Properties

Label 36-380e18-1.1-c1e18-0-0
Degree $36$
Conductor $2.730\times 10^{46}$
Sign $1$
Analytic cond. $4.75436\times 10^{8}$
Root an. cond. $1.74192$
Motivic weight $1$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 3·3-s + 9·13-s + 12·17-s + 18·19-s − 9·23-s − 12·27-s − 33·29-s − 18·31-s + 60·37-s + 27·39-s − 18·41-s + 18·43-s − 15·47-s + 24·49-s + 36·51-s + 24·53-s + 54·57-s + 48·59-s − 18·61-s − 36·67-s − 27·69-s + 18·73-s + 9·79-s − 18·81-s − 30·83-s − 99·87-s + 6·89-s + ⋯
L(s)  = 1  + 1.73·3-s + 2.49·13-s + 2.91·17-s + 4.12·19-s − 1.87·23-s − 2.30·27-s − 6.12·29-s − 3.23·31-s + 9.86·37-s + 4.32·39-s − 2.81·41-s + 2.74·43-s − 2.18·47-s + 24/7·49-s + 5.04·51-s + 3.29·53-s + 7.15·57-s + 6.24·59-s − 2.30·61-s − 4.39·67-s − 3.25·69-s + 2.10·73-s + 1.01·79-s − 2·81-s − 3.29·83-s − 10.6·87-s + 0.635·89-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{36} \cdot 5^{18} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{36} \cdot 5^{18} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(36\)
Conductor: \(2^{36} \cdot 5^{18} \cdot 19^{18}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(4.75436\times 10^{8}\)
Root analytic conductor: \(1.74192\)
Motivic weight: \(1\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((36,\ 2^{36} \cdot 5^{18} \cdot 19^{18} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(1)\) \(\approx\) \(2.238022380\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(2.238022380\)
\(L(\frac{3}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad2 \( 1 \)
5 \( ( 1 - T^{3} + T^{6} )^{3} \)
19 \( 1 - 18 T + 129 T^{2} - 341 T^{3} - 1605 T^{4} + 20361 T^{5} - 91441 T^{6} + 98520 T^{7} + 1334295 T^{8} - 9355997 T^{9} + 1334295 p T^{10} + 98520 p^{2} T^{11} - 91441 p^{3} T^{12} + 20361 p^{4} T^{13} - 1605 p^{5} T^{14} - 341 p^{6} T^{15} + 129 p^{7} T^{16} - 18 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} \)
good3 \( 1 - p T + p^{2} T^{2} - 5 p T^{3} + p^{3} T^{4} - 71 T^{6} + 98 p T^{7} - 19 p^{3} T^{8} + 310 p T^{9} - 38 p^{2} T^{10} - 124 p^{2} T^{11} + 6706 T^{12} - 3796 p T^{13} + 755 p^{3} T^{14} - 2534 p T^{15} - 2207 p^{2} T^{16} + 4580 p^{3} T^{17} - 23873 p^{2} T^{18} + 4580 p^{4} T^{19} - 2207 p^{4} T^{20} - 2534 p^{4} T^{21} + 755 p^{7} T^{22} - 3796 p^{6} T^{23} + 6706 p^{6} T^{24} - 124 p^{9} T^{25} - 38 p^{10} T^{26} + 310 p^{10} T^{27} - 19 p^{13} T^{28} + 98 p^{12} T^{29} - 71 p^{12} T^{30} + p^{17} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{18} T^{34} - p^{18} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
7 \( 1 - 24 T^{2} + 20 T^{3} + 6 p^{2} T^{4} - 426 T^{5} - 1870 T^{6} + 4287 T^{7} + 2871 T^{8} - 19962 T^{9} + 45765 T^{10} - 19137 T^{11} - 403301 T^{12} + 689187 T^{13} + 1980840 T^{14} - 3153827 T^{15} - 1996095 p T^{16} + 5181210 T^{17} + 119865085 T^{18} + 5181210 p T^{19} - 1996095 p^{3} T^{20} - 3153827 p^{3} T^{21} + 1980840 p^{4} T^{22} + 689187 p^{5} T^{23} - 403301 p^{6} T^{24} - 19137 p^{7} T^{25} + 45765 p^{8} T^{26} - 19962 p^{9} T^{27} + 2871 p^{10} T^{28} + 4287 p^{11} T^{29} - 1870 p^{12} T^{30} - 426 p^{13} T^{31} + 6 p^{16} T^{32} + 20 p^{15} T^{33} - 24 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \)
