Properties

Degree 30
Conductor $ 2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 401^{15} $
Sign $-1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 15

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 15·2-s − 6·3-s + 120·4-s − 15·5-s + 90·6-s − 5·7-s − 680·8-s + 5·9-s + 225·10-s − 2·11-s − 720·12-s − 13·13-s + 75·14-s + 90·15-s + 3.06e3·16-s + 11·17-s − 75·18-s − 15·19-s − 1.80e3·20-s + 30·21-s + 30·22-s − 3·23-s + 4.08e3·24-s + 120·25-s + 195·26-s + 44·27-s − 600·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 10.6·2-s − 3.46·3-s + 60·4-s − 6.70·5-s + 36.7·6-s − 1.88·7-s − 240.·8-s + 5/3·9-s + 71.1·10-s − 0.603·11-s − 207.·12-s − 3.60·13-s + 20.0·14-s + 23.2·15-s + 765·16-s + 2.66·17-s − 17.6·18-s − 3.44·19-s − 402.·20-s + 6.54·21-s + 6.39·22-s − 0.625·23-s + 832.·24-s + 24·25-s + 38.2·26-s + 8.46·27-s − 113.·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 401^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{15} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\,\Lambda(2-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 401^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{15} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(30\)
\( N \)  =  \(2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 401^{15}\)
\( \varepsilon \)  =  $-1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{4010} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  15
Selberg data  =  $(30,\ 2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 401^{15} ,\ ( \ : [1/2]^{15} ),\ -1 )$
$L(1)$  $=$  $0$
$L(\frac12)$  $=$  $0$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, for $p \notin \{2,\;5,\;401\}$, \(F_p\) is a polynomial of degree 30. If $p \in \{2,\;5,\;401\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 29.
$p$$F_p$
bad2 \( ( 1 + T )^{15} \)
5 \( ( 1 + T )^{15} \)
401 \( ( 1 + T )^{15} \)
good3 \( 1 + 2 p T + 31 T^{2} + 112 T^{3} + 364 T^{4} + 1000 T^{5} + 2552 T^{6} + 1957 p T^{7} + 12866 T^{8} + 8792 p T^{9} + 17560 p T^{10} + 33632 p T^{11} + 190651 T^{12} + 38746 p^{2} T^{13} + 629155 T^{14} + 1098434 T^{15} + 629155 p T^{16} + 38746 p^{4} T^{17} + 190651 p^{3} T^{18} + 33632 p^{5} T^{19} + 17560 p^{6} T^{20} + 8792 p^{7} T^{21} + 12866 p^{7} T^{22} + 1957 p^{9} T^{23} + 2552 p^{9} T^{24} + 1000 p^{10} T^{25} + 364 p^{11} T^{26} + 112 p^{12} T^{27} + 31 p^{13} T^{28} + 2 p^{15} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
7 \( 1 + 5 T + 55 T^{2} + 32 p T^{3} + 1440 T^{4} + 4965 T^{5} + 24419 T^{6} + 73651 T^{7} + 44033 p T^{8} + 833291 T^{9} + 3137426 T^{10} + 7746120 T^{11} + 27147545 T^{12} + 62398907 T^{13} + 208275005 T^{14} + 454838570 T^{15} + 208275005 p T^{16} + 62398907 p^{2} T^{17} + 27147545 p^{3} T^{18} + 7746120 p^{4} T^{19} + 3137426 p^{5} T^{20} + 833291 p^{6} T^{21} + 44033 p^{8} T^{22} + 73651 p^{8} T^{23} + 24419 p^{9} T^{24} + 4965 p^{10} T^{25} + 1440 p^{11} T^{26} + 32 p^{13} T^{27} + 55 p^{13} T^{28} + 5 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
