Properties

Degree 80
Conductor $ 2^{40} \cdot 2003^{40} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 40

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 40·2-s − 3-s + 820·4-s − 23·5-s + 40·6-s + 12·7-s − 1.14e4·8-s − 45·9-s + 920·10-s − 28·11-s − 820·12-s − 12·13-s − 480·14-s + 23·15-s + 1.23e5·16-s − 10·17-s + 1.80e3·18-s + 3·19-s − 1.88e4·20-s − 12·21-s + 1.12e3·22-s − 10·23-s + 1.14e4·24-s + 186·25-s + 480·26-s + 44·27-s + 9.84e3·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 28.2·2-s − 0.577·3-s + 410·4-s − 10.2·5-s + 16.3·6-s + 4.53·7-s − 4.05e3·8-s − 15·9-s + 290.·10-s − 8.44·11-s − 236.·12-s − 3.32·13-s − 128.·14-s + 5.93·15-s + 3.08e4·16-s − 2.42·17-s + 424.·18-s + 0.688·19-s − 4.21e3·20-s − 2.61·21-s + 238.·22-s − 2.08·23-s + 2.34e3·24-s + 37.1·25-s + 94.1·26-s + 8.46·27-s + 1.85e3·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 2003^{40}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{40} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 2003^{40}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{40} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

\( d \)  =  \(80\)
\( N \)  =  \(2^{40} \cdot 2003^{40}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{4006} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  40
Selberg data  =  $(80,\ 2^{40} \cdot 2003^{40} ,\ ( \ : [1/2]^{40} ),\ 1 )$
$L(1)$  $=$  $0$
$L(\frac12)$  $=$  $0$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \]where, for $p \notin \{2,\;2003\}$,\(F_p(T)\) is a polynomial of degree 80. If $p \in \{2,\;2003\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 79.
$p$$F_p(T)$
bad2 \( ( 1 + T )^{40} \)
2003 \( ( 1 + T )^{40} \)
good3 \( 1 + T + 46 T^{2} + 47 T^{3} + 1082 T^{4} + 1130 T^{5} + 5765 p T^{6} + 18431 T^{7} + 23426 p^{2} T^{8} + 76249 p T^{9} + 2087362 T^{10} + 2300384 T^{11} + 5821766 p T^{12} + 2167723 p^{2} T^{13} + 126965396 T^{14} + 143483722 T^{15} + 90945982 p^{2} T^{16} + 934250849 T^{17} + 4754493628 T^{18} + 5472857155 T^{19} + 8401130398 p T^{20} + 29218090465 T^{21} + 123207210766 T^{22} + 143665851344 T^{23} + 560305095490 T^{24} + 656297263099 T^{25} + 795956939768 p T^{26} + 2805568154396 T^{27} + 1066204596707 p^{2} T^{28} + 3763243375660 p T^{29} + 36551125482250 T^{30} + 42970371084356 T^{31} + 44179254433229 p T^{32} + 155283392365532 T^{33} + 459111829461746 T^{34} + 534335002735139 T^{35} + 507799127235806 p T^{36} + 1754488563183947 T^{37} + 4851352150931531 T^{38} + 1834894581039757 p T^{39} + 14844680425034002 T^{40} + 1834894581039757 p^{2} T^{41} + 4851352150931531 p^{2} T^{42} + 1754488563183947 p^{3} T^{43} + 507799127235806 p^{5} T^{44} + 534335002735139 p^{5} T^{45} + 459111829461746 p^{6} T^{46} + 155283392365532 p^{7} T^{47} + 44179254433229 p^{9} T^{48} + 42970371084356 p^{9} T^{49} + 36551125482250 p^{10} T^{50} + 3763243375660 p^{12} T^{51} + 1066204596707 p^{14} T^{52} + 2805568154396 p^{13} T^{53} + 795956939768 p^{15} T^{54} + 656297263099 p^{15} T^{55} + 560305095490 p^{16} T^{56} + 143665851344 p^{17} T^{57} + 123207210766 p^{18} T^{58} + 29218090465 p^{19} T^{59} + 8401130398 p^{21} T^{60} + 5472857155 p^{21} T^{61} + 4754493628 p^{22} T^{62} + 934250849 p^{23} T^{63} + 90945982 p^{26} T^{64} + 143483722 p^{25} T^{65} + 126965396 p^{26} T^{66} + 2167723 p^{29} T^{67} + 5821766 p^{29} T^{68} + 2300384 p^{29} T^{69} + 2087362 p^{30} T^{70} + 76249 p^{32} T^{71} + 23426 p^{34} T^{72} + 18431 p^{33} T^{73} + 5765 p^{35} T^{74} + 1130 p^{35} T^{75} + 1082 p^{36} T^{76} + 47 p^{37} T^{77} + 46 p^{38} T^{78} + p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
5 \( 1 + 23 T + 343 T^{2} + 769 p T^{3} + 7158 p T^{4} + 288058 T^{5} + 2066591 T^{6} + 13460647 T^{7} + 80749148 T^{8} + 450732669 T^{9} + 2360461622 T^{10} + 11672517208 T^{11} + 10958962343 p T^{12} + 245255044942 T^{13} + 1050535251506 T^{14} + 4319947329422 T^{15} + 684004812053 p^{2} T^{16} + 65311674268752 T^{17} + 241183626444207 T^{18} + 862693283841958 T^{19} + 598750488534571 p T^{20} + 10093664528570219 T^{21} + 33106600315417239 T^{22} + 105758633662547818 T^{23} + 329387814469741976 T^{24} + 1001155345706476659 T^{25} + 2972158711539757579 T^{26} + 8625000882600375244 T^{27} + 24483439791943169241 T^{28} + 68028805048524351908 T^{29} + \)\(18\!\cdots\!27\)\( T^{30} + \)\(49\!\cdots\!93\)\( T^{31} + \)\(12\!\cdots\!78\)\( T^{32} + \)\(13\!\cdots\!62\)\( p^{2} T^{33} + \)\(83\!\cdots\!21\)\( T^{34} + \)\(20\!\cdots\!92\)\( T^{35} + \)\(49\!\cdots\!73\)\( T^{36} + \)\(11\!\cdots\!14\)\( T^{37} + \)\(55\!\cdots\!29\)\( p T^{38} + \)\(63\!\cdots\!59\)\( T^{39} + \)\(28\!\cdots\!28\)\( p T^{40} + \)\(63\!\cdots\!59\)\( p T^{41} + \)\(55\!\cdots\!29\)\( p^{3} T^{42} + \)\(11\!\cdots\!14\)\( p^{3} T^{43} + \)\(49\!\cdots\!73\)\( p^{4} T^{44} + \)\(20\!\cdots\!92\)\( p^{5} T^{45} + \)\(83\!\cdots\!21\)\( p^{6} T^{46} + \)\(13\!\cdots\!62\)\( p^{9} T^{47} + \)\(12\!\cdots\!78\)\( p^{8} T^{48} + \)\(49\!\cdots\!93\)\( p^{9} T^{49} + \)\(18\!\cdots\!27\)\( p^{10} T^{50} + 68028805048524351908 p^{11} T^{51} + 24483439791943169241 p^{12} T^{52} + 8625000882600375244 p^{13} T^{53} + 2972158711539757579 p^{14} T^{54} + 1001155345706476659 p^{15} T^{55} + 329387814469741976 p^{16} T^{56} + 105758633662547818 p^{17} T^{57} + 33106600315417239 p^{18} T^{58} + 10093664528570219 p^{19} T^{59} + 598750488534571 p^{21} T^{60} + 862693283841958 p^{21} T^{61} + 241183626444207 p^{22} T^{62} + 65311674268752 p^{23} T^{63} + 684004812053 p^{26} T^{64} + 4319947329422 p^{25} T^{65} + 1050535251506 p^{26} T^{66} + 245255044942 p^{27} T^{67} + 10958962343 p^{29} T^{68} + 11672517208 p^{29} T^{69} + 2360461622 p^{30} T^{70} + 450732669 p^{31} T^{71} + 80749148 p^{32} T^{72} + 13460647 p^{33} T^{73} + 2066591 p^{34} T^{74} + 288058 p^{35} T^{75} + 7158 p^{37} T^{76} + 769 p^{38} T^{77} + 343 p^{38} T^{78} + 23 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
7 \( 1 - 12 T + 198 T^{2} - 256 p T^{3} + 17825 T^{4} - 132936 T^{5} + 145227 p T^{6} - 6558107 T^{7} + 42190664 T^{8} - 242642683 T^{9} + 1374607047 T^{10} - 7192095535 T^{11} + 36865423004 T^{12} - 178023918745 T^{13} + 840404738402 T^{14} - 3785759293712 T^{15} + 16663330688881 T^{16} - 70591146291312 T^{17} + 292312344607016 T^{18} - 1171917808283150 T^{19} + 656598177128827 p T^{20} - 17525652476560698 T^{21} + 65435439788070920 T^{22} - 238257884672766363 T^{23} + 850283829478853263 T^{24} - 2965852777419896598 T^{25} + 10148726458665298900 T^{26} - 33999501913835040083 T^{27} + \)\(11\!\cdots\!35\)\( T^{28} - \)\(36\!\cdots\!86\)\( T^{29} + \)\(16\!\cdots\!45\)\( p T^{30} - \)\(35\!\cdots\!97\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!56\)\( T^{32} - \)\(32\!\cdots\!17\)\( T^{33} + \)\(96\!\cdots\!79\)\( T^{34} - \)\(27\!\cdots\!83\)\( T^{35} + \)\(11\!\cdots\!97\)\( p T^{36} - \)\(22\!\cdots\!66\)\( T^{37} + \)\(61\!\cdots\!70\)\( T^{38} - \)\(23\!\cdots\!97\)\( p T^{39} + \)\(44\!\cdots\!78\)\( T^{40} - \)\(23\!\cdots\!97\)\( p^{2} T^{41} + \)\(61\!\cdots\!70\)\( p^{2} T^{42} - \)\(22\!\cdots\!66\)\( p^{3} T^{43} + \)\(11\!\cdots\!97\)\( p^{5} T^{44} - \)\(27\!\cdots\!83\)\( p^{5} T^{45} + \)\(96\!\cdots\!79\)\( p^{6} T^{46} - \)\(32\!\cdots\!17\)\( p^{7} T^{47} + \)\(10\!\cdots\!56\)\( p^{8} T^{48} - \)\(35\!\cdots\!97\)\( p^{9} T^{49} + \)\(16\!\cdots\!45\)\( p^{11} T^{50} - \)\(36\!\cdots\!86\)\( p^{11} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!35\)\( p^{12} T^{52} - 33999501913835040083 p^{13} T^{53} + 10148726458665298900 p^{14} T^{54} - 2965852777419896598 p^{15} T^{55} + 850283829478853263 p^{16} T^{56} - 238257884672766363 p^{17} T^{57} + 65435439788070920 p^{18} T^{58} - 17525652476560698 p^{19} T^{59} + 656598177128827 p^{21} T^{60} - 1171917808283150 p^{21} T^{61} + 292312344607016 p^{22} T^{62} - 70591146291312 p^{23} T^{63} + 16663330688881 p^{24} T^{64} - 3785759293712 p^{25} T^{65} + 840404738402 p^{26} T^{66} - 178023918745 p^{27} T^{67} + 36865423004 p^{28} T^{68} - 7192095535 p^{29} T^{69} + 1374607047 p^{30} T^{70} - 242642683 p^{31} T^{71} + 42190664 p^{32} T^{72} - 6558107 p^{33} T^{73} + 145227 p^{35} T^{74} - 132936 p^{35} T^{75} + 17825 p^{36} T^{76} - 256 p^{38} T^{77} + 198 p^{38} T^{78} - 12 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
