Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 3·5-s − 3·11-s + 12·17-s + 30·23-s + 9·25-s + 24·29-s + 9·31-s − 21·41-s − 9·43-s − 45·47-s − 9·49-s − 66·53-s + 9·55-s − 60·59-s − 18·61-s − 27·67-s + 12·71-s + 9·73-s − 36·79-s + 45·83-s − 36·85-s + 48·89-s − 27·97-s − 15·101-s − 18·103-s − 30·107-s − 36·113-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 1.34·5-s − 0.904·11-s + 2.91·17-s + 6.25·23-s + 9/5·25-s + 4.45·29-s + 1.61·31-s − 3.27·41-s − 1.37·43-s − 6.56·47-s − 9/7·49-s − 9.06·53-s + 1.21·55-s − 7.81·59-s − 2.30·61-s − 3.29·67-s + 1.42·71-s + 1.05·73-s − 4.05·79-s + 4.93·83-s − 3.90·85-s + 5.08·89-s − 2.74·97-s − 1.49·101-s − 1.77·103-s − 2.90·107-s − 3.38·113-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{36} \cdot 3^{72}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{36} \cdot 3^{72}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(2^{36} \cdot 3^{72}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(2.69648\times 10^{7}\) |
| Root analytic conductor: | \(1.60846\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((36,\ 2^{36} \cdot 3^{72} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(0.5902254481\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.5902254481\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( 1 \) |
| 3 | \( 1 \) | |
| good | 5 | \( 1 + 3 T - 18 T^{3} - 36 T^{4} - 42 T^{5} + 12 T^{6} + 66 T^{7} + 207 T^{8} + 306 T^{9} - 1881 T^{10} - 8988 T^{11} + 3777 T^{12} + 10356 p T^{13} + 130257 T^{14} + 141489 T^{15} - 33291 p T^{16} - 864168 T^{17} - 1249796 T^{18} - 864168 p T^{19} - 33291 p^{3} T^{20} + 141489 p^{3} T^{21} + 130257 p^{4} T^{22} + 10356 p^{6} T^{23} + 3777 p^{6} T^{24} - 8988 p^{7} T^{25} - 1881 p^{8} T^{26} + 306 p^{9} T^{27} + 207 p^{10} T^{28} + 66 p^{11} T^{29} + 12 p^{12} T^{30} - 42 p^{13} T^{31} - 36 p^{14} T^{32} - 18 p^{15} T^{33} + 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) |
| 7 | \( 1 + 9 T^{2} + 6 T^{3} + 90 T^{4} - 144 T^{5} + 642 T^{6} - 1305 T^{7} + 3294 T^{8} - 16123 T^{9} + 5967 p T^{10} - 23544 p T^{11} + 38376 p T^{12} - 150228 p T^{13} + 2182869 T^{14} - 1431468 p T^{15} + 22667607 T^{16} - 57261276 T^{17} + 121068222 T^{18} - 57261276 p T^{19} + 22667607 p^{2} T^{20} - 1431468 p^{4} T^{21} + 2182869 p^{4} T^{22} - 150228 p^{6} T^{23} + 38376 p^{7} T^{24} - 23544 p^{8} T^{25} + 5967 p^{9} T^{26} - 16123 p^{9} T^{27} + 3294 p^{10} T^{28} - 1305 p^{11} T^{29} + 642 p^{12} T^{30} - 144 p^{13} T^{31} + 90 p^{14} T^{32} + 6 p^{15} T^{33} + 9 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 11 | \( 1 + 3 T - 36 T^{3} - 252 T^{4} + 183 T^{5} + 3414 T^{6} + 14331 T^{7} + 19242 T^{8} - 82413 T^{9} - 362790 T^{10} - 885057 T^{11} + 3067980 T^{12} + 12803547 T^{13} + 53216793 T^{14} + 119847402 T^{15} - 2499741 p T^{16} - 185418060 T^{17} - 3750422330 T^{18} - 185418060 p T^{19} - 2499741 p^{3} T^{20} + 119847402 p^{3} T^{21} + 53216793 p^{4} T^{22} + 12803547 