| L(s) = 1 | − 10·3-s + 75·5-s − 6·7-s − 81·9-s + 396·11-s + 354·13-s − 750·15-s + 1.15e3·17-s − 3.19e3·19-s + 60·21-s + 6.12e3·23-s + 3.75e3·25-s − 2.64e3·27-s − 426·29-s + 3.27e3·31-s − 3.96e3·33-s − 450·35-s + 1.15e4·37-s − 3.54e3·39-s + 1.24e4·41-s − 2.63e4·43-s − 6.07e3·45-s + 3.67e4·47-s − 2.71e4·49-s − 1.15e4·51-s + 2.11e4·53-s + 2.97e4·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.641·3-s + 1.34·5-s − 0.0462·7-s − 1/3·9-s + 0.986·11-s + 0.580·13-s − 0.860·15-s + 0.971·17-s − 2.02·19-s + 0.0296·21-s + 2.41·23-s + 6/5·25-s − 0.699·27-s − 0.0940·29-s + 0.612·31-s − 0.633·33-s − 0.0620·35-s + 1.38·37-s − 0.372·39-s + 1.15·41-s − 2.17·43-s − 0.447·45-s + 2.42·47-s − 1.61·49-s − 0.623·51-s + 1.03·53-s + 1.32·55-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 32768000 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 32768000 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(6.929197007\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(6.929197007\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 5 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| good | 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 10 T + 181 T^{2} + 1756 p T^{3} + 181 p^{5} T^{4} + 10 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 6 T + 3879 p T^{2} + 1137532 T^{3} + 3879 p^{6} T^{4} + 6 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 36 p T + 327873 T^{2} - 67617992 T^{3} + 327873 p^{5} T^{4} - 36 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 354 T + 845379 T^{2} - 291738444 T^{3} + 845379 p^{5} T^{4} - 354 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1158 T + 1914111 T^{2} - 544550612 T^{3} + 1914111 p^{5} T^{4} - 1158 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 168 p T + 9330057 T^{2} + 15933739216 T^{3} + 9330057 p^{5} T^{4} + 168 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 6126 T + 29722593 T^{2} - 84141222540 T^{3} + 29722593 p^{5} T^{4} - 6126 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 426 T - 939693 T^{2} - 141773503364 T^{3} - 939693 p^{5} T^{4} + 426 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 3276 T + 2292813 T^{2} + 41639420248 T^{3} + 2292813 p^{5} T^{4} - 3276 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 11562 T + 90623691 T^{2} - 525372493468 T^{3} + 90623691 p^{5} T^{4} - 11562 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 12450 T + 384843783 T^{2} - 2886023186300 T^{3} + 384843783 p^{5} T^{4} - 12450 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 26346 T + 640605069 T^{2} + 8098987233524 T^{3} + 640605069 p^{5} T^{4} + 26346 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 36762 T + 1119958377 T^{2} - 18490559326820 T^{3} + 1119958377 p^{5} T^{4} - 36762 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 21162 T + 395789499 T^{2} + 881498066468 T^{3} + 395789499 p^{5} T^{4} - 21162 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 35040 T + 1757220897 T^{2} + 50989349593920 T^{3} + 1757220897 p^{5} T^{4} + 35040 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 24138 T + 393086643 T^{2} + 6904061162564 T^{3} + 393086643 p^{5} T^{4} - 24138 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 9570 T + 659335509 T^{2} - 83080838420484 T^{3} + 659335509 p^{5} T^{4} - 9570 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 88092 T + 7289446053 T^{2} - 329541325840584 T^{3} + 7289446053 p^{5} T^{4} - 88092 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 66750 T + 3875077479 T^{2} - 111360074258500 T^{3} + 3875077479 p^{5} T^{4} - 66750 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 92952 T + 11164448877 T^{2} + 573846024396496 T^{3} + 11164448877 p^{5} T^{4} + 92952 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 30258 T + 4293702405 T^{2} + 426012342532708 T^{3} + 4293702405 p^{5} T^{4} + 30258 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 172686 T + 26445328791 T^{2} - 2103593815517412 T^{3} + 26445328791 p^{5} T^{4} - 172686 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 170910 T + 30283966671 T^{2} - 2852314667192740 T^{3} + 30283966671 p^{5} T^{4} - 170910 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−9.469964174139763375517953156896, −9.216838525546243597582896921028, −8.931408507270795468616980361898, −8.890103223737571750570377065123, −8.237197059493658494651205127485, −8.064791440586168670673700734149, −7.62528988370960277376427926419, −7.05268493215824338189375202288, −6.75459541166765416233044427158, −6.63591428977419455652165818033, −5.96069053823299166018170098387, −5.94694881407921454603945652696, −5.85979642820875018106627459121, −5.03300420468547574535958095427, −4.94500745244073658642502318583, −4.54108550092915366024449072680, −3.98401049747192813991701807261, −3.51017760547060839648702056210, −3.23825326746480008611560361120, −2.57211770922465627480113105286, −2.21950048554709221273862364784, −1.79709775528235346794044176456, −1.23730372781136489716802478269, −0.68459510293727435184650261495, −0.62161560557020551595382691199,
0.62161560557020551595382691199, 0.68459510293727435184650261495, 1.23730372781136489716802478269, 1.79709775528235346794044176456, 2.21950048554709221273862364784, 2.57211770922465627480113105286, 3.23825326746480008611560361120, 3.51017760547060839648702056210, 3.98401049747192813991701807261, 4.54108550092915366024449072680, 4.94500745244073658642502318583, 5.03300420468547574535958095427, 5.85979642820875018106627459121, 5.94694881407921454603945652696, 5.96069053823299166018170098387, 6.63591428977419455652165818033, 6.75459541166765416233044427158, 7.05268493215824338189375202288, 7.62528988370960277376427926419, 8.064791440586168670673700734149, 8.237197059493658494651205127485, 8.890103223737571750570377065123, 8.931408507270795468616980361898, 9.216838525546243597582896921028, 9.469964174139763375517953156896