11 \( 1 + 28 T + 601 T^{2} + 9436 T^{3} + 127340 T^{4} + 1476368 T^{5} + 15435172 T^{6} + 146213575 T^{7} + 1281807414 T^{8} + 10448328953 T^{9} + 80093482690 T^{10} + 52692539303 p T^{11} + 3987487198606 T^{12} + 26157411621650 T^{13} + 164377945132072 T^{14} + 991964216572646 T^{15} + 5767432900112537 T^{16} + 32369842312264857 T^{17} + 175804493797962963 T^{18} + 925385887397453551 T^{19} + 4729646706853328167 T^{20} + 23501187920303513328 T^{21} + \)\(11\!\cdots\!55\)\( T^{22} + 402746841112384235 p^{3} T^{23} + \)\(24\!\cdots\!64\)\( T^{24} + \)\(11\!\cdots\!36\)\( T^{25} + \)\(48\!\cdots\!17\)\( T^{26} + \)\(20\!\cdots\!72\)\( T^{27} + \)\(87\!\cdots\!53\)\( T^{28} + \)\(36\!\cdots\!77\)\( T^{29} + \)\(14\!\cdots\!93\)\( T^{30} + \)\(57\!\cdots\!89\)\( T^{31} + \)\(22\!\cdots\!90\)\( T^{32} + \)\(84\!\cdots\!06\)\( T^{33} + \)\(31\!\cdots\!99\)\( T^{34} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( p T^{35} + \)\(38\!\cdots\!94\)\( p T^{36} + \)\(13\!\cdots\!01\)\( p T^{37} + \)\(51\!\cdots\!70\)\( T^{38} + \)\(17\!\cdots\!17\)\( T^{39} + \)\(58\!\cdots\!84\)\( T^{40} + \)\(17\!\cdots\!17\)\( p T^{41} + \)\(51\!\cdots\!70\)\( p^{2} T^{42} + \)\(13\!\cdots\!01\)\( p^{4} T^{43} + \)\(38\!\cdots\!94\)\( p^{5} T^{44} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( p^{6} T^{45} + \)\(31\!\cdots\!99\)\( p^{6} T^{46} + \)\(84\!\cdots\!06\)\( p^{7} T^{47} + \)\(22\!\cdots\!90\)\( p^{8} T^{48} + \)\(57\!\cdots\!89\)\( p^{9} T^{49} + \)\(14\!\cdots\!93\)\( p^{10} T^{50} + \)\(36\!\cdots\!77\)\( p^{11} T^{51} + \)\(87\!\cdots\!53\)\( p^{12} T^{52} + \)\(20\!\cdots\!72\)\( p^{13} T^{53} + \)\(48\!\cdots\!17\)\( p^{14} T^{54} + \)\(11\!\cdots\!36\)\( p^{15} T^{55} + \)\(24\!\cdots\!64\)\( p^{16} T^{56} + 402746841112384235 p^{20} T^{57} + \)\(11\!\cdots\!55\)\( p^{18} T^{58} + 23501187920303513328 p^{19} T^{59} + 4729646706853328167 p^{20} T^{60} + 925385887397453551 p^{21} T^{61} + 175804493797962963 p^{22} T^{62} + 32369842312264857 p^{23} T^{63} + 5767432900112537 p^{24} T^{64} + 991964216572646 p^{25} T^{65} + 164377945132072 p^{26} T^{66} + 26157411621650 p^{27} T^{67} + 3987487198606 p^{28} T^{68} + 52692539303 p^{30} T^{69} + 80093482690 p^{30} T^{70} + 10448328953 p^{31} T^{71} + 1281807414 p^{32} T^{72} + 146213575 p^{33} T^{73} + 15435172 p^{34} T^{74} + 1476368 p^{35} T^{75} + 127340 p^{36} T^{76} + 9436 p^{37} T^{77} + 601 p^{38} T^{78} + 28 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
13 \( 1 + 12 T + 333 T^{2} + 3410 T^{3} + 53382 T^{4} + 479859 T^{5} + 425938 p T^{6} + 44590639 T^{7} + 420336083 T^{8} + 3079103530 T^{9} + 1923403740 p T^{10} + 168612140111 T^{11} + 1217782791812 T^{12} + 7632088300976 T^{13} + 50070411047375 T^{14} + 293944398910248 T^{15} + 1778082671256139 T^{16} + 9842534139804177 T^{17} + 55511716732133921 T^{18} + 291370757452937924 T^{19} + 1545510913134207297 T^{20} + 7729215978422432587 T^{21} + 38825319708376351733 T^{22} + \)\(18\!\cdots\!46\)\( T^{23} + \)\(88\!\cdots\!75\)\( T^{24} + \)\(31\!\cdots\!23\)\( p T^{25} + \)\(18\!\cdots\!15\)\( T^{26} + \)\(63\!\cdots\!07\)\( p T^{27} + \)\(36\!\cdots\!22\)\( T^{28} + \)\(92\!\cdots\!96\)\( p^{2} T^{29} + \)\(65\!\cdots\!18\)\( T^{30} + \)\(27\!\cdots\!25\)\( T^{31} + \)\(85\!\cdots\!76\)\( p T^{32} + \)\(44\!\cdots\!41\)\( T^{33} + \)\(17\!\cdots\!98\)\( T^{34} + \)\(69\!\cdots\!39\)\( T^{35} + \)\(26\!\cdots\!85\)\( T^{36} + \)\(77\!\cdots\!15\)\( p T^{37} + \)\(37\!\cdots\!61\)\( T^{38} + \)\(13\!\cdots\!07\)\( T^{39} + \)\(50\!\cdots\!60\)\( T^{40} + \)\(13\!\cdots\!07\)\( p T^{41} + \)\(37\!\cdots\!61\)\( p^{2} T^{42} + \)\(77\!\cdots\!15\)\( p^{4} T^{43} + \)\(26\!\cdots\!85\)\( p^{4} T^{44} + \)\(69\!\cdots\!39\)\( p^{5} T^{45} + \)\(17\!\cdots\!98\)\( p^{6} T^{46} + \)\(44\!\cdots\!41\)\( p^{7} T^{47} + \)\(85\!\cdots\!76\)\( p^{9} T^{48} + \)\(27\!\cdots\!25\)\( p^{9} T^{49} + \)\(65\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{50} + \)\(92\!\cdots\!96\)\( p^{13} T^{51} + \)\(36\!\cdots\!22\)\( p^{12} T^{52} + \)\(63\!\cdots\!07\)\( p^{14} T^{53} + \)\(18\!\cdots\!15\)\( p^{14} T^{54} + \)\(31\!\cdots\!23\)\( p^{16} T^{55} + \)\(88\!\cdots\!75\)\( p^{16} T^{56} + \)\(18\!\cdots\!46\)\( p^{17} T^{57} + 38825319708376351733 p^{18} T^{58} + 7729215978422432587 p^{19} T^{59} + 1545510913134207297 p^{20} T^{60} + 291370757452937924 p^{21} T^{61} + 55511716732133921 p^{22} T^{62} + 9842534139804177 p^{23} T^{63} + 1778082671256139 p^{24} T^{64} + 293944398910248 p^{25} T^{65} + 50070411047375 p^{26} T^{66} + 7632088300976 p^{27} T^{67} + 1217782791812 p^{28} T^{68} + 168612140111 p^{29} T^{69} + 1923403740 p^{31} T^{70} + 3079103530 p^{31} T^{71} + 420336083 p^{32} T^{72} + 44590639 p^{33} T^{73} + 425938 p^{35} T^{74} + 479859 p^{35} T^{75} + 53382 p^{36} T^{76} + 3410 p^{37} T^{77} + 333 p^{38} T^{78} + 12 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
17 \( 1 + 10 T + 386 T^{2} + 3481 T^{3} + 73282 T^{4} + 603767 T^{5} + 9146366 T^{6} + 69509831 T^{7} + 845429123 T^{8} + 5970385496 T^{9} + 61777764909 T^{10} + 23987206719 p T^{11} + 3719171882102 T^{12} + 23056980595243 T^{13} + 189820826510301 T^{14} + 1109774201720156 T^{15} + 8389469756419921 T^{16} + 46422303926728398 T^{17} + 326467814150797869 T^{18} + 1715445484663845977 T^{19} + 11340070494707988281 T^{20} + 56765411454926886583 T^{21} + \)\(35\!\cdots\!88\)\( T^{22} + \)\(17\!\cdots\!21\)\( T^{23} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( T^{24} + \)\(46\!\cdots\!96\)\( T^{25} + \)\(26\!\cdots\!82\)\( T^{26} + \)\(69\!\cdots\!79\)\( p T^{27} + \)\(65\!\cdots\!52\)\( T^{28} + \)\(28\!\cdots\!67\)\( T^{29} + \)\(15\!\cdots\!39\)\( T^{30} + \)\(62\!\cdots\!48\)\( T^{31} + \)\(32\!\cdots\!08\)\( T^{32} + \)\(13\!\cdots\!66\)\( T^{33} + \)\(66\!\cdots\!45\)\( T^{34} + \)\(25\!\cdots\!52\)\( T^{35} + \)\(12\!\cdots\!07\)\( T^{36} + \)\(48\!\cdots\!84\)\( T^{37} + \)\(23\!\cdots\!47\)\( T^{38} + \)\(51\!\cdots\!22\)\( p T^{39} + \)\(41\!\cdots\!46\)\( T^{40} + \)\(51\!\cdots\!22\)\( p^{2} T^{41} + \)\(23\!\cdots\!47\)\( p^{2} T^{42} + \)\(48\!\cdots\!84\)\( p^{3} T^{43} + \)\(12\!\cdots\!07\)\( p^{4} T^{44} + \)\(25\!\cdots\!52\)\( p^{5} T^{45} + \)\(66\!\cdots\!45\)\( p^{6} T^{46} + \)\(13\!\cdots\!66\)\( p^{7} T^{47} + \)\(32\!\cdots\!08\)\( p^{8} T^{48} + \)\(62\!\cdots\!48\)\( p^{9} T^{49} + \)\(15\!\cdots\!39\)\( p^{10} T^{50} + \)\(28\!\cdots\!67\)\( p^{11} T^{51} + \)\(65\!\cdots\!52\)\( p^{12} T^{52} + \)\(69\!\cdots\!79\)\( p^{14} T^{53} + \)\(26\!\cdots\!82\)\( p^{14} T^{54} + \)\(46\!\cdots\!96\)\( p^{15} T^{55} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( p^{16} T^{56} + \)\(17\!\cdots\!21\)\( p^{17} T^{57} + \)\(35\!\cdots\!88\)\( p^{18} T^{58} + 56765411454926886583 p^{19} T^{59} + 11340070494707988281 p^{20} T^{60} + 1715445484663845977 p^{21} T^{61} + 326467814150797869 p^{22} T^{62} + 46422303926728398 p^{23} T^{63} + 8389469756419921 p^{24} T^{64} + 1109774201720156 p^{25} T^{65} + 189820826510301 p^{26} T^{66} + 23056980595243 p^{27} T^{67} + 3719171882102 p^{28} T^{68} + 23987206719 p^{30} T^{69} + 61777764909 p^{30} T^{70} + 5970385496 p^{31} T^{71} + 845429123 p^{32} T^{72} + 69509831 p^{33} T^{73} + 9146366 p^{34} T^{74} + 603767 p^{35} T^{75} + 73282 p^{36} T^{76} + 3481 p^{37} T^{77} + 386 p^{38} T^{78} + 10 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
