| L(s) = 1 | + 21·5-s − 29·7-s − 177·11-s + 181·13-s + 1.14e3·17-s − 416·19-s − 399·23-s − 5.20e3·25-s + 6.03e3·29-s − 2.75e3·31-s − 609·35-s − 7.58e3·37-s + 1.84e4·41-s − 1.46e3·43-s + 2.51e4·47-s − 3.95e4·49-s + 5.84e4·53-s − 3.71e3·55-s + 9.05e4·59-s − 1.40e3·61-s + 3.80e3·65-s − 1.39e4·67-s + 1.14e5·71-s + 7.60e3·73-s + 5.13e3·77-s − 2.99e4·79-s + 2.28e5·83-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.375·5-s − 0.223·7-s − 0.441·11-s + 0.297·13-s + 0.956·17-s − 0.264·19-s − 0.157·23-s − 1.66·25-s + 1.33·29-s − 0.515·31-s − 0.0840·35-s − 0.910·37-s + 1.71·41-s − 0.121·43-s + 1.66·47-s − 2.35·49-s + 2.85·53-s − 0.165·55-s + 3.38·59-s − 0.0482·61-s + 0.111·65-s − 0.378·67-s + 2.69·71-s + 0.166·73-s + 0.0986·77-s − 0.540·79-s + 3.64·83-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{10} \cdot 3^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{10} \cdot 3^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(4.462705530\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(4.462705530\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 3 | | \( 1 \) |
| good | 5 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 21 T + 5644 T^{2} - 319227 T^{3} + 444607 p^{2} T^{4} - 1519942932 T^{5} + 444607 p^{7} T^{6} - 319227 p^{10} T^{7} + 5644 p^{15} T^{8} - 21 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 29 T + 40410 T^{2} + 2467167 T^{3} + 1121022921 T^{4} + 42673614444 T^{5} + 1121022921 p^{5} T^{6} + 2467167 p^{10} T^{7} + 40410 p^{15} T^{8} + 29 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 177 T + 427561 T^{2} + 2122014 T^{3} + 77616186361 T^{4} - 7157256911361 T^{5} + 77616186361 p^{5} T^{6} + 2122014 p^{10} T^{7} + 427561 p^{15} T^{8} + 177 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 181 T + 1045092 T^{2} - 87339735 T^{3} + 629954553255 T^{4} - 52722114809928 T^{5} + 629954553255 p^{5} T^{6} - 87339735 p^{10} T^{7} + 1045092 p^{15} T^{8} - 181 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 1140 T + 4980550 T^{2} - 3443850354 T^{3} + 10068870522169 T^{4} - 5069379208548852 T^{5} + 10068870522169 p^{5} T^{6} - 3443850354 p^{10} T^{7} + 4980550 p^{15} T^{8} - 1140 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 416 T + 5046258 T^{2} + 6215761044 T^{3} + 20272296121125 T^{4} + 15898268281316088 T^{5} + 20272296121125 p^{5} T^{6} + 6215761044 p^{10} T^{7} + 5046258 p^{15} T^{8} + 416 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 399 T + 16236442 T^{2} - 15815242731 T^{3} + 4968768180959 p T^{4} - 214964375471995932 T^{5} + 4968768180959 p^{6} T^{6} - 15815242731 p^{10} T^{7} + 16236442 p^{15} T^{8} + 399 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 6033 T + 32744932 T^{2} - 82954489011 T^{3} + 288237740873407 T^{4} - 1430006647746298968 T^{5} + 288237740873407 p^{5} T^{6} - 82954489011 p^{10} T^{7} + 32744932 p^{15} T^{8} - 6033 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 89 p T + 62514558 T^{2} - 8483492775 T^{3} + 1879317626697489 T^{4} - 2373615527060533968 T^{5} + 1879317626697489 p^{5} T^{6} - 8483492775 p^{10} T^{7} + 62514558 p^{15} T^{8} + 89 p^{21} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 7586 T + 201201093 T^{2} + 803146672896 T^{3} + 19241810738464926 T^{4} + 60351714230064941916 T^{5} + 19241810738464926 p^{5} T^{6} + 803146672896 p^{10} T^{7} + 201201093 p^{15} T^{8} + 7586 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 18435 T + 457528267 T^{2} - 6389512835910 T^{3} + 92046695080587061 T^{4} - \)\(99\!\cdots\!97\)\( T^{5} + 92046695080587061 p^{5} T^{6} - 6389512835910 p^{10} T^{7} + 457528267 p^{15} T^{8} - 18435 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 1469 T + 274021497 T^{2} + 2209484086710 T^{3} + 59712901022608185 T^{4} + \)\(32\!\cdots\!87\)\( T^{5} + 59712901022608185 p^{5} T^{6} + 2209484086710 p^{10} T^{7} + 274021497 p^{15} T^{8} + 1469 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 25155 T + 1034020258 T^{2} - 20179979725617 T^{3} + 464012894081647969 T^{4} - \)\(66\!\cdots\!16\)\( T^{5} + 464012894081647969 p^{5} T^{6} - 20179979725617 p^{10} T^{7} + 1034020258 p^{15} T^{8} - 25155 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 58422 T + 3354568213 T^{2} - 110313236959296 T^{3} + 3390725554692289246 T^{4} - \)\(71\!