p^{5} T^{23} + 3067980 p^{6} T^{24} - 885057 p^{7} T^{25} - 362790 p^{8} T^{26} - 82413 p^{9} T^{27} + 19242 p^{10} T^{28} + 14331 p^{11} T^{29} + 3414 p^{12} T^{30} + 183 p^{13} T^{31} - 252 p^{14} T^{32} - 36 p^{15} T^{33} + 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 13 | \( 1 - 45 T^{2} + 33 T^{3} + 63 p T^{4} - 171 p T^{5} - 6621 T^{6} + 67680 T^{7} + 2295 T^{8} - 1105627 T^{9} + 769527 T^{10} + 10632708 T^{11} - 24128055 T^{12} - 87782535 T^{13} + 521321076 T^{14} + 1050449085 T^{15} - 564747174 p T^{16} - 6958867761 T^{17} + 89217898098 T^{18} - 6958867761 p T^{19} - 564747174 p^{3} T^{20} + 1050449085 p^{3} T^{21} + 521321076 p^{4} T^{22} - 87782535 p^{5} T^{23} - 24128055 p^{6} T^{24} + 10632708 p^{7} T^{25} + 769527 p^{8} T^{26} - 1105627 p^{9} T^{27} + 2295 p^{10} T^{28} + 67680 p^{11} T^{29} - 6621 p^{12} T^{30} - 171 p^{14} T^{31} + 63 p^{15} T^{32} + 33 p^{15} T^{33} - 45 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 17 | \( 1 - 12 T + 630 T^{3} - 2493 T^{4} - 9264 T^{5} + 71715 T^{6} + 20382 T^{7} - 663750 T^{8} - 1631844 T^{9} + 5926023 T^{10} + 55869558 T^{11} - 116813226 T^{12} - 478010541 T^{13} - 1415343366 T^{14} + 8092973394 T^{15} + 53937481662 T^{16} - 118392015135 T^{17} - 620668817804 T^{18} - 118392015135 p T^{19} + 53937481662 p^{2} T^{20} + 8092973394 p^{3} T^{21} - 1415343366 p^{4} T^{22} - 478010541 p^{5} T^{23} - 116813226 p^{6} T^{24} + 55869558 p^{7} T^{25} + 5926023 p^{8} T^{26} - 1631844 p^{9} T^{27} - 663750 p^{10} T^{28} + 20382 p^{11} T^{29} + 71715 p^{12} T^{30} - 9264 p^{13} T^{31} - 2493 p^{14} T^{32} + 630 p^{15} T^{33} - 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 19 | \( 1 - 81 T^{2} - 12 T^{3} + 2916 T^{4} + 378 T^{5} - 63789 T^{6} + 26217 T^{7} + 1135107 T^{8} - 2182495 T^{9} - 24267384 T^{10} + 68364540 T^{11} + 564078960 T^{12} - 1060991325 T^{13} - 9783469926 T^{14} + 6143751819 T^{15} + 107000768556 T^{16} + 9549612666 T^{17} - 1139182247424 T^{18} + 9549612666 p T^{19} + 107000768556 p^{2} T^{20} + 6143751819 p^{3} T^{21} - 9783469926 p^{4} T^{22} - 1060991325 p^{5} T^{23} + 564078960 p^{6} T^{24} + 68364540 p^{7} T^{25} - 24267384 p^{8} T^{26} - 2182495 p^{9} T^{27} + 1135107 p^{10} T^{28} + 26217 p^{11} T^{29} - 63789 p^{12} T^{30} + 378 p^{13} T^{31} + 2916 p^{14} T^{32} - 12 p^{15} T^{33} - 81 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 - 30 T + 459 T^{2} - 4716 T^{3} + 35739 T^{4} - 203682 T^{5} + 823269 T^{6} - 1638444 T^{7} - 6429924 T^{8} + 76742136 T^{9} - 307889172 T^{10} - 367007538 T^{11} + 14732471886 T^{12} - 121578320496 T^{13} + 628848268830 T^{14} - 2040092984925 T^{15} + 1341049467978 T^{16} + 31755560848485 T^{17} - 226915587058772 T^{18} + 31755560848485 p T^{19} + 1341049467978 p^{2} T^{20} - 2040092984925 p^{3} T^{21} + 628848268830 p^{4} T^{22} - 121578320496 p^{5} T^{23} + 14732471886 p^{6} T^{24} - 367007538 p^{7} T^{25} - 307889172 p^{8} T^{26} + 76742136 p^{9} T^{27} - 