Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 5·2-s + 6·4-s + 17·5-s + 12·7-s − 10·8-s + 85·10-s + 2·11-s + 8·13-s + 60·14-s − 28·16-s + 10·17-s + 32·19-s + 102·20-s + 10·22-s + 15·23-s + 153·25-s + 40·26-s + 72·28-s + 29-s + 18·31-s − 6·32-s + 50·34-s + 204·35-s + 12·37-s + 160·38-s − 170·40-s − 7·41-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 3.53·2-s + 3·4-s + 7.60·5-s + 4.53·7-s − 3.53·8-s + 26.8·10-s + 0.603·11-s + 2.21·13-s + 16.0·14-s − 7·16-s + 2.42·17-s + 7.34·19-s + 22.8·20-s + 2.13·22-s + 3.12·23-s + 30.5·25-s + 7.84·26-s + 13.6·28-s + 0.185·29-s + 3.23·31-s − 1.06·32-s + 8.57·34-s + 34.4·35-s + 1.97·37-s + 25.9·38-s − 26.8·40-s − 1.09·41-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{34} \cdot 5^{17} \cdot 89^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{34} \cdot 5^{17} \cdot 89^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(3^{34} \cdot 5^{17} \cdot 89^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(3.82783\times 10^{25}\) |
| Root analytic conductor: | \(5.65509\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 3^{34} \cdot 5^{17} \cdot 89^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(601032.1266\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(601032.1266\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( 1 \) |
| 5 | \( ( 1 - T )^{17} \) | |
| 89 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 - 5 T + 19 T^{2} - 55 T^{3} + 139 T^{4} - 309 T^{5} + 315 p T^{6} - 1185 T^{7} + 263 p^{3} T^{8} - 1779 p T^{9} + 5847 T^{10} - 9393 T^{11} + 14947 T^{12} - 11731 p T^{13} + 18211 p T^{14} - 55321 T^{15} + 82057 T^{16} - 29451 p^{2} T^{17} + 82057 p T^{18} - 55321 p^{2} T^{19} + 18211 p^{4} T^{20} - 11731 p^{5} T^{21} + 14947 p^{5} T^{22} - 9393 p^{6} T^{23} + 5847 p^{7} T^{24} - 1779 p^{9} T^{25} + 263 p^{12} T^{26} - 1185 p^{10} T^{27} + 315 p^{12} T^{28} - 309 p^{12} T^{29} + 139 p^{13} T^{30} - 55 p^{14} T^{31} + 19 p^{15} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 7 | \( 1 - 12 T + 111 T^{2} - 764 T^{3} + 4605 T^{4} - 23986 T^{5} + 114013 T^{6} - 492098 T^{7} + 1981418 T^{8} - 7422378 T^{9} + 26304718 T^{10} - 88062636 T^{11} + 281969210 T^{12} - 123238102 p T^{13} + 2547360412 T^{14} - 7251180150 T^{15} + 2865399468 p T^{16} - 53764090300 T^{17} + 2865399468 p^{2} T^{18} - 7251180150 p^{2} T^{19} + 2547360412 p^{3} T^{20} - 123238102 p^{5} T^{21} + 281969210 p^{5} T^{22} - 88062636 p^{6} T^{23} + 26304718 p^{7} T^{24} - 7422378 p^{8} T^{25} + 1981418 p^{9} T^{26} - 492098 p^{10} T^{27} + 114013 p^{11} T^{28} - 23986 p^{12} T^{29} + 4605 p^{13} T^{30} - 764 p^{14} T^{31} + 111 p^{15} T^{32} - 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 2 T + 79 T^{2} - 174 T^{3} + 3380 T^{4} - 8012 T^{5} + 101888 T^{6} - 253738 T^{7} + 2405468 T^{8} - 6125288 T^{9} + 46935436 T^{10} - 119101822 T^{11} + 779897016 T^{12} - 1928251668 