11 \( 1 + 2 T + 93 T^{2} + 252 T^{3} + 4387 T^{4} + 14310 T^{5} + 140615 T^{6} + 505764 T^{7} + 3427648 T^{8} + 12694640 T^{9} + 6082504 p T^{10} + 242422076 T^{11} + 97332134 p T^{12} + 3662156648 T^{13} + 14181624706 T^{14} + 44679013096 T^{15} + 14181624706 p T^{16} + 3662156648 p^{2} T^{17} + 97332134 p^{4} T^{18} + 242422076 p^{4} T^{19} + 6082504 p^{6} T^{20} + 12694640 p^{6} T^{21} + 3427648 p^{7} T^{22} + 505764 p^{8} T^{23} + 140615 p^{9} T^{24} + 14310 p^{10} T^{25} + 4387 p^{11} T^{26} + 252 p^{12} T^{27} + 93 p^{13} T^{28} + 2 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
13 \( 1 + p T + 176 T^{2} + 1462 T^{3} + 11848 T^{4} + 74831 T^{5} + 460613 T^{6} + 2417706 T^{7} + 12485916 T^{8} + 57656725 T^{9} + 264135749 T^{10} + 1110937146 T^{11} + 357661117 p T^{12} + 1392063691 p T^{13} + 70046903252 T^{14} + 253346279352 T^{15} + 70046903252 p T^{16} + 1392063691 p^{3} T^{17} + 357661117 p^{4} T^{18} + 1110937146 p^{4} T^{19} + 264135749 p^{5} T^{20} + 57656725 p^{6} T^{21} + 12485916 p^{7} T^{22} + 2417706 p^{8} T^{23} + 460613 p^{9} T^{24} + 74831 p^{10} T^{25} + 11848 p^{11} T^{26} + 1462 p^{12} T^{27} + 176 p^{13} T^{28} + p^{15} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
17 \( 1 - 11 T + 201 T^{2} - 1698 T^{3} + 18103 T^{4} - 126031 T^{5} + 1008183 T^{6} - 6030933 T^{7} + 39819749 T^{8} - 210366617 T^{9} + 1204743745 T^{10} - 5729336560 T^{11} + 29317892855 T^{12} - 127136200733 T^{13} + 591782669287 T^{14} - 2355665873410 T^{15} + 591782669287 p T^{16} - 127136200733 p^{2} T^{17} + 29317892855 p^{3} T^{18} - 5729336560 p^{4} T^{19} + 1204743745 p^{5} T^{20} - 210366617 p^{6} T^{21} + 39819749 p^{7} T^{22} - 6030933 p^{8} T^{23} + 1008183 p^{9} T^{24} - 126031 p^{10} T^{25} + 18103 p^{11} T^{26} - 1698 p^{12} T^{27} + 201 p^{13} T^{28} - 11 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
19 \( 1 + 15 T + 259 T^{2} + 2701 T^{3} + 28615 T^{4} + 235883 T^{5} + 1927308 T^{6} + 13383443 T^{7} + 91572288 T^{8} + 554851665 T^{9} + 3307884597 T^{10} + 17842928505 T^{11} + 94681396897 T^{12} + 459769462949 T^{13} + 2196650574001 T^{14} + 9652630949326 T^{15} + 2196650574001 p T^{16} + 459769462949 p^{2} T^{17} + 94681396897 p^{3} T^{18} + 17842928505 p^{4} T^{19} + 3307884597 p^{5} T^{20} + 554851665 p^{6} T^{21} + 91572288 p^{7} T^{22} + 13383443 p^{8} T^{23} + 1927308 p^{9} T^{24} + 235883 p^{10} T^{25} + 28615 p^{11} T^{26} + 2701 p^{12} T^{27} + 259 p^{13} T^{28} + 15 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
23 \( 1 + 3 T + 124 T^{2} + 612 T^{3} + 8498 T^{4} + 51692 T^{5} + 449663 T^{6} + 2750157 T^{7} + 19626301 T^{8} + 111745772 T^{9} + 708496310 T^{10} + 3765357540 T^{11} + 21650852124 T^{12} + 107736805365 T^{13} + 572963668571 T^{14} + 2656934667606 T^{15} + 572963668571 p T^{16} + 107736805365 p^{2} T^{17} + 21650852124 p^{3} T^{18} + 3765357540 p^{4} T^{19} + 708496310 p^{5} T^{20} + 111745772 p^{6} T^{21} + 19626301 p^{7} T^{22} + 2750157 p^{8} T^{23} + 449663 p^{9} T^{24} + 51692 p^{10} T^{25} + 8498 p^{11} T^{26} + 612 p^{12} T^{27} + 124 p^{13} T^{28} + 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