6429924 p^{10} T^{28} - 1638444 p^{11} T^{29} + 823269 p^{12} T^{30} - 203682 p^{13} T^{31} + 35739 p^{14} T^{32} - 4716 p^{15} T^{33} + 459 p^{16} T^{34} - 30 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 29 | \( 1 - 24 T + 216 T^{2} - 513 T^{3} - 5085 T^{4} + 38622 T^{5} - 39165 T^{6} - 335661 T^{7} - 972927 T^{8} + 15344370 T^{9} + 17037873 T^{10} - 849699627 T^{11} + 5794706544 T^{12} - 21856511310 T^{13} + 65301140610 T^{14} - 312703277274 T^{15} + 367683018633 T^{16} + 19987658397597 T^{17} - 182924253089192 T^{18} + 19987658397597 p T^{19} + 367683018633 p^{2} T^{20} - 312703277274 p^{3} T^{21} + 65301140610 p^{4} T^{22} - 21856511310 p^{5} T^{23} + 5794706544 p^{6} T^{24} - 849699627 p^{7} T^{25} + 17037873 p^{8} T^{26} + 15344370 p^{9} T^{27} - 972927 p^{10} T^{28} - 335661 p^{11} T^{29} - 39165 p^{12} T^{30} + 38622 p^{13} T^{31} - 5085 p^{14} T^{32} - 513 p^{15} T^{33} + 216 p^{16} T^{34} - 24 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 31 | \( 1 - 9 T - 45 T^{2} + 816 T^{3} - 1629 T^{4} - 21807 T^{5} + 131943 T^{6} + 1719 T^{7} - 1559916 T^{8} - 2236900 T^{9} - 3018924 T^{10} + 598265892 T^{11} - 3251038833 T^{12} - 8698989627 T^{13} + 152835071832 T^{14} - 400071404862 T^{15} - 1915318217007 T^{16} + 9512206426008 T^{17} - 6801570693948 T^{18} + 9512206426008 p T^{19} - 1915318217007 p^{2} T^{20} - 400071404862 p^{3} T^{21} + 152835071832 p^{4} T^{22} - 8698989627 p^{5} T^{23} - 3251038833 p^{6} T^{24} + 598265892 p^{7} T^{25} - 3018924 p^{8} T^{26} - 2236900 p^{9} T^{27} - 1559916 p^{10} T^{28} + 1719 p^{11} T^{29} + 131943 p^{12} T^{30} - 21807 p^{13} T^{31} - 1629 p^{14} T^{32} + 816 p^{15} T^{33} - 45 p^{16} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 37 | \( 1 - 162 T^{2} - 498 T^{3} + 12069 T^{4} + 69120 T^{5} - 436659 T^{6} - 3993678 T^{7} + 5314518 T^{8} + 92943608 T^{9} - 67375773 T^{10} + 822064248 T^{11} + 22823309772 T^{12} - 67304973087 T^{13} - 1588732176582 T^{14} - 666327415302 T^{15} + 53054144866422 T^{16} + 47616232092741 T^{17} - 1542710676723420 T^{18} + 47616232092741 p T^{19} + 53054144866422 p^{2} T^{20} - 666327415302 p^{3} T^{21} - 1588732176582 p^{4} T^{22} - 67304973087 p^{5} T^{23} + 22823309772 p^{6} T^{24} + 822064248 p^{7} T^{25} - 67375773 p^{8} T^{26} + 92943608 p^{9} T^{27} + 5314518 p^{10} T^{28} - 3993678 p^{11} T^{29} - 436659 p^{12} T^{30} + 69120 p^{13} T^{31} + 12069 p^{14} T^{32} - 498 p^{15} T^{33} - 162 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 41 | \( 1 + 21 T + 270 T^{2} + 2844 T^{3} + 28449 T^{4} + 225534 T^{5} + 1364187 T^{6} + 5783241 T^{7} + 7120458 T^{8} - 266586381 T^{9} - 3961333476 T^{10} - 35030856111 T^{11} - 226766681787 T^{12} - 1184373682962 T^{13} - 91500813684 p T^{14} + 14056953699150 T^{15} + 350489698231473 T^{16} + 3267580417540392 T^{17} + 22906077409966138 T^{18} + 3267580417540392 p T^{19} + 350489698231473 p^{2} T^{20} + 14056953699150 p^{3} T^{21} - 91500813684 