11 \( 1 - 39 T^{2} - 28 T^{3} + 771 T^{4} + 1659 T^{5} - 10268 T^{6} - 46314 T^{7} + 88647 T^{8} + 887360 T^{9} - 65733 T^{10} - 12967848 T^{11} - 16597957 T^{12} + 13166565 p T^{13} + 418790712 T^{14} - 1182897451 T^{15} - 6724855257 T^{16} + 4821359877 T^{17} + 82509655765 T^{18} + 4821359877 p T^{19} - 6724855257 p^{2} T^{20} - 1182897451 p^{3} T^{21} + 418790712 p^{4} T^{22} + 13166565 p^{6} T^{23} - 16597957 p^{6} T^{24} - 12967848 p^{7} T^{25} - 65733 p^{8} T^{26} + 887360 p^{9} T^{27} + 88647 p^{10} T^{28} - 46314 p^{11} T^{29} - 10268 p^{12} T^{30} + 1659 p^{13} T^{31} + 771 p^{14} T^{32} - 28 p^{15} T^{33} - 39 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \)
13 \( 1 - 9 T + 36 T^{2} - 8 p T^{3} + 297 T^{4} - 918 T^{5} + 3789 T^{6} - 4104 T^{7} - 58185 T^{8} + 213645 T^{9} + 148023 T^{10} - 2810061 T^{11} + 8804530 T^{12} - 1730250 T^{13} - 48624426 T^{14} + 44104189 T^{15} - 1246156785 T^{16} + 14450012496 T^{17} - 71187303347 T^{18} + 14450012496 p T^{19} - 1246156785 p^{2} T^{20} + 44104189 p^{3} T^{21} - 48624426 p^{4} T^{22} - 1730250 p^{5} T^{23} + 8804530 p^{6} T^{24} - 2810061 p^{7} T^{25} + 148023 p^{8} T^{26} + 213645 p^{9} T^{27} - 58185 p^{10} T^{28} - 4104 p^{11} T^{29} + 3789 p^{12} T^{30} - 918 p^{13} T^{31} + 297 p^{14} T^{32} - 8 p^{16} T^{33} + 36 p^{16} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
17 \( 1 - 12 T + 126 T^{2} - 886 T^{3} + 6042 T^{4} - 35760 T^{5} + 213301 T^{6} - 1185639 T^{7} + 6463623 T^{8} - 33317734 T^{9} + 166965954 T^{10} - 809918880 T^{11} + 3851356187 T^{12} - 17984098641 T^{13} + 81896456157 T^{14} - 366046036924 T^{15} + 1583564318100 T^{16} - 6755487413862 T^{17} + 27967071136519 T^{18} - 6755487413862 p T^{19} + 1583564318100 p^{2} T^{20} - 366046036924 p^{3} T^{21} + 81896456157 p^{4} T^{22} - 17984098641 p^{5} T^{23} + 3851356187 p^{6} T^{24} - 809918880 p^{7} T^{25} + 166965954 p^{8} T^{26} - 33317734 p^{9} T^{27} + 6463623 p^{10} T^{28} - 1185639 p^{11} T^{29} + 213301 p^{12} T^{30} - 35760 p^{13} T^{31} + 6042 p^{14} T^{32} - 886 p^{15} T^{33} + 126 p^{16} T^{34} - 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
23 \( 1 + 9 T - 199 T^{3} - 261 T^{4} + 3753 T^{5} + 14982 T^{6} - 19755 T^{7} - 480384 T^{8} - 1573343 T^{9} + 18912510 T^{10} + 137757483 T^{11} - 118954301 T^{12} - 3308958927 T^{13} - 3893462532 T^{14} + 62689461137 T^{15} + 237363328782 T^{16} - 518427018324 T^{17} - 6275000654353 T^{18} - 518427018324 p T^{19} + 237363328782 p^{2} T^{20} + 62689461137 p^{3} T^{21} - 3893462532 p^{4} T^{22} - 3308958927 p^{5} T^{23} - 118954301 p^{6} T^{24} + 137757483 p^{7} T^{25} + 18912510 p^{8} T^{26} - 1573343 p^{9} T^{27} - 480384 p^{10} T^{28} - 19755 p^{11} T^{29} + 14982 p^{12} T^{30} + 3753 p^{13} T^{31} - 261 p^{14} T^{32} - 199 p^{15} T^{33} + 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