29 \( 1 - 28 T + 592 T^{2} - 9056 T^{3} + 118911 T^{4} - 1329738 T^{5} + 13420255 T^{6} - 121873217 T^{7} + 1024877301 T^{8} - 7960726826 T^{9} + 58099319823 T^{10} - 397236746984 T^{11} + 2573553953982 T^{12} - 15741129677616 T^{13} + 91644010024595 T^{14} - 505485533978350 T^{15} + 91644010024595 p T^{16} - 15741129677616 p^{2} T^{17} + 2573553953982 p^{3} T^{18} - 397236746984 p^{4} T^{19} + 58099319823 p^{5} T^{20} - 7960726826 p^{6} T^{21} + 1024877301 p^{7} T^{22} - 121873217 p^{8} T^{23} + 13420255 p^{9} T^{24} - 1329738 p^{10} T^{25} + 118911 p^{11} T^{26} - 9056 p^{12} T^{27} + 592 p^{13} T^{28} - 28 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
31 \( 1 + 12 T + 312 T^{2} + 3391 T^{3} + 50061 T^{4} + 473669 T^{5} + 5261407 T^{6} + 43653203 T^{7} + 400511494 T^{8} + 2956576801 T^{9} + 23425062532 T^{10} + 155376971917 T^{11} + 1090342519305 T^{12} + 6539376833326 T^{13} + 41213522489050 T^{14} + 224098836266594 T^{15} + 41213522489050 p T^{16} + 6539376833326 p^{2} T^{17} + 1090342519305 p^{3} T^{18} + 155376971917 p^{4} T^{19} + 23425062532 p^{5} T^{20} + 2956576801 p^{6} T^{21} + 400511494 p^{7} T^{22} + 43653203 p^{8} T^{23} + 5261407 p^{9} T^{24} + 473669 p^{10} T^{25} + 50061 p^{11} T^{26} + 3391 p^{12} T^{27} + 312 p^{13} T^{28} + 12 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
37 \( 1 + 23 T + 631 T^{2} + 9862 T^{3} + 160449 T^{4} + 1941751 T^{5} + 23709039 T^{6} + 237293533 T^{7} + 2376900989 T^{8} + 20457880839 T^{9} + 175964491963 T^{10} + 1334117021208 T^{11} + 10109417826565 T^{12} + 68450761317695 T^{13} + 463302787160399 T^{14} + 2818655318051962 T^{15} + 463302787160399 p T^{16} + 68450761317695 p^{2} T^{17} + 10109417826565 p^{3} T^{18} + 1334117021208 p^{4} T^{19} + 175964491963 p^{5} T^{20} + 20457880839 p^{6} T^{21} + 2376900989 p^{7} T^{22} + 237293533 p^{8} T^{23} + 23709039 p^{9} T^{24} + 1941751 p^{10} T^{25} + 160449 p^{11} T^{26} + 9862 p^{12} T^{27} + 631 p^{13} T^{28} + 23 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
41 \( 1 - 24 T + 670 T^{2} - 10895 T^{3} + 179923 T^{4} - 2256817 T^{5} + 27807705 T^{6} - 286893495 T^{7} + 2878892760 T^{8} - 25426568643 T^{9} + 218122769030 T^{10} - 1699280099085 T^{11} + 12895674297205 T^{12} - 90796070166964 T^{13} + 625402948135754 T^{14} - 4044538038489338 T^{15} + 625402948135754 p T^{16} - 90796070166964 p^{2} T^{17} + 12895674297205 p^{3} T^{18} - 1699280099085 p^{4} T^{19} + 218122769030 p^{5} T^{20} - 25426568643 p^{6} T^{21} + 2878892760 p^{7} T^{22} - 286893495 p^{8} T^{23} + 27807705 p^{9} T^{24} - 2256817 p^{10} T^{25} + 179923 p^{11} T^{26} - 10895 p^{12} T^{27} + 670 p^{13} T^{28} - 24 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
43 \( 1 + 24 T + 633 T^{2} + 10211 T^{3} + 161530 T^{4} + 1988610 T^{5} + 23579220 T^{6} + 235622334 T^{7} + 2271701453 T^{8} + 19148162290 T^{9} + 157415248835 T^{10} + 1158540227245 T^{11} + 8489803201446 T^{12} + 57001180431012 T^{13} + 391948398111494 T^{14} + 2520191424987268 T^{15} + 391948398111494 p T^{16} + 57001180431012 p^{2} T^{17} + 8489803201446 p^{3} T^{18} + 1158540227245 p^{4} T^{19} + 157415248835 p^{5} T^{20} + 19148162290 p^{6} T^{21} + 2271701453 p^{7} T^{22} + 235622334 p^{8} T^{23} + 23579220 p^{9} T^{24} + 1988610 p^{10} T^{25} + 161530 p^{11} T^{26} + 10211 p^{12} T^{27} + 633 p^{13} T^{28} + 24 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
