LMFDB - L-function 20-336e10-1.1-c5e10-0-3

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 45·3^-s − 75·5^-s + 113·7^-s + 810·9^-s − 91·11^-s + 580·13^-s − 3.37e3·15^-s − 1.12e3·17^-s − 282·19^-s + 5.08e3·21^-s + 1.80e3·23^-s + 1.05e4·25^-s + 3.64e3·27^-s + 5.02e3·29^-s + 5.06e3·31^-s − 4.09e3·33^-s − 8.47e3·35^-s − 5.01e3·37^-s + 2.61e4·39^-s + 1.28e4·41^-s − 1.73e4·43^-s − 6.07e4·45^-s + 50·47^-s + 2.09e4·49^-s − 5.07e4·51^-s + 1.16e3·53^-s + 6.82e3·55^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 2.88·3^-s − 1.34·5^-s + 0.871·7^-s + 10/3·9^-s − 0.226·11^-s + 0.951·13^-s − 3.87·15^-s − 0.946·17^-s − 0.179·19^-s + 2.51·21^-s + 0.712·23^-s + 3.36·25^-s + 0.962·27^-s + 1.10·29^-s + 0.947·31^-s − 0.654·33^-s − 1.16·35^-s − 0.601·37^-s + 2.74·39^-s + 1.19·41^-s − 1.42·43^-s − 4.47·45^-s + 0.00330·47^-s + 1.24·49^-s − 2.73·51^-s + 0.0570·53^-s + 0.304·55^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 3^{10} \cdot 7^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 3^{10} \cdot 7^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$20$
Conductor:	$2^{40} \cdot 3^{10} \cdot 7^{10}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$2.06537\times 10^{17}$
Root analytic conductor:	$7.34091$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(20,\ 2^{40} \cdot 3^{10} \cdot 7^{10} ,\ ( \ : [5/2]^{10} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$26.47861284$
$L(\frac12)$	$\approx$	$26.47861284$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ 1 $
	3	$ ( 1 - p^{2} T + p^{4} T^{2} )^{5} $
	7	$ 1 - 113 T - 167 p^{2} T^{2} - 11202 p^{2} T^{3} + 484807 p^{3} T^{4} + 4507837 p^{4} T^{5} + 484807 p^{8} T^{6} - 11202 p^{12} T^{7} - 167 p^{17} T^{8} - 113 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} $
good	5	$ 1 + 3 p^{2} T - 4899 T^{2} - 701302 T^{3} - 5537914 T^{4} + 1869015138 T^{5} + 65992864091 T^{6} + 1518915057793 T^{7} + 132857039542111 T^{8} - 1729481902010788 p T^{9} - 1382266490050084604 T^{10} - 1729481902010788 p^{6} T^{11} + 132857039542111 p^{10} T^{12} + 1518915057793 p^{15} T^{13} + 65992864091 p^{20} T^{14} + 1869015138 p^{25} T^{15} - 5537914 p^{30} T^{16} - 701302 p^{35} T^{17} - 4899 p^{40} T^{18} + 3 p^{47} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	11	$ 1 + 91 T - 207137 T^{2} + 103452220 T^{3} + 32932478116 T^{4} - 25669284404352 T^{5} + 4829717639891313 T^{6} + 4253851844919482635 T^{7} - $$19\!\cdots\!17$$ T^{8} - $$27\!\cdots\!08$$ T^{9} + $$36\!\cdots\!20$$ T^{10} - $$27\!\cdots\!08$$ p^{5} T^{11} - $$19\!\cdots\!17$$ p^{10} T^{12} + 4253851844919482635 p^{15} T^{13} + 4829717639891313 p^{20} T^{14} - 25669284404352 p^{25} T^{15} + 32932478116 p^{30} T^{16} + 103452220 p^{35} T^{17} - 207137 p^{40} T^{18} + 91 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	13	$ ( 1 - 290 T + 1033922 T^{2} - 432014760 T^{3} + 591803030193 T^{4} - 220331932096940 T^{5} + 591803030193 p^{5} T^{6} - 432014760 p^{10} T^{7} + 1033922 p^{15} T^{8} - 290 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