29 \( 1 + 33 T + 483 T^{2} + 3619 T^{3} + 4128 T^{4} - 228888 T^{5} - 2855615 T^{6} - 16700577 T^{7} - 15514497 T^{8} + 670598380 T^{9} + 6971352840 T^{10} + 34397949972 T^{11} + 21379437062 T^{12} - 38968053588 p T^{13} - 10195622997855 T^{14} - 43767609684668 T^{15} - 10136027788926 T^{16} + 1306174228180449 T^{17} + 10211679534846295 T^{18} + 1306174228180449 p T^{19} - 10136027788926 p^{2} T^{20} - 43767609684668 p^{3} T^{21} - 10195622997855 p^{4} T^{22} - 38968053588 p^{6} T^{23} + 21379437062 p^{6} T^{24} + 34397949972 p^{7} T^{25} + 6971352840 p^{8} T^{26} + 670598380 p^{9} T^{27} - 15514497 p^{10} T^{28} - 16700577 p^{11} T^{29} - 2855615 p^{12} T^{30} - 228888 p^{13} T^{31} + 4128 p^{14} T^{32} + 3619 p^{15} T^{33} + 483 p^{16} T^{34} + 33 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
31 \( 1 + 18 T - 54 T^{2} - 2216 T^{3} + 6804 T^{4} + 218241 T^{5} - 593482 T^{6} - 14685741 T^{7} + 55904580 T^{8} + 808751172 T^{9} - 3972482037 T^{10} - 34484631525 T^{11} + 236506305475 T^{12} + 1177912204263 T^{13} - 11334177226854 T^{14} - 28514333526094 T^{15} + 458465411046771 T^{16} + 347266516285044 T^{17} - 15404250136471583 T^{18} + 347266516285044 p T^{19} + 458465411046771 p^{2} T^{20} - 28514333526094 p^{3} T^{21} - 11334177226854 p^{4} T^{22} + 1177912204263 p^{5} T^{23} + 236506305475 p^{6} T^{24} - 34484631525 p^{7} T^{25} - 3972482037 p^{8} T^{26} + 808751172 p^{9} T^{27} + 55904580 p^{10} T^{28} - 14685741 p^{11} T^{29} - 593482 p^{12} T^{30} + 218241 p^{13} T^{31} + 6804 p^{14} T^{32} - 2216 p^{15} T^{33} - 54 p^{16} T^{34} + 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
37 \( ( 1 - 30 T + 600 T^{2} - 8654 T^{3} + 102528 T^{4} - 1025199 T^{5} + 9008459 T^{6} - 70397997 T^{7} + 496469658 T^{8} - 3168574091 T^{9} + 496469658 p T^{10} - 70397997 p^{2} T^{11} + 9008459 p^{3} T^{12} - 1025199 p^{4} T^{13} + 102528 p^{5} T^{14} - 8654 p^{6} T^{15} + 600 p^{7} T^{16} - 30 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \)
41 \( 1 + 18 T + 39 T^{2} - 1105 T^{3} - 7182 T^{4} + 11991 T^{5} + 326698 T^{6} + 2215566 T^{7} - 427971 T^{8} - 178079029 T^{9} - 1019549202 T^{10} + 4524269940 T^{11} + 62871381014 T^{12} + 158299655106 T^{13} - 903046975740 T^{14} - 13772190108796 T^{15} - 74462312596944 T^{16} + 296666121147957 T^{17} + 5379050965398319 T^{18} + 296666121147957 p T^{19} - 74462312596944 p^{2} T^{20} - 13772190108796 p^{3} T^{21} - 903046975740 p^{4} T^{22} + 158299655106 p^{5} T^{23} + 62871381014 p^{6} T^{24} + 4524269940 p^{7} T^{25} - 1019549202 p^{8} T^{26} - 178079029 p^{9} T^{27} - 427971 p^{10} T^{28} + 2215566 p^{11} T^{29} + 326698 p^{12} T^{30} + 11991 p^{13} T^{31} - 7182 p^{14} T^{32} - 1105 p^{15} T^{33} + 39 p^{16} T^{34} + 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