T^{13} + 11217890076 T^{14} - 26540972170 T^{15} + 140860529778 T^{16} - 314200764012 T^{17} + 140860529778 p T^{18} - 26540972170 p^{2} T^{19} + 11217890076 p^{3} T^{20} - 1928251668 p^{4} T^{21} + 779897016 p^{5} T^{22} - 119101822 p^{6} T^{23} + 46935436 p^{7} T^{24} - 6125288 p^{8} T^{25} + 2405468 p^{9} T^{26} - 253738 p^{10} T^{27} + 101888 p^{11} T^{28} - 8012 p^{12} T^{29} + 3380 p^{13} T^{30} - 174 p^{14} T^{31} + 79 p^{15} T^{32} - 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 - 8 T + 119 T^{2} - 698 T^{3} + 6293 T^{4} - 29580 T^{5} + 207927 T^{6} - 815536 T^{7} + 4955708 T^{8} - 16454356 T^{9} + 92109122 T^{10} - 258134796 T^{11} + 1411470574 T^{12} - 3320231152 T^{13} + 18986614136 T^{14} - 2954929074 p T^{15} + 242856804484 T^{16} - 465535252992 T^{17} + 242856804484 p T^{18} - 2954929074 p^{3} T^{19} + 18986614136 p^{3} T^{20} - 3320231152 p^{4} T^{21} + 1411470574 p^{5} T^{22} - 258134796 p^{6} T^{23} + 92109122 p^{7} T^{24} - 16454356 p^{8} T^{25} + 4955708 p^{9} T^{26} - 815536 p^{10} T^{27} + 207927 p^{11} T^{28} - 29580 p^{12} T^{29} + 6293 p^{13} T^{30} - 698 p^{14} T^{31} + 119 p^{15} T^{32} - 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 - 10 T + 189 T^{2} - 1432 T^{3} + 15847 T^{4} - 98408 T^{5} + 817515 T^{6} - 4322504 T^{7} + 29595192 T^{8} - 135937078 T^{9} + 807459670 T^{10} - 3263747640 T^{11} + 17514468522 T^{12} - 63329689330 T^{13} + 321426522742 T^{14} - 1077066935328 T^{15} + 5447632151042 T^{16} - 17937813805916 T^{17} + 5447632151042 p T^{18} - 1077066935328 p^{2} T^{19} + 321426522742 p^{3} T^{20} - 63329689330 p^{4} T^{21} + 17514468522 p^{5} T^{22} - 3263747640 p^{6} T^{23} + 807459670 p^{7} T^{24} - 135937078 p^{8} T^{25} + 29595192 p^{9} T^{26} - 4322504 p^{10} T^{27} + 817515 p^{11} T^{28} - 98408 p^{12} T^{29} + 15847 p^{13} T^{30} - 1432 p^{14} T^{31} + 189 p^{15} T^{32} - 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 - 32 T + 649 T^{2} - 9840 T^{3} + 122670 T^{4} - 1312928 T^{5} + 12423522 T^{6} - 105914584 T^{7} + 824809862 T^{8} - 5926817512 T^{9} + 39600117734 T^{10} - 247488951224 T^{11} + 1453456854138 T^{12} - 8049919891296 T^{13} + 42161437665510 T^{14} - 209243322246720 T^{15} + 985391521687876 T^{16} - 4406958680928496 T^{17} + 985391521687876 p T^{18} - 209243322246720 p^{2} T^{19} + 42161437665510 p^{3} T^{20} - 8049919891296 p^{4} T^{21} + 1453456854138 p^{5} T^{22} - 247488951224 p^{6} T^{23} + 39600117734 p^{7} T^{24} - 5926817512 p^{8} T^{25} + 824809862 p^{9} T^{26} - 105914584 p^{10} T^{27} + 12423522 p^{11} T^{28} - 1312928 p^{12} T^{29} + 122670 p^{13} T^{30} - 9840 p^{14} T^{31} + 649 p^{15} T^{32} - 32 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 15 T + 349 T^{2} - 4080 T^{3} + 55400 T^{4} - 534564 T^{5} + 5450980 T^{6} - 45021280 T^{7} + 378308814 T^{8} - 2740873508 T^{9} + 19867937230 T^{10} - 128408646752 T^{11} + 823950233956 