Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 2·2-s − 45·3-s + 20·4-s − 33·5-s + 90·6-s − 335·7-s − 120·8-s + 810·9-s + 66·10-s − 835·11-s − 900·12-s − 959·13-s + 670·14-s + 1.48e3·15-s + 559·16-s − 3.14e3·17-s − 1.62e3·18-s − 930·19-s − 660·20-s + 1.50e4·21-s + 1.67e3·22-s + 1.40e3·23-s + 5.40e3·24-s + 3.66e3·25-s + 1.91e3·26-s − 7.29e3·27-s − 6.70e3·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.353·2-s − 2.88·3-s + 5/8·4-s − 0.590·5-s + 1.02·6-s − 2.58·7-s − 0.662·8-s + 10/3·9-s + 0.208·10-s − 2.08·11-s − 1.80·12-s − 1.57·13-s + 0.913·14-s + 1.70·15-s + 0.545·16-s − 2.63·17-s − 1.17·18-s − 0.591·19-s − 0.368·20-s + 7.45·21-s + 0.735·22-s + 0.551·23-s + 1.91·24-s + 1.17·25-s + 0.556·26-s − 1.92·27-s − 1.61·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{20} \cdot 11^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{20} \cdot 11^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(40\) |
| Conductor: | \(3^{20} \cdot 11^{20}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(2.97501\times 10^{14}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.30057\) |
| Motivic weight: | \(5\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((40,\ 3^{20} \cdot 11^{20} ,\ ( \ : [5/2]^{20} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(3)\) | \(\approx\) | \(0.06311380251\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.06311380251\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 + p^{2} T + p^{4} T^{2} + p^{6} T^{3} + p^{8} T^{4} )^{5} \) |
| 11 | \( 1 + 835 T + 37416 p T^{2} + 1116644 p^{2} T^{3} + 38524521 p^{3} T^{4} + 1454206394 p^{4} T^{5} + 88032629067 p^{5} T^{6} + 3986324410924 p^{6} T^{7} + 130588019073112 p^{7} T^{8} + 292994935054473 p^{9} T^{9} + 880056432730386 p^{11} T^{10} + 292994935054473 p^{14} T^{11} + 130588019073112 p^{17} T^{12} + 3986324410924 p^{21} T^{13} + 88032629067 p^{25} T^{14} + 1454206394 p^{29} T^{15} + 38524521 p^{33} T^{16} + 1116644 p^{37} T^{17} + 37416 p^{41} T^{18} + 835 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \) | |
| good | 2 | \( 1 + p T - p^{4} T^{2} + 3 p^{4} T^{3} + 97 T^{4} - 693 p^{4} T^{5} - 57229 T^{6} - 65569 T^{7} - 928679 T^{8} - 226999 p^{3} T^{9} + 6044493 p^{3} T^{10} + 42917425 p^{3} T^{11} + 30644111 p^{6} T^{12} + 157120501 p^{6} T^{13} + 896089387 p^{6} T^{14} + 352613681 p^{9} T^{15} - 1563028427 p^{9} T^{16} - 16542680771 p^{9} T^{17} - 2133444527 p^{12} T^{18} - 8619866061 p^{15} T^{19} - 859705941527 p^{12} T^{20} - 8619866061 p^{20} T^{21} - 2133444527 p^{22} T^{22} - 16542680771 p^{24} T^{23} - 1563028427 p^{29} T^{24} + 352613681 p^{34} T^{25} + 896089387 p^{36} T^{26} + 157120501 p^{41} T^{27} + 30644111 p^{46} T^{28} + 42917425 p^{48} T^{29} + 6044493 p^{53} T^{30} - 226999 p^{58} T^{31} - 928679 p^{60} T^{32} - 65569 p^{65} T^{33} - 57229 p^{70} T^{34} - 693 p^{79} T^{35} + 97 p^{80} T^{36} + 3 p^{89} T^{37} - p^{94} T^{38} + p^{96} T^{39} + p^{100} T^{40} \) |
| 5 | \( 1 + 33 T - 2574 T^{2} - 442362 T^{3} - 3649743 T^{4} + 859431888 T^{5} + 68263423063 T^{6} - 613695163242 T^{7} - 8224692529806 T^{8} - 3916916706538077 T^{9} - 259205059944140452 T^{10} - 18234184730469093483 T^{11} + \)\(13\!\cdots\!54\)\( T^{12} + \)\(10\!\cdots\!62\)\( T^{13} + \)\(30\!\cdots\!73\)\( T^{14} - \)\(21\!\cdots\!88\)\( T^{15} - \)\(11\!\cdots\!33\)\( T^{16} - \)\(41\!\cdots\!58\)\( T^{17} - \)\(29\!\cdots\!14\)\( T^{18} + \)\(24\!\cdots\!27\)\( T^{19} + \)\(19\!\cdots\!06\)\( T^{20} + \)\(24\!\cdots\!27\)\( p^{5} T^{21} - \)\(29\!\cdots\!14\)\( p^{10} T^{22} - \)\(41\!\cdots\!58\)\( p^{15} T^{23} - \)\(11\!\cdots\!33\)\( p^{20} T^{24} - \)\(21\!\cdots\!88\)\( p^{25} T^{25} + \)\(30\!\cdots\!73\)\( p^{30} T^{26} + \)\(10\!\cdots\!62\)\( p^{35} T^{27} + \)\(13\!