43 \( 1 - 18 T - 30 T^{2} + 2570 T^{3} - 9888 T^{4} - 161112 T^{5} + 1146016 T^{6} + 6272706 T^{7} - 72107712 T^{8} - 151273250 T^{9} + 3439743858 T^{10} - 2261946408 T^{11} - 113156208794 T^{12} + 435022212804 T^{13} + 1455776921460 T^{14} - 20376498685990 T^{15} + 81069015306732 T^{16} + 367391005371378 T^{17} - 5971578686834953 T^{18} + 367391005371378 p T^{19} + 81069015306732 p^{2} T^{20} - 20376498685990 p^{3} T^{21} + 1455776921460 p^{4} T^{22} + 435022212804 p^{5} T^{23} - 113156208794 p^{6} T^{24} - 2261946408 p^{7} T^{25} + 3439743858 p^{8} T^{26} - 151273250 p^{9} T^{27} - 72107712 p^{10} T^{28} + 6272706 p^{11} T^{29} + 1146016 p^{12} T^{30} - 161112 p^{13} T^{31} - 9888 p^{14} T^{32} + 2570 p^{15} T^{33} - 30 p^{16} T^{34} - 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
47 \( 1 + 15 T - 9 T^{2} - 837 T^{3} - 459 T^{4} + 11004 T^{5} - 249 T^{6} + 627432 T^{7} - 6576975 T^{8} - 42400530 T^{9} + 591537996 T^{10} + 1454120988 T^{11} - 6736541808 T^{12} + 4413168276 T^{13} - 904430568339 T^{14} - 1533938155236 T^{15} + 49941717736131 T^{16} + 104276410502550 T^{17} - 862400775837737 T^{18} + 104276410502550 p T^{19} + 49941717736131 p^{2} T^{20} - 1533938155236 p^{3} T^{21} - 904430568339 p^{4} T^{22} + 4413168276 p^{5} T^{23} - 6736541808 p^{6} T^{24} + 1454120988 p^{7} T^{25} + 591537996 p^{8} T^{26} - 42400530 p^{9} T^{27} - 6576975 p^{10} T^{28} + 627432 p^{11} T^{29} - 249 p^{12} T^{30} + 11004 p^{13} T^{31} - 459 p^{14} T^{32} - 837 p^{15} T^{33} - 9 p^{16} T^{34} + 15 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
53 \( 1 - 24 T + 225 T^{2} - 769 T^{3} - 6582 T^{4} + 100641 T^{5} - 517184 T^{6} + 2012199 T^{7} - 16363398 T^{8} - 4761454 T^{9} + 2498225151 T^{10} - 28229498508 T^{11} + 87579924293 T^{12} + 953651620938 T^{13} - 10067894549412 T^{14} + 15009241912997 T^{15} + 174367787875668 T^{16} - 65378908385142 T^{17} - 7679913226411931 T^{18} - 65378908385142 p T^{19} + 174367787875668 p^{2} T^{20} + 15009241912997 p^{3} T^{21} - 10067894549412 p^{4} T^{22} + 953651620938 p^{5} T^{23} + 87579924293 p^{6} T^{24} - 28229498508 p^{7} T^{25} + 2498225151 p^{8} T^{26} - 4761454 p^{9} T^{27} - 16363398 p^{10} T^{28} + 2012199 p^{11} T^{29} - 517184 p^{12} T^{30} + 100641 p^{13} T^{31} - 6582 p^{14} T^{32} - 769 p^{15} T^{33} + 225 p^{16} T^{34} - 24 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
59 \( 1 - 48 T + 1389 T^{2} - 29806 T^{3} + 531858 T^{4} - 8321013 T^{5} + 118174039 T^{6} - 1550268537 T^{7} + 19001349090 T^{8} - 219189023782 T^{9} + 2394511141428 T^{10} - 24893214035829 T^{11} + 247175925769346 T^{12} - 2350329062285844 T^{13} + 21442737573847527 T^{14} - 188001478307647177 T^{15} + 1585929527994110199 T^{16} - 218358198093753042 p T^{17} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( T^{18} - 218358198093753042 p^{2} T^{19} + 1585929527994110199 p^{2} T^{20} - 188001478307647177 p^{3} T^{21} + 21442737573847527 p^{4} T^{22} - 2350329062285844 p^{5} T^{23} + 247175925769346 p^{6} T^{24} - 24893214035829 p^{7} T^{25} + 2394511141428 p^{8} T^{26} - 219189023782 p^{9} T^{27} + 19001349090 p^{10} T^{28} - 1550268537 p^{11} T^{29} + 118174039 p^{12} T^{30} - 8321013 p^{13} T^{31} + 531858 p^{14} T^{32} - 29806 p^{15} T^{33} + 1389 p^{16} T^{34} - 48 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