T^{12} - 4804293842108 T^{13} + 27711150712360 T^{14} - 146779037309776 T^{15} + 767862197298948 T^{16} - 3706280807521370 T^{17} + 767862197298948 p T^{18} - 146779037309776 p^{2} T^{19} + 27711150712360 p^{3} T^{20} - 4804293842108 p^{4} T^{21} + 823950233956 p^{5} T^{22} - 128408646752 p^{6} T^{23} + 19867937230 p^{7} T^{24} - 2740873508 p^{8} T^{25} + 378308814 p^{9} T^{26} - 45021280 p^{10} T^{27} + 5450980 p^{11} T^{28} - 534564 p^{12} T^{29} + 55400 p^{13} T^{30} - 4080 p^{14} T^{31} + 349 p^{15} T^{32} - 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 - T + 277 T^{2} + 10 T^{3} + 38971 T^{4} + 30631 T^{5} + 3724135 T^{6} + 4860736 T^{7} + 269907750 T^{8} + 442506636 T^{9} + 15658915452 T^{10} + 28574494534 T^{11} + 749448907248 T^{12} + 1416417378440 T^{13} + 30111798773152 T^{14} + 55984885639524 T^{15} + 1025584324573126 T^{16} + 1796861752250804 T^{17} + 1025584324573126 p T^{18} + 55984885639524 p^{2} T^{19} + 30111798773152 p^{3} T^{20} + 1416417378440 p^{4} T^{21} + 749448907248 p^{5} T^{22} + 28574494534 p^{6} T^{23} + 15658915452 p^{7} T^{24} + 442506636 p^{8} T^{25} + 269907750 p^{9} T^{26} + 4860736 p^{10} T^{27} + 3724135 p^{11} T^{28} + 30631 p^{12} T^{29} + 38971 p^{13} T^{30} + 10 p^{14} T^{31} + 277 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 - 18 T + 499 T^{2} - 6682 T^{3} + 3504 p T^{4} - 1177976 T^{5} + 14347488 T^{6} - 132034198 T^{7} + 1320417160 T^{8} - 10617407872 T^{9} + 91375214048 T^{10} - 654820383714 T^{11} + 4988056158032 T^{12} - 32300161858568 T^{13} + 221726048831296 T^{14} - 1309311299293806 T^{15} + 8189627555033130 T^{16} - 44307211662986204 T^{17} + 8189627555033130 p T^{18} - 1309311299293806 p^{2} T^{19} + 221726048831296 p^{3} T^{20} - 32300161858568 p^{4} T^{21} + 4988056158032 p^{5} T^{22} - 654820383714 p^{6} T^{23} + 91375214048 p^{7} T^{24} - 10617407872 p^{8} T^{25} + 1320417160 p^{9} T^{26} - 132034198 p^{10} T^{27} + 14347488 p^{11} T^{28} - 1177976 p^{12} T^{29} + 3504 p^{14} T^{30} - 6682 p^{14} T^{31} + 499 p^{15} T^{32} - 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 - 12 T + 397 T^{2} - 4042 T^{3} + 75087 T^{4} - 660608 T^{5} + 9018169 T^{6} - 69344954 T^{7} + 772788990 T^{8} - 5234765824 T^{9} + 50506451380 T^{10} - 303764569926 T^{11} + 2649920873188 T^{12} - 14338736065870 T^{13} + 117569063272982 T^{14} - 586731695059110 T^{15} + 4664616261518458 T^{16} - 22220824794657764 T^{17} + 4664616261518458 p T^{18} - 586731695059110 p^{2} T^{19} + 117569063272982 p^{3} T^{20} - 14338736065870 p^{4} T^{21} + 2649920873188 p^{5} T^{22} - 303764569926 p^{6} T^{23} + 50506451380 p^{7} T^{24} - 5234765824 p^{8} T^{25} + 772788990 p^{9} T^{26} - 69344954 p^{10} T^{27} + 9018169 p^{11} T^{28} - 660608 p^{12} T^{29} + 75087 p^{13} T^{30} - 4042 p^{14} T^{31} + 397 p^{15} T^{32} - 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 7 T + 449 T^{2} + 2752 