\cdots\!54\)\( p^{40} T^{28} - 18234184730469093483 p^{45} T^{29} - 259205059944140452 p^{50} T^{30} - 3916916706538077 p^{55} T^{31} - 8224692529806 p^{60} T^{32} - 613695163242 p^{65} T^{33} + 68263423063 p^{70} T^{34} + 859431888 p^{75} T^{35} - 3649743 p^{80} T^{36} - 442362 p^{85} T^{37} - 2574 p^{90} T^{38} + 33 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 7 | \( 1 + 335 T + 16915 T^{2} - 7182176 T^{3} - 1051965620 T^{4} + 72793993411 T^{5} + 5020169799013 p T^{6} + 391332400345353 p T^{7} - 67577925047658506 p T^{8} - \)\(12\!\cdots\!56\)\( T^{9} - \)\(77\!\cdots\!78\)\( T^{10} + \)\(16\!\cdots\!28\)\( T^{11} + \)\(37\!\cdots\!83\)\( T^{12} + \)\(96\!\cdots\!97\)\( p T^{13} - \)\(10\!\cdots\!89\)\( p T^{14} - \)\(94\!\cdots\!99\)\( T^{15} + \)\(33\!\cdots\!51\)\( T^{16} + \)\(20\!\cdots\!36\)\( T^{17} + \)\(17\!\cdots\!95\)\( T^{18} - \)\(14\!\cdots\!09\)\( T^{19} - \)\(44\!\cdots\!35\)\( T^{20} - \)\(14\!\cdots\!09\)\( p^{5} T^{21} + \)\(17\!\cdots\!95\)\( p^{10} T^{22} + \)\(20\!\cdots\!36\)\( p^{15} T^{23} + \)\(33\!\cdots\!51\)\( p^{20} T^{24} - \)\(94\!\cdots\!99\)\( p^{25} T^{25} - \)\(10\!\cdots\!89\)\( p^{31} T^{26} + \)\(96\!\cdots\!97\)\( p^{36} T^{27} + \)\(37\!\cdots\!83\)\( p^{40} T^{28} + \)\(16\!\cdots\!28\)\( p^{45} T^{29} - \)\(77\!\cdots\!78\)\( p^{50} T^{30} - \)\(12\!\cdots\!56\)\( p^{55} T^{31} - 67577925047658506 p^{61} T^{32} + 391332400345353 p^{66} T^{33} + 5020169799013 p^{71} T^{34} + 72793993411 p^{75} T^{35} - 1051965620 p^{80} T^{36} - 7182176 p^{85} T^{37} + 16915 p^{90} T^{38} + 335 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 13 | \( 1 + 959 T - 957789 T^{2} - 1383202614 T^{3} - 13508261034 T^{4} + 834097485595449 T^{5} + 599161941806513193 T^{6} - 91772052083258869065 T^{7} - \)\(43\!\cdots\!68\)\( T^{8} - \)\(20\!\cdots\!70\)\( T^{9} + \)\(96\!\cdots\!94\)\( T^{10} + \)\(14\!\cdots\!66\)\( T^{11} + \)\(51\!\cdots\!11\)\( T^{12} - \)\(33\!\cdots\!31\)\( T^{13} - \)\(43\!\cdots\!29\)\( T^{14} - \)\(11\!\cdots\!87\)\( T^{15} + \)\(97\!\cdots\!99\)\( T^{16} + \)\(10\!\cdots\!82\)\( T^{17} + \)\(30\!\cdots\!91\)\( T^{18} - \)\(19\!\cdots\!83\)\( T^{19} - \)\(24\!\cdots\!17\)\( T^{20} - \)\(19\!\cdots\!83\)\( p^{5} T^{21} + \)\(30\!\cdots\!91\)\( p^{10} T^{22} + \)\(10\!\cdots\!82\)\( p^{15} T^{23} + \)\(97\!\cdots\!99\)\( p^{20} T^{24} - \)\(11\!\cdots\!87\)\( p^{25} T^{25} - \)\(43\!\cdots\!29\)\( p^{30} T^{26} - \)\(33\!\cdots\!31\)\( p^{35} T^{27} + \)\(51\!\cdots\!11\)\( p^{40} T^{28} + \)\(14\!\cdots\!66\)\( p^{45} T^{29} + \)\(96\!\cdots\!94\)\( p^{50} T^{30} - \)\(20\!\cdots\!70\)\( p^{55} T^{31} - \)\(43\!\cdots\!68\)\( p^{60} T^{32} - 91772052083258869065 p^{65} T^{33} + 599161941806513193 p^{70} T^{34} + 834097485595449 p^{75} T^{35} - 13508261034 p^{80} T^{36} - 1383202614 p^{85} T^{37} - 957789 p^{90} T^{38} + 959 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 17 | \( 1 + 3144 T + 5250373 T^{2} + 7642103232 T^{3} + 11637656778967 T^{4} + 14893166309468376 T^{5} + 19425847958633989495 T^{6} + \)\(28\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(40\!\cdots\!14\)\( T^{8} + \)\(53\!\cdots\!92\)\( T^{9} + \)\(68\!\cdots\!49\)\( T^{10} + \)\(82\!\cdots\!20\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!49\)\( T^{12} + \)\(13\!\cdots\!32\)\( T^{13} + \)\(17\!\cdots\!75\)\( T^{14} + \)\(21\!\cdots\!08\)\( T^{15} + \)\(26\!\cdots\!16\)\( T^{16} + \)\(32\!\cdots\!88\)\( T^{17} + \)\(37\!\cdots\!13\)\( T^{18} + \)\(43\!\cdots\!24\)\( T^{19} + \)\(53\!\cdots\!21\)\( T^{20} + \)\(43\!\cdots\!24\)\( p^{5} T^{21} + \)\(37\!\cdots\!13\)\( p^{10} T^{22} + \)\(32\!\cdots\!88\)\( p^{15} T^{23} + \)\(26\!\cdots\!16\)\( p^{20} T^{24} + \)\(21\!\cdots\!08\)\( p^{25} T^{25} + \)\(17\!\cdots\!75\)\( p^{30} T^{26} + \)\(13\!\cdots\!32\)\( p^{35} T^{27} + \)\(10\!\cdots\!49\)\( p^{40} T^{28} + \)\(82\!\cdots\!20\)\( p^{45} T^{29} + \)\(68\!\cdots\!49\)\( p^{50} T^{30} + \)\(53\!\cdots\!92\)\( p^{55} T^{31} + \)\(40\!\cdots\!14\)\( p^{60} T^{32} + \)\(28\!\cdots\!20\)\( p^{65} T^{33} + 19425847958633989495 p^{70} T^{34} + 14893166309468376 p^{75} T^{35} + 11637656778967 p^{80} T^{36} + 7642103232 p^{85} T^{37} + 5250373 p^{90} T^{38} + 3144 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 19 | \( 1 + 930 T - 8334375 T^{2} - 15923705314 T^{3} + 36437156271477 T^{4} + 111140628302011558 T^{5} - \)\(10\!