p^{15} T^{32} + 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 - 63 T + 2743 T^{2} - 88452 T^{3} + 2371828 T^{4} - 54312415 T^{5} + 1099276687 T^{6} - 19936891951 T^{7} + 329338675273 T^{8} - 4997505682608 T^{9} + 70378212269780 T^{10} - 925790691893063 T^{11} + 11467680553211171 T^{12} - 134550426960870441 T^{13} + 1506101640687965527 T^{14} - 16167059496128328282 T^{15} + \)\(16\!\cdots\!38\)\( T^{16} - \)\(16\!\cdots\!44\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!38\)\( p T^{18} - 16167059496128328282 p^{2} T^{19} + 1506101640687965527 p^{3} T^{20} - 134550426960870441 p^{4} T^{21} + 11467680553211171 p^{5} T^{22} - 925790691893063 p^{6} T^{23} + 70378212269780 p^{7} T^{24} - 4997505682608 p^{8} T^{25} + 329338675273 p^{9} T^{26} - 19936891951 p^{10} T^{27} + 1099276687 p^{11} T^{28} - 54312415 p^{12} T^{29} + 2371828 p^{13} T^{30} - 88452 p^{14} T^{31} + 2743 p^{15} T^{32} - 63 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.91841981022157040927835646102, −1.76829422755915268447168864516, −1.75832736121523843384863739143, −1.68554582923607809604206023437, −1.61600260289991878836091633687, −1.58835709369982004146914989188, −1.46597426587146631911682103978, −1.34841685098592053140924309279, −1.08923076560461285086107966430, −1.06010606473405493805405391756, −0.863676544728277251893939428316, −0.828495212314990659727092665910, −0.825667758226970450787883205452, −0.789707506582053095966475083833, −0.78694003023072985612545256304, −0.68351081225363505512182055498, −0.66960889531254513286763857976, −0.59322421862943241448241418207, −0.57252003150219984195435709167, −0.57174991623465631078307527277, −0.52308202516437457495441320794, −0.44276695751932409849268776283, −0.33924421108008865400279311085, −0.18935615627268745423993795708, −0.10765040585145090840638319382, 0.10765040585145090840638319382, 0.18935615627268745423993795708, 0.33924421108008865400279311085, 0.44276695751932409849268776283, 0.52308202516437457495441320794, 0.57174991623465631078307527277, 0.57252003150219984195435709167, 0.59322421862943241448241418207, 0.66960889531254513286763857976, 0.68351081225363505512182055498, 0.78694003023072985612545256304, 0.789707506582053095966475083833, 0.825667758226970450787883205452, 0.828495212314990659727092665910, 0.863676544728277251893939428316, 1.06010606473405493805405391756, 1.08923076560461285086107966430, 1.34841685098592053140924309279, 1.46597426587146631911682103978, 1.58835709369982004146914989188, 1.61600260289991878836091633687, 1.68554582923607809604206023437, 1.75832736121523843384863739143, 1.76829422755915268447168864516, 1.91841981022157040927835646102
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.