47 \( 1 + 3 T + 401 T^{2} + 970 T^{3} + 77369 T^{4} + 157503 T^{5} + 9765541 T^{6} + 17991539 T^{7} + 922365787 T^{8} + 1645286933 T^{9} + 70075625135 T^{10} + 124136668578 T^{11} + 4454494334671 T^{12} + 7725569022889 T^{13} + 242157704454975 T^{14} + 398192294240194 T^{15} + 242157704454975 p T^{16} + 7725569022889 p^{2} T^{17} + 4454494334671 p^{3} T^{18} + 124136668578 p^{4} T^{19} + 70075625135 p^{5} T^{20} + 1645286933 p^{6} T^{21} + 922365787 p^{7} T^{22} + 17991539 p^{8} T^{23} + 9765541 p^{9} T^{24} + 157503 p^{10} T^{25} + 77369 p^{11} T^{26} + 970 p^{12} T^{27} + 401 p^{13} T^{28} + 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
53 \( 1 - 10 T + 543 T^{2} - 5046 T^{3} + 142187 T^{4} - 1247932 T^{5} + 24070770 T^{6} - 201295291 T^{7} + 2971827729 T^{8} - 23712807344 T^{9} + 285290440864 T^{10} - 2159702552932 T^{11} + 22094046458624 T^{12} - 156803608878674 T^{13} + 1408981472813102 T^{14} - 9215493938942538 T^{15} + 1408981472813102 p T^{16} - 156803608878674 p^{2} T^{17} + 22094046458624 p^{3} T^{18} - 2159702552932 p^{4} T^{19} + 285290440864 p^{5} T^{20} - 23712807344 p^{6} T^{21} + 2971827729 p^{7} T^{22} - 201295291 p^{8} T^{23} + 24070770 p^{9} T^{24} - 1247932 p^{10} T^{25} + 142187 p^{11} T^{26} - 5046 p^{12} T^{27} + 543 p^{13} T^{28} - 10 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
59 \( 1 - 2 T + 463 T^{2} - 150 T^{3} + 104394 T^{4} + 156515 T^{5} + 15471899 T^{6} + 51012401 T^{7} + 29511267 p T^{8} + 8242535757 T^{9} + 162572604430 T^{10} + 889165031536 T^{11} + 13096949454895 T^{12} + 72082252835202 T^{13} + 908833329431935 T^{14} + 4691296748869402 T^{15} + 908833329431935 p T^{16} + 72082252835202 p^{2} T^{17} + 13096949454895 p^{3} T^{18} + 889165031536 p^{4} T^{19} + 162572604430 p^{5} T^{20} + 8242535757 p^{6} T^{21} + 29511267 p^{8} T^{22} + 51012401 p^{8} T^{23} + 15471899 p^{9} T^{24} + 156515 p^{10} T^{25} + 104394 p^{11} T^{26} - 150 p^{12} T^{27} + 463 p^{13} T^{28} - 2 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
61 \( 1 - 15 T + 389 T^{2} - 5718 T^{3} + 88147 T^{4} - 1115189 T^{5} + 13813374 T^{6} - 151905572 T^{7} + 1642521631 T^{8} - 16248582125 T^{9} + 158174949974 T^{10} - 23670886018 p T^{11} + 12904926633618 T^{12} - 109365180859199 T^{13} + 908852281342766 T^{14} - 7161600945424696 T^{15} + 908852281342766 p T^{16} - 109365180859199 p^{2} T^{17} + 12904926633618 p^{3} T^{18} - 23670886018 p^{5} T^{19} + 158174949974 p^{5} T^{20} - 16248582125 p^{6} T^{21} + 1642521631 p^{7} T^{22} - 151905572 p^{8} T^{23} + 13813374 p^{9} T^{24} - 1115189 p^{10} T^{25} + 88147 p^{11} T^{26} - 5718 p^{12} T^{27} + 389 p^{13} T^{28} - 15 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
67 \( 1 + 48 T + 1592 T^{2} + 38385 T^{3} + 766595 T^{4} + 12922937 T^{5} + 191808331 T^{6} + 2533174721 T^{7} + 30436073067 T^{8} + 335320152411 T^{9} + 3442600223787 T^{10} + 33181003249279 T^{11} + 304499434952000 T^{12} + 2678122793808180 T^{13} + 22830875118700093 T^{14} + 189112920995810334 T^{15} + 22830875118700093 p T^{16} + 2678122793808180 p^{2} T^{17} + 304499434952000 p^{3} T^{18} + 33181003249279 p^{4} T^{19} + 3442600223787 p^{5} T^{20} + 335320152411 p^{6} T^{21} + 30436073067 p^{7} T^{22} + 2533174721 p^{8} T^{23} + 191808331 p^{9} T^{24} + 12922937 p^{10} T^{25} + 766595 p^{11} T^{26} + 38385 p^{12} T^{27} + 1592 p^{13} T^{28} + 48 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