T^{3} + 96431 T^{4} + 523909 T^{5} + 13277743 T^{6} + 64407250 T^{7} + 1324366806 T^{8} + 5759629112 T^{9} + 102595917832 T^{10} + 401547014206 T^{11} + 6476080021990 T^{12} + 22967595824928 T^{13} + 345629831262422 T^{14} + 1124889830723164 T^{15} + 16039592728145046 T^{16} + 48730134350190848 T^{17} + 16039592728145046 p T^{18} + 1124889830723164 p^{2} T^{19} + 345629831262422 p^{3} T^{20} + 22967595824928 p^{4} T^{21} + 6476080021990 p^{5} T^{22} + 401547014206 p^{6} T^{23} + 102595917832 p^{7} T^{24} + 5759629112 p^{8} T^{25} + 1324366806 p^{9} T^{26} + 64407250 p^{10} T^{27} + 13277743 p^{11} T^{28} + 523909 p^{12} T^{29} + 96431 p^{13} T^{30} + 2752 p^{14} T^{31} + 449 p^{15} T^{32} + 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - 28 T + 841 T^{2} - 15904 T^{3} + 292115 T^{4} - 4292066 T^{5} + 60257593 T^{6} - 734268488 T^{7} + 198564954 p T^{8} - 89489235518 T^{9} + 896888323688 T^{10} - 8267722562308 T^{11} + 73060494204556 T^{12} - 600766728947240 T^{13} + 4745336587342980 T^{14} - 35106921953161868 T^{15} + 249816973801734840 T^{16} - 38836445034888632 p T^{17} + 249816973801734840 p T^{18} - 35106921953161868 p^{2} T^{19} + 4745336587342980 p^{3} T^{20} - 600766728947240 p^{4} T^{21} + 73060494204556 p^{5} T^{22} - 8267722562308 p^{6} T^{23} + 896888323688 p^{7} T^{24} - 89489235518 p^{8} T^{25} + 198564954 p^{10} T^{26} - 734268488 p^{10} T^{27} + 60257593 p^{11} T^{28} - 4292066 p^{12} T^{29} + 292115 p^{13} T^{30} - 15904 p^{14} T^{31} + 841 p^{15} T^{32} - 28 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 26 T + 807 T^{2} - 15666 T^{3} + 293205 T^{4} - 4536152 T^{5} + 65133673 T^{6} - 839708870 T^{7} + 10052167162 T^{8} - 111409594520 T^{9} + 1155464450340 T^{10} - 11247324853704 T^{11} + 103177625880472 T^{12} - 894596963517952 T^{13} + 7346317690892662 T^{14} - 57229337503156880 T^{15} + 423478126770338274 T^{16} - 2977412877546770444 T^{17} + 423478126770338274 p T^{18} - 57229337503156880 p^{2} T^{19} + 7346317690892662 p^{3} T^{20} - 894596963517952 p^{4} T^{21} + 103177625880472 p^{5} T^{22} - 11247324853704 p^{6} T^{23} + 1155464450340 p^{7} T^{24} - 111409594520 p^{8} T^{25} + 10052167162 p^{9} T^{26} - 839708870 p^{10} T^{27} + 65133673 p^{11} T^{28} - 4536152 p^{12} T^{29} + 293205 p^{13} T^{30} - 15666 p^{14} T^{31} + 807 p^{15} T^{32} - 26 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 12 T + 699 T^{2} - 7718 T^{3} + 4521 p T^{4} - 2428492 T^{5} + 53191169 T^{6} - 494789262 T^{7} + 8537303878 T^{8} - 72902439294 T^{9} + 1049429267600 T^{10} - 8223861909526 T^{11} + 102185401517448 T^{12} - 733920899128816 T^{13} + 8045018467515776 T^{14} - 52817689975366662 T^{15} + 518248862436682984 T^{16} - 3096548522935099796 T^{17} + 518248862436682984 p T^{18} - 52817689975366662 p^{2} T^{19} + 8045018467515776 p^{3} T^{20} - 733920899128816 p^{4} T^{21} + 102185401517448 p^{5} T^{22} - 