19 \( 1 - 3 T + 360 T^{2} - 997 T^{3} + 63829 T^{4} - 165926 T^{5} + 7446343 T^{6} - 18559101 T^{7} + 644082667 T^{8} - 1578663875 T^{9} + 44118416754 T^{10} - 109372566589 T^{11} + 131354783223 p T^{12} - 6439066972381 T^{13} + 120063724379541 T^{14} - 330943789362928 T^{15} + 5021589470238826 T^{16} - 15105230978379177 T^{17} + 185889138670444683 T^{18} - 618904759695745579 T^{19} + 6186677928916903859 T^{20} - 22924372253305775127 T^{21} + \)\(18\!\cdots\!89\)\( T^{22} - \)\(77\!\cdots\!10\)\( T^{23} + \)\(52\!\cdots\!63\)\( T^{24} - \)\(23\!\cdots\!05\)\( T^{25} + \)\(13\!\cdots\!17\)\( T^{26} - \)\(66\!\cdots\!80\)\( T^{27} + \)\(35\!\cdots\!89\)\( T^{28} - \)\(91\!\cdots\!20\)\( p T^{29} + \)\(84\!\cdots\!80\)\( T^{30} - \)\(41\!\cdots\!05\)\( T^{31} + \)\(19\!\cdots\!76\)\( T^{32} - \)\(93\!\cdots\!81\)\( T^{33} + \)\(44\!\cdots\!94\)\( T^{34} - \)\(20\!\cdots\!03\)\( T^{35} + \)\(95\!\cdots\!58\)\( T^{36} - \)\(40\!\cdots\!06\)\( T^{37} + \)\(19\!\cdots\!31\)\( T^{38} - \)\(79\!\cdots\!05\)\( T^{39} + \)\(38\!\cdots\!34\)\( T^{40} - \)\(79\!\cdots\!05\)\( p T^{41} + \)\(19\!\cdots\!31\)\( p^{2} T^{42} - \)\(40\!\cdots\!06\)\( p^{3} T^{43} + \)\(95\!\cdots\!58\)\( p^{4} T^{44} - \)\(20\!\cdots\!03\)\( p^{5} T^{45} + \)\(44\!\cdots\!94\)\( p^{6} T^{46} - \)\(93\!\cdots\!81\)\( p^{7} T^{47} + \)\(19\!\cdots\!76\)\( p^{8} T^{48} - \)\(41\!\cdots\!05\)\( p^{9} T^{49} + \)\(84\!\cdots\!80\)\( p^{10} T^{50} - \)\(91\!\cdots\!20\)\( p^{12} T^{51} + \)\(35\!\cdots\!89\)\( p^{12} T^{52} - \)\(66\!\cdots\!80\)\( p^{13} T^{53} + \)\(13\!\cdots\!17\)\( p^{14} T^{54} - \)\(23\!\cdots\!05\)\( p^{15} T^{55} + \)\(52\!\cdots\!63\)\( p^{16} T^{56} - \)\(77\!\cdots\!10\)\( p^{17} T^{57} + \)\(18\!\cdots\!89\)\( p^{18} T^{58} - 22924372253305775127 p^{19} T^{59} + 6186677928916903859 p^{20} T^{60} - 618904759695745579 p^{21} T^{61} + 185889138670444683 p^{22} T^{62} - 15105230978379177 p^{23} T^{63} + 5021589470238826 p^{24} T^{64} - 330943789362928 p^{25} T^{65} + 120063724379541 p^{26} T^{66} - 6439066972381 p^{27} T^{67} + 131354783223 p^{29} T^{68} - 109372566589 p^{29} T^{69} + 44118416754 p^{30} T^{70} - 1578663875 p^{31} T^{71} + 644082667 p^{32} T^{72} - 18559101 p^{33} T^{73} + 7446343 p^{34} T^{74} - 165926 p^{35} T^{75} + 63829 p^{36} T^{76} - 997 p^{37} T^{77} + 360 p^{38} T^{78} - 3 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
23 \( 1 + 10 T + 492 T^{2} + 4747 T^{3} + 122642 T^{4} + 1128996 T^{5} + 20507794 T^{6} + 179144552 T^{7} + 2575148324 T^{8} + 21302387160 T^{9} + 258097629377 T^{10} + 2021616178723 T^{11} + 21452348707324 T^{12} + 159248120826742 T^{13} + 1517995064172827 T^{14} + 10694743485267225 T^{15} + 93214455652012414 T^{16} + 624293722728788125 T^{17} + 5040392000454394506 T^{18} + 32144143827177478055 T^{19} + \)\(24\!\cdots\!66\)\( T^{20} + \)\(14\!\cdots\!14\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!87\)\( T^{22} + \)\(61\!\cdots\!39\)\( T^{23} + \)\(41\!\cdots\!07\)\( T^{24} + \)\(22\!\cdots\!88\)\( T^{25} + \)\(14\!\cdots\!79\)\( T^{26} + \)\(79\!\cdots\!47\)\( T^{27} + \)\(49\!\cdots\!07\)\( T^{28} + \)\(25\!\cdots\!64\)\( T^{29} + \)\(15\!\cdots\!25\)\( T^{30} + \)\(74\!\cdots\!75\)\( T^{31} + \)\(43\!\cdots\!71\)\( T^{32} + \)\(20\!\cdots\!33\)\( T^{33} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( T^{34} + \)\(53\!\cdots\!42\)\( T^{35} + \)\(29\!\cdots\!01\)\( T^{36} + \)\(13\!\cdots\!42\)\( T^{37} + \)\(72\!\cdots\!81\)\( T^{38} + \)\(31\!\cdots\!77\)\( T^{39} + \)\(16\!\cdots\!54\)\( T^{40} + \)\(31\!\cdots\!77\)\( p T^{41} + \)\(72\!\cdots\!81\)\( p^{2} T^{42} + \)\(13\!\cdots\!42\)\( p^{3} T^{43} + \)\(29\!\cdots\!01\)\( p^{4} T^{44} + \)\(53\!\cdots\!42\)\( p^{5} T^{45} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( p^{6} T^{46} + \)\(20\!\cdots\!33\)\( p^{7} T^{47} + \)\(43\!\cdots\!71\)\( p^{8} T^{48} + \)\(74\!\cdots\!75\)\( p^{9} T^{49} + \)\(15\!\cdots\!25\)\( p^{10} T^{50} + \)\(25\!\cdots\!64\)\( p^{11} T^{51} + \)\(49\!\cdots\!07\)\( p^{12} T^{52} + \)\(79\!\cdots\!47\)\( p^{13} T^{53} + \)\(14\!\cdots\!79\)\( p^{14} T^{54} + \)\(22\!\cdots\!88\)\( p^{15} T^{55} + \)\(41\!\cdots\!07\)\( p^{16} T^{56} + \)\(61\!\cdots\!39\)\( p^{17} T^{57} + \)\(10\!\cdots\!87\)\( p^{18} T^{58} + \)\(14\!\cdots\!14\)\( p^{19} T^{59} + \)\(24\!\cdots\!66\)\( p^{20} T^{60} + 32144143827177478055 p^{21} T^{61} + 5040392000454394506 p^{22} T^{62} + 624293722728788125 p^{23} T^{63} + 93214455652012414 p^{24} T^{64} + 10694743485267225 p^{25} T^{65} + 1517995064172827 p^{26} T^{66} + 159248120826742 p^{27} T^{67} + 21452348707324 p^{28} T^{68} + 2021616178723 p^{29} T^{69} + 258097629377 p^{30} T^{70} + 21302387160 p^{31} T^{71} + 2575148324 p^{32} T^{72} + 179144552 p^{33} T^{73} + 20507794 p^{34} T^{74} + 1128996 p^{35} T^{75} + 122642 p^{36} T^{76} + 4747 p^{37} T^{77} + 492 p^{38} T^{78} + 10 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
29 \( 1 + 37 T + 1223 T^{2} + 27597 T^{3} + 565020 T^{4} + 9625304 T^{5} + 151941161 T^{6} + 2134944511 T^{7} + 28228061059 T^{8} + 343296897080 T^{9} + 3972386302208 T^{10} + 43096422437064 T^{11} + 448520876874339 T^{12} + 4431502570600655 T^{13} + 42264076006470100 T^{14} + 13311035945744930 p T^{15} + 3419692065721119213 T^{16} + 29198584777171782862 T^{17} + \)\(24\!\cdots\!48\)\( T^{18} + \)\(19\!\cdots\!85\)\( T^{19} + \)\(15\!\cdots\!17\)\( T^{20} + \)\(11\!\cdots\!63\)\( T^{21} + \)\(87\!\cdots\!42\)\( T^{22} + \)\(64\!\cdots\!62\)\( T^{23} + \)\(45\!\cdots\!65\)\( T^{24} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( p T^{25} + \)\(21\!\cdots\!94\)\( T^{26} + \)\(14\!\cdots\!66\)\( T^{27} + \)\(97\!\cdots\!04\)\( T^{28} + \)\(63\!\cdots\!08\)\( T^{29} + \)\(40\!\cdots\!58\)\( T^{30} + \)\(25\!\cdots\!44\)\( T^{31} + \)\(15\!\cdots\!59\)\( T^{32} + \)\(93\!\cdots\!67\)\( T^{33} + \)\(55\!\cdots\!26\)\( T^{34} + \)\(32\!\cdots\!80\)\( T^{35} + \)\(18\!\cdots\!40\)\( T^{36} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( T^{37} + \)\(60\!\cdots\!40\)\( T^{38} + \)\(33\!\cdots\!37\)\( T^{39} + \)\(17\!\cdots\!50\)\( T^{40} + \)\(33\!\cdots\!37\)\( p T^{41} + \)\(60\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{42} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( p^{3} T^{43} + \)\(18\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{44} + \)\(32\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{45} + \)\(55\!\cdots\!26\)\( p^{6} T^{46} + \)\(93\!\cdots\!67\)\( p^{7} T^{47} + \)\(15\!\cdots\!59\)\( p^{8} T^{48} + \)\(25\!\cdots\!44\)\( p^{9} T^{49} + \)\(40\!\cdots\!58\)\( p^{10} T^{50} + \)\(63\!\cdots\!08\)\( p^{11} T^{51} + \)\(97\!\cdots\!04\)\( p^{12} T^{52} + \)\(14\!\cdots\!66\)\( p^{13} T^{53} + \)\(21\!\cdots\!94\)\( p^{14} T^{54} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( p^{16} T^{55} + \)\(45\!\cdots\!65\)\( p^{16} T^{56} + \)\(64\!\cdots\!62\)\( p^{17} T^{57} + \)\(87\!\cdots\!42\)\( p^{18} T^{58} + \)\(11\!\cdots\!63\)\( p^{19} T^{59} + \)\(15\!\cdots\!17\)\( p^{20} T^{60} + \)\(19\!\cdots\!85\)\( p^{21} T^{61} + \)\(24\!\cdots\!48\)\( p^{22} T^{62} + 29198584777171782862 p^{23} T^{63} + 3419692065721119213 p^{24} T^{64} + 13311035945744930 p^{26} T^{65} + 42264076006470100 p^{26} T^{66} + 4431502570600655 p^{27} T^{67} + 448520876874339 p^{28} T^{68} + 43096422437064 p^{29} T^{69} + 3972386302208 p^{30} T^{70} + 343296897080 p^{31} T^{71} + 28228061059 p^{32} T^{72} + 2134944511 p^{33} T^{73} + 151941161 p^{34} T^{74} + 9625304 p^{35} T^{75} + 565020 p^{36} T^{76} + 27597 p^{37} T^{77} + 1223 p^{38} T^{78} + 37 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