\cdots\!01\)\( T^{6} - \)\(48\!\cdots\!10\)\( T^{7} + \)\(85\!\cdots\!70\)\( p T^{8} + \)\(17\!\cdots\!94\)\( T^{9} - \)\(16\!\cdots\!55\)\( T^{10} - \)\(56\!\cdots\!02\)\( T^{11} - \)\(17\!\cdots\!21\)\( T^{12} + \)\(15\!\cdots\!78\)\( T^{13} + \)\(11\!\cdots\!67\)\( T^{14} - \)\(35\!\cdots\!06\)\( T^{15} - \)\(24\!\cdots\!88\)\( p T^{16} + \)\(59\!\cdots\!14\)\( T^{17} + \)\(14\!\cdots\!97\)\( T^{18} - \)\(48\!\cdots\!26\)\( T^{19} - \)\(37\!\cdots\!41\)\( T^{20} - \)\(48\!\cdots\!26\)\( p^{5} T^{21} + \)\(14\!\cdots\!97\)\( p^{10} T^{22} + \)\(59\!\cdots\!14\)\( p^{15} T^{23} - \)\(24\!\cdots\!88\)\( p^{21} T^{24} - \)\(35\!\cdots\!06\)\( p^{25} T^{25} + \)\(11\!\cdots\!67\)\( p^{30} T^{26} + \)\(15\!\cdots\!78\)\( p^{35} T^{27} - \)\(17\!\cdots\!21\)\( p^{40} T^{28} - \)\(56\!\cdots\!02\)\( p^{45} T^{29} - \)\(16\!\cdots\!55\)\( p^{50} T^{30} + \)\(17\!\cdots\!94\)\( p^{55} T^{31} + \)\(85\!\cdots\!70\)\( p^{61} T^{32} - \)\(48\!\cdots\!10\)\( p^{65} T^{33} - \)\(10\!\cdots\!01\)\( p^{70} T^{34} + 111140628302011558 p^{75} T^{35} + 36437156271477 p^{80} T^{36} - 15923705314 p^{85} T^{37} - 8334375 p^{90} T^{38} + 930 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 23 | \( ( 1 - 700 T + 9710719 T^{2} - 9119650776 T^{3} + 130079109788580 T^{4} - 4130639149742816 p T^{5} + \)\(83\!\cdots\!69\)\( T^{6} - \)\(92\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(68\!\cdots\!71\)\( T^{8} - \)\(70\!\cdots\!40\)\( T^{9} + \)\(39\!\cdots\!92\)\( T^{10} - \)\(70\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{11} + \)\(68\!\cdots\!71\)\( p^{10} T^{12} - \)\(92\!\cdots\!84\)\( p^{15} T^{13} + \)\(83\!\cdots\!69\)\( p^{20} T^{14} - 4130639149742816 p^{26} T^{15} + 130079109788580 p^{30} T^{16} - 9119650776 p^{35} T^{17} + 9710719 p^{40} T^{18} - 700 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} \) | |
| 29 | \( 1 - 4494 T - 31128298 T^{2} + 208818981018 T^{3} + 208510993266398 T^{4} + 2116509401480725632 T^{5} - \)\(19\!\cdots\!38\)\( T^{6} - \)\(13\!\cdots\!02\)\( T^{7} + \)\(93\!\cdots\!74\)\( T^{8} + \)\(15\!\cdots\!06\)\( T^{9} - \)\(10\!\cdots\!36\)\( T^{10} - \)\(64\!\cdots\!14\)\( T^{11} - \)\(18\!\cdots\!70\)\( T^{12} + \)\(23\!\cdots\!90\)\( T^{13} + \)\(23\!\cdots\!22\)\( T^{14} - \)\(12\!\cdots\!16\)\( T^{15} - \)\(13\!\cdots\!66\)\( T^{16} + \)\(24\!\cdots\!06\)\( T^{17} + \)\(35\!\cdots\!62\)\( T^{18} - \)\(48\!\cdots\!98\)\( T^{19} - \)\(28\!\cdots\!22\)\( T^{20} - \)\(48\!\cdots\!98\)\( p^{5} T^{21} + \)\(35\!\cdots\!62\)\( p^{10} T^{22} + \)\(24\!\cdots\!06\)\( p^{15} T^{23} - \)\(13\!\cdots\!66\)\( p^{20} T^{24} - \)\(12\!\cdots\!16\)\( p^{25} T^{25} + \)\(23\!\cdots\!22\)\( p^{30} T^{26} + \)\(23\!\cdots\!90\)\( p^{35} T^{27} - \)\(18\!\cdots\!70\)\( p^{40} T^{28} - \)\(64\!\cdots\!14\)\( p^{45} T^{29} - \)\(10\!\cdots\!36\)\( p^{50} T^{30} + \)\(15\!\cdots\!06\)\( p^{55} T^{31} + \)\(93\!\cdots\!74\)\( p^{60} T^{32} - \)\(13\!\cdots\!02\)\( p^{65} T^{33} - \)\(19\!\cdots\!38\)\( p^{70} T^{34} + 2116509401480725632 p^{75} T^{35} + 208510993266398 p^{80} T^{36} + 208818981018 p^{85} T^{37} - 31128298 p^{90} T^{38} - 4494 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 31 | \( 1 - 9208 T - 100967666 T^{2} + 1256420919406 T^{3} + 2526682313975648 T^{4} - 58366787411029429012 T^{5} + \)\(11\!\cdots\!08\)\( T^{6} + \)\(63\!\cdots\!66\)\( T^{7} + \)\(41\!\cdots\!14\)\( T^{8} + \)\(28\!\cdots\!72\)\( T^{9} - \)\(40\!\cdots\!56\)\( T^{10} - \)\(10\!\cdots\!44\)\( T^{11} + \)\(97\!\cdots\!82\)\( T^{12} + \)\(39\!\cdots\!78\)\( T^{13} + \)\(64\!\cdots\!04\)\( T^{14} - \)\(23\!\cdots\!36\)\( T^{15} - \)\(79\!\cdots\!36\)\( T^{16} + \)\(77\!\cdots\!38\)\( T^{17} + \)\(24\!\cdots\!62\)\( T^{18} - \)\(93\!\cdots\!64\)\( T^{19} - \)\(71\!\cdots\!14\)\( T^{20} - \)\(93\!\cdots\!64\)\( p^{5} T^{21} + \)\(24\!\cdots\!62\)\( p^{10} T^{22} + \)\(77\!\cdots\!38\)\( p^{15} T^{23} - \)\(79\!