	17	$ 1 + 1128 T - 2871253 T^{2} - 4683896888 T^{3} + 1632672494319 T^{4} + 4807943464711088 T^{5} - 1145579697463161662 T^{6} + $$28\!\cdots\!28$$ T^{7} + $$14\!\cdots\!21$$ T^{8} - $$51\!\cdots\!12$$ T^{9} - $$32\!\cdots\!51$$ T^{10} - $$51\!\cdots\!12$$ p^{5} T^{11} + $$14\!\cdots\!21$$ p^{10} T^{12} + $$28\!\cdots\!28$$ p^{15} T^{13} - 1145579697463161662 p^{20} T^{14} + 4807943464711088 p^{25} T^{15} + 1632672494319 p^{30} T^{16} - 4683896888 p^{35} T^{17} - 2871253 p^{40} T^{18} + 1128 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	19	$ 1 + 282 T - 5910808 T^{2} - 6927683528 T^{3} + 11866383072753 T^{4} + 25696123510832960 T^{5} - 8704106080753615618 T^{6} - $$12\!\cdots\!94$$ T^{7} + $$50\!\cdots\!41$$ T^{8} - $$33\!\cdots\!92$$ T^{9} - $$24\!\cdots\!50$$ T^{10} - $$33\!\cdots\!92$$ p^{5} T^{11} + $$50\!\cdots\!41$$ p^{10} T^{12} - $$12\!\cdots\!94$$ p^{15} T^{13} - 8704106080753615618 p^{20} T^{14} + 25696123510832960 p^{25} T^{15} + 11866383072753 p^{30} T^{16} - 6927683528 p^{35} T^{17} - 5910808 p^{40} T^{18} + 282 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	23	$ 1 - 1808 T - 28330515 T^{2} + 33756815056 T^{3} + 512797936671743 T^{4} - 411870739014875424 T^{5} - $$62\!\cdots\!14$$ T^{6} + $$25\!\cdots\!68$$ T^{7} + $$59\!\cdots\!01$$ T^{8} - $$80\!\cdots\!32$$ T^{9} - $$42\!\cdots\!29$$ T^{10} - $$80\!\cdots\!32$$ p^{5} T^{11} + $$59\!\cdots\!01$$ p^{10} T^{12} + $$25\!\cdots\!68$$ p^{15} T^{13} - $$62\!\cdots\!14$$ p^{20} T^{14} - 411870739014875424 p^{25} T^{15} + 512797936671743 p^{30} T^{16} + 33756815056 p^{35} T^{17} - 28330515 p^{40} T^{18} - 1808 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	29	$ ( 1 - 2513 T + 36720856 T^{2} - 139840623403 T^{3} + 793427248418299 T^{4} - 3409505650613517756 T^{5} + 793427248418299 p^{5} T^{6} - 139840623403 p^{10} T^{7} + 36720856 p^{15} T^{8} - 2513 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
	31	$ 1 - 5069 T - 73852472 T^{2} + 565091516999 T^{3} + 2447813001040862 T^{4} - 27163209110944527031 T^{5} - $$26\!\cdots\!34$$ T^{6} + $$72\!\cdots\!99$$ T^{7} - $$67\!\cdots\!75$$ T^{8} - $$80\!\cdots\!98$$ T^{9} + $$35\!\cdots\!36$$ T^{10} - $$80\!\cdots\!98$$ p^{5} T^{11} - $$67\!\cdots\!75$$ p^{10} T^{12} + $$72\!\cdots\!99$$ p^{15} T^{13} - $$26\!\cdots\!34$$ p^{20} T^{14} - 27163209110944527031 p^{25} T^{15} + 2447813001040862 p^{30} T^{16} + 565091516999 p^{35} T^{17} - 73852472 p^{40} T^{18} - 5069 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	37	$ 1 + 5010 T - 176109502 T^{2} - 693012191028 T^{3} + 17836869846127371 T^{4} + 58931467944647558376 T^{5} - $$78\!\cdots\!88$$ T^{6} - $$28\!