31 \( 1 + 16 T + 717 T^{2} + 10149 T^{3} + 255195 T^{4} + 3252564 T^{5} + 60197582 T^{6} + 700503878 T^{7} + 10597238813 T^{8} + 113831749611 T^{9} + 1485839718367 T^{10} + 14862243565911 T^{11} + 172880638067922 T^{12} + 1621722488923659 T^{13} + 17169626123686037 T^{14} + 151925206301243282 T^{15} + 1485666392239909051 T^{16} + 12460105638343032576 T^{17} + \)\(11\!\cdots\!33\)\( T^{18} + \)\(90\!\cdots\!57\)\( T^{19} + \)\(25\!\cdots\!38\)\( p T^{20} + \)\(59\!\cdots\!61\)\( T^{21} + \)\(48\!\cdots\!43\)\( T^{22} + \)\(35\!\cdots\!33\)\( T^{23} + \)\(27\!\cdots\!96\)\( T^{24} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( T^{25} + \)\(14\!\cdots\!94\)\( T^{26} + \)\(95\!\cdots\!15\)\( T^{27} + \)\(68\!\cdots\!91\)\( T^{28} + \)\(44\!\cdots\!07\)\( T^{29} + \)\(30\!\cdots\!39\)\( T^{30} + \)\(19\!\cdots\!62\)\( T^{31} + \)\(12\!\cdots\!08\)\( T^{32} + \)\(76\!\cdots\!44\)\( T^{33} + \)\(48\!\cdots\!64\)\( T^{34} + \)\(28\!\cdots\!70\)\( T^{35} + \)\(17\!\cdots\!66\)\( T^{36} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( T^{37} + \)\(59\!\cdots\!76\)\( T^{38} + \)\(33\!\cdots\!22\)\( T^{39} + \)\(19\!\cdots\!30\)\( T^{40} + \)\(33\!\cdots\!22\)\( p T^{41} + \)\(59\!\cdots\!76\)\( p^{2} T^{42} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( p^{3} T^{43} + \)\(17\!\cdots\!66\)\( p^{4} T^{44} + \)\(28\!\cdots\!70\)\( p^{5} T^{45} + \)\(48\!\cdots\!64\)\( p^{6} T^{46} + \)\(76\!\cdots\!44\)\( p^{7} T^{47} + \)\(12\!\cdots\!08\)\( p^{8} T^{48} + \)\(19\!\cdots\!62\)\( p^{9} T^{49} + \)\(30\!\cdots\!39\)\( p^{10} T^{50} + \)\(44\!\cdots\!07\)\( p^{11} T^{51} + \)\(68\!\cdots\!91\)\( p^{12} T^{52} + \)\(95\!\cdots\!15\)\( p^{13} T^{53} + \)\(14\!\cdots\!94\)\( p^{14} T^{54} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( p^{15} T^{55} + \)\(27\!\cdots\!96\)\( p^{16} T^{56} + \)\(35\!\cdots\!33\)\( p^{17} T^{57} + \)\(48\!\cdots\!43\)\( p^{18} T^{58} + \)\(59\!\cdots\!61\)\( p^{19} T^{59} + \)\(25\!\cdots\!38\)\( p^{21} T^{60} + \)\(90\!\cdots\!57\)\( p^{21} T^{61} + \)\(11\!\cdots\!33\)\( p^{22} T^{62} + 12460105638343032576 p^{23} T^{63} + 1485666392239909051 p^{24} T^{64} + 151925206301243282 p^{25} T^{65} + 17169626123686037 p^{26} T^{66} + 1621722488923659 p^{27} T^{67} + 172880638067922 p^{28} T^{68} + 14862243565911 p^{29} T^{69} + 1485839718367 p^{30} T^{70} + 113831749611 p^{31} T^{71} + 10597238813 p^{32} T^{72} + 700503878 p^{33} T^{73} + 60197582 p^{34} T^{74} + 3252564 p^{35} T^{75} + 255195 p^{36} T^{76} + 10149 p^{37} T^{77} + 717 p^{38} T^{78} + 16 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
37 \( 1 + 17 T + 859 T^{2} + 13099 T^{3} + 360225 T^{4} + 4973009 T^{5} + 98476341 T^{6} + 1241406954 T^{7} + 534582871 p T^{8} + 229527677087 T^{9} + 3120471054065 T^{10} + 33586094405317 T^{11} + 403835340308266 T^{12} + 4060211916171800 T^{13} + 44227061670431192 T^{14} + 418138286906229304 T^{15} + 4197699963992164936 T^{16} + 37548763933917370950 T^{17} + \)\(35\!\cdots\!63\)\( T^{18} + \)\(29\!\cdots\!41\)\( T^{19} + \)\(26\!\cdots\!45\)\( T^{20} + \)\(21\!\cdots\!42\)\( T^{21} + \)\(18\!\cdots\!77\)\( T^{22} + \)\(14\!\cdots\!73\)\( T^{23} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( T^{24} + \)\(85\!\cdots\!60\)\( T^{25} + \)\(65\!\cdots\!37\)\( T^{26} + \)\(47\!\cdots\!69\)\( T^{27} + \)\(35\!\cdots\!63\)\( T^{28} + \)\(25\!\cdots\!24\)\( T^{29} + \)\(17\!\cdots\!63\)\( T^{30} + \)\(12\!\cdots\!15\)\( T^{31} + \)\(85\!\cdots\!10\)\( T^{32} + \)\(56\!\cdots\!17\)\( T^{33} + \)\(38\!\cdots\!98\)\( T^{34} + \)\(24\!\cdots\!72\)\( T^{35} + \)\(16\!\cdots\!67\)\( T^{36} + \)\(10\!\cdots\!73\)\( T^{37} + \)\(65\!\cdots\!77\)\( T^{38} + \)\(39\!\cdots\!53\)\( T^{39} + \)\(24\!\cdots\!28\)\( T^{40} + \)\(39\!\cdots\!53\)\( p T^{41} + \)\(65\!\cdots\!77\)\( p^{2} T^{42} + \)\(10\!\cdots\!73\)\( p^{3} T^{43} + \)\(16\!\cdots\!67\)\( p^{4} T^{44} + \)\(24\!\cdots\!72\)\( p^{5} T^{45} + \)\(38\!\cdots\!98\)\( p^{6} T^{46} + \)\(56\!\cdots\!17\)\( p^{7} T^{47} + \)\(85\!\cdots\!10\)\( p^{8} T^{48} + \)\(12\!\cdots\!15\)\( p^{9} T^{49} + \)\(17\!\cdots\!63\)\( p^{10} T^{50} + \)\(25\!\cdots\!24\)\( p^{11} T^{51} + \)\(35\!\cdots\!63\)\( p^{12} T^{52} + \)\(47\!\cdots\!69\)\( p^{13} T^{53} + \)\(65\!\cdots\!37\)\( p^{14} T^{54} + \)\(85\!\cdots\!60\)\( p^{15} T^{55} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( p^{16} T^{56} + \)\(14\!\cdots\!73\)\( p^{17} T^{57} + \)\(18\!\cdots\!77\)\( p^{18} T^{58} + \)\(21\!\cdots\!42\)\( p^{19} T^{59} + \)\(26\!\cdots\!45\)\( p^{20} T^{60} + \)\(29\!\cdots\!41\)\( p^{21} T^{61} + \)\(35\!\cdots\!63\)\( p^{22} T^{62} + 37548763933917370950 p^{23} T^{63} + 4197699963992164936 p^{24} T^{64} + 418138286906229304 p^{25} T^{65} + 44227061670431192 p^{26} T^{66} + 4060211916171800 p^{27} T^{67} + 403835340308266 p^{28} T^{68} + 33586094405317 p^{29} T^{69} + 3120471054065 p^{30} T^{70} + 229527677087 p^{31} T^{71} + 534582871 p^{33} T^{72} + 1241406954 p^{33} T^{73} + 98476341 p^{34} T^{74} + 4973009 p^{35} T^{75} + 360225 p^{36} T^{76} + 13099 p^{37} T^{77} + 859 p^{38} T^{78} + 17 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
41 \( 1 + 58 T + 2537 T^{2} + 80629 T^{3} + 2192425 T^{4} + 50908215 T^{5} + 1062951177 T^{6} + 488073917 p T^{7} + 347835588218 T^{8} + 5599082024527 T^{9} + 84582648463764 T^{10} + 1202181281735400 T^{11} + 16212615194039343 T^{12} + 207885807891221484 T^{13} + 2549296094133312766 T^{14} + 29947239312977017901 T^{15} + \)\(33\!\cdots\!51\)\( T^{16} + \)\(36\!\cdots\!66\)\( T^{17} + \)\(38\!\cdots\!54\)\( T^{18} + \)\(39\!\cdots\!93\)\( T^{19} + \)\(38\!\cdots\!10\)\( T^{20} + \)\(37\!\cdots\!35\)\( T^{21} + \)\(85\!\cdots\!85\)\( p T^{22} + \)\(31\!\cdots\!99\)\( T^{23} + \)\(28\!\cdots\!03\)\( T^{24} + \)\(24\!\cdots\!83\)\( T^{25} + \)\(49\!\cdots\!61\)\( p T^{26} + \)\(16\!\cdots\!05\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!35\)\( T^{28} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( T^{29} + \)\(83\!\cdots\!62\)\( T^{30} + \)\(63\!\cdots\!89\)\( T^{31} + \)\(47\!\cdots\!58\)\( T^{32} + \)\(84\!\cdots\!08\)\( p T^{33} + \)\(25\!\cdots\!97\)\( T^{34} + \)\(17\!\cdots\!24\)\( T^{35} + \)\(12\!\cdots\!91\)\( T^{36} + \)\(83\!\cdots\!67\)\( T^{37} + \)\(55\!\cdots\!53\)\( T^{38} + \)\(36\!\cdots\!68\)\( T^{39} + \)\(23\!\cdots\!90\)\( T^{40} + \)\(36\!\cdots\!68\)\( p T^{41} + \)\(55\!\cdots\!53\)\( p^{2} T^{42} + \)\(83\!\cdots\!67\)\( p^{3} T^{43} + \)\(12\!\cdots\!91\)\( p^{4} T^{44} + \)\(17\!\cdots\!24\)\( p^{5} T^{45} + \)\(25\!\cdots\!97\)\( p^{6} T^{46} + \)\(84\!\cdots\!08\)\( p^{8} T^{47} + \)\(47\!\cdots\!58\)\( p^{8} T^{48} + \)\(63\!\cdots\!89\)\( p^{9} T^{49} + \)\(83\!\cdots\!62\)\( p^{10} T^{50} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( p^{11} T^{51} + \)\(13\!\cdots\!35\)\( p^{12} T^{52} + \)\(16\!\cdots\!05\)\( p^{13} T^{53} + \)\(49\!\cdots\!61\)\( p^{15} T^{54} + \)\(24\!\cdots\!83\)\( p^{15} T^{55} + \)\(28\!\cdots\!03\)\( p^{16} T^{56} + \)\(31\!\cdots\!99\)\( p^{17} T^{57} + \)\(85\!\cdots\!85\)\( p^{19} T^{58} + \)\(37\!\cdots\!35\)\( p^{19} T^{59} + \)\(38\!\cdots\!10\)\( p^{20} T^{60} + \)\(39\!\cdots\!93\)\( p^{21} T^{61} + \)\(38\!\cdots\!54\)\( p^{22} T^{62} + \)\(36\!\cdots\!66\)\( p^{23} T^{63} + \)\(33\!\cdots\!51\)\( p^{24} T^{64} + 29947239312977017901 p^{25} T^{65} + 2549296094133312766 p^{26} T^{66} + 207885807891221484 p^{27} T^{67} + 16212615194039343 p^{28} T^{68} + 1202181281735400 p^{29} T^{69} + 84582648463764 p^{30} T^{70} + 5599082024527 p^{31} T^{71} + 347835588218 p^{32} T^{72} + 488073917 p^{34} T^{73} + 1062951177 p^{34} T^{74} + 50908215 p^{35} T^{75} + 2192425 p^{36} T^{76} + 80629 p^{37} T^{77} + 2537 p^{38} T^{78} + 58 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
43 \( 1 - 37 T + 1530 T^{2} - 39816 T^{3} + 1018057 T^{4} - 21100709 T^{5} + 419486680 T^{6} - 7369650655 T^{7} + 123820239829 T^{8} - 1912831697689 T^{9} + 28328962342346 T^{10} - 394126960831711 T^{11} + 5275776326212114 T^{12} - 67203202985286934 T^{13} + 826601677050563092 T^{14} - 9756607641126861125 T^{15} + \)\(11\!\cdots\!02\)\( T^{16} - \)\(12\!\cdots\!99\)\( T^{17} + \)\(13\!\cdots\!06\)\( T^{18} - \)\(13\!\cdots\!16\)\( T^{19} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( T^{20} - \)\(13\!\cdots\!02\)\( T^{21} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{22} - \)\(12\!\cdots\!93\)\( T^{23} + \)\(11\!\cdots\!59\)\( T^{24} - \)\(99\!\cdots\!40\)\( T^{25} + \)\(86\!\cdots\!92\)\( T^{26} - \)\(74\!\cdots\!02\)\( T^{27} + \)\(61\!\cdots\!04\)\( T^{28} - \)\(50\!\cdots\!97\)\( T^{29} + \)\(40\!\cdots\!78\)\( T^{30} - \)\(31\!\cdots\!80\)\( T^{31} + \)\(24\!\cdots\!69\)\( T^{32} - \)\(18\!\cdots\!53\)\( T^{33} + \)\(13\!\cdots\!70\)\( T^{34} - \)\(99\!\cdots\!89\)\( T^{35} + \)\(70\!\cdots\!97\)\( T^{36} - \)\(49\!\cdots\!92\)\( T^{37} + \)\(33\!\cdots\!46\)\( T^{38} - \)\(22\!\cdots\!93\)\( T^{39} + \)\(15\!\cdots\!40\)\( T^{40} - \)\(22\!\cdots\!93\)\( p T^{41} + \)\(33\!\cdots\!46\)\( p^{2} T^{42} - \)\(49\!\cdots\!92\)\( p^{3} T^{43} + \)\(70\!\cdots\!97\)\( p^{4} T^{44} - \)\(99\!\cdots\!89\)\( p^{5} T^{45} + \)\(13\!