Properties

Label 56-59e56-1.1-c0e28-0-0
Degree $56$
Conductor $1.471\times 10^{99}$
Sign $1$
Analytic cond. $5.20130\times 10^{6}$
Root an. cond. $1.31804$
Motivic weight $0$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 3-s − 4-s + 5-s + 7-s + 9-s − 12-s + 15-s − 2·17-s + 19-s − 20-s + 21-s + 25-s − 28-s + 29-s + 35-s − 36-s + 41-s + 45-s + 49-s − 2·51-s + 53-s + 57-s − 60-s + 63-s + 2·68-s − 2·71-s + 75-s + ⋯
L(s)  = 1  + 3-s − 4-s + 5-s + 7-s + 9-s − 12-s + 15-s − 2·17-s + 19-s − 20-s + 21-s + 25-s − 28-s + 29-s + 35-s − 36-s + 41-s + 45-s + 49-s − 2·51-s + 53-s + 57-s − 60-s + 63-s + 2·68-s − 2·71-s + 75-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(59^{56}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{28} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(59^{56}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{28} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(56\)
Conductor: \(59^{56}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(5.20130\times 10^{6}\)
Root analytic conductor: \(1.31804\)
Motivic weight: \(0\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((56,\ 59^{56} ,\ ( \ : [0]^{28} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(\frac{1}{2})\) \(\approx\) \(8.394814078\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(8.394814078\)
\(L(1)\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad59 \( 1 \)
good2 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
3 \( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{6} - T^{7} + T^{9} - T^{10} + T^{12} - T^{13} + T^{15} - T^{16} + T^{18} - T^{19} + T^{21} - T^{22} + T^{24} - T^{25} + T^{27} - T^{28} + T^{29} - T^{31} + T^{32} - T^{34} + T^{35} - T^{37} + T^{38} - T^{40} + T^{41} - T^{43} + T^{44} - T^{46} + T^{47} - T^{49} + T^{50} - T^{52} + T^{53} - T^{55} + T^{56} \)
5 \( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{6} - T^{7} + T^{9} - T^{10} + T^{12} - T^{13} + T^{15} - T^{16} + T^{18} - T^{19} + T^{21} - T^{22} + T^{24} - T^{25} + T^{27} - T^{28} + T^{29} - T^{31} + T^{32} - T^{34} + T^{35} - T^{37} + T^{38} - T^{40} + T^{41} - T^{43} + T^{44} - T^{46} + T^{47} - T^{49} + T^{50} - T^{52} + T^{53} - T^{55} + T^{56} \)
7 \( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{6} - T^{7} + T^{9} - T^{10} + T^{12} - T^{13} + T^{15} - T^{16} + T^{18} - T^{19} + T^{21} - T^{22} + T^{24} - T^{25} + T^{27} - T^{28} + T^{29} - T^{31} + T^{32} - T^{34} + T^{35} - T^{37} + T^{38} - T^{40} + T^{41} - T^{43} + T^{44} - T^{46} + T^{47} - T^{49} + T^{50} - T^{52} + T^{53} - T^{55} + T^{56} \)
11 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
13 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
17 \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} )^{2} \)
19 \( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{6} - T^{7} + T^{9} - T^{10} + T^{12} - T^{13} + T^{15} - T^{16} + T^{18} - T^{19} + T^{21} - T^{22} + T^{24} - T^{25} + T^{27} - T^{28} + T^{29} - T^{31} + T^{32} - T^{34} + T^{35} - T^{37} + T^{38} - T^{40} + T^{41} - T^{43} + T^{44} - T^{46} + T^{47} - T^{49} + T^{50} - T^{52} + T^{53} - T^{55} + T^{56} \)
23 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
29 \( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{6} - T^{7} + T^{9} - T^{10} + T^{12} - T^{13} + T^{15} - T^{16} + T^{18} - T^{19} + T^{21} - T^{22} + T^{24} - T^{25} + T^{27} - T^{28} + T^{29} - T^{31} + T^{32} - T^{34} + T^{35} - T^{37} + T^{38} - T^{40} + T^{41} - T^{43} + T^{44} - T^{46} + T^{47} - T^{49} + T^{50} - T^{52} + T^{53} - T^{55} + T^{56} \)
31 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