\cdots\!36\)\( p^{20} T^{24} - \)\(23\!\cdots\!36\)\( p^{25} T^{25} + \)\(64\!\cdots\!04\)\( p^{30} T^{26} + \)\(39\!\cdots\!78\)\( p^{35} T^{27} + \)\(97\!\cdots\!82\)\( p^{40} T^{28} - \)\(10\!\cdots\!44\)\( p^{45} T^{29} - \)\(40\!\cdots\!56\)\( p^{50} T^{30} + \)\(28\!\cdots\!72\)\( p^{55} T^{31} + \)\(41\!\cdots\!14\)\( p^{60} T^{32} + \)\(63\!\cdots\!66\)\( p^{65} T^{33} + \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{70} T^{34} - 58366787411029429012 p^{75} T^{35} + 2526682313975648 p^{80} T^{36} + 1256420919406 p^{85} T^{37} - 100967666 p^{90} T^{38} - 9208 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 37 | \( 1 + 3153 T - 189334617 T^{2} - 648063671706 T^{3} + 15007180081744662 T^{4} + \)\(14\!\cdots\!63\)\( T^{5} - \)\(63\!\cdots\!67\)\( T^{6} - \)\(16\!\cdots\!27\)\( T^{7} - \)\(76\!\cdots\!68\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!02\)\( T^{9} + \)\(68\!\cdots\!42\)\( T^{10} - \)\(13\!\cdots\!10\)\( T^{11} - \)\(31\!\cdots\!09\)\( T^{12} - \)\(30\!\cdots\!53\)\( T^{13} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( T^{14} + \)\(98\!\cdots\!59\)\( T^{15} - \)\(10\!\cdots\!33\)\( T^{16} + \)\(10\!\cdots\!22\)\( T^{17} + \)\(27\!\cdots\!39\)\( T^{18} - \)\(65\!\cdots\!17\)\( T^{19} - \)\(43\!\cdots\!05\)\( T^{20} - \)\(65\!\cdots\!17\)\( p^{5} T^{21} + \)\(27\!\cdots\!39\)\( p^{10} T^{22} + \)\(10\!\cdots\!22\)\( p^{15} T^{23} - \)\(10\!\cdots\!33\)\( p^{20} T^{24} + \)\(98\!\cdots\!59\)\( p^{25} T^{25} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( p^{30} T^{26} - \)\(30\!\cdots\!53\)\( p^{35} T^{27} - \)\(31\!\cdots\!09\)\( p^{40} T^{28} - \)\(13\!\cdots\!10\)\( p^{45} T^{29} + \)\(68\!\cdots\!42\)\( p^{50} T^{30} + \)\(11\!\cdots\!02\)\( p^{55} T^{31} - \)\(76\!\cdots\!68\)\( p^{60} T^{32} - \)\(16\!\cdots\!27\)\( p^{65} T^{33} - \)\(63\!\cdots\!67\)\( p^{70} T^{34} + \)\(14\!\cdots\!63\)\( p^{75} T^{35} + 15007180081744662 p^{80} T^{36} - 648063671706 p^{85} T^{37} - 189334617 p^{90} T^{38} + 3153 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 41 | \( 1 + 7497 T - 230704809 T^{2} - 1973403635478 T^{3} + 38370662638350894 T^{4} + \)\(49\!\cdots\!71\)\( T^{5} - \)\(34\!\cdots\!15\)\( T^{6} - \)\(91\!\cdots\!31\)\( T^{7} - \)\(44\!\cdots\!36\)\( T^{8} + \)\(99\!\cdots\!78\)\( T^{9} + \)\(49\!\cdots\!90\)\( T^{10} - \)\(59\!\cdots\!42\)\( T^{11} - \)\(10\!\cdots\!73\)\( T^{12} - \)\(65\!\cdots\!73\)\( T^{13} + \)\(73\!\cdots\!71\)\( T^{14} + \)\(18\!\cdots\!39\)\( T^{15} + \)\(58\!\cdots\!87\)\( T^{16} - \)\(20\!\cdots\!26\)\( T^{17} - \)\(24\!\cdots\!25\)\( T^{18} + \)\(11\!\cdots\!39\)\( T^{19} + \)\(40\!\cdots\!03\)\( T^{20} + \)\(11\!\cdots\!39\)\( p^{5} T^{21} - \)\(24\!\cdots\!25\)\( p^{10} T^{22} - \)\(20\!\cdots\!26\)\( p^{15} T^{23} + \)\(58\!\cdots\!87\)\( p^{20} T^{24} + \)\(18\!\cdots\!39\)\( p^{25} T^{25} + \)\(73\!\cdots\!71\)\( p^{30} T^{26} - \)\(65\!\cdots\!73\)\( p^{35} T^{27} - \)\(10\!\cdots\!73\)\( p^{40} T^{28} - \)\(59\!\cdots\!42\)\( p^{45} T^{29} + \)\(49\!\cdots\!90\)\( p^{50} T^{30} + \)\(99\!\cdots\!78\)\( p^{55} T^{31} - \)\(44\!\cdots\!36\)\( p^{60} T^{32} - \)\(91\!\cdots\!31\)\( p^{65} T^{33} - \)\(34\!\cdots\!15\)\( p^{70} T^{34} + \)\(49\!\cdots\!71\)\( p^{75} T^{35} + 38370662638350894 p^{80} T^{36} - 1973403635478 p^{85} T^{37} - 230704809 p^{90} T^{38} + 7497 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 43 | \( ( 1 - 31812 T + 1038663587 T^{2} - 19467514122584 T^{3} + 372119581798977172 T^{4} - \)\(48\!\cdots\!16\)\( T^{5} + \)\(67\!\cdots\!53\)\( T^{6} - \)\(15\!\cdots\!36\)\( p T^{7} + \)\(79\!\cdots\!67\)\( T^{8} - \)\(66\!\cdots\!80\)\( T^{9} + \)\(92\!\cdots\!08\)\( T^{10} - \)\(66\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{11} + \)\(79\!\cdots\!67\)\( p^{10} T^{12} - \)\(15\!\cdots\!36\)\( p^{16} T^{13} + \)\(67\!\cdots\!53\)\( p^{20} T^{14} - \)\(48\!\cdots\!16\)\( p^{25} T^{15} + 372119581798977172 p^{30} T^{16} - 19467514122584 p^{35} T^{17} + 1038663587 p^{40} T^{18} - 31812 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} \) | |