\cdots\!70\)\( p^{6} T^{46} - \)\(18\!\cdots\!53\)\( p^{7} T^{47} + \)\(24\!\cdots\!69\)\( p^{8} T^{48} - \)\(31\!\cdots\!80\)\( p^{9} T^{49} + \)\(40\!\cdots\!78\)\( p^{10} T^{50} - \)\(50\!\cdots\!97\)\( p^{11} T^{51} + \)\(61\!\cdots\!04\)\( p^{12} T^{52} - \)\(74\!\cdots\!02\)\( p^{13} T^{53} + \)\(86\!\cdots\!92\)\( p^{14} T^{54} - \)\(99\!\cdots\!40\)\( p^{15} T^{55} + \)\(11\!\cdots\!59\)\( p^{16} T^{56} - \)\(12\!\cdots\!93\)\( p^{17} T^{57} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( p^{18} T^{58} - \)\(13\!\cdots\!02\)\( p^{19} T^{59} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( p^{20} T^{60} - \)\(13\!\cdots\!16\)\( p^{21} T^{61} + \)\(13\!\cdots\!06\)\( p^{22} T^{62} - \)\(12\!\cdots\!99\)\( p^{23} T^{63} + \)\(11\!\cdots\!02\)\( p^{24} T^{64} - 9756607641126861125 p^{25} T^{65} + 826601677050563092 p^{26} T^{66} - 67203202985286934 p^{27} T^{67} + 5275776326212114 p^{28} T^{68} - 394126960831711 p^{29} T^{69} + 28328962342346 p^{30} T^{70} - 1912831697689 p^{31} T^{71} + 123820239829 p^{32} T^{72} - 7369650655 p^{33} T^{73} + 419486680 p^{34} T^{74} - 21100709 p^{35} T^{75} + 1018057 p^{36} T^{76} - 39816 p^{37} T^{77} + 1530 p^{38} T^{78} - 37 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
47 \( 1 + 34 T + 1494 T^{2} + 37854 T^{3} + 1004636 T^{4} + 20682870 T^{5} + 421450841 T^{6} + 7404670635 T^{7} + 126480877975 T^{8} + 1956952068883 T^{9} + 29292358394980 T^{10} + 407900278084648 T^{11} + 5494578450045535 T^{12} + 69969548144930180 T^{13} + 863418137012803200 T^{14} + 10178357579922818549 T^{15} + \)\(11\!\cdots\!98\)\( T^{16} + \)\(12\!\cdots\!44\)\( T^{17} + \)\(13\!\cdots\!38\)\( T^{18} + \)\(14\!\cdots\!28\)\( T^{19} + \)\(14\!\cdots\!85\)\( T^{20} + \)\(14\!\cdots\!44\)\( T^{21} + \)\(13\!\cdots\!72\)\( T^{22} + \)\(12\!\cdots\!07\)\( T^{23} + \)\(11\!\cdots\!29\)\( T^{24} + \)\(10\!\cdots\!85\)\( T^{25} + \)\(93\!\cdots\!38\)\( T^{26} + \)\(80\!\cdots\!73\)\( T^{27} + \)\(67\!\cdots\!56\)\( T^{28} + \)\(56\!\cdots\!97\)\( T^{29} + \)\(45\!\cdots\!02\)\( T^{30} + \)\(78\!\cdots\!95\)\( p T^{31} + \)\(28\!\cdots\!93\)\( T^{32} + \)\(10\!\cdots\!11\)\( p^{2} T^{33} + \)\(17\!\cdots\!01\)\( T^{34} + \)\(12\!\cdots\!87\)\( T^{35} + \)\(93\!\cdots\!53\)\( T^{36} + \)\(67\!\cdots\!09\)\( T^{37} + \)\(48\!\cdots\!74\)\( T^{38} + \)\(34\!\cdots\!31\)\( T^{39} + \)\(23\!\cdots\!02\)\( T^{40} + \)\(34\!\cdots\!31\)\( p T^{41} + \)\(48\!\cdots\!74\)\( p^{2} T^{42} + \)\(67\!\cdots\!09\)\( p^{3} T^{43} + \)\(93\!\cdots\!53\)\( p^{4} T^{44} + \)\(12\!\cdots\!87\)\( p^{5} T^{45} + \)\(17\!\cdots\!01\)\( p^{6} T^{46} + \)\(10\!\cdots\!11\)\( p^{9} T^{47} + \)\(28\!\cdots\!93\)\( p^{8} T^{48} + \)\(78\!\cdots\!95\)\( p^{10} T^{49} + \)\(45\!\cdots\!02\)\( p^{10} T^{50} + \)\(56\!\cdots\!97\)\( p^{11} T^{51} + \)\(67\!\cdots\!56\)\( p^{12} T^{52} + \)\(80\!\cdots\!73\)\( p^{13} T^{53} + \)\(93\!\cdots\!38\)\( p^{14} T^{54} + \)\(10\!\cdots\!85\)\( p^{15} T^{55} + \)\(11\!\cdots\!29\)\( p^{16} T^{56} + \)\(12\!\cdots\!07\)\( p^{17} T^{57} + \)\(13\!\cdots\!72\)\( p^{18} T^{58} + \)\(14\!\cdots\!44\)\( p^{19} T^{59} + \)\(14\!\cdots\!85\)\( p^{20} T^{60} + \)\(14\!\cdots\!28\)\( p^{21} T^{61} + \)\(13\!\cdots\!38\)\( p^{22} T^{62} + \)\(12\!\cdots\!44\)\( p^{23} T^{63} + \)\(11\!\cdots\!98\)\( p^{24} T^{64} + 10178357579922818549 p^{25} T^{65} + 863418137012803200 p^{26} T^{66} + 69969548144930180 p^{27} T^{67} + 5494578450045535 p^{28} T^{68} + 407900278084648 p^{29} T^{69} + 29292358394980 p^{30} T^{70} + 1956952068883 p^{31} T^{71} + 126480877975 p^{32} T^{72} + 7404670635 p^{33} T^{73} + 421450841 p^{34} T^{74} + 20682870 p^{35} T^{75} + 1004636 p^{36} T^{76} + 37854 p^{37} T^{77} + 1494 p^{38} T^{78} + 34 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
53 \( 1 + 43 T + 2015 T^{2} + 59260 T^{3} + 1706576 T^{4} + 39456814 T^{5} + 876633912 T^{6} + 17033640107 T^{7} + 317419102760 T^{8} + 5387302055476 T^{9} + 87881974034417 T^{10} + 25202037282614 p T^{11} + 19574337033977533 T^{12} + 271088891577783854 T^{13} + 3631501465475442188 T^{14} + 46416829014730917711 T^{15} + \)\(57\!\cdots\!92\)\( T^{16} + \)\(68\!\cdots\!90\)\( T^{17} + \)\(79\!\cdots\!65\)\( T^{18} + \)\(88\!\cdots\!89\)\( T^{19} + \)\(97\!\cdots\!60\)\( T^{20} + \)\(10\!\cdots\!98\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!98\)\( T^{23} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( T^{24} + \)\(10\!\cdots\!64\)\( T^{25} + \)\(94\!\cdots\!15\)\( T^{26} + \)\(87\!\cdots\!18\)\( T^{27} + \)\(78\!\cdots\!34\)\( T^{28} + \)\(69\!\cdots\!13\)\( T^{29} + \)\(60\!\cdots\!94\)\( T^{30} + \)\(51\!\cdots\!39\)\( T^{31} + \)\(43\!\cdots\!58\)\( T^{32} + \)\(35\!\cdots\!75\)\( T^{33} + \)\(28\!\cdots\!97\)\( T^{34} + \)\(22\!\cdots\!32\)\( T^{35} + \)\(17\!\cdots\!79\)\( T^{36} + \)\(13\!\cdots\!24\)\( T^{37} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( T^{38} + \)\(77\!\cdots\!65\)\( T^{39} + \)\(56\!\cdots\!18\)\( T^{40} + \)\(77\!\cdots\!65\)\( p T^{41} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{42} + \)\(13\!\cdots\!24\)\( p^{3} T^{43} + \)\(17\!\cdots\!79\)\( p^{4} T^{44} + \)\(22\!\cdots\!32\)\( p^{5} T^{45} + \)\(28\!\cdots\!97\)\( p^{6} T^{46} + \)\(35\!\cdots\!75\)\( p^{7} T^{47} + \)\(43\!\cdots\!58\)\( p^{8} T^{48} + \)\(51\!\cdots\!39\)\( p^{9} T^{49} + \)\(60\!\cdots\!94\)\( p^{10} T^{50} + \)\(69\!\cdots\!13\)\( p^{11} T^{51} + \)\(78\!\cdots\!34\)\( p^{12} T^{52} + \)\(87\!\cdots\!18\)\( p^{13} T^{53} + \)\(94\!\cdots\!15\)\( p^{14} T^{54} + \)\(10\!\cdots\!64\)\( p^{15} T^{55} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( p^{16} T^{56} + \)\(10\!\cdots\!98\)\( p^{17} T^{57} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( p^{18} T^{58} + \)\(10\!\cdots\!98\)\( p^{19} T^{59} + \)\(97\!\cdots\!60\)\( p^{20} T^{60} + \)\(88\!\cdots\!89\)\( p^{21} T^{61} + \)\(79\!\cdots\!65\)\( p^{22} T^{62} + \)\(68\!\cdots\!90\)\( p^{23} T^{63} + \)\(57\!\cdots\!92\)\( p^{24} T^{64} + 46416829014730917711 p^{25} T^{65} + 3631501465475442188 p^{26} T^{66} + 271088891577783854 p^{27} T^{67} + 19574337033977533 p^{28} T^{68} + 25202037282614 p^{30} T^{69} + 87881974034417 p^{30} T^{70} + 5387302055476 p^{31} T^{71} + 317419102760 p^{32} T^{72} + 17033640107 p^{33} T^{73} + 876633912 p^{34} T^{74} + 39456814 p^{35} T^{75} + 1706576 p^{36} T^{76} + 59260 p^{37} T^{77} + 2015 p^{38} T^{78} + 43 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
59 \( 1 + 92 T + 5301 T^{2} + 226046 T^{3} + 7901970 T^{4} + 236394621 T^{5} + 6250362841 T^{6} + 148910089103 T^{7} + 3246178400551 T^{8} + 65453057175101 T^{9} + 1231555171280102 T^{10} + 21771381716340424 T^{11} + 363672723214933365 T^{12} + 5766647833259124296 T^{13} + 87144804376684627521 T^{14} + \)\(12\!\cdots\!62\)\( T^{15} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( T^{16} + \)\(23\!\cdots\!03\)\( T^{17} + \)\(29\!\cdots\!83\)\( T^{18} + \)\(36\!\cdots\!04\)\( T^{19} + \)\(44\!\cdots\!82\)\( T^{20} + \)\(86\!\cdots\!92\)\( p T^{21} + \)\(57\!\cdots\!33\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( p T^{23} + \)\(66\!\cdots\!80\)\( T^{24} + \)\(68\!\cdots\!60\)\( T^{25} + \)\(69\!\cdots\!95\)\( T^{26} + \)\(68\!\cdots\!40\)\( T^{27} + \)\(65\!\cdots\!74\)\( T^{28} + \)\(61\!\cdots\!39\)\( T^{29} + \)\(55\!\cdots\!33\)\( T^{30} + \)\(50\!\cdots\!51\)\( T^{31} + \)\(44\!\cdots\!25\)\( T^{32} + \)\(37\!\cdots\!75\)\( T^{33} + \)\(32\!\cdots\!35\)\( T^{34} + \)\(26\!\cdots\!00\)\( T^{35} + \)\(21\!\cdots\!82\)\( T^{36} + \)\(17\!\cdots\!70\)\( T^{37} + \)\(14\!\cdots\!76\)\( T^{38} + \)\(11\!\cdots\!25\)\( T^{39} + \)\(85\!\cdots\!44\)\( T^{40} + \)\(11\!\cdots\!25\)\( p T^{41} + \)\(14\!\cdots\!76\)\( p^{2} T^{42} + \)\(17\!\cdots\!70\)\( p^{3} T^{43} + \)\(21\!\cdots\!82\)\( p^{4} T^{44} + \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{45} + \)\(32\!\cdots\!35\)\( p^{6} T^{46} + \)\(37\!\cdots\!75\)\( p^{7} T^{47} + \)\(44\!\cdots\!25\)\( p^{8} T^{48} + \)\(50\!\cdots\!51\)\( p^{9} T^{49} + \)\(55\!\cdots\!33\)\( p^{10} T^{50} + \)\(61\!\cdots\!39\)\( p^{11} T^{51} + \)\(65\!\cdots\!74\)\( p^{12} T^{52} + \)\(68\!\cdots\!40\)\( p^{13} T^{53} + \)\(69\!\cdots\!95\)\( p^{14} T^{54} + \)\(68\!\cdots\!60\)\( p^{15} T^{55} + \)\(66\!\cdots\!80\)\( p^{16} T^{56} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( p^{18} T^{57} + \)\(57\!\cdots\!33\)\( p^{18} T^{58} + \)\(86\!\cdots\!92\)\( p^{20} T^{59} + \)\(44\!\cdots\!82\)\( p^{20} T^{60} + \)\(36\!\cdots\!04\)\( p^{21} T^{61} + \)\(29\!\cdots\!83\)\( p^{22} T^{62} + \)\(23\!\cdots\!03\)\( p^{23} T^{63} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( p^{24} T^{64} + \)\(12\!\cdots\!62\)\( p^{25} T^{65} + 87144804376684627521 p^{26} T^{66} + 5766647833259124296 p^{27} T^{67} + 363672723214933365 p^{28} T^{68} + 21771381716340424 p^{29} T^{69} + 1231555171280102 p^{30} T^{70} + 65453057175101 p^{31} T^{71} + 3246178400551 p^{32} T^{72} + 148910089103 p^{33} T^{73} + 6250362841 p^{34} T^{74} + 236394621 p^{35} T^{75} + 7901970 p^{36} T^{76} + 226046 p^{37} T^{77} + 5301 p^{38} T^{78} + 92 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
