| L(s) = 1 | + 20·2-s − 45·3-s + 240·4-s − 24·5-s − 900·6-s − 103·7-s + 2.24e3·8-s + 1.21e3·9-s − 480·10-s − 211·11-s − 1.08e4·12-s − 97·13-s − 2.06e3·14-s + 1.08e3·15-s + 1.79e4·16-s − 933·17-s + 2.43e4·18-s − 218·19-s − 5.76e3·20-s + 4.63e3·21-s − 4.22e3·22-s − 1.82e3·23-s − 1.00e5·24-s − 6.76e3·25-s − 1.94e3·26-s − 2.55e4·27-s − 2.47e4·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 3.53·2-s − 2.88·3-s + 15/2·4-s − 0.429·5-s − 10.2·6-s − 0.794·7-s + 12.3·8-s + 5·9-s − 1.51·10-s − 0.525·11-s − 21.6·12-s − 0.159·13-s − 2.80·14-s + 1.23·15-s + 35/2·16-s − 0.782·17-s + 17.6·18-s − 0.138·19-s − 3.21·20-s + 2.29·21-s − 1.85·22-s − 0.717·23-s − 35.7·24-s − 2.16·25-s − 0.562·26-s − 6.73·27-s − 5.95·28-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{5} \cdot 3^{5} \cdot 59^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{5} \cdot 3^{5} \cdot 59^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{5} \) |
| 3 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{5} \) |
| 59 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{5} \) |
| good | 5 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 24 T + 7343 T^{2} + 304532 T^{3} + 26523781 T^{4} + 1488809444 T^{5} + 26523781 p^{5} T^{6} + 304532 p^{10} T^{7} + 7343 p^{15} T^{8} + 24 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 103 T + 78900 T^{2} + 6041573 T^{3} + 2536861010 T^{4} + 144637263465 T^{5} + 2536861010 p^{5} T^{6} + 6041573 p^{10} T^{7} + 78900 p^{15} T^{8} + 103 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 211 T + 272317 T^{2} + 100258134 T^{3} + 4152344155 p T^{4} + 26409200926201 T^{5} + 4152344155 p^{6} T^{6} + 100258134 p^{10} T^{7} + 272317 p^{15} T^{8} + 211 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 97 T + 501295 T^{2} - 155191070 T^{3} + 140759107069 T^{4} - 68211770820637 T^{5} + 140759107069 p^{5} T^{6} - 155191070 p^{10} T^{7} + 501295 p^{15} T^{8} + 97 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 933 T + 2455766 T^{2} + 2464325803 T^{3} + 5741581597672 T^{4} + 4149830757447083 T^{5} + 5741581597672 p^{5} T^{6} + 2464325803 p^{10} T^{7} + 2455766 p^{15} T^{8} + 933 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 218 T + 3234970 T^{2} + 2423941062 T^{3} + 13642127427154 T^{4} + 5342378818422668 T^{5} + 13642127427154 p^{5} T^{6} + 2423941062 p^{10} T^{7} + 3234970 p^{15} T^{8} + 218 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 1820 T + 20182930 T^{2} + 1874891556 p T^{3} + 214970711707546 T^{4} + 386766478992924158 T^{5} + 214970711707546 p^{5} T^{6} + 1874891556 p^{11} T^{7} + 20182930 p^{15} T^{8} + 1820 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 6464 T + 98692404 T^{2} + 479384584212 T^{3} + 3979298850848300 T^{4} + 14253322657142412018 T^{5} + 3979298850848300 p^{5} T^{6} + 479384584212 p^{10} T^{7} + 98692404 p^{15} T^{8} + 6464 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 9270 T + 141228358 T^{2} + 992461656406 T^{3} + 8037072205424178 T^{4} + 41660662084494705632 T^{5} + 8037072205424178 p^{5} T^{6} + 992461656406 p^{10} T^{7} + 141228358 p^{15} T^{8} + 9270 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 7639 T + 287776718 T^{2} + 1775545385273 T^{3} + 36467930699866648 T^{4} + \)\(17\!\cdots\!61\)\( T^{5} + 36467930699866648 p^{5} T^{6} + 1775545385273 p^{10} T^{7} + 287776718 p^{15} T^{8} + 7639 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 39103 T + 1047598742 T^{2} + 19648887530753 T^{3} + 294169926532899912 T^{4} + \)\(34\!\cdots\!05\)\( T^{5} + 294169926532899912 p^{5} T^{6} + 19648887530753 p^{10} T^{7} + 1047598742 p^{15} T^{8} + 39103 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 8183 T + 153364561 T^{2} + 1760832886434 T^{3} + 31016893567064521 T^{4} + \)\(12\!\cdots\!65\)\( T^{5} + 31016893567064521 p^{5} T^{6} + 1760832886434 p^{10} T^{7} + 153364561 p^{15} T^{8} + 8183 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 36178 T + 1054754154 T^{2} + 25016486916530 T^{3} + 491944961122832110 T^{4} + \)\(77\!\cdots\!56\)\( T^{5} + 491944961122832110 p^{5} T^{6} + 25016486916530 p^{10} T^{7} + 1054754154 p^{15} T^{8} + 36178 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 29228 T + 1385225871 T^{2} + 26376316241620 T^{3} + 927978110059399717 T^{4} + \)\(15\!