| 47 | \( 1 + 43031 T + 1013626010 T^{2} + 25690964156472 T^{3} + 573036087382146913 T^{4} + \)\(86\!\cdots\!54\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!19\)\( T^{6} + \)\(20\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(16\!\cdots\!46\)\( T^{8} - \)\(23\!\cdots\!25\)\( T^{9} - \)\(97\!\cdots\!24\)\( T^{10} - \)\(47\!\cdots\!21\)\( T^{11} - \)\(15\!\cdots\!86\)\( T^{12} - \)\(13\!\cdots\!08\)\( T^{13} - \)\(13\!\cdots\!79\)\( T^{14} - \)\(42\!\cdots\!50\)\( T^{15} - \)\(13\!\cdots\!81\)\( T^{16} + \)\(51\!\cdots\!08\)\( T^{17} - \)\(26\!\cdots\!74\)\( T^{18} + \)\(36\!\cdots\!55\)\( T^{19} + \)\(34\!\cdots\!22\)\( T^{20} + \)\(36\!\cdots\!55\)\( p^{5} T^{21} - \)\(26\!\cdots\!74\)\( p^{10} T^{22} + \)\(51\!\cdots\!08\)\( p^{15} T^{23} - \)\(13\!\cdots\!81\)\( p^{20} T^{24} - \)\(42\!\cdots\!50\)\( p^{25} T^{25} - \)\(13\!\cdots\!79\)\( p^{30} T^{26} - \)\(13\!\cdots\!08\)\( p^{35} T^{27} - \)\(15\!\cdots\!86\)\( p^{40} T^{28} - \)\(47\!\cdots\!21\)\( p^{45} T^{29} - \)\(97\!\cdots\!24\)\( p^{50} T^{30} - \)\(23\!\cdots\!25\)\( p^{55} T^{31} + \)\(16\!\cdots\!46\)\( p^{60} T^{32} + \)\(20\!\cdots\!88\)\( p^{65} T^{33} + \)\(12\!\cdots\!19\)\( p^{70} T^{34} + \)\(86\!\cdots\!54\)\( p^{75} T^{35} + 573036087382146913 p^{80} T^{36} + 25690964156472 p^{85} T^{37} + 1013626010 p^{90} T^{38} + 43031 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 53 | \( 1 + 20452 T - 1381076488 T^{2} - 30178549123020 T^{3} + 1051734263644423168 T^{4} + \)\(30\!\cdots\!92\)\( T^{5} - \)\(41\!\cdots\!04\)\( T^{6} - \)\(21\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!08\)\( T^{8} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( T^{10} - \)\(30\!\cdots\!96\)\( T^{11} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( p T^{12} - \)\(33\!\cdots\!80\)\( T^{13} + \)\(28\!\cdots\!08\)\( T^{14} + \)\(53\!\cdots\!36\)\( T^{15} - \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{16} - \)\(28\!\cdots\!56\)\( T^{17} - \)\(48\!\cdots\!28\)\( T^{18} + \)\(51\!\cdots\!68\)\( T^{19} + \)\(30\!\cdots\!34\)\( T^{20} + \)\(51\!\cdots\!68\)\( p^{5} T^{21} - \)\(48\!\cdots\!28\)\( p^{10} T^{22} - \)\(28\!\cdots\!56\)\( p^{15} T^{23} - \)\(14\!\cdots\!40\)\( p^{20} T^{24} + \)\(53\!\cdots\!36\)\( p^{25} T^{25} + \)\(28\!\cdots\!08\)\( p^{30} T^{26} - \)\(33\!\cdots\!80\)\( p^{35} T^{27} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{41} T^{28} - \)\(30\!\cdots\!96\)\( p^{45} T^{29} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( p^{50} T^{30} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{55} T^{31} + \)\(12\!\cdots\!08\)\( p^{60} T^{32} - \)\(21\!\cdots\!32\)\( p^{65} T^{33} - \)\(41\!\cdots\!04\)\( p^{70} T^{34} + \)\(30\!\cdots\!92\)\( p^{75} T^{35} + 1051734263644423168 p^{80} T^{36} - 30178549123020 p^{85} T^{37} - 1381076488 p^{90} T^{38} + 20452 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 59 | \( 1 - 101730 T + 1604806505 T^{2} + 134091168397710 T^{3} - 3128765010982782815 T^{4} - \)\(23\!\cdots\!66\)\( p T^{5} + \)\(43\!\cdots\!55\)\( T^{6} + \)\(42\!\cdots\!70\)\( T^{7} - \)\(27\!\cdots\!10\)\( T^{8} + \)\(67\!\cdots\!90\)\( T^{9} + \)\(29\!\cdots\!97\)\( T^{10} - \)\(61\!\cdots\!70\)\( T^{11} - \)\(18\!\cdots\!05\)\( T^{12} + \)\(58\!\cdots\!90\)\( T^{13} + \)\(10\!\cdots\!15\)\( T^{14} - \)\(53\!\cdots\!42\)\( T^{15} + \)\(39\!\cdots\!00\)\( T^{16} + \)\(18\!\cdots\!50\)\( T^{17} - \)\(56\!\cdots\!75\)\( T^{18} - \)\(73\!\cdots\!50\)\( T^{19} + \)\(64\!\cdots\!95\)\( T^{20} - \)\(73\!\cdots\!50\)\( p^{5} T^{21} - \)\(56\!\cdots\!75\)\( p^{10} T^{22} + \)\(18\!\cdots\!50\)\( p^{15} T^{23} + \)\(39\!\cdots\!00\)\( p^{20} T^{24} - \)\(53\!\cdots\!42\)\( p^{25} T^{25} + \)\(10\!\cdots\!15\)\( p^{30} T^{26} + \)\(58\!\cdots\!90\)\( p^{35} T^{27} - \)\(18\!\cdots\!05\)\( p^{40} T^{28} - \)\(61\!\cdots\!70\)\( p^{45} T^{29} + \)\(29\!\cdots\!97\)\( p^{50} T^{30} + \)\(67\!\cdots\!90\)\( p^{55} T^{31} - \)\(27\!