37 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
41 \( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{6} - T^{7} + T^{9} - T^{10} + T^{12} - T^{13} + T^{15} - T^{16} + T^{18} - T^{19} + T^{21} - T^{22} + T^{24} - T^{25} + T^{27} - T^{28} + T^{29} - T^{31} + T^{32} - T^{34} + T^{35} - T^{37} + T^{38} - T^{40} + T^{41} - T^{43} + T^{44} - T^{46} + T^{47} - T^{49} + T^{50} - T^{52} + T^{53} - T^{55} + T^{56} \)
43 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
47 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
53 \( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{6} - T^{7} + T^{9} - T^{10} + T^{12} - T^{13} + T^{15} - T^{16} + T^{18} - T^{19} + T^{21} - T^{22} + T^{24} - T^{25} + T^{27} - T^{28} + T^{29} - T^{31} + T^{32} - T^{34} + T^{35} - T^{37} + T^{38} - T^{40} + T^{41} - T^{43} + T^{44} - T^{46} + T^{47} - T^{49} + T^{50} - T^{52} + T^{53} - T^{55} + T^{56} \)
61 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
67 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
71 \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} )^{2} \)
73 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
79 \( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{6} - T^{7} + T^{9} - T^{10} + T^{12} - T^{13} + T^{15} - T^{16} + T^{18} - T^{19} + T^{21} - T^{22} + T^{24} - T^{25} + T^{27} - T^{28} + T^{29} - T^{31} + T^{32} - T^{34} + T^{35} - T^{37} + T^{38} - T^{40} + T^{41} - T^{43} + T^{44} - T^{46} + T^{47} - T^{49} + T^{50} - T^{52} + T^{53} - T^{55} + T^{56} \)
83 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
89 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
97 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
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   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{56} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.55767371670654220403296110562, −1.48349786099061152709782535065, −1.47580055313194902918023304104, −1.43777215930780433360841036351, −1.41077548446022280969860339567, −1.39479417934331192862973054542, −1.39422381006754339873342085164, −1.38078053563161258805575261017, −1.35272216614411083307350701628, −1.26144806531045917342622963246, −1.21161325269114636156598341027, −1.15834458360672700338874950520, −1.09846292079996794393159498991, −1.08656361323086503657144658857, −0.870760311427214854351614665275, −0.847803067125578985228042272283, −0.78282304321930247768355310029, −0.71098570169682273089090606131, −0.68715872219144815291251431179, −0.67076861018175344759343326079, −0.66374974196621019358646209376, −0.53354846448787145582643617531, −0.50662055340086683744413877302, −0.41428707401496727314708227372, −0.20943424091752786736050272788, 0.20943424091752786736050272788, 0.41428707401496727314708227372, 0.50662055340086683744413877302, 0.53354846448787145582643617531, 0.66374974196621019358646209376, 0.67076861018175344759343326079, 0.68715872219144815291251431179, 0.71098570169682273089090606131, 0.78282304321930247768355310029, 0.847803067125578985228042272283, 0.870760311427214854351614665275, 1.08656361323086503657144658857, 1.09846292079996794393159498991, 1.15834458360672700338874950520, 1.21161325269114636156598341027, 1.26144806531045917342622963246, 1.35272216614411083307350701628, 1.38078053563161258805575261017, 1.39422381006754339873342085164, 1.39479417934331192862973054542, 1.41077548446022280969860339567, 1.43777215930780433360841036351, 1.47580055313194902918023304104, 1.48349786099061152709782535065, 1.55767371670654220403296110562

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.