61 \( 1 + 37 T + 30 p T^{2} + 50126 T^{3} + 1492227 T^{4} + 33231488 T^{5} + 757224306 T^{6} + 14432078073 T^{7} + 275125797360 T^{8} + 4634015152987 T^{9} + 77340466198046 T^{10} + 1176592913751682 T^{11} + 17668433989184443 T^{12} + 246624253705519815 T^{13} + 3393515104355467554 T^{14} + 43978330892770759617 T^{15} + \)\(56\!\cdots\!29\)\( T^{16} + \)\(68\!\cdots\!48\)\( T^{17} + \)\(81\!\cdots\!75\)\( T^{18} + \)\(93\!\cdots\!29\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( T^{20} + \)\(11\!\cdots\!08\)\( T^{21} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( T^{22} + \)\(12\!\cdots\!82\)\( T^{23} + \)\(13\!\cdots\!14\)\( T^{24} + \)\(13\!\cdots\!23\)\( T^{25} + \)\(12\!\cdots\!17\)\( T^{26} + \)\(12\!\cdots\!09\)\( T^{27} + \)\(11\!\cdots\!70\)\( T^{28} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( T^{29} + \)\(99\!\cdots\!63\)\( T^{30} + \)\(88\!\cdots\!41\)\( T^{31} + \)\(78\!\cdots\!28\)\( T^{32} + \)\(67\!\cdots\!44\)\( T^{33} + \)\(58\!\cdots\!56\)\( T^{34} + \)\(48\!\cdots\!53\)\( T^{35} + \)\(40\!\cdots\!56\)\( T^{36} + \)\(33\!\cdots\!86\)\( T^{37} + \)\(26\!\cdots\!73\)\( T^{38} + \)\(21\!\cdots\!76\)\( T^{39} + \)\(16\!\cdots\!92\)\( T^{40} + \)\(21\!\cdots\!76\)\( p T^{41} + \)\(26\!\cdots\!73\)\( p^{2} T^{42} + \)\(33\!\cdots\!86\)\( p^{3} T^{43} + \)\(40\!\cdots\!56\)\( p^{4} T^{44} + \)\(48\!\cdots\!53\)\( p^{5} T^{45} + \)\(58\!\cdots\!56\)\( p^{6} T^{46} + \)\(67\!\cdots\!44\)\( p^{7} T^{47} + \)\(78\!\cdots\!28\)\( p^{8} T^{48} + \)\(88\!\cdots\!41\)\( p^{9} T^{49} + \)\(99\!\cdots\!63\)\( p^{10} T^{50} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( p^{11} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!70\)\( p^{12} T^{52} + \)\(12\!\cdots\!09\)\( p^{13} T^{53} + \)\(12\!\cdots\!17\)\( p^{14} T^{54} + \)\(13\!\cdots\!23\)\( p^{15} T^{55} + \)\(13\!\cdots\!14\)\( p^{16} T^{56} + \)\(12\!\cdots\!82\)\( p^{17} T^{57} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( p^{18} T^{58} + \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{19} T^{59} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( p^{20} T^{60} + \)\(93\!\cdots\!29\)\( p^{21} T^{61} + \)\(81\!\cdots\!75\)\( p^{22} T^{62} + \)\(68\!\cdots\!48\)\( p^{23} T^{63} + \)\(56\!\cdots\!29\)\( p^{24} T^{64} + 43978330892770759617 p^{25} T^{65} + 3393515104355467554 p^{26} T^{66} + 246624253705519815 p^{27} T^{67} + 17668433989184443 p^{28} T^{68} + 1176592913751682 p^{29} T^{69} + 77340466198046 p^{30} T^{70} + 4634015152987 p^{31} T^{71} + 275125797360 p^{32} T^{72} + 14432078073 p^{33} T^{73} + 757224306 p^{34} T^{74} + 33231488 p^{35} T^{75} + 1492227 p^{36} T^{76} + 50126 p^{37} T^{77} + 30 p^{39} T^{78} + 37 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
67 \( 1 + 10 T + 1644 T^{2} + 15877 T^{3} + 1341105 T^{4} + 12589472 T^{5} + 724448550 T^{6} + 6644633810 T^{7} + 291722801871 T^{8} + 2624529318786 T^{9} + 93448908093386 T^{10} + 826921463834688 T^{11} + 24812148858223926 T^{12} + 216317623649675985 T^{13} + 5617186644759536305 T^{14} + 48284145273635469239 T^{15} + \)\(11\!\cdots\!55\)\( T^{16} + \)\(93\!\cdots\!61\)\( T^{17} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( T^{18} + \)\(16\!\cdots\!30\)\( T^{19} + \)\(30\!\cdots\!42\)\( T^{20} + \)\(24\!\cdots\!39\)\( T^{21} + \)\(42\!\cdots\!49\)\( T^{22} + \)\(34\!\cdots\!74\)\( T^{23} + \)\(54\!\cdots\!46\)\( T^{24} + \)\(42\!\cdots\!28\)\( T^{25} + \)\(63\!\cdots\!33\)\( T^{26} + \)\(49\!\cdots\!03\)\( T^{27} + \)\(68\!\cdots\!30\)\( T^{28} + \)\(51\!\cdots\!84\)\( T^{29} + \)\(68\!\cdots\!94\)\( T^{30} + \)\(50\!\cdots\!20\)\( T^{31} + \)\(63\!\cdots\!11\)\( T^{32} + \)\(45\!\cdots\!80\)\( T^{33} + \)\(54\!\cdots\!77\)\( T^{34} + \)\(37\!\cdots\!31\)\( T^{35} + \)\(43\!\cdots\!07\)\( T^{36} + \)\(29\!\cdots\!89\)\( T^{37} + \)\(32\!\cdots\!96\)\( T^{38} + \)\(21\!\cdots\!90\)\( T^{39} + \)\(22\!\cdots\!16\)\( T^{40} + \)\(21\!\cdots\!90\)\( p T^{41} + \)\(32\!\cdots\!96\)\( p^{2} T^{42} + \)\(29\!\cdots\!89\)\( p^{3} T^{43} + \)\(43\!\cdots\!07\)\( p^{4} T^{44} + \)\(37\!\cdots\!31\)\( p^{5} T^{45} + \)\(54\!\cdots\!77\)\( p^{6} T^{46} + \)\(45\!\cdots\!80\)\( p^{7} T^{47} + \)\(63\!\cdots\!11\)\( p^{8} T^{48} + \)\(50\!\cdots\!20\)\( p^{9} T^{49} + \)\(68\!\cdots\!94\)\( p^{10} T^{50} + \)\(51\!\cdots\!84\)\( p^{11} T^{51} + \)\(68\!\cdots\!30\)\( p^{12} T^{52} + \)\(49\!\cdots\!03\)\( p^{13} T^{53} + \)\(63\!\cdots\!33\)\( p^{14} T^{54} + \)\(42\!\cdots\!28\)\( p^{15} T^{55} + \)\(54\!\cdots\!46\)\( p^{16} T^{56} + \)\(34\!\cdots\!74\)\( p^{17} T^{57} + \)\(42\!\cdots\!49\)\( p^{18} T^{58} + \)\(24\!\cdots\!39\)\( p^{19} T^{59} + \)\(30\!\cdots\!42\)\( p^{20} T^{60} + \)\(16\!\cdots\!30\)\( p^{21} T^{61} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( p^{22} T^{62} + \)\(93\!\cdots\!61\)\( p^{23} T^{63} + \)\(11\!\cdots\!55\)\( p^{24} T^{64} + 48284145273635469239 p^{25} T^{65} + 5617186644759536305 p^{26} T^{66} + 216317623649675985 p^{27} T^{67} + 24812148858223926 p^{28} T^{68} + 826921463834688 p^{29} T^{69} + 93448908093386 p^{30} T^{70} + 2624529318786 p^{31} T^{71} + 291722801871 p^{32} T^{72} + 6644633810 p^{33} T^{73} + 724448550 p^{34} T^{74} + 12589472 p^{35} T^{75} + 1341105 p^{36} T^{76} + 15877 p^{37} T^{77} + 1644 p^{38} T^{78} + 10 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
71 \( 1 + 87 T + 4869 T^{2} + 199449 T^{3} + 6677844 T^{4} + 189429193 T^{5} + 4713651455 T^{6} + 1474013947 p T^{7} + 2108579680508 T^{8} + 38947349476052 T^{9} + 666432450752406 T^{10} + 10640943810061526 T^{11} + 159772386136535588 T^{12} + 2269421893210303759 T^{13} + 30693238249781882654 T^{14} + \)\(39\!\cdots\!76\)\( T^{15} + \)\(49\!\cdots\!53\)\( T^{16} + \)\(59\!\cdots\!25\)\( T^{17} + \)\(69\!\cdots\!03\)\( T^{18} + \)\(79\!\cdots\!32\)\( T^{19} + \)\(88\!\cdots\!91\)\( T^{20} + \)\(97\!\cdots\!16\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!73\)\( T^{23} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( p T^{24} + \)\(11\!\cdots\!19\)\( T^{25} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( T^{26} + \)\(11\!\cdots\!81\)\( T^{27} + \)\(11\!\cdots\!64\)\( T^{28} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( T^{29} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( T^{30} + \)\(95\!\cdots\!13\)\( T^{31} + \)\(88\!\cdots\!12\)\( T^{32} + \)\(81\!\cdots\!79\)\( T^{33} + \)\(73\!\cdots\!86\)\( T^{34} + \)\(65\!\cdots\!46\)\( T^{35} + \)\(58\!\cdots\!05\)\( T^{36} + \)\(50\!\cdots\!22\)\( T^{37} + \)\(44\!\cdots\!92\)\( T^{38} + \)\(37\!\cdots\!15\)\( T^{39} + \)\(32\!\cdots\!48\)\( T^{40} + \)\(37\!\cdots\!15\)\( p T^{41} + \)\(44\!\cdots\!92\)\( p^{2} T^{42} + \)\(50\!\cdots\!22\)\( p^{3} T^{43} + \)\(58\!\cdots\!05\)\( p^{4} T^{44} + \)\(65\!\cdots\!46\)\( p^{5} T^{45} + \)\(73\!\cdots\!86\)\( p^{6} T^{46} + \)\(81\!\cdots\!79\)\( p^{7} T^{47} + \)\(88\!\cdots\!12\)\( p^{8} T^{48} + \)\(95\!\cdots\!13\)\( p^{9} T^{49} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( p^{10} T^{50} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( p^{11} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!64\)\( p^{12} T^{52} + \)\(11\!\cdots\!81\)\( p^{13} T^{53} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( p^{14} T^{54} + \)\(11\!\cdots\!19\)\( p^{15} T^{55} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( p^{17} T^{56} + \)\(10\!\cdots\!73\)\( p^{17} T^{57} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( p^{18} T^{58} + \)\(97\!\cdots\!16\)\( p^{19} T^{59} + \)\(88\!\cdots\!91\)\( p^{20} T^{60} + \)\(79\!\cdots\!32\)\( p^{21} T^{61} + \)\(69\!\cdots\!03\)\( p^{22} T^{62} + \)\(59\!\cdots\!25\)\( p^{23} T^{63} + \)\(49\!\cdots\!53\)\( p^{24} T^{64} + \)\(39\!\cdots\!76\)\( p^{25} T^{65} + 30693238249781882654 p^{26} T^{66} + 2269421893210303759 p^{27} T^{67} + 159772386136535588 p^{28} T^{68} + 10640943810061526 p^{29} T^{69} + 666432450752406 p^{30} T^{70} + 38947349476052 p^{31} T^{71} + 2108579680508 p^{32} T^{72} + 1474013947 p^{34} T^{73} + 4713651455 p^{34} T^{74} + 189429193 p^{35} T^{75} + 6677844 p^{36} T^{76} + 199449 p^{37} T^{77} + 4869 p^{38} T^{78} + 87 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