\cdots\!10\)\( p^{60} T^{32} + \)\(42\!\cdots\!70\)\( p^{65} T^{33} + \)\(43\!\cdots\!55\)\( p^{70} T^{34} - \)\(23\!\cdots\!66\)\( p^{76} T^{35} - 3128765010982782815 p^{80} T^{36} + 134091168397710 p^{85} T^{37} + 1604806505 p^{90} T^{38} - 101730 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 61 | \( 1 - 50745 T - 56399280 T^{2} + 21422082501262 T^{3} - 684714878530830057 T^{4} + \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{5} - \)\(35\!\cdots\!43\)\( T^{6} - \)\(37\!\cdots\!26\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( T^{8} - \)\(51\!\cdots\!15\)\( T^{9} + \)\(60\!\cdots\!76\)\( T^{10} - \)\(10\!\cdots\!29\)\( T^{11} - \)\(17\!\cdots\!92\)\( T^{12} + \)\(20\!\cdots\!46\)\( T^{13} - \)\(20\!\cdots\!93\)\( T^{14} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{15} - \)\(22\!\cdots\!03\)\( T^{16} - \)\(34\!\cdots\!82\)\( T^{17} - \)\(22\!\cdots\!32\)\( T^{18} - \)\(52\!\cdots\!07\)\( T^{19} + \)\(40\!\cdots\!46\)\( T^{20} - \)\(52\!\cdots\!07\)\( p^{5} T^{21} - \)\(22\!\cdots\!32\)\( p^{10} T^{22} - \)\(34\!\cdots\!82\)\( p^{15} T^{23} - \)\(22\!\cdots\!03\)\( p^{20} T^{24} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{25} T^{25} - \)\(20\!\cdots\!93\)\( p^{30} T^{26} + \)\(20\!\cdots\!46\)\( p^{35} T^{27} - \)\(17\!\cdots\!92\)\( p^{40} T^{28} - \)\(10\!\cdots\!29\)\( p^{45} T^{29} + \)\(60\!\cdots\!76\)\( p^{50} T^{30} - \)\(51\!\cdots\!15\)\( p^{55} T^{31} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( p^{60} T^{32} - \)\(37\!\cdots\!26\)\( p^{65} T^{33} - \)\(35\!\cdots\!43\)\( p^{70} T^{34} + \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{75} T^{35} - 684714878530830057 p^{80} T^{36} + 21422082501262 p^{85} T^{37} - 56399280 p^{90} T^{38} - 50745 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 67 | \( ( 1 - 5365 T + 30819806 p T^{2} + 94838601342392 T^{3} + 1894255487996497761 T^{4} + \)\(25\!\cdots\!86\)\( T^{5} + \)\(74\!\cdots\!51\)\( T^{6} + \)\(29\!\cdots\!72\)\( T^{7} + \)\(16\!\cdots\!70\)\( T^{8} + \)\(48\!\cdots\!03\)\( T^{9} + \)\(22\!\cdots\!82\)\( T^{10} + \)\(48\!\cdots\!03\)\( p^{5} T^{11} + \)\(16\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{12} + \)\(29\!\cdots\!72\)\( p^{15} T^{13} + \)\(74\!\cdots\!51\)\( p^{20} T^{14} + \)\(25\!\cdots\!86\)\( p^{25} T^{15} + 1894255487996497761 p^{30} T^{16} + 94838601342392 p^{35} T^{17} + 30819806 p^{41} T^{18} - 5365 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} \) | |
| 71 | \( 1 - 164895 T + 8885582890 T^{2} + 28899802515492 T^{3} - 19721275394629928803 T^{4} + \)\(61\!\cdots\!34\)\( T^{5} - \)\(21\!\cdots\!49\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!80\)\( T^{7} - \)\(11\!\cdots\!10\)\( T^{8} - \)\(57\!\cdots\!23\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!20\)\( T^{10} - \)\(38\!\cdots\!79\)\( T^{11} + \)\(13\!\cdots\!74\)\( T^{12} - \)\(20\!\cdots\!36\)\( T^{13} + \)\(12\!\cdots\!73\)\( T^{14} - \)\(26\!\cdots\!82\)\( T^{15} - \)\(36\!\cdots\!57\)\( T^{16} + \)\(81\!\cdots\!52\)\( T^{17} + \)\(77\!\cdots\!58\)\( T^{18} + \)\(14\!\cdots\!33\)\( T^{19} - \)\(11\!\cdots\!46\)\( T^{20} + \)\(14\!\cdots\!33\)\( p^{5} T^{21} + \)\(77\!\cdots\!58\)\( p^{10} T^{22} + \)\(81\!\cdots\!52\)\( p^{15} T^{23} - \)\(36\!\cdots\!57\)\( p^{20} T^{24} - \)\(26\!\cdots\!82\)\( p^{25} T^{25} + \)\(12\!\cdots\!73\)\( p^{30} T^{26} - \)\(20\!\cdots\!36\)\( p^{35} T^{27} + \)\(13\!\cdots\!74\)\( p^{40} T^{28} - \)\(38\!\cdots\!79\)\( p^{45} T^{29} + \)\(16\!\cdots\!20\)\( p^{50} T^{30} - \)\(57\!\cdots\!23\)\( p^{55} T^{31} - \)\(11\!\cdots\!10\)\( p^{60} T^{32} + \)\(24\!\cdots\!80\)\( p^{65} T^{33} - \)\(21\!\cdots\!49\)\( p^{70} T^{34} + \)\(61\!\cdots\!34\)\( p^{75} T^{35} - 19721275394629928803 p^{80} T^{36} + 28899802515492 p^{85} T^{37} + 8885582890 p^{90} T^{38} - 164895 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 73 | \( 1 + 77236 T - 2734137636 T^{2} - 6019181573638 p T^{3} - 6136008583422538516 T^{4} + \)\(89\!\cdots\!20\)\( T^{5} + \)\(46\!