# Properties

 Degree 16 Conductor $2^{8} \cdot 3^{16} \cdot 5^{16} \cdot 7^{8}$ Sign $1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 0

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 4·13-s − 2·16-s − 8·23-s − 24·29-s − 8·31-s + 4·37-s + 12·43-s + 12·47-s − 32·53-s − 16·59-s − 20·67-s − 36·73-s − 56·83-s − 72·89-s + 4·97-s + 24·103-s − 16·107-s − 32·113-s + 12·121-s + 127-s + 131-s + 137-s + 139-s + 149-s + 151-s + 157-s + 163-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 1.10·13-s − 1/2·16-s − 1.66·23-s − 4.45·29-s − 1.43·31-s + 0.657·37-s + 1.82·43-s + 1.75·47-s − 4.39·53-s − 2.08·59-s − 2.44·67-s − 4.21·73-s − 6.14·83-s − 7.63·89-s + 0.406·97-s + 2.36·103-s − 1.54·107-s − 3.01·113-s + 1.09·121-s + 0.0887·127-s + 0.0873·131-s + 0.0854·137-s + 0.0848·139-s + 0.0819·149-s + 0.0813·151-s + 0.0798·157-s + 0.0783·163-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 3^{16} \cdot 5^{16} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 3^{16} \cdot 5^{16} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$16$$ $$N$$ = $$2^{8} \cdot 3^{16} \cdot 5^{16} \cdot 7^{8}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{3150} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = 0 Selberg data = $(16,\ 2^{8} \cdot 3^{16} \cdot 5^{16} \cdot 7^{8} ,\ ( \ : [1/2]^{8} ),\ 1 )$ $L(1)$ $\approx$ $2.434823699$ $L(\frac12)$ $\approx$ $2.434823699$ $L(\frac{3}{2})$ not available $L(1)$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$where, for $p \notin \{2,\;3,\;5,\;7\}$,$$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 16. If $p \in \{2,\;3,\;5,\;7\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 15.
$p$$F_p(T)$
bad2 $$( 1 + T^{4} )^{2}$$
3 $$1$$
5 $$1$$
7 $$( 1 + T^{4} )^{2}$$
good11 $$1 - 12 T^{2} + 40 T^{4} - 260 T^{6} + 15086 T^{8} - 260 p^{2} T^{10} + 40 p^{4} T^{12} - 12 p^{6} T^{14} + p^{8} T^{16}$$
13 $$1 - 4 T + 8 T^{2} - 28 T^{3} + 80 T^{4} - 372 T^{5} + 1240 T^{6} - 6412 T^{7} + 34174 T^{8} - 6412 p T^{9} + 1240 p^{2} T^{10} - 372 p^{3} T^{11} + 80 p^{4} T^{12} - 28 p^{5} T^{13} + 8 p^{6} T^{14} - 4 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
17 $$1 - 64 T^{3} - 252 T^{4} + 960 T^{5} + 2048 T^{6} + 6016 T^{7} - 17786 T^{8} + 6016 p T^{9} + 2048 p^{2} T^{10} + 960 p^{3} T^{11} - 252 p^{4} T^{12} - 64 p^{5} T^{13} + p^{8} T^{16}$$
19 $$( 1 - p T^{2} )^{8}$$
23 $$1 + 8 T + 32 T^{2} - 8 T^{3} - 924 T^{4} - 5032 T^{5} - 10656 T^{6} + 28456 T^{7} + 420614 T^{8} + 28456 p T^{9} - 10656 p^{2} T^{10} - 5032 p^{3} T^{11} - 924 p^{4} T^{12} - 8 p^{5} T^{13} + 32 p^{6} T^{14} + 8 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
29 $$( 1 + 12 T + 78 T^{2} + 252 T^{3} + 738 T^{4} + 252 p T^{5} + 78 p^{2} T^{6} + 12 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
31 $$( 1 + 4 T + 110 T^{2} + 356 T^{3} + 4930 T^{4} + 356 p T^{5} + 110 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
37 $$1 - 4 T + 8 T^{2} - 220 T^{3} - 48 T^{4} + 8684 T^{5} - 10152 T^{6} + 208404 T^{7} - 3196994 T^{8} + 208404 p T^{9} - 10152 p^{2} T^{10} + 8684 p^{3} T^{11} - 48 p^{4} T^{12} - 220 p^{5} T^{13} + 8 p^{6} T^{14} - 4 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