8223861909526 p^{6} T^{23} + 1049429267600 p^{7} T^{24} - 72902439294 p^{8} T^{25} + 8537303878 p^{9} T^{26} - 494789262 p^{10} T^{27} + 53191169 p^{11} T^{28} - 2428492 p^{12} T^{29} + 4521 p^{14} T^{30} - 7718 p^{14} T^{31} + 699 p^{15} T^{32} - 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 + 23 T + 733 T^{2} + 12504 T^{3} + 236063 T^{4} + 3212595 T^{5} + 45358887 T^{6} + 510421708 T^{7} + 5830371788 T^{8} + 55076568224 T^{9} + 526100289408 T^{10} + 4169232564352 T^{11} + 33833087417970 T^{12} + 221987587494690 T^{13} + 1573186086806432 T^{14} + 8634291575162620 T^{15} + 62230436154361394 T^{16} + 365440139076269452 T^{17} + 62230436154361394 p T^{18} + 8634291575162620 p^{2} T^{19} + 1573186086806432 p^{3} T^{20} + 221987587494690 p^{4} T^{21} + 33833087417970 p^{5} T^{22} + 4169232564352 p^{6} T^{23} + 526100289408 p^{7} T^{24} + 55076568224 p^{8} T^{25} + 5830371788 p^{9} T^{26} + 510421708 p^{10} T^{27} + 45358887 p^{11} T^{28} + 3212595 p^{12} T^{29} + 236063 p^{13} T^{30} + 12504 p^{14} T^{31} + 733 p^{15} T^{32} + 23 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 - 26 T + 1043 T^{2} - 20348 T^{3} + 477330 T^{4} - 7564728 T^{5} + 132626666 T^{6} - 29254164 p T^{7} + 25607720218 T^{8} - 300643836032 T^{9} + 3696421602182 T^{10} - 38549330641580 T^{11} + 416981322358510 T^{12} - 3908188136042216 T^{13} + 37798731225533142 T^{14} - 320637551526387668 T^{15} + 2799695048262362968 T^{16} - 21560466918534222860 T^{17} + 2799695048262362968 p T^{18} - 320637551526387668 p^{2} T^{19} + 37798731225533142 p^{3} T^{20} - 3908188136042216 p^{4} T^{21} + 416981322358510 p^{5} T^{22} - 38549330641580 p^{6} T^{23} + 3696421602182 p^{7} T^{24} - 300643836032 p^{8} T^{25} + 25607720218 p^{9} T^{26} - 29254164 p^{11} T^{27} + 132626666 p^{11} T^{28} - 7564728 p^{12} T^{29} + 477330 p^{13} T^{30} - 20348 p^{14} T^{31} + 1043 p^{15} T^{32} - 26 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 - 31 T + 1295 T^{2} - 29866 T^{3} + 739374 T^{4} - 13697448 T^{5} + 255183014 T^{6} - 3966806290 T^{7} + 60566700648 T^{8} - 811560889924 T^{9} + 10581781605176 T^{10} - 124342473451358 T^{11} + 1416364457565758 T^{12} - 14756241779765080 T^{13} + 148800609577196406 T^{14} - 1383524737566083046 T^{15} + 12443670342641564938 T^{16} - \)\(10\!\cdots\!46\)\( T^{17} + 12443670342641564938 p T^{18} - 1383524737566083046 p^{2} T^{19} + 148800609577196406 p^{3} T^{20} - 14756241779765080 p^{4} T^{21} + 1416364457565758 p^{5} T^{22} - 124342473451358 p^{6} T^{23} + 10581781605176 p^{7} T^{24} - 811560889924 p^{8} T^{25} + 60566700648 p^{9} T^{26} - 3966806290 p^{10} T^{27} + 255183014 p^{11} T^{28} - 13697448 p^{12} T^{29} + 739374 p^{13} T^{30} - 29866 p^{14} T^{31} + 1295 p^{15} T^{32} - 31 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 + 2 T + 545 T^{2} + 2046 T^{3} + 150934 T^{4} + 777752 T^{5} + 28767150 T^{6} + 175768122 