p^{5} T^{22} - 1184373682962 p^{5} T^{23} - 226766681787 p^{6} T^{24} - 35030856111 p^{7} T^{25} - 3961333476 p^{8} T^{26} - 266586381 p^{9} T^{27} + 7120458 p^{10} T^{28} + 5783241 p^{11} T^{29} + 1364187 p^{12} T^{30} + 225534 p^{13} T^{31} + 28449 p^{14} T^{32} + 2844 p^{15} T^{33} + 270 p^{16} T^{34} + 21 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 43 | \( 1 + 9 T + 99 T^{2} + 816 T^{3} + 7380 T^{4} + 44028 T^{5} + 425784 T^{6} + 2654973 T^{7} + 17329428 T^{8} + 77745686 T^{9} + 612406224 T^{10} + 1498691268 T^{11} + 14593371894 T^{12} + 17177157162 T^{13} + 121626443133 T^{14} - 4355914982778 T^{15} - 187131004137 p T^{16} - 188327320360398 T^{17} - 573554182033272 T^{18} - 188327320360398 p T^{19} - 187131004137 p^{3} T^{20} - 4355914982778 p^{3} T^{21} + 121626443133 p^{4} T^{22} + 17177157162 p^{5} T^{23} + 14593371894 p^{6} T^{24} + 1498691268 p^{7} T^{25} + 612406224 p^{8} T^{26} + 77745686 p^{9} T^{27} + 17329428 p^{10} T^{28} + 2654973 p^{11} T^{29} + 425784 p^{12} T^{30} + 44028 p^{13} T^{31} + 7380 p^{14} T^{32} + 816 p^{15} T^{33} + 99 p^{16} T^{34} + 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 47 | \( 1 + 45 T + 1026 T^{2} + 15507 T^{3} + 173529 T^{4} + 1550934 T^{5} + 12137826 T^{6} + 94180626 T^{7} + 777562713 T^{8} + 6408653373 T^{9} + 47766713094 T^{10} + 314746073955 T^{11} + 2010959274003 T^{12} + 14589090065835 T^{13} + 120231976929849 T^{14} + 958518905650704 T^{15} + 6721325237600946 T^{16} + 42688545402868929 T^{17} + 277542048358340170 T^{18} + 42688545402868929 p T^{19} + 6721325237600946 p^{2} T^{20} + 958518905650704 p^{3} T^{21} + 120231976929849 p^{4} T^{22} + 14589090065835 p^{5} T^{23} + 2010959274003 p^{6} T^{24} + 314746073955 p^{7} T^{25} + 47766713094 p^{8} T^{26} + 6408653373 p^{9} T^{27} + 777562713 p^{10} T^{28} + 94180626 p^{11} T^{29} + 12137826 p^{12} T^{30} + 1550934 p^{13} T^{31} + 173529 p^{14} T^{32} + 15507 p^{15} T^{33} + 1026 p^{16} T^{34} + 45 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 53 | \( ( 1 + 33 T + 711 T^{2} + 11529 T^{3} + 156285 T^{4} + 1818492 T^{5} + 18782340 T^{6} + 173567805 T^{7} + 1455502203 T^{8} + 11084684058 T^{9} + 1455502203 p T^{10} + 173567805 p^{2} T^{11} + 18782340 p^{3} T^{12} + 1818492 p^{4} T^{13} + 156285 p^{5} T^{14} + 11529 p^{6} T^{15} + 711 p^{7} T^{16} + 33 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \) | |
| 59 | \( 1 + 60 T + 27 p T^{2} + 24660 T^{3} + 247662 T^{4} + 1708872 T^{5} + 8490216 T^{6} + 33550125 T^{7} + 148813002 T^{8} + 1136539629 T^{9} + 11730436263 T^{10} + 113179328610 T^{11} + 651096766104 T^{12} - 3048081644244 T^{13} - 120313325069001 T^{14} - 1538872617278898 T^{15} - 13453209049931613 T^{16} - 98005926759519540 T^{17} - 714266619705703766 T^{18} - 98005926759519540 p T^{19} - 13453209049931613 p^{2} T^{20} - 1538872617278898 p^{3} T^{21} - 120313325069001 p^{4} T^{22} - 3048081644244 p^{5} T^{23} + 651096766104 p^{6} T^{24} + 