61 \( 1 + 18 T + 294 T^{2} + 4174 T^{3} + 51438 T^{4} + 547155 T^{5} + 5670231 T^{6} + 50736159 T^{7} + 433380015 T^{8} + 58859010 p T^{9} + 27612532143 T^{10} + 210267600648 T^{11} + 1731571447177 T^{12} + 14208508269354 T^{13} + 123009705888978 T^{14} + 1128151816949299 T^{15} + 9585777049241271 T^{16} + 81515091060357813 T^{17} + 665393814075707053 T^{18} + 81515091060357813 p T^{19} + 9585777049241271 p^{2} T^{20} + 1128151816949299 p^{3} T^{21} + 123009705888978 p^{4} T^{22} + 14208508269354 p^{5} T^{23} + 1731571447177 p^{6} T^{24} + 210267600648 p^{7} T^{25} + 27612532143 p^{8} T^{26} + 58859010 p^{10} T^{27} + 433380015 p^{10} T^{28} + 50736159 p^{11} T^{29} + 5670231 p^{12} T^{30} + 547155 p^{13} T^{31} + 51438 p^{14} T^{32} + 4174 p^{15} T^{33} + 294 p^{16} T^{34} + 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
67 \( 1 + 36 T + 351 T^{2} - 3243 T^{3} - 86400 T^{4} - 198354 T^{5} + 8543620 T^{6} + 60626487 T^{7} - 518283567 T^{8} - 6660087981 T^{9} + 22003573383 T^{10} + 563366841135 T^{11} - 72840573034 T^{12} - 39886282536864 T^{13} - 131070258826020 T^{14} + 1987464955059261 T^{15} + 15789168924326874 T^{16} - 48112053546329955 T^{17} - 1218633868108860155 T^{18} - 48112053546329955 p T^{19} + 15789168924326874 p^{2} T^{20} + 1987464955059261 p^{3} T^{21} - 131070258826020 p^{4} T^{22} - 39886282536864 p^{5} T^{23} - 72840573034 p^{6} T^{24} + 563366841135 p^{7} T^{25} + 22003573383 p^{8} T^{26} - 6660087981 p^{9} T^{27} - 518283567 p^{10} T^{28} + 60626487 p^{11} T^{29} + 8543620 p^{12} T^{30} - 198354 p^{13} T^{31} - 86400 p^{14} T^{32} - 3243 p^{15} T^{33} + 351 p^{16} T^{34} + 36 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
71 \( 1 - 81 T^{2} - 738 T^{3} - 918 T^{4} + 270 T^{5} + 984684 T^{6} + 5497443 T^{7} - 51241113 T^{8} - 700877295 T^{9} + 39901221 T^{10} + 14422495635 T^{11} + 386076795540 T^{12} + 3472323641937 T^{13} - 23217492041199 T^{14} - 453692089912509 T^{15} - 640441042989858 T^{16} + 16449691161508767 T^{17} + 140299387316142775 T^{18} + 16449691161508767 p T^{19} - 640441042989858 p^{2} T^{20} - 453692089912509 p^{3} T^{21} - 23217492041199 p^{4} T^{22} + 3472323641937 p^{5} T^{23} + 386076795540 p^{6} T^{24} + 14422495635 p^{7} T^{25} + 39901221 p^{8} T^{26} - 700877295 p^{9} T^{27} - 51241113 p^{10} T^{28} + 5497443 p^{11} T^{29} + 984684 p^{12} T^{30} + 270 p^{13} T^{31} - 918 p^{14} T^{32} - 738 p^{15} T^{33} - 81 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \)