\cdots\!24\)\( T^{5} + 927978110059399717 p^{5} T^{6} + 26376316241620 p^{10} T^{7} + 1385225871 p^{15} T^{8} + 29228 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 112 T + 2115122696 T^{2} - 29757959481268 T^{3} + 1975807018374390004 T^{4} - \)\(50\!\cdots\!10\)\( T^{5} + 1975807018374390004 p^{5} T^{6} - 29757959481268 p^{10} T^{7} + 2115122696 p^{15} T^{8} + 112 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 21384 T + 5947133069 T^{2} + 107542152733036 T^{3} + 224770405930340379 p T^{4} + \)\(21\!\cdots\!80\)\( T^{5} + 224770405930340379 p^{6} T^{6} + 107542152733036 p^{10} T^{7} + 5947133069 p^{15} T^{8} + 21384 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 71819 T + 6507707397 T^{2} + 236798583351858 T^{3} + 13102924221321862577 T^{4} + \)\(36\!\cdots\!93\)\( T^{5} + 13102924221321862577 p^{5} T^{6} + 236798583351858 p^{10} T^{7} + 6507707397 p^{15} T^{8} + 71819 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 61382 T + 5447230856 T^{2} + 333199894959934 T^{3} + 19581606256457786800 T^{4} + \)\(83\!\cdots\!24\)\( T^{5} + 19581606256457786800 p^{5} T^{6} + 333199894959934 p^{10} T^{7} + 5447230856 p^{15} T^{8} + 61382 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 13243 T + 10097235761 T^{2} + 2532532001626 p T^{3} + 47926786603755352129 T^{4} + \)\(97\!\cdots\!13\)\( T^{5} + 47926786603755352129 p^{5} T^{6} + 2532532001626 p^{11} T^{7} + 10097235761 p^{15} T^{8} + 13243 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 74321 T + 18319802120 T^{2} + 1058932129119159 T^{3} + \)\(14\!\cdots\!50\)\( T^{4} + \)\(60\!\cdots\!15\)\( T^{5} + \)\(14\!\cdots\!50\)\( p^{5} T^{6} + 1058932129119159 p^{10} T^{7} + 18319802120 p^{15} T^{8} + 74321 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 91334 T + 14700162696 T^{2} + 1118701850685346 T^{3} + \)\(12\!\cdots\!48\)\( T^{4} + \)\(75\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!48\)\( p^{5} T^{6} + 1118701850685346 p^{10} T^{7} + 14700162696 p^{15} T^{8} + 91334 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 402052 T + 97629382647 T^{2} + 16232681711291144 T^{3} + \)\(21\!\cdots\!41\)\( T^{4} + \)\(21\!\cdots\!20\)\( T^{5} + \)\(21\!\cdots\!41\)\( p^{5} T^{6} + 16232681711291144 p^{10} T^{7} + 97629382647 p^{15} T^{8} + 402052 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−6.54349009417377641615621692356, −6.31006949437139334543208993925, −6.13611379457399218019477474317, −5.96835348029758856933648512815, −5.95372375159405436978945607175, −5.47728576093123825039411577688, −5.25933391530630802449344306331, −5.21527114056312187302893531924, −5.20443081880767247582420192745, −5.04660595544645151929485715550, −4.59662865733914722189362305494, −4.36743517595056870451277087186, −4.19411013892117047538255936959, −4.00291831858579432580525572815, −3.84714429727698579886688507384, −3.61211142251985062833194771813, −3.25332684359677063783776366608, −3.11885275600258130289856156106, −2.87059703519515987314032787763, −2.58535519859188947392931793148, −1.93198501355402155014572896912, −1.72546499315015138585326946200, −1.57519226941104191984886677935, −1.52968620266401120311138655911, −1.38321606762877359066028127937, 0, 0, 0, 0, 0,
1.38321606762877359066028127937, 1.52968620266401120311138655911, 1.57519226941104191984886677935, 1.72546499315015138585326946200, 1.93198501355402155014572896912, 2.58535519859188947392931793148, 2.87059703519515987314032787763, 3.11885275600258130289856156106, 3.25332684359677063783776366608, 3.61211142251985062833194771813, 3.84714429727698579886688507384, 4.00291831858579432580525572815, 4.19411013892117047538255936959, 4.36743517595056870451277087186, 4.59662865733914722189362305494, 5.04660595544645151929485715550, 5.20443081880767247582420192745, 5.21527114056312187302893531924, 5.25933391530630802449344306331, 5.47728576093123825039411577688, 5.95372375159405436978945607175, 5.96835348029758856933648512815, 6.13611379457399218019477474317, 6.31006949437139334543208993925, 6.54349009417377641615621692356