113179328610 p^{7} T^{25} + 11730436263 p^{8} T^{26} + 1136539629 p^{9} T^{27} + 148813002 p^{10} T^{28} + 33550125 p^{11} T^{29} + 8490216 p^{12} T^{30} + 1708872 p^{13} T^{31} + 247662 p^{14} T^{32} + 24660 p^{15} T^{33} + 27 p^{17} T^{34} + 60 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 61 | \( 1 + 18 T + 144 T^{2} + 870 T^{3} + 693 T^{4} + 46719 T^{5} + 1363548 T^{6} + 13321629 T^{7} + 112641282 T^{8} + 631876487 T^{9} + 4072259232 T^{10} + 57229816275 T^{11} + 499398580341 T^{12} + 4512706586946 T^{13} + 40501364633055 T^{14} + 302618732115951 T^{15} + 2515574747971161 T^{16} + 17759529627029685 T^{17} + 116077839022099230 T^{18} + 17759529627029685 p T^{19} + 2515574747971161 p^{2} T^{20} + 302618732115951 p^{3} T^{21} + 40501364633055 p^{4} T^{22} + 4512706586946 p^{5} T^{23} + 499398580341 p^{6} T^{24} + 57229816275 p^{7} T^{25} + 4072259232 p^{8} T^{26} + 631876487 p^{9} T^{27} + 112641282 p^{10} T^{28} + 13321629 p^{11} T^{29} + 1363548 p^{12} T^{30} + 46719 p^{13} T^{31} + 693 p^{14} T^{32} + 870 p^{15} T^{33} + 144 p^{16} T^{34} + 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 67 | \( 1 + 27 T + 378 T^{2} + 4110 T^{3} + 42309 T^{4} + 359532 T^{5} + 1903683 T^{6} - 2087343 T^{7} - 177145164 T^{8} - 2600725729 T^{9} - 29272869126 T^{10} - 274304636919 T^{11} - 1972009698093 T^{12} - 9826793958816 T^{13} - 14621223469968 T^{14} + 6105211499142 p T^{15} + 7291627922092167 T^{16} + 85616450880794064 T^{17} + 791533857384890682 T^{18} + 85616450880794064 p T^{19} + 7291627922092167 p^{2} T^{20} + 6105211499142 p^{4} T^{21} - 14621223469968 p^{4} T^{22} - 9826793958816 p^{5} T^{23} - 1972009698093 p^{6} T^{24} - 274304636919 p^{7} T^{25} - 29272869126 p^{8} T^{26} - 2600725729 p^{9} T^{27} - 177145164 p^{10} T^{28} - 2087343 p^{11} T^{29} + 1903683 p^{12} T^{30} + 359532 p^{13} T^{31} + 42309 p^{14} T^{32} + 4110 p^{15} T^{33} + 378 p^{16} T^{34} + 27 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 - 12 T - 216 T^{2} + 3978 T^{3} + 8901 T^{4} - 529392 T^{5} + 1798959 T^{6} + 37173408 T^{7} - 298164978 T^{8} - 1281013128 T^{9} + 23327409465 T^{10} - 43122203202 T^{11} - 995587443048 T^{12} + 174724624749 p T^{13} - 32462907484212 T^{14} - 1158165262802520 T^{15} + 11716337115395100 T^{16} + 40103807685557901 T^{17} - 1167130398411512264 T^{18} + 40103807685557901 p T^{19} + 11716337115395100 p^{2} T^{20} - 1158165262802520 p^{3} T^{21} - 32462907484212 p^{4} T^{22} + 174724624749 p^{6} T^{23} - 995587443048 p^{6} T^{24} - 43122203202 p^{7} T^{25} + 23327409465 p^{8} T^{26} - 1281013128 p^{9} T^{27} - 298164978 p^{10} T^{28} + 37173408 p^{11} T^{29} + 1798959 p^{12} T^{30} - 529392 p^{13} T^{31} + 8901 p^{14} T^{32} + 3978 p^{15} T^{33} - 216 p^{16} T^{34} - 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 - 9 T - 423 T^{2} + 3174 T^{3} + 104238 T^{4} - 633897 T^{5} - 17768040 T^{6} + 86261373 T^{7} + 2286597285 T^{8} - 8821811794 T^{9} - 229412589363 