73 \( 1 - 18 T + 81 T^{2} + 1525 T^{3} - 34308 T^{4} + 206694 T^{5} + 1474056 T^{6} - 38382768 T^{7} + 299231721 T^{8} + 442715052 T^{9} - 29095651539 T^{10} + 278285229918 T^{11} - 720356357177 T^{12} - 13669390907820 T^{13} + 179432359770636 T^{14} - 1050463059191708 T^{15} - 365739839786520 T^{16} + 73932986568294873 T^{17} - 808023709987657181 T^{18} + 73932986568294873 p T^{19} - 365739839786520 p^{2} T^{20} - 1050463059191708 p^{3} T^{21} + 179432359770636 p^{4} T^{22} - 13669390907820 p^{5} T^{23} - 720356357177 p^{6} T^{24} + 278285229918 p^{7} T^{25} - 29095651539 p^{8} T^{26} + 442715052 p^{9} T^{27} + 299231721 p^{10} T^{28} - 38382768 p^{11} T^{29} + 1474056 p^{12} T^{30} + 206694 p^{13} T^{31} - 34308 p^{14} T^{32} + 1525 p^{15} T^{33} + 81 p^{16} T^{34} - 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
79 \( 1 - 9 T + 3 p T^{2} - 1222 T^{3} + 17169 T^{4} + 162321 T^{5} - 1439791 T^{6} + 46003440 T^{7} - 271154169 T^{8} + 3212350245 T^{9} + 8241438879 T^{10} - 138567032355 T^{11} + 4361016174316 T^{12} - 32377417482210 T^{13} + 312005232246486 T^{14} - 253871922891287 T^{15} - 8283667661497974 T^{16} + 271318373723687553 T^{17} - 2335258029006549281 T^{18} + 271318373723687553 p T^{19} - 8283667661497974 p^{2} T^{20} - 253871922891287 p^{3} T^{21} + 312005232246486 p^{4} T^{22} - 32377417482210 p^{5} T^{23} + 4361016174316 p^{6} T^{24} - 138567032355 p^{7} T^{25} + 8241438879 p^{8} T^{26} + 3212350245 p^{9} T^{27} - 271154169 p^{10} T^{28} + 46003440 p^{11} T^{29} - 1439791 p^{12} T^{30} + 162321 p^{13} T^{31} + 17169 p^{14} T^{32} - 1222 p^{15} T^{33} + 3 p^{17} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
83 \( 1 + 30 T + 54 T^{2} - 6270 T^{3} - 31641 T^{4} + 858282 T^{5} + 4578079 T^{6} - 103402659 T^{7} - 491704902 T^{8} + 10880806608 T^{9} + 50084320695 T^{10} - 916824613641 T^{11} - 4409273608389 T^{12} + 66577138643826 T^{13} + 405015945967239 T^{14} - 3975589632488568 T^{15} - 40683759380738565 T^{16} + 123600922001262738 T^{17} + 3718198605883109111 T^{18} + 123600922001262738 p T^{19} - 40683759380738565 p^{2} T^{20} - 3975589632488568 p^{3} T^{21} + 405015945967239 p^{4} T^{22} + 66577138643826 p^{5} T^{23} - 4409273608389 p^{6} T^{24} - 916824613641 p^{7} T^{25} + 50084320695 p^{8} T^{26} + 10880806608 p^{9} T^{27} - 491704902 p^{10} T^{28} - 103402659 p^{11} T^{29} + 4578079 p^{12} T^{30} + 858282 p^{13} T^{31} - 31641 p^{14} T^{32} - 6270 p^{15} T^{33} + 54 p^{16} T^{34} + 30 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
89 \( 1 - 6 T + 33 T^{2} - 905 T^{3} + 12999 T^{4} + 46506 T^{5} - 47496 T^{6} + 946020 T^{7} - 134138586 T^{8} + 1407568808 T^{9} - 99720849 T^{10} + 144518489397 T^{11} - 1028714975003 T^{12} - 5231382830139 T^{13} + 34665087144285 T^{14} + 541518166541740 T^{15} + 11954318873281701 T^{16} - 80802370224409527 T^{17} + 136568578690134299 T^{18} - 80802370224409527 p T^{19} + 11954318873281701 p^{2} T^{20} + 541518166541740 p^{3} T^{21} + 34665087144285 p^{4} T^{22} - 5231382830139 p^{5} T^{23} - 1028714975003 p^{6} T^{24} + 144518489397 p^{7} T^{25} - 99720849 p^{8} T^{26} + 1407568808 p^{9} T^{27} - 134138586 p^{10} T^{28} + 946020 p^{11} T^{29} - 47496 p^{12} T^{30} + 46506 p^{13} T^{31} + 12999 p^{14} T^{32} - 905 p^{15} T^{33} + 33 p^{16} T^{34} - 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