71 \( 1 - 15 T + 663 T^{2} - 8211 T^{3} + 213443 T^{4} - 2322873 T^{5} + 45583572 T^{6} - 448093563 T^{7} + 7261879909 T^{8} - 65272750573 T^{9} + 913732624716 T^{10} - 7548608662237 T^{11} + 93698588670850 T^{12} - 711831534976219 T^{13} + 7964442188083044 T^{14} - 55476205029348554 T^{15} + 7964442188083044 p T^{16} - 711831534976219 p^{2} T^{17} + 93698588670850 p^{3} T^{18} - 7548608662237 p^{4} T^{19} + 913732624716 p^{5} T^{20} - 65272750573 p^{6} T^{21} + 7261879909 p^{7} T^{22} - 448093563 p^{8} T^{23} + 45583572 p^{9} T^{24} - 2322873 p^{10} T^{25} + 213443 p^{11} T^{26} - 8211 p^{12} T^{27} + 663 p^{13} T^{28} - 15 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
73 \( 1 + 47 T + 1559 T^{2} + 37738 T^{3} + 752946 T^{4} + 12574770 T^{5} + 181347212 T^{6} + 2260880209 T^{7} + 24449694563 T^{8} + 224566017024 T^{9} + 1676008441763 T^{10} + 8568786631506 T^{11} + 1004664725920 T^{12} - 655617077444017 T^{13} - 9938682894055628 T^{14} - 98983151195635290 T^{15} - 9938682894055628 p T^{16} - 655617077444017 p^{2} T^{17} + 1004664725920 p^{3} T^{18} + 8568786631506 p^{4} T^{19} + 1676008441763 p^{5} T^{20} + 224566017024 p^{6} T^{21} + 24449694563 p^{7} T^{22} + 2260880209 p^{8} T^{23} + 181347212 p^{9} T^{24} + 12574770 p^{10} T^{25} + 752946 p^{11} T^{26} + 37738 p^{12} T^{27} + 1559 p^{13} T^{28} + 47 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
79 \( 1 + 34 T + 921 T^{2} + 16993 T^{3} + 277114 T^{4} + 3717092 T^{5} + 46357492 T^{6} + 512837484 T^{7} + 5472746443 T^{8} + 54448201310 T^{9} + 539647942747 T^{10} + 5175038299729 T^{11} + 50074493425156 T^{12} + 471585554932132 T^{13} + 4407517487335866 T^{14} + 39568188481271700 T^{15} + 4407517487335866 p T^{16} + 471585554932132 p^{2} T^{17} + 50074493425156 p^{3} T^{18} + 5175038299729 p^{4} T^{19} + 539647942747 p^{5} T^{20} + 54448201310 p^{6} T^{21} + 5472746443 p^{7} T^{22} + 512837484 p^{8} T^{23} + 46357492 p^{9} T^{24} + 3717092 p^{10} T^{25} + 277114 p^{11} T^{26} + 16993 p^{12} T^{27} + 921 p^{13} T^{28} + 34 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
83 \( 1 + 32 T + 1135 T^{2} + 24891 T^{3} + 547502 T^{4} + 9525526 T^{5} + 162347934 T^{6} + 2383310138 T^{7} + 34049494927 T^{8} + 435862259404 T^{9} + 5422285931239 T^{10} + 61693834835533 T^{11} + 682305282543888 T^{12} + 6976719981736934 T^{13} + 835848334158246 p T^{14} + 640856113990023532 T^{15} + 835848334158246 p^{2} T^{16} + 6976719981736934 p^{2} T^{17} + 682305282543888 p^{3} T^{18} + 61693834835533 p^{4} T^{19} + 5422285931239 p^{5} T^{20} + 435862259404 p^{6} T^{21} + 34049494927 p^{7} T^{22} + 2383310138 p^{8} T^{23} + 162347934 p^{9} T^{24} + 9525526 p^{10} T^{25} + 547502 p^{11} T^{26} + 24891 p^{12} T^{27} + 1135 p^{13} T^{28} + 32 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