T^{10} + 696472394517 T^{11} + 18405723457890 T^{12} - 43263862214751 T^{13} - 1209322407919761 T^{14} + 2007285699967488 T^{15} + 70978846328739252 T^{16} - 49678641613188693 T^{17} - 4558841577782266638 T^{18} - 49678641613188693 p T^{19} + 70978846328739252 p^{2} T^{20} + 2007285699967488 p^{3} T^{21} - 1209322407919761 p^{4} T^{22} - 43263862214751 p^{5} T^{23} + 18405723457890 p^{6} T^{24} + 696472394517 p^{7} T^{25} - 229412589363 p^{8} T^{26} - 8821811794 p^{9} T^{27} + 2286597285 p^{10} T^{28} + 86261373 p^{11} T^{29} - 17768040 p^{12} T^{30} - 633897 p^{13} T^{31} + 104238 p^{14} T^{32} + 3174 p^{15} T^{33} - 423 p^{16} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 79 | \( 1 + 36 T + 702 T^{2} + 9861 T^{3} + 119196 T^{4} + 1409409 T^{5} + 16913820 T^{6} + 201585240 T^{7} + 2283030162 T^{8} + 24444793301 T^{9} + 255412728198 T^{10} + 2659995762120 T^{11} + 346440759786 p T^{12} + 271885146597855 T^{13} + 2605507077760911 T^{14} + 24385423616176365 T^{15} + 226920837770375571 T^{16} + 2103229216817817381 T^{17} + 19027927100722312626 T^{18} + 2103229216817817381 p T^{19} + 226920837770375571 p^{2} T^{20} + 24385423616176365 p^{3} T^{21} + 2605507077760911 p^{4} T^{22} + 271885146597855 p^{5} T^{23} + 346440759786 p^{7} T^{24} + 2659995762120 p^{7} T^{25} + 255412728198 p^{8} T^{26} + 24444793301 p^{9} T^{27} + 2283030162 p^{10} T^{28} + 201585240 p^{11} T^{29} + 16913820 p^{12} T^{30} + 1409409 p^{13} T^{31} + 119196 p^{14} T^{32} + 9861 p^{15} T^{33} + 702 p^{16} T^{34} + 36 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 83 | \( 1 - 45 T + 945 T^{2} - 10116 T^{3} + 12339 T^{4} + 1380339 T^{5} - 22826715 T^{6} + 161300349 T^{7} + 246197610 T^{8} - 18368963478 T^{9} + 201770388396 T^{10} - 948024221238 T^{11} - 3270167174595 T^{12} + 95828229532791 T^{13} - 847092215711700 T^{14} + 3777334618062672 T^{15} + 7299207689386761 T^{16} - 335349191198370492 T^{17} + 3919398090577201708 T^{18} - 335349191198370492 p T^{19} + 7299207689386761 p^{2} T^{20} + 3777334618062672 p^{3} T^{21} - 847092215711700 p^{4} T^{22} + 95828229532791 p^{5} T^{23} - 3270167174595 p^{6} T^{24} - 948024221238 p^{7} T^{25} + 201770388396 p^{8} T^{26} - 18368963478 p^{9} T^{27} + 246197610 p^{10} T^{28} + 161300349 p^{11} T^{29} - 22826715 p^{12} T^{30} + 1380339 p^{13} T^{31} + 12339 p^{14} T^{32} - 10116 p^{15} T^{33} + 945 p^{16} T^{34} - 45 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 89 | \( 1 - 48 T + 729 T^{2} - 540 T^{3} - 60516 T^{4} - 309648 T^{5} + 9164505 T^{6} + 43924695 T^{7} - 296290449 T^{8} - 17649268605 T^{9} + 60514001892 T^{10} + 1616101715796 T^{11} + 6831214397718 T^{12} - 217593105310137 T^{13} - 956051155825812 T^{14} + 10434643262054325 T^{15} + 213339340235303568 T^{16} - 707450617777750446 T^{17} - 16906270535571748808 T^{18} - 707450617777750446 p T^{19} + 213339340235303568 p^{2} T^{20} + 10434643262054325 p^{3} T^{21} - 956051155825812 p^{4} T^{22} - 