T^{7} + 4255604486 T^{8} + 28180002080 T^{9} + 519308265238 T^{10} + 3506347517406 T^{11} + 54139179488374 T^{12} + 357744712977992 T^{13} + 4921493965275326 T^{14} + 31076443488011178 T^{15} + 394426582918463016 T^{16} + 2353419327908305916 T^{17} + 394426582918463016 p T^{18} + 31076443488011178 p^{2} T^{19} + 4921493965275326 p^{3} T^{20} + 357744712977992 p^{4} T^{21} + 54139179488374 p^{5} T^{22} + 3506347517406 p^{6} T^{23} + 519308265238 p^{7} T^{24} + 28180002080 p^{8} T^{25} + 4255604486 p^{9} T^{26} + 175768122 p^{10} T^{27} + 28767150 p^{11} T^{28} + 777752 p^{12} T^{29} + 150934 p^{13} T^{30} + 2046 p^{14} T^{31} + 545 p^{15} T^{32} + 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 - 33 T + 1289 T^{2} - 28770 T^{3} + 677538 T^{4} - 11856980 T^{5} + 212943502 T^{6} - 3128588334 T^{7} + 46709496756 T^{8} - 597840744796 T^{9} + 7742309945596 T^{10} - 88217100182922 T^{11} + 1014895374809458 T^{12} - 10429181854194124 T^{13} + 1480664914813742 p T^{14} - 1009172259685056806 T^{15} + 9497402766474017934 T^{16} - 80830906277803361350 T^{17} + 9497402766474017934 p T^{18} - 1009172259685056806 p^{2} T^{19} + 1480664914813742 p^{4} T^{20} - 10429181854194124 p^{4} T^{21} + 1014895374809458 p^{5} T^{22} - 88217100182922 p^{6} T^{23} + 7742309945596 p^{7} T^{24} - 597840744796 p^{8} T^{25} + 46709496756 p^{9} T^{26} - 3128588334 p^{10} T^{27} + 212943502 p^{11} T^{28} - 11856980 p^{12} T^{29} + 677538 p^{13} T^{30} - 28770 p^{14} T^{31} + 1289 p^{15} T^{32} - 33 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 - 33 T + 1065 T^{2} - 22456 T^{3} + 453093 T^{4} - 7380195 T^{5} + 115556793 T^{6} - 1567772582 T^{7} + 20615512790 T^{8} - 242982107518 T^{9} + 2803855212532 T^{10} - 29591533525458 T^{11} + 309421437939350 T^{12} - 3002923498258490 T^{13} + 29262838389737800 T^{14} - 267788772394368092 T^{15} + 2489902131579605596 T^{16} - 21900790885351587120 T^{17} + 2489902131579605596 p T^{18} - 267788772394368092 p^{2} T^{19} + 29262838389737800 p^{3} T^{20} - 3002923498258490 p^{4} T^{21} + 309421437939350 p^{5} T^{22} - 29591533525458 p^{6} T^{23} + 2803855212532 p^{7} T^{24} - 242982107518 p^{8} T^{25} + 20615512790 p^{9} T^{26} - 1567772582 p^{10} T^{27} + 115556793 p^{11} T^{28} - 7380195 p^{12} T^{29} + 453093 p^{13} T^{30} - 22456 p^{14} T^{31} + 1065 p^{15} T^{32} - 33 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 13 T + 531 T^{2} - 5020 T^{3} + 138914 T^{4} - 1148780 T^{5} + 26435034 T^{6} - 208330276 T^{7} + 4087943500 T^{8} - 31713279340 T^{9} + 534437566684 T^{10} - 4126832741836 T^{11} + 60834578745426 T^{12} - 468823122766516 T^{13} + 6173634810686442 T^{14} - 46907231445630772 T^{15} + 565077439895866462 T^{16} - 4142730188560919694 T^{17} + 565077439895866462 p T^{18} - 46907231445630772 p^{2} T^{19} + 6173634810686442 p^{3} T^{20} - 468823122766516 p^{4} T^{21} + 60834578745426 p^{5} T^{22} - 