\cdots\!28\)\( T^{5} + 3390725554692289246 p^{5} T^{6} - 110313236959296 p^{10} T^{7} + 3354568213 p^{15} T^{8} - 58422 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 90537 T + 5365830529 T^{2} - 236000523803862 T^{3} + 8392018437003638425 T^{4} - \)\(24\!\cdots\!43\)\( T^{5} + 8392018437003638425 p^{5} T^{6} - 236000523803862 p^{10} T^{7} + 5365830529 p^{15} T^{8} - 90537 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 23 p T + 3538874292 T^{2} + 2256100311765 T^{3} + 5454602684103950271 T^{4} + \)\(18\!\cdots\!56\)\( T^{5} + 5454602684103950271 p^{5} T^{6} + 2256100311765 p^{10} T^{7} + 3538874292 p^{15} T^{8} + 23 p^{21} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 13907 T + 4070090193 T^{2} - 10411373671926 T^{3} + 6695736735425021001 T^{4} - \)\(80\!\cdots\!07\)\( T^{5} + 6695736735425021001 p^{5} T^{6} - 10411373671926 p^{10} T^{7} + 4070090193 p^{15} T^{8} + 13907 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 114684 T + 7758380659 T^{2} - 426246123888336 T^{3} + 19260501229393543450 T^{4} - \)\(77\!\cdots\!40\)\( T^{5} + 19260501229393543450 p^{5} T^{6} - 426246123888336 p^{10} T^{7} + 7758380659 p^{15} T^{8} - 114684 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 7600 T + 3606834246 T^{2} - 31056473559714 T^{3} + 12288417972789256281 T^{4} - \)\(80\!\cdots\!84\)\( T^{5} + 12288417972789256281 p^{5} T^{6} - 31056473559714 p^{10} T^{7} + 3606834246 p^{15} T^{8} - 7600 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 29993 T + 6251931678 T^{2} - 85699438105257 T^{3} + 15422207141619743649 T^{4} - \)\(73\!\cdots\!92\)\( T^{5} + 15422207141619743649 p^{5} T^{6} - 85699438105257 p^{10} T^{7} + 6251931678 p^{15} T^{8} + 29993 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 228951 T + 373676246 p T^{2} - 2949331181889681 T^{3} + \)\(22\!\cdots\!25\)\( T^{4} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( T^{5} + \)\(22\!\cdots\!25\)\( p^{5} T^{6} - 2949331181889681 p^{10} T^{7} + 373676246 p^{16} T^{8} - 228951 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 299166 T + 52616244181 T^{2} - 6660261403977288 T^{3} + \)\(67\!\cdots\!10\)\( T^{4} - \)\(55\!\cdots\!64\)\( T^{5} + \)\(67\!\cdots\!10\)\( p^{5} T^{6} - 6660261403977288 p^{10} T^{7} + 52616244181 p^{15} T^{8} - 299166 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 40541 T + 19537068819 T^{2} + 1527692999826186 T^{3} + \)\(22\!\cdots\!25\)\( T^{4} + \)\(18\!\cdots\!11\)\( T^{5} + \)\(22\!\cdots\!25\)\( p^{5} T^{6} + 1527692999826186 p^{10} T^{7} + 19537068819 p^{15} T^{8} + 40541 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−6.08459429425206115529764578844, −5.96603137353839993202254883204, −5.93985729296344260290870217939, −5.72599533346898860131356144993, −5.58323217642913631413051602759, −5.27028112240436665157896510726, −4.80370375333202580326002962010, −4.77426896484820120802894635640, −4.57181801440891634745136594478, −4.57009015812924842736110374941, −3.80142892509542841509877952761, −3.61539680447510848330928284998, −3.56365399422770780832201057174, −3.42953283754586088451831770201, −3.41509447390172990972539993239, −2.53394437698331848516964690482, −2.37569476770637956568399965028, −2.25872141062757164552752375287, −2.06937991158909247988859153579, −1.99664017231224954853558409263, −1.22549592613457543603670162859, −0.951963079510357119219282130344, −0.75104466199822278326154948823, −0.72887801316388973480321235842, −0.19162140200206996884387057023,
0.19162140200206996884387057023, 0.72887801316388973480321235842, 0.75104466199822278326154948823, 0.951963079510357119219282130344, 1.22549592613457543603670162859, 1.99664017231224954853558409263, 2.06937991158909247988859153579, 2.25872141062757164552752375287, 2.37569476770637956568399965028, 2.53394437698331848516964690482, 3.41509447390172990972539993239, 3.42953283754586088451831770201, 3.56365399422770780832201057174, 3.61539680447510848330928284998, 3.80142892509542841509877952761, 4.57009015812924842736110374941, 4.57181801440891634745136594478, 4.77426896484820120802894635640, 4.80370375333202580326002962010, 5.27028112240436665157896510726, 5.58323217642913631413051602759, 5.72599533346898860131356144993, 5.93985729296344260290870217939, 5.96603137353839993202254883204, 6.08459429425206115529764578844