73 \( 1 - 12 T + 1791 T^{2} - 19866 T^{3} + 1588762 T^{4} - 16391967 T^{5} + 932136055 T^{6} - 8993542637 T^{7} + 407371961466 T^{8} - 3692544723069 T^{9} + 141565341364987 T^{10} - 1210380012760930 T^{11} + 40767151873610149 T^{12} - 329944641293509484 T^{13} + 10008726431143219881 T^{14} - 76919111078127637104 T^{15} + \)\(21\!\cdots\!73\)\( T^{16} - \)\(15\!\cdots\!23\)\( T^{17} + \)\(40\!\cdots\!21\)\( T^{18} - \)\(28\!\cdots\!72\)\( T^{19} + \)\(68\!\cdots\!62\)\( T^{20} - \)\(45\!\cdots\!63\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!31\)\( T^{22} - \)\(66\!\cdots\!07\)\( T^{23} + \)\(14\!\cdots\!86\)\( T^{24} - \)\(88\!\cdots\!42\)\( T^{25} + \)\(18\!\cdots\!29\)\( T^{26} - \)\(10\!\cdots\!55\)\( T^{27} + \)\(21\!\cdots\!77\)\( T^{28} - \)\(12\!\cdots\!53\)\( T^{29} + \)\(23\!\cdots\!65\)\( T^{30} - \)\(12\!\cdots\!01\)\( T^{31} + \)\(23\!\cdots\!54\)\( T^{32} - \)\(12\!\cdots\!92\)\( T^{33} + \)\(29\!\cdots\!32\)\( p T^{34} - \)\(11\!\cdots\!08\)\( T^{35} + \)\(18\!\cdots\!51\)\( T^{36} - \)\(93\!\cdots\!45\)\( T^{37} + \)\(15\!\cdots\!46\)\( T^{38} - \)\(73\!\cdots\!33\)\( T^{39} + \)\(11\!\cdots\!05\)\( T^{40} - \)\(73\!\cdots\!33\)\( p T^{41} + \)\(15\!\cdots\!46\)\( p^{2} T^{42} - \)\(93\!\cdots\!45\)\( p^{3} T^{43} + \)\(18\!\cdots\!51\)\( p^{4} T^{44} - \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{5} T^{45} + \)\(29\!\cdots\!32\)\( p^{7} T^{46} - \)\(12\!\cdots\!92\)\( p^{7} T^{47} + \)\(23\!\cdots\!54\)\( p^{8} T^{48} - \)\(12\!\cdots\!01\)\( p^{9} T^{49} + \)\(23\!\cdots\!65\)\( p^{10} T^{50} - \)\(12\!\cdots\!53\)\( p^{11} T^{51} + \)\(21\!\cdots\!77\)\( p^{12} T^{52} - \)\(10\!\cdots\!55\)\( p^{13} T^{53} + \)\(18\!\cdots\!29\)\( p^{14} T^{54} - \)\(88\!\cdots\!42\)\( p^{15} T^{55} + \)\(14\!\cdots\!86\)\( p^{16} T^{56} - \)\(66\!\cdots\!07\)\( p^{17} T^{57} + \)\(10\!\cdots\!31\)\( p^{18} T^{58} - \)\(45\!\cdots\!63\)\( p^{19} T^{59} + \)\(68\!\cdots\!62\)\( p^{20} T^{60} - \)\(28\!\cdots\!72\)\( p^{21} T^{61} + \)\(40\!\cdots\!21\)\( p^{22} T^{62} - \)\(15\!\cdots\!23\)\( p^{23} T^{63} + \)\(21\!\cdots\!73\)\( p^{24} T^{64} - 76919111078127637104 p^{25} T^{65} + 10008726431143219881 p^{26} T^{66} - 329944641293509484 p^{27} T^{67} + 40767151873610149 p^{28} T^{68} - 1210380012760930 p^{29} T^{69} + 141565341364987 p^{30} T^{70} - 3692544723069 p^{31} T^{71} + 407371961466 p^{32} T^{72} - 8993542637 p^{33} T^{73} + 932136055 p^{34} T^{74} - 16391967 p^{35} T^{75} + 1588762 p^{36} T^{76} - 19866 p^{37} T^{77} + 1791 p^{38} T^{78} - 12 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
79 \( 1 - 14 T + 1405 T^{2} - 17821 T^{3} + 983077 T^{4} - 11484758 T^{5} + 459535778 T^{6} - 5000906844 T^{7} + 162005264270 T^{8} - 1654875442942 T^{9} + 46029536426434 T^{10} - 443562686723881 T^{11} + 10988582368584097 T^{12} - 100210456595300242 T^{13} + 2267830851351188629 T^{14} - 19607849882216284821 T^{15} + \)\(41\!\cdots\!20\)\( T^{16} - \)\(33\!\cdots\!69\)\( T^{17} + \)\(67\!\cdots\!85\)\( T^{18} - \)\(52\!\cdots\!80\)\( T^{19} + \)\(99\!\cdots\!50\)\( T^{20} - \)\(73\!\cdots\!73\)\( T^{21} + \)\(13\!\cdots\!02\)\( T^{22} - \)\(95\!\cdots\!93\)\( T^{23} + \)\(21\!\cdots\!40\)\( p T^{24} - \)\(11\!\cdots\!42\)\( T^{25} + \)\(19\!\cdots\!15\)\( T^{26} - \)\(12\!\cdots\!40\)\( T^{27} + \)\(21\!\cdots\!82\)\( T^{28} - \)\(12\!\cdots\!07\)\( T^{29} + \)\(22\!\cdots\!27\)\( T^{30} - \)\(12\!\cdots\!79\)\( T^{31} + \)\(21\!\cdots\!98\)\( T^{32} - \)\(11\!\cdots\!52\)\( T^{33} + \)\(20\!\cdots\!61\)\( T^{34} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{35} + \)\(17\!\cdots\!29\)\( T^{36} - \)\(88\!\cdots\!74\)\( T^{37} + \)\(15\!\cdots\!71\)\( T^{38} - \)\(72\!\cdots\!19\)\( T^{39} + \)\(12\!\cdots\!07\)\( T^{40} - \)\(72\!\cdots\!19\)\( p T^{41} + \)\(15\!\cdots\!71\)\( p^{2} T^{42} - \)\(88\!\cdots\!74\)\( p^{3} T^{43} + \)\(17\!\cdots\!29\)\( p^{4} T^{44} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{45} + \)\(20\!\cdots\!61\)\( p^{6} T^{46} - \)\(11\!\cdots\!52\)\( p^{7} T^{47} + \)\(21\!\cdots\!98\)\( p^{8} T^{48} - \)\(12\!\cdots\!79\)\( p^{9} T^{49} + \)\(22\!\cdots\!27\)\( p^{10} T^{50} - \)\(12\!\cdots\!07\)\( p^{11} T^{51} + \)\(21\!\cdots\!82\)\( p^{12} T^{52} - \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{13} T^{53} + \)\(19\!\cdots\!15\)\( p^{14} T^{54} - \)\(11\!\cdots\!42\)\( p^{15} T^{55} + \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{17} T^{56} - \)\(95\!\cdots\!93\)\( p^{17} T^{57} + \)\(13\!\cdots\!02\)\( p^{18} T^{58} - \)\(73\!\cdots\!73\)\( p^{19} T^{59} + \)\(99\!\cdots\!50\)\( p^{20} T^{60} - \)\(52\!\cdots\!80\)\( p^{21} T^{61} + \)\(67\!\cdots\!85\)\( p^{22} T^{62} - \)\(33\!\cdots\!69\)\( p^{23} T^{63} + \)\(41\!\cdots\!20\)\( p^{24} T^{64} - 19607849882216284821 p^{25} T^{65} + 2267830851351188629 p^{26} T^{66} - 100210456595300242 p^{27} T^{67} + 10988582368584097 p^{28} T^{68} - 443562686723881 p^{29} T^{69} + 46029536426434 p^{30} T^{70} - 1654875442942 p^{31} T^{71} + 162005264270 p^{32} T^{72} - 5000906844 p^{33} T^{73} + 459535778 p^{34} T^{74} - 11484758 p^{35} T^{75} + 983077 p^{36} T^{76} - 17821 p^{37} T^{77} + 1405 p^{38} T^{78} - 14 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
83 \( 1 + 42 T + 2594 T^{2} + 81760 T^{3} + 3000940 T^{4} + 77333822 T^{5} + 2152067270 T^{6} + 47530430535 T^{7} + 1097695510103 T^{8} + 21397419599000 T^{9} + 429428277634827 T^{10} + 7536415183116980 T^{11} + 135115434575699416 T^{12} + 2165554068095163004 T^{13} + 35327051879781894267 T^{14} + \)\(52\!\cdots\!72\)\( T^{15} + \)\(78\!\cdots\!33\)\( T^{16} + \)\(10\!\cdots\!25\)\( T^{17} + \)\(15\!\cdots\!52\)\( T^{18} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( T^{19} + \)\(25\!\cdots\!40\)\( T^{20} + \)\(31\!\cdots\!73\)\( T^{21} + \)\(39\!\cdots\!15\)\( T^{22} + \)\(45\!\cdots\!84\)\( T^{23} + \)\(53\!\cdots\!93\)\( T^{24} + \)\(59\!\cdots\!37\)\( T^{25} + \)\(67\!\cdots\!91\)\( T^{26} + \)\(71\!\cdots\!46\)\( T^{27} + \)\(78\!\cdots\!21\)\( T^{28} + \)\(79\!\cdots\!06\)\( T^{29} + \)\(85\!\cdots\!91\)\( T^{30} + \)\(84\!\cdots\!96\)\( T^{31} + \)\(87\!\cdots\!98\)\( T^{32} + \)\(84\!\cdots\!18\)\( T^{33} + \)\(85\!\cdots\!12\)\( T^{34} + \)\(80\!\cdots\!55\)\( T^{35} + \)\(79\!\cdots\!95\)\( T^{36} + \)\(72\!\cdots\!02\)\( T^{37} + \)\(70\!\cdots\!29\)\( T^{38} + \)\(63\!\cdots\!07\)\( T^{39} + \)\(59\!\cdots\!24\)\( T^{40} + \)\(63\!\cdots\!07\)\( p T^{41} + \)\(70\!\cdots\!29\)\( p^{2} T^{42} + \)\(72\!\cdots\!02\)\( p^{3} T^{43} + \)\(79\!\cdots\!95\)\( p^{4} T^{44} + \)\(80\!\cdots\!55\)\( p^{5} T^{45} + \)\(85\!\cdots\!12\)\( p^{6} T^{46} + \)\(84\!\cdots\!18\)\( p^{7} T^{47} + \)\(87\!\cdots\!98\)\( p^{8} T^{48} + \)\(84\!\cdots\!96\)\( p^{9} T^{49} + \)\(85\!\cdots\!91\)\( p^{10} T^{50} + \)\(79\!\cdots\!06\)\( p^{11} T^{51} + \)\(78\!\cdots\!21\)\( p^{12} T^{52} + \)\(71\!\cdots\!46\)\( p^{13} T^{53} + \)\(67\!\cdots\!91\)\( p^{14} T^{54} + \)\(59\!\cdots\!37\)\( p^{15} T^{55} + \)\(53\!\cdots\!93\)\( p^{16} T^{56} + \)\(45\!\cdots\!84\)\( p^{17} T^{57} + \)\(39\!\cdots\!15\)\( p^{18} T^{58} + \)\(31\!\cdots\!73\)\( p^{19} T^{59} + \)\(25\!\cdots\!40\)\( p^{20} T^{60} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( p^{21} T^{61} + \)\(15\!\cdots\!52\)\( p^{22} T^{62} + \)\(10\!\cdots\!25\)\( p^{23} T^{63} + \)\(78\!\cdots\!33\)\( p^{24} T^{64} + \)\(52\!\cdots\!72\)\( p^{25} T^{65} + 35327051879781894267 p^{26} T^{66} + 2165554068095163004 p^{27} T^{67} + 135115434575699416 p^{28} T^{68} + 7536415183116980 p^{29} T^{69} + 429428277634827 p^{30} T^{70} + 21397419599000 p^{31} T^{71} + 1097695510103 p^{32} T^{72} + 47530430535 p^{33} T^{73} + 2152067270 p^{34} T^{74} + 77333822 p^{35} T^{75} + 3000940 p^{36} T^{76} + 81760 p^{37} T^{77} + 2594 p^{38} T^{78} + 42 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