\cdots\!34$$ T^{7} - $$58\!\cdots\!31$$ T^{8} + $$82\!\cdots\!28$$ T^{9} + $$30\!\cdots\!14$$ T^{10} + $$82\!\cdots\!28$$ p^{5} T^{11} - $$58\!\cdots\!31$$ p^{10} T^{12} - $$28\!\cdots\!34$$ p^{15} T^{13} - $$78\!\cdots\!88$$ p^{20} T^{14} + 58931467944647558376 p^{25} T^{15} + 17836869846127371 p^{30} T^{16} - 693012191028 p^{35} T^{17} - 176109502 p^{40} T^{18} + 5010 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	41	$ ( 1 - 6436 T + 152301825 T^{2} - 352400335696 T^{3} + 12581789360542150 T^{4} - 76643539045415655128 T^{5} + 12581789360542150 p^{5} T^{6} - 352400335696 p^{10} T^{7} + 152301825 p^{15} T^{8} - 6436 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
	43	$ ( 1 + 8664 T + 9252900 p T^{2} + 4446942043122 T^{3} + 81039262862044859 T^{4} + $$93\!\cdots\!52$$ T^{5} + 81039262862044859 p^{5} T^{6} + 4446942043122 p^{10} T^{7} + 9252900 p^{16} T^{8} + 8664 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
	47	$ 1 - 50 T - 515822063 T^{2} + 9530946859930 T^{3} + 123268869925169815 T^{4} - $$41\!\cdots\!60$$ T^{5} + $$14\!\cdots\!54$$ T^{6} + $$86\!\cdots\!20$$ T^{7} - $$11\!\cdots\!07$$ T^{8} - $$65\!\cdots\!50$$ T^{9} + $$29\!\cdots\!15$$ T^{10} - $$65\!\cdots\!50$$ p^{5} T^{11} - $$11\!\cdots\!07$$ p^{10} T^{12} + $$86\!\cdots\!20$$ p^{15} T^{13} + $$14\!\cdots\!54$$ p^{20} T^{14} - $$41\!\cdots\!60$$ p^{25} T^{15} + 123268869925169815 p^{30} T^{16} + 9530946859930 p^{35} T^{17} - 515822063 p^{40} T^{18} - 50 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	53	$ 1 - 1167 T - 1302496795 T^{2} - 722936122666 T^{3} + 818165591056894602 T^{4} + $$15\!\cdots\!54$$ T^{5} - $$41\!\cdots\!05$$ T^{6} - $$78\!\cdots\!13$$ T^{7} + $$20\!\cdots\!03$$ T^{8} + $$13\!\cdots\!04$$ T^{9} - $$89\!\cdots\!84$$ T^{10} + $$13\!\cdots\!04$$ p^{5} T^{11} + $$20\!\cdots\!03$$ p^{10} T^{12} - $$78\!\cdots\!13$$ p^{15} T^{13} - $$41\!\cdots\!05$$ p^{20} T^{14} + $$15\!\cdots\!54$$ p^{25} T^{15} + 818165591056894602 p^{30} T^{16} - 722936122666 p^{35} T^{17} - 1302496795 p^{40} T^{18} - 1167 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	59	$ 1 - 42797 T - 746898509 T^{2} + 560954873144 p T^{3} + 744184398428801224 T^{4} - $$39\!\cdots\!80$$ T^{5} - $$75\!\cdots\!47$$ T^{6} - $$86\!\cdots\!69$$ T^{7} + $$58\!\cdots\!91$$ T^{8} + $$34\!\cdots\!04$$ T^{9} - $$37\!\cdots\!52$$ T^{10} + $$34\!\cdots\!04$$ p^{5} T^{11} + $$58\!\cdots\!91$$ p^{10} T^{12} - $$86\!\cdots\!69$$ p^{15} T^{13} - $$75\!\cdots\!47$$ p^{20} T^{14} - $$39\!\cdots\!80$$ p^{25} T^{15} + 744184398428801224 p^{30} T^{16} + 560954873144 p^{36} T^{17} - 746898509 p^{40} T^{18} - 42797 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	61	$ 1 + 26546 T - 2053436533 T^{2} + 7045676629618 T^{3} + 3843305143009020751 T^{4} - $$44\!\cdots\!48$$ T^{5} - $$24\!\cdots\!34$$ T^{6} + $$88\!