41 $$1 - 76 T^{2} + 5480 T^{4} - 315940 T^{6} + 12648846 T^{8} - 315940 p^{2} T^{10} + 5480 p^{4} T^{12} - 76 p^{6} T^{14} + p^{8} T^{16}$$
43 $$1 - 12 T + 72 T^{2} - 300 T^{3} - 1008 T^{4} + 17988 T^{5} - 98280 T^{6} + 509316 T^{7} - 2377282 T^{8} + 509316 p T^{9} - 98280 p^{2} T^{10} + 17988 p^{3} T^{11} - 1008 p^{4} T^{12} - 300 p^{5} T^{13} + 72 p^{6} T^{14} - 12 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
47 $$1 - 12 T + 72 T^{2} - 220 T^{3} - 2352 T^{4} + 10116 T^{5} + 72152 T^{6} - 1599596 T^{7} + 18271774 T^{8} - 1599596 p T^{9} + 72152 p^{2} T^{10} + 10116 p^{3} T^{11} - 2352 p^{4} T^{12} - 220 p^{5} T^{13} + 72 p^{6} T^{14} - 12 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
53 $$1 + 32 T + 512 T^{2} + 5792 T^{3} + 60388 T^{4} + 619872 T^{5} + 5690880 T^{6} + 44817632 T^{7} + 328258854 T^{8} + 44817632 p T^{9} + 5690880 p^{2} T^{10} + 619872 p^{3} T^{11} + 60388 p^{4} T^{12} + 5792 p^{5} T^{13} + 512 p^{6} T^{14} + 32 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
59 $$( 1 + 8 T + 148 T^{2} + 520 T^{3} + 8710 T^{4} + 520 p T^{5} + 148 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
61 $$( 1 + 226 T^{2} + 16 T^{3} + 20162 T^{4} + 16 p T^{5} + 226 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
67 $$1 + 20 T + 200 T^{2} + 1332 T^{3} + 9104 T^{4} + 102596 T^{5} + 1118232 T^{6} + 8938244 T^{7} + 69729150 T^{8} + 8938244 p T^{9} + 1118232 p^{2} T^{10} + 102596 p^{3} T^{11} + 9104 p^{4} T^{12} + 1332 p^{5} T^{13} + 200 p^{6} T^{14} + 20 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
71 $$1 - 216 T^{2} + 31388 T^{4} - 3350120 T^{6} + 263319558 T^{8} - 3350120 p^{2} T^{10} + 31388 p^{4} T^{12} - 216 p^{6} T^{14} + p^{8} T^{16}$$
73 $$1 + 36 T + 648 T^{2} + 8620 T^{3} + 98192 T^{4} + 980116 T^{5} + 8807960 T^{6} + 73999132 T^{7} + 618591198 T^{8} + 73999132 p T^{9} + 8807960 p^{2} T^{10} + 980116 p^{3} T^{11} + 98192 p^{4} T^{12} + 8620 p^{5} T^{13} + 648 p^{6} T^{14} + 36 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
79 $$1 - 280 T^{2} + 32732 T^{4} - 1914792 T^{6} + 96372294 T^{8} - 1914792 p^{2} T^{10} + 32732 p^{4} T^{12} - 280 p^{6} T^{14} + p^{8} T^{16}$$
83 $$1 + 56 T + 1568 T^{2} + 30056 T^{3} + 449924 T^{4} + 5649064 T^{5} + 62548320 T^{6} + 632947128 T^{7} + 5962291750 T^{8} + 632947128 p T^{9} + 62548320 p^{2} T^{10} + 5649064 p^{3} T^{11} + 449924 p^{4} T^{12} + 30056 p^{5} T^{13} + 1568 p^{6} T^{14} + 56 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
89 $$( 1 + 36 T + 734 T^{2} + 10004 T^{3} + 106562 T^{4} + 10004 p T^{5} + 734 p^{2} T^{6} + 36 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
97 $$1 - 4 T + 8 T^{2} - 1852 T^{3} + 7856 T^{4} + 48156 T^{5} + 1459480 T^{6} - 10407580 T^{7} - 90680354 T^{8} - 10407580 p T^{9} + 1459480 p^{2} T^{10} + 48156 p^{3} T^{11} + 7856 p^{4} T^{12} - 1852 p^{5} T^{13} + 8 p^{6} T^{14} - 4 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}