4126832741836 p^{6} T^{23} + 534437566684 p^{7} T^{24} - 31713279340 p^{8} T^{25} + 4087943500 p^{9} T^{26} - 208330276 p^{10} T^{27} + 26435034 p^{11} T^{28} - 1148780 p^{12} T^{29} + 138914 p^{13} T^{30} - 5020 p^{14} T^{31} + 531 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 - 45 T + 1593 T^{2} - 39180 T^{3} + 844530 T^{4} - 15203556 T^{5} + 252728450 T^{6} - 3753208580 T^{7} + 52965948112 T^{8} - 688925759476 T^{9} + 8649158787880 T^{10} - 101786189329420 T^{11} + 1169853811449590 T^{12} - 12761237898693980 T^{13} + 137388122367542326 T^{14} - 1416645831506652900 T^{15} + 14522418446246620814 T^{16} - \)\(14\!\cdots\!82\)\( T^{17} + 14522418446246620814 p T^{18} - 1416645831506652900 p^{2} T^{19} + 137388122367542326 p^{3} T^{20} - 12761237898693980 p^{4} T^{21} + 1169853811449590 p^{5} T^{22} - 101786189329420 p^{6} T^{23} + 8649158787880 p^{7} T^{24} - 688925759476 p^{8} T^{25} + 52965948112 p^{9} T^{26} - 3753208580 p^{10} T^{27} + 252728450 p^{11} T^{28} - 15203556 p^{12} T^{29} + 844530 p^{13} T^{30} - 39180 p^{14} T^{31} + 1593 p^{15} T^{32} - 45 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.86059069091535710308164456738, −1.84407338872735188427851178390, −1.79207302969054045549832571794, −1.79120295369070775164245103192, −1.76549349504463850157039523725, −1.55023685782082488075135993024, −1.50710646568153583572782225006, −1.49976434213599060319051801181, −1.49370147230453706558997760497, −1.41745982367829453074842225489, −1.23079799877952231616513202147, −1.19451736646277212759612891173, −1.13548182515048162070673923011, −1.12577942298029325200962626472, −1.00923110961069950175837127966, −0.936425567981436582969286736818, −0.879624285376175408973533641841, −0.852722921869389520460769052634, −0.840512735079071908860983772817, −0.74137341731732798148969113237, −0.71009045230160047319548794924, −0.70198167449716573985944592965, −0.57923119791530209966855548894, −0.55816836369836748007660465366, −0.40670227728631054930608208710, 0.40670227728631054930608208710, 0.55816836369836748007660465366, 0.57923119791530209966855548894, 0.70198167449716573985944592965, 0.71009045230160047319548794924, 0.74137341731732798148969113237, 0.840512735079071908860983772817, 0.852722921869389520460769052634, 0.879624285376175408973533641841, 0.936425567981436582969286736818, 1.00923110961069950175837127966, 1.12577942298029325200962626472, 1.13548182515048162070673923011, 1.19451736646277212759612891173, 1.23079799877952231616513202147, 1.41745982367829453074842225489, 1.49370147230453706558997760497, 1.49976434213599060319051801181, 1.50710646568153583572782225006, 1.55023685782082488075135993024, 1.76549349504463850157039523725, 1.79120295369070775164245103192, 1.79207302969054045549832571794, 1.84407338872735188427851178390, 1.86059069091535710308164456738
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.