\cdots\!64$$ T^{7} + $$62\!\cdots\!21$$ T^{8} - $$29\!\cdots\!30$$ T^{9} + $$86\!\cdots\!13$$ T^{10} - $$29\!\cdots\!30$$ p^{5} T^{11} + $$62\!\cdots\!21$$ p^{10} T^{12} + $$88\!\cdots\!64$$ p^{15} T^{13} - $$24\!\cdots\!34$$ p^{20} T^{14} - $$44\!\cdots\!48$$ p^{25} T^{15} + 3843305143009020751 p^{30} T^{16} + 7045676629618 p^{35} T^{17} - 2053436533 p^{40} T^{18} + 26546 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	67	$ 1 - 13440 T - 1334876300 T^{2} + 113866111938172 T^{3} - 416036783709933483 T^{4} - $$17\!\cdots\!24$$ T^{5} + $$50\!\cdots\!38$$ T^{6} + $$81\!\cdots\!48$$ T^{7} - $$87\!\cdots\!35$$ T^{8} - $$31\!\cdots\!00$$ T^{9} + $$75\!\cdots\!42$$ T^{10} - $$31\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{11} - $$87\!\cdots\!35$$ p^{10} T^{12} + $$81\!\cdots\!48$$ p^{15} T^{13} + $$50\!\cdots\!38$$ p^{20} T^{14} - $$17\!\cdots\!24$$ p^{25} T^{15} - 416036783709933483 p^{30} T^{16} + 113866111938172 p^{35} T^{17} - 1334876300 p^{40} T^{18} - 13440 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	71	$ ( 1 - 19678 T + 4377836491 T^{2} + 18392092863176 T^{3} + 5772364878093878562 T^{4} + $$19\!\cdots\!12$$ T^{5} + 5772364878093878562 p^{5} T^{6} + 18392092863176 p^{10} T^{7} + 4377836491 p^{15} T^{8} - 19678 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
	73	$ 1 + 27768 T - 2614728718 T^{2} - 125661647629388 T^{3} - 235021497885838413 T^{4} + $$49\!\cdots\!28$$ T^{5} + $$14\!\cdots\!88$$ T^{6} + $$85\!\cdots\!24$$ T^{7} - $$72\!\cdots\!51$$ T^{8} - $$11\!\cdots\!00$$ T^{9} - $$30\!\cdots\!10$$ T^{10} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{11} - $$72\!\cdots\!51$$ p^{10} T^{12} + $$85\!\cdots\!24$$ p^{15} T^{13} + $$14\!\cdots\!88$$ p^{20} T^{14} + $$49\!\cdots\!28$$ p^{25} T^{15} - 235021497885838413 p^{30} T^{16} - 125661647629388 p^{35} T^{17} - 2614728718 p^{40} T^{18} + 27768 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	79	$ 1 - 123369 T + 1199712260 T^{2} + 195725591044439 T^{3} + 10662733375780814370 T^{4} - $$41\!\cdots\!79$$ T^{5} - $$30\!\cdots\!34$$ T^{6} - $$15\!\cdots\!49$$ T^{7} + $$98\!\cdots\!73$$ T^{8} + $$78\!\cdots\!38$$ T^{9} - $$70\!\cdots\!28$$ T^{10} + $$78\!\cdots\!38$$ p^{5} T^{11} + $$98\!\cdots\!73$$ p^{10} T^{12} - $$15\!\cdots\!49$$ p^{15} T^{13} - $$30\!\cdots\!34$$ p^{20} T^{14} - $$41\!\cdots\!79$$ p^{25} T^{15} + 10662733375780814370 p^{30} T^{16} + 195725591044439 p^{35} T^{17} + 1199712260 p^{40} T^{18} - 123369 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	83	$ ( 1 + 167125 T + 22184010382 T^{2} + 2167403149650831 T^{3} + $$17\!\cdots\!89$$ T^{4} + $$11\!\cdots\!84$$ T^{5} + $$17\!\cdots\!89$$ p^{5} T^{6} + 2167403149650831 p^{10} T^{7} + 22184010382 p^{15} T^{8} + 167125 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