\cdots\!92\)\( p T^{6} - \)\(82\!\cdots\!90\)\( T^{7} - \)\(34\!\cdots\!12\)\( T^{8} - \)\(11\!\cdots\!92\)\( T^{9} - \)\(19\!\cdots\!52\)\( T^{10} - \)\(55\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(30\!\cdots\!52\)\( T^{12} + \)\(20\!\cdots\!78\)\( T^{13} + \)\(26\!\cdots\!04\)\( T^{14} - \)\(18\!\cdots\!96\)\( T^{15} - \)\(49\!\cdots\!72\)\( p T^{16} - \)\(81\!\cdots\!30\)\( T^{17} - \)\(41\!\cdots\!16\)\( T^{18} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( T^{19} + \)\(14\!\cdots\!30\)\( T^{20} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( p^{5} T^{21} - \)\(41\!\cdots\!16\)\( p^{10} T^{22} - \)\(81\!\cdots\!30\)\( p^{15} T^{23} - \)\(49\!\cdots\!72\)\( p^{21} T^{24} - \)\(18\!\cdots\!96\)\( p^{25} T^{25} + \)\(26\!\cdots\!04\)\( p^{30} T^{26} + \)\(20\!\cdots\!78\)\( p^{35} T^{27} + \)\(30\!\cdots\!52\)\( p^{40} T^{28} - \)\(55\!\cdots\!84\)\( p^{45} T^{29} - \)\(19\!\cdots\!52\)\( p^{50} T^{30} - \)\(11\!\cdots\!92\)\( p^{55} T^{31} - \)\(34\!\cdots\!12\)\( p^{60} T^{32} - \)\(82\!\cdots\!90\)\( p^{65} T^{33} + \)\(46\!\cdots\!92\)\( p^{71} T^{34} + \)\(89\!\cdots\!20\)\( p^{75} T^{35} - 6136008583422538516 p^{80} T^{36} - 6019181573638 p^{86} T^{37} - 2734137636 p^{90} T^{38} + 77236 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 79 | \( 1 + 291931 T + 30414943043 T^{2} + 646593104785424 T^{3} - \)\(12\!\cdots\!32\)\( T^{4} - \)\(98\!\cdots\!49\)\( T^{5} - \)\(74\!\cdots\!89\)\( T^{6} + \)\(12\!\cdots\!11\)\( T^{7} - \)\(90\!\cdots\!54\)\( p T^{8} - \)\(11\!\cdots\!36\)\( T^{9} - \)\(28\!\cdots\!62\)\( T^{10} + \)\(25\!\cdots\!40\)\( T^{11} + \)\(27\!\cdots\!99\)\( T^{12} + \)\(12\!\cdots\!87\)\( T^{13} + \)\(29\!\cdots\!17\)\( T^{14} + \)\(48\!\cdots\!13\)\( T^{15} + \)\(60\!\cdots\!79\)\( T^{16} + \)\(32\!\cdots\!00\)\( T^{17} - \)\(21\!\cdots\!01\)\( T^{18} - \)\(40\!\cdots\!93\)\( T^{19} - \)\(28\!\cdots\!03\)\( T^{20} - \)\(40\!\cdots\!93\)\( p^{5} T^{21} - \)\(21\!\cdots\!01\)\( p^{10} T^{22} + \)\(32\!\cdots\!00\)\( p^{15} T^{23} + \)\(60\!\cdots\!79\)\( p^{20} T^{24} + \)\(48\!\cdots\!13\)\( p^{25} T^{25} + \)\(29\!\cdots\!17\)\( p^{30} T^{26} + \)\(12\!\cdots\!87\)\( p^{35} T^{27} + \)\(27\!\cdots\!99\)\( p^{40} T^{28} + \)\(25\!\cdots\!40\)\( p^{45} T^{29} - \)\(28\!\cdots\!62\)\( p^{50} T^{30} - \)\(11\!\cdots\!36\)\( p^{55} T^{31} - \)\(90\!\cdots\!54\)\( p^{61} T^{32} + \)\(12\!\cdots\!11\)\( p^{65} T^{33} - \)\(74\!\cdots\!89\)\( p^{70} T^{34} - \)\(98\!\cdots\!49\)\( p^{75} T^{35} - \)\(12\!\cdots\!32\)\( p^{80} T^{36} + 646593104785424 p^{85} T^{37} + 30414943043 p^{90} T^{38} + 291931 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 83 | \( 1 + 255451 T + 34519672899 T^{2} + 3575139843671212 T^{3} + \)\(37\!\cdots\!76\)\( T^{4} + \)\(35\!\cdots\!75\)\( T^{5} + \)\(25\!\cdots\!59\)\( T^{6} + \)\(14\!\cdots\!07\)\( T^{7} + \)\(82\!\cdots\!10\)\( T^{8} + \)\(30\!\cdots\!72\)\( T^{9} - \)\(12\!\cdots\!50\)\( T^{10} - \)\(29\!\cdots\!64\)\( T^{11} - \)\(24\!\cdots\!05\)\( T^{12} - \)\(18\!\cdots\!21\)\( T^{13} - \)\(13\!\cdots\!51\)\( T^{14} - \)\(61\!\cdots\!79\)\( T^{15} - \)\(41\!\cdots\!85\)\( T^{16} + \)\(14\!\cdots\!88\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!11\)\( T^{18} + \)\(17\!\cdots\!39\)\( T^{19} + \)\(13\!\cdots\!57\)\( T^{20} + \)\(17\!\cdots\!39\)\( p^{5} T^{21} + \)\(16\!\cdots\!11\)\( p^{10} T^{22} + \)\(14\!\cdots\!88\)\( p^{15} T^{23} - \)\(41\!\cdots\!85\)\( p^{20} T^{24} - \)\(61\!\cdots\!79\)\( p^{25} T^{25} - \)\(13\!\cdots\!51\)\( p^{30} T^{26} - \)\(18\!\cdots\!21\)\( p^{35} T^{27} - \)\(24\!\cdots\!05\)\( p^{40} T^{28} - \)\(29\!\cdots\!64\)\( p^{45} T^{29} - \)\(12\!\cdots\!50\)\( p^{50} T^{30} + \)\(30\!\cdots\!72\)\( p^{55} T^{31} + \)\(82\!\cdots\!10\)\( p^{60} T^{32} + \)\(14\!\cdots\!07\)\( p^{65} T^{33} + \)\(25\!\cdots\!59\)\( p^{70} T^{34} + \)\(35\!\cdots\!75\)\( p^{75} T^{35} + \)\(37\!