217593105310137 p^{5} T^{23} + 6831214397718 p^{6} T^{24} + 1616101715796 p^{7} T^{25} + 60514001892 p^{8} T^{26} - 17649268605 p^{9} T^{27} - 296290449 p^{10} T^{28} + 43924695 p^{11} T^{29} + 9164505 p^{12} T^{30} - 309648 p^{13} T^{31} - 60516 p^{14} T^{32} - 540 p^{15} T^{33} + 729 p^{16} T^{34} - 48 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 + 27 T + 171 T^{2} - 1506 T^{3} - 5796 T^{4} + 238266 T^{5} - 1047822 T^{6} - 47407473 T^{7} + 141058260 T^{8} + 5136199520 T^{9} - 34758298530 T^{10} - 613734906312 T^{11} + 4119485195664 T^{12} + 37279586300094 T^{13} - 763210465522713 T^{14} - 3540249166293810 T^{15} + 84441145547637873 T^{16} + 225577194346293930 T^{17} - 6812284288441068552 T^{18} + 225577194346293930 p T^{19} + 84441145547637873 p^{2} T^{20} - 3540249166293810 p^{3} T^{21} - 763210465522713 p^{4} T^{22} + 37279586300094 p^{5} T^{23} + 4119485195664 p^{6} T^{24} - 613734906312 p^{7} T^{25} - 34758298530 p^{8} T^{26} + 5136199520 p^{9} T^{27} + 141058260 p^{10} T^{28} - 47407473 p^{11} T^{29} - 1047822 p^{12} T^{30} + 238266 p^{13} T^{31} - 5796 p^{14} T^{32} - 1506 p^{15} T^{33} + 171 p^{16} T^{34} + 27 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.06878991798485172091606967154, −3.01758732012960419152755133305, −3.01284572565083281372582851308, −3.01249840815575489106668982045, −2.86051530033250353722836444625, −2.83516227061967211562251276363, −2.69287961797166478885625853552, −2.57820000255361723023583255786, −2.51382983950418931216563433391, −2.26996924729335978925051992326, −2.00124140937110846016071222003, −1.84595151276699309638692317804, −1.78361214897458252848519542946, −1.76197821353653996691175713153, −1.66195708173530323732079415838, −1.64714001617344541725863502267, −1.60913658208964353157380493623, −1.41068864353297758443608063249, −1.30972759723857914254377215171, −1.24498817761123715600079243800, −1.01870915041978836659019628592, −0.969363543423013316619177591299, −0.63063924815701597821858785840, −0.45395883519180593850241709693, −0.10630658011156196489116960784, 0.10630658011156196489116960784, 0.45395883519180593850241709693, 0.63063924815701597821858785840, 0.969363543423013316619177591299, 1.01870915041978836659019628592, 1.24498817761123715600079243800, 1.30972759723857914254377215171, 1.41068864353297758443608063249, 1.60913658208964353157380493623, 1.64714001617344541725863502267, 1.66195708173530323732079415838, 1.76197821353653996691175713153, 1.78361214897458252848519542946, 1.84595151276699309638692317804, 2.00124140937110846016071222003, 2.26996924729335978925051992326, 2.51382983950418931216563433391, 2.57820000255361723023583255786, 2.69287961797166478885625853552, 2.83516227061967211562251276363, 2.86051530033250353722836444625, 3.01249840815575489106668982045, 3.01284572565083281372582851308, 3.01758732012960419152755133305, 3.06878991798485172091606967154
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.