	89	$ 1 + 59350 T - 3351354885 T^{2} - 1493656939935546 T^{3} - 92571186276230359133 T^{4} + $$87\!\cdots\!24$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!58$$ T^{6} + $$78\!\cdots\!52$$ T^{7} + $$20\!\cdots\!17$$ T^{8} - $$37\!\cdots\!50$$ T^{9} - $$41\!\cdots\!03$$ T^{10} - $$37\!\cdots\!50$$ p^{5} T^{11} + $$20\!\cdots\!17$$ p^{10} T^{12} + $$78\!\cdots\!52$$ p^{15} T^{13} + $$10\!\cdots\!58$$ p^{20} T^{14} + $$87\!\cdots\!24$$ p^{25} T^{15} - 92571186276230359133 p^{30} T^{16} - 1493656939935546 p^{35} T^{17} - 3351354885 p^{40} T^{18} + 59350 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	97	$ ( 1 - 262641 T + 43584270984 T^{2} - 5815465358132403 T^{3} + $$66\!\cdots\!43$$ T^{4} - $$65\!\cdots\!20$$ T^{5} + $$66\!\cdots\!43$$ p^{5} T^{6} - 5815465358132403 p^{10} T^{7} + 43584270984 p^{15} T^{8} - 262641 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{20} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.42628597272419629363304735839, −3.41607935119328823661932226290, −3.24597550013706458922945365021, −3.21470076860219433955403982613, −2.81863520244851108987865687231, −2.78137522821876232066809322349, −2.66578222343428417326067598070, −2.60562475419925441902639665234, −2.56887990724060181227773546196, −2.49358620303178510692736724332, −2.37388104348029120520237264490, −2.08837619935102343455959461850, −1.93168244879969479736777951544, −1.73284143056230045135915519922, −1.56793632611009629986512855505, −1.50327646556792717883312882957, −1.47889002129844324626029704308, −1.24616895834780445869865780884, −0.859378997083398715507692287046, −0.840606031507154982724676947388, −0.820076142961677572401618159923, −0.796492760622783106125167140570, −0.35183075491522651988972176009, −0.27289119251384512250982275881, −0.15442350486501182768417752402, 0.15442350486501182768417752402, 0.27289119251384512250982275881, 0.35183075491522651988972176009, 0.796492760622783106125167140570, 0.820076142961677572401618159923, 0.840606031507154982724676947388, 0.859378997083398715507692287046, 1.24616895834780445869865780884, 1.47889002129844324626029704308, 1.50327646556792717883312882957, 1.56793632611009629986512855505, 1.73284143056230045135915519922, 1.93168244879969479736777951544, 2.08837619935102343455959461850, 2.37388104348029120520237264490, 2.49358620303178510692736724332, 2.56887990724060181227773546196, 2.60562475419925441902639665234, 2.66578222343428417326067598070, 2.78137522821876232066809322349, 2.81863520244851108987865687231, 3.21470076860219433955403982613, 3.24597550013706458922945365021, 3.41607935119328823661932226290, 3.42628597272419629363304735839

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(\approx\)	\(26.47861284\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(26.47861284\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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