89 \( 1 + 118 T + 8357 T^{2} + 435413 T^{3} + 18431415 T^{4} + 665187064 T^{5} + 21135623804 T^{6} + 603779688483 T^{7} + 15751775792214 T^{8} + 379664111187907 T^{9} + 8532653929965743 T^{10} + 180116129648043464 T^{11} + 3592738929481574804 T^{12} + 68057102147116105170 T^{13} + \)\(12\!\cdots\!26\)\( T^{14} + \)\(21\!\cdots\!64\)\( T^{15} + \)\(35\!\cdots\!21\)\( T^{16} + \)\(56\!\cdots\!40\)\( T^{17} + \)\(87\!\cdots\!17\)\( T^{18} + \)\(12\!\cdots\!21\)\( T^{19} + \)\(18\!\cdots\!22\)\( T^{20} + \)\(26\!\cdots\!49\)\( T^{21} + \)\(36\!\cdots\!89\)\( T^{22} + \)\(47\!\cdots\!00\)\( T^{23} + \)\(62\!\cdots\!74\)\( T^{24} + \)\(78\!\cdots\!79\)\( T^{25} + \)\(96\!\cdots\!37\)\( T^{26} + \)\(11\!\cdots\!44\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( T^{28} + \)\(16\!\cdots\!75\)\( T^{29} + \)\(18\!\cdots\!10\)\( T^{30} + \)\(20\!\cdots\!93\)\( T^{31} + \)\(22\!\cdots\!32\)\( T^{32} + \)\(23\!\cdots\!11\)\( T^{33} + \)\(24\!\cdots\!25\)\( T^{34} + \)\(25\!\cdots\!33\)\( T^{35} + \)\(26\!\cdots\!31\)\( T^{36} + \)\(26\!\cdots\!32\)\( T^{37} + \)\(25\!\cdots\!87\)\( T^{38} + \)\(24\!\cdots\!88\)\( T^{39} + \)\(23\!\cdots\!72\)\( T^{40} + \)\(24\!\cdots\!88\)\( p T^{41} + \)\(25\!\cdots\!87\)\( p^{2} T^{42} + \)\(26\!\cdots\!32\)\( p^{3} T^{43} + \)\(26\!\cdots\!31\)\( p^{4} T^{44} + \)\(25\!\cdots\!33\)\( p^{5} T^{45} + \)\(24\!\cdots\!25\)\( p^{6} T^{46} + \)\(23\!\cdots\!11\)\( p^{7} T^{47} + \)\(22\!\cdots\!32\)\( p^{8} T^{48} + \)\(20\!\cdots\!93\)\( p^{9} T^{49} + \)\(18\!\cdots\!10\)\( p^{10} T^{50} + \)\(16\!\cdots\!75\)\( p^{11} T^{51} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( p^{12} T^{52} + \)\(11\!\cdots\!44\)\( p^{13} T^{53} + \)\(96\!\cdots\!37\)\( p^{14} T^{54} + \)\(78\!\cdots\!79\)\( p^{15} T^{55} + \)\(62\!\cdots\!74\)\( p^{16} T^{56} + \)\(47\!\cdots\!00\)\( p^{17} T^{57} + \)\(36\!\cdots\!89\)\( p^{18} T^{58} + \)\(26\!\cdots\!49\)\( p^{19} T^{59} + \)\(18\!\cdots\!22\)\( p^{20} T^{60} + \)\(12\!\cdots\!21\)\( p^{21} T^{61} + \)\(87\!\cdots\!17\)\( p^{22} T^{62} + \)\(56\!\cdots\!40\)\( p^{23} T^{63} + \)\(35\!\cdots\!21\)\( p^{24} T^{64} + \)\(21\!\cdots\!64\)\( p^{25} T^{65} + \)\(12\!\cdots\!26\)\( p^{26} T^{66} + 68057102147116105170 p^{27} T^{67} + 3592738929481574804 p^{28} T^{68} + 180116129648043464 p^{29} T^{69} + 8532653929965743 p^{30} T^{70} + 379664111187907 p^{31} T^{71} + 15751775792214 p^{32} T^{72} + 603779688483 p^{33} T^{73} + 21135623804 p^{34} T^{74} + 665187064 p^{35} T^{75} + 18431415 p^{36} T^{76} + 435413 p^{37} T^{77} + 8357 p^{38} T^{78} + 118 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
97 \( 1 - 2 T + 2080 T^{2} - 5408 T^{3} + 2148147 T^{4} - 6877089 T^{5} + 1469228646 T^{6} - 5602322755 T^{7} + 748981494229 T^{8} - 3326766355455 T^{9} + 303724425889172 T^{10} - 1546133431653172 T^{11} + 102135375697367268 T^{12} - 588142307953997336 T^{13} + 29324916943826178101 T^{14} - \)\(18\!\cdots\!52\)\( T^{15} + \)\(73\!\cdots\!61\)\( T^{16} - \)\(52\!\cdots\!07\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!52\)\( T^{18} - \)\(12\!\cdots\!06\)\( T^{19} + \)\(32\!\cdots\!77\)\( T^{20} - \)\(27\!\cdots\!62\)\( T^{21} + \)\(61\!\cdots\!35\)\( p T^{22} - \)\(53\!\cdots\!88\)\( T^{23} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( T^{24} - \)\(93\!\cdots\!11\)\( T^{25} + \)\(15\!\cdots\!21\)\( T^{26} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( T^{27} + \)\(22\!\cdots\!61\)\( T^{28} - \)\(21\!\cdots\!90\)\( T^{29} + \)\(30\!\cdots\!54\)\( T^{30} - \)\(29\!\cdots\!45\)\( T^{31} + \)\(39\!\cdots\!06\)\( T^{32} - \)\(37\!\cdots\!94\)\( T^{33} + \)\(47\!\cdots\!21\)\( T^{34} - \)\(44\!\cdots\!14\)\( T^{35} + \)\(53\!\cdots\!47\)\( T^{36} - \)\(48\!\cdots\!11\)\( T^{37} + \)\(56\!\cdots\!38\)\( T^{38} - \)\(50\!\cdots\!43\)\( T^{39} + \)\(56\!\cdots\!00\)\( T^{40} - \)\(50\!\cdots\!43\)\( p T^{41} + \)\(56\!\cdots\!38\)\( p^{2} T^{42} - \)\(48\!\cdots\!11\)\( p^{3} T^{43} + \)\(53\!\cdots\!47\)\( p^{4} T^{44} - \)\(44\!\cdots\!14\)\( p^{5} T^{45} + \)\(47\!\cdots\!21\)\( p^{6} T^{46} - \)\(37\!\cdots\!94\)\( p^{7} T^{47} + \)\(39\!\cdots\!06\)\( p^{8} T^{48} - \)\(29\!\cdots\!45\)\( p^{9} T^{49} + \)\(30\!\cdots\!54\)\( p^{10} T^{50} - \)\(21\!\cdots\!90\)\( p^{11} T^{51} + \)\(22\!\cdots\!61\)\( p^{12} T^{52} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{13} T^{53} + \)\(15\!\cdots\!21\)\( p^{14} T^{54} - \)\(93\!\cdots\!11\)\( p^{15} T^{55} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( p^{16} T^{56} - \)\(53\!\cdots\!88\)\( p^{17} T^{57} + \)\(61\!\cdots\!35\)\( p^{19} T^{58} - \)\(27\!\cdots\!62\)\( p^{19} T^{59} + \)\(32\!\cdots\!77\)\( p^{20} T^{60} - \)\(12\!\cdots\!06\)\( p^{21} T^{61} + \)\(16\!\cdots\!52\)\( p^{22} T^{62} - \)\(52\!\cdots\!07\)\( p^{23} T^{63} + \)\(73\!\cdots\!61\)\( p^{24} T^{64} - \)\(18\!\cdots\!52\)\( p^{25} T^{65} + 29324916943826178101 p^{26} T^{66} - 588142307953997336 p^{27} T^{67} + 102135375697367268 p^{28} T^{68} - 1546133431653172 p^{29} T^{69} + 303724425889172 p^{30} T^{70} - 3326766355455 p^{31} T^{71} + 748981494229 p^{32} T^{72} - 5602322755 p^{33} T^{73} + 1469228646 p^{34} T^{74} - 6877089 p^{35} T^{75} + 2148147 p^{36} T^{76} - 5408 p^{37} T^{77} + 2080 p^{38} T^{78} - 2 p^{39} T^{79} + p^{40} T^{80} \)
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\[\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{80} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.44532468184315241351087286240, −1.42298844944377800303723707967, −1.40602757822128973514647459473, −1.39693982209664861377455756516, −1.35832588137743795112430323026, −1.27890964253034573014933820530, −1.27561758885413168962428294600, −1.27522767943611782804032829108, −1.27241568428055522050979245185, −1.26536314080310528775825936220, −1.26482455512136247382591424744, −1.24289943189213891202065801965, −1.22214239555870270671850095324, −1.14995734287139036213914705274, −1.06811128757607116262477863287, −1.05458383713019572967594785420, −1.03678139129449249808626775661, −1.00080182422731033960325648561, −0.971902858685020803984390040302, −0.968193311901888109980787467137, −0.946096814006075786448225147874, −0.881122066402227543314111782456, −0.865145251846734321892975022309, −0.74435366245040824810840571940, −0.66056229024249714485810315341, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.66056229024249714485810315341, 0.74435366245040824810840571940, 0.865145251846734321892975022309, 0.881122066402227543314111782456, 0.946096814006075786448225147874, 0.968193311901888109980787467137, 0.971902858685020803984390040302, 1.00080182422731033960325648561, 1.03678139129449249808626775661, 1.05458383713019572967594785420, 1.06811128757607116262477863287, 1.14995734287139036213914705274, 1.22214239555870270671850095324, 1.24289943189213891202065801965, 1.26482455512136247382591424744, 1.26536314080310528775825936220, 1.27241568428055522050979245185, 1.27522767943611782804032829108, 1.27561758885413168962428294600, 1.27890964253034573014933820530, 1.35832588137743795112430323026, 1.39693982209664861377455756516, 1.40602757822128973514647459473, 1.42298844944377800303723707967, 1.44532468184315241351087286240

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.