97 \( 1 - 21 T + 297 T^{2} - 3873 T^{3} + 49104 T^{4} - 456024 T^{5} + 4332340 T^{6} - 41389749 T^{7} + 345020400 T^{8} - 1840404375 T^{9} + 9422515314 T^{10} - 61141821975 T^{11} + 694723715831 T^{12} - 14980259756157 T^{13} + 365245566414120 T^{14} - 5441481111581394 T^{15} + 62411361167727513 T^{16} - 713679609510176190 T^{17} + 7708573222182905221 T^{18} - 713679609510176190 p T^{19} + 62411361167727513 p^{2} T^{20} - 5441481111581394 p^{3} T^{21} + 365245566414120 p^{4} T^{22} - 14980259756157 p^{5} T^{23} + 694723715831 p^{6} T^{24} - 61141821975 p^{7} T^{25} + 9422515314 p^{8} T^{26} - 1840404375 p^{9} T^{27} + 345020400 p^{10} T^{28} - 41389749 p^{11} T^{29} + 4332340 p^{12} T^{30} - 456024 p^{13} T^{31} + 49104 p^{14} T^{32} - 3873 p^{15} T^{33} + 297 p^{16} T^{34} - 21 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.07517621199499142541106656353, −3.04657664805646813412278680229, −2.71816841293060478225656665569, −2.67843427951203647009597744529, −2.54160815415552779591803528076, −2.53438661183816320763360472389, −2.48471248123406263251746602988, −2.33485656548037077746275115247, −2.26912502090536573161364769167, −2.17661740608818923412612637734, −2.01164617801130439054672512185, −2.00097613360553872101340253586, −1.94588925754256785870490024158, −1.91992793169750117884057449540, −1.66553606194610017337958970968, −1.62823592693087152323691328506, −1.48090172195164574813247083794, −1.25054334959559957789252632942, −1.12117292142370320334710521878, −1.06175585440897607432692553074, −1.01810927629532665169763914432, −0.950288671172903691803572162156, −0.811045728740192393632785599695, −0.62502849430948741168328928531, −0.07761952621198305518721249874, 0.07761952621198305518721249874, 0.62502849430948741168328928531, 0.811045728740192393632785599695, 0.950288671172903691803572162156, 1.01810927629532665169763914432, 1.06175585440897607432692553074, 1.12117292142370320334710521878, 1.25054334959559957789252632942, 1.48090172195164574813247083794, 1.62823592693087152323691328506, 1.66553606194610017337958970968, 1.91992793169750117884057449540, 1.94588925754256785870490024158, 2.00097613360553872101340253586, 2.01164617801130439054672512185, 2.17661740608818923412612637734, 2.26912502090536573161364769167, 2.33485656548037077746275115247, 2.48471248123406263251746602988, 2.53438661183816320763360472389, 2.54160815415552779591803528076, 2.67843427951203647009597744529, 2.71816841293060478225656665569, 3.04657664805646813412278680229, 3.07517621199499142541106656353

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.