89 \( 1 - 25 T + 1018 T^{2} - 18600 T^{3} + 443982 T^{4} - 74233 p T^{5} + 119469217 T^{6} - 1543977228 T^{7} + 23326536924 T^{8} - 271475845653 T^{9} + 3586000833545 T^{10} - 38193837010312 T^{11} + 451500197042975 T^{12} - 4426424853940601 T^{13} + 47534310321073314 T^{14} - 429364443286779416 T^{15} + 47534310321073314 p T^{16} - 4426424853940601 p^{2} T^{17} + 451500197042975 p^{3} T^{18} - 38193837010312 p^{4} T^{19} + 3586000833545 p^{5} T^{20} - 271475845653 p^{6} T^{21} + 23326536924 p^{7} T^{22} - 1543977228 p^{8} T^{23} + 119469217 p^{9} T^{24} - 74233 p^{11} T^{25} + 443982 p^{11} T^{26} - 18600 p^{12} T^{27} + 1018 p^{13} T^{28} - 25 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
97 \( 1 + 34 T + 13 p T^{2} + 28182 T^{3} + 644608 T^{4} + 11385135 T^{5} + 203469675 T^{6} + 3065540581 T^{7} + 46427042747 T^{8} + 617169579093 T^{9} + 8213466618766 T^{10} + 98045796310932 T^{11} + 1169552401922133 T^{12} + 12661735697433550 T^{13} + 136848774462950549 T^{14} + 1349177368408284450 T^{15} + 136848774462950549 p T^{16} + 12661735697433550 p^{2} T^{17} + 1169552401922133 p^{3} T^{18} + 98045796310932 p^{4} T^{19} + 8213466618766 p^{5} T^{20} + 617169579093 p^{6} T^{21} + 46427042747 p^{7} T^{22} + 3065540581 p^{8} T^{23} + 203469675 p^{9} T^{24} + 11385135 p^{10} T^{25} + 644608 p^{11} T^{26} + 28182 p^{12} T^{27} + 13 p^{14} T^{28} + 34 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
show more
show less
\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{30} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.46401785391805847781229686618, −2.44441774550427368580940787900, −2.44228088787066898959849467176, −2.44020690715435400912951400490, −2.35887889159300104334416090834, −2.35117619110972442694153945615, −2.25100378865759688174797999899, −2.18097414017264382917163612671, −2.09177702485041161397186369010, −1.75024833826189812282127020893, −1.72523139780543888368510786592, −1.61511181241831230246255718284, −1.48455686474206213660930715879, −1.41062629219028943355932281330, −1.37034349656445976794769453856, −1.34151703321977202334308445314, −1.30616904632550181407291907193, −1.27589973157118854733046516114, −1.06694878469586337632051625557, −1.04964725766603752685732044786, −1.01811156127688130843557216962, −0.971848507756291376257836399583, −0.971018027044129258548824435129, −0.943273183984849138103240408056, −0.73174624755586267073049002520, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.73174624755586267073049002520, 0.943273183984849138103240408056, 0.971018027044129258548824435129, 0.971848507756291376257836399583, 1.01811156127688130843557216962, 1.04964725766603752685732044786, 1.06694878469586337632051625557, 1.27589973157118854733046516114, 1.30616904632550181407291907193, 1.34151703321977202334308445314, 1.37034349656445976794769453856, 1.41062629219028943355932281330, 1.48455686474206213660930715879, 1.61511181241831230246255718284, 1.72523139780543888368510786592, 1.75024833826189812282127020893, 2.09177702485041161397186369010, 2.18097414017264382917163612671, 2.25100378865759688174797999899, 2.35117619110972442694153945615, 2.35887889159300104334416090834, 2.44020690715435400912951400490, 2.44228088787066898959849467176, 2.44441774550427368580940787900, 2.46401785391805847781229686618

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.