\cdots\!76\)\( p^{80} T^{36} + 3575139843671212 p^{85} T^{37} + 34519672899 p^{90} T^{38} + 255451 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| 89 | \( ( 1 - 90816 T + 23172579003 T^{2} - 1801726174975080 T^{3} + \)\(27\!\cdots\!36\)\( T^{4} - \)\(16\!\cdots\!08\)\( T^{5} + \)\(19\!\cdots\!73\)\( T^{6} - \)\(94\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!47\)\( T^{8} - \)\(41\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(54\!\cdots\!44\)\( T^{10} - \)\(41\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{11} + \)\(10\!\cdots\!47\)\( p^{10} T^{12} - \)\(94\!\cdots\!52\)\( p^{15} T^{13} + \)\(19\!\cdots\!73\)\( p^{20} T^{14} - \)\(16\!\cdots\!08\)\( p^{25} T^{15} + \)\(27\!\cdots\!36\)\( p^{30} T^{16} - 1801726174975080 p^{35} T^{17} + 23172579003 p^{40} T^{18} - 90816 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} \) | |
| 97 | \( 1 + 145083 T - 17142285784 T^{2} - 3965082155917146 T^{3} + 78196752542732073907 T^{4} + \)\(53\!\cdots\!28\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( T^{6} - \)\(42\!\cdots\!58\)\( T^{7} - \)\(17\!\cdots\!52\)\( T^{8} + \)\(21\!\cdots\!73\)\( T^{9} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( T^{10} - \)\(20\!\cdots\!81\)\( T^{11} - \)\(68\!\cdots\!20\)\( T^{12} - \)\(11\!\cdots\!06\)\( T^{13} - \)\(17\!\cdots\!25\)\( T^{14} + \)\(15\!\cdots\!12\)\( T^{15} + \)\(88\!\cdots\!65\)\( T^{16} - \)\(10\!\cdots\!42\)\( T^{17} - \)\(99\!\cdots\!76\)\( T^{18} + \)\(33\!\cdots\!41\)\( T^{19} + \)\(90\!\cdots\!26\)\( T^{20} + \)\(33\!\cdots\!41\)\( p^{5} T^{21} - \)\(99\!\cdots\!76\)\( p^{10} T^{22} - \)\(10\!\cdots\!42\)\( p^{15} T^{23} + \)\(88\!\cdots\!65\)\( p^{20} T^{24} + \)\(15\!\cdots\!12\)\( p^{25} T^{25} - \)\(17\!\cdots\!25\)\( p^{30} T^{26} - \)\(11\!\cdots\!06\)\( p^{35} T^{27} - \)\(68\!\cdots\!20\)\( p^{40} T^{28} - \)\(20\!\cdots\!81\)\( p^{45} T^{29} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{50} T^{30} + \)\(21\!\cdots\!73\)\( p^{55} T^{31} - \)\(17\!\cdots\!52\)\( p^{60} T^{32} - \)\(42\!\cdots\!58\)\( p^{65} T^{33} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( p^{70} T^{34} + \)\(53\!\cdots\!28\)\( p^{75} T^{35} + 78196752542732073907 p^{80} T^{36} - 3965082155917146 p^{85} T^{37} - 17142285784 p^{90} T^{38} + 145083 p^{95} T^{39} + p^{100} T^{40} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.69570443467343069702597426923, −3.51384287819479999175385670771, −3.29992255338462840500113835969, −3.27778754906266652264062745880, −2.96989050506120901142141026358, −2.85151171126932428844207657732, −2.77029607154986331552728582296, −2.75169640285549366514345445626, −2.75109752626870555623635045288, −2.71056381554252999579516360065, −2.39152381824872033114596091198, −2.25963384495601108280514847871, −2.14204777503187763738375889846, −2.08702741722323501567601130451, −2.03384750442295944882963919940, −1.51146708257951135248596827811, −1.32602935166378288414434949806, −1.27477431240892111486023850649, −0.74109427050550311412991097151, −0.68979503476020814811808867932, −0.66898356107688537021889454871, −0.57332494550074734156105506954, −0.55592450852828402904740890920, −0.21988669247997466389069506471, −0.06207925930904903018015924759, 0.06207925930904903018015924759, 0.21988669247997466389069506471, 0.55592450852828402904740890920, 0.57332494550074734156105506954, 0.66898356107688537021889454871, 0.68979503476020814811808867932, 0.74109427050550311412991097151, 1.27477431240892111486023850649, 1.32602935166378288414434949806, 1.51146708257951135248596827811, 2.03384750442295944882963919940, 2.08702741722323501567601130451, 2.14204777503187763738375889846, 2.25963384495601108280514847871, 2.39152381824872033114596091198, 2.71056381554252999579516360065, 2.75109752626870555623635045288, 2.75169640285549366514345445626, 2.77029607154986331552728582296, 2.85151171126932428844207657732, 2.96989050506120901142141026358, 3.27778754906266652264062745880, 3.29992255338462840500113835969, 3.51384287819479999175385670771, 3.69570443467343069702597426923
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.