Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 7·2-s − 2·3-s − 29·4-s + 128·5-s − 14·6-s + 88·7-s − 84·8-s − 214·9-s + 896·10-s + 574·11-s + 58·12-s − 122·13-s + 616·14-s − 256·15-s + 870·16-s + 1.93e3·17-s − 1.49e3·18-s − 1.79e3·19-s − 3.71e3·20-s − 176·21-s + 4.01e3·22-s − 4.13e3·23-s + 168·24-s − 2.65e3·25-s − 854·26-s − 282·27-s − 2.55e3·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 1.23·2-s − 0.128·3-s − 0.906·4-s + 2.28·5-s − 0.158·6-s + 0.678·7-s − 0.464·8-s − 0.880·9-s + 2.83·10-s + 1.43·11-s + 0.116·12-s − 0.200·13-s + 0.839·14-s − 0.293·15-s + 0.849·16-s + 1.62·17-s − 1.08·18-s − 1.14·19-s − 2.07·20-s − 0.0870·21-s + 1.76·22-s − 1.63·23-s + 0.0595·24-s − 0.849·25-s − 0.247·26-s − 0.0744·27-s − 0.615·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(31^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(31^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(16\) |
| Conductor: | \(31^{8}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(373403.\) |
| Root analytic conductor: | \(2.22977\) |
| Motivic weight: | \(5\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((16,\ 31^{8} ,\ ( \ : [5/2]^{8} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(3)\) | \(\approx\) | \(5.412107250\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(5.412107250\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 31 | \( ( 1 - p^{2} T )^{8} \) |
| good | 2 | \( 1 - 7 T + 39 p T^{2} - 665 T^{3} + 5459 T^{4} - 18299 p T^{5} + 16469 p^{4} T^{6} - 199889 p^{3} T^{7} + 569951 p^{4} T^{8} - 199889 p^{8} T^{9} + 16469 p^{14} T^{10} - 18299 p^{16} T^{11} + 5459 p^{20} T^{12} - 665 p^{25} T^{13} + 39 p^{31} T^{14} - 7 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) |
| 3 | \( 1 + 2 T + 218 T^{2} + 382 p T^{3} + 10712 p^{2} T^{4} + 4586 p^{4} T^{5} + 327254 p^{4} T^{6} + 397270 p^{5} T^{7} + 7515806 p^{6} T^{8} + 397270 p^{10} T^{9} + 327254 p^{14} T^{10} + 4586 p^{19} T^{11} + 10712 p^{22} T^{12} + 382 p^{26} T^{13} + 218 p^{30} T^{14} + 2 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 5 | \( 1 - 128 T + 19038 T^{2} - 1736676 T^{3} + 32765109 p T^{4} - 11540799064 T^{5} + 850012037742 T^{6} - 50143317604132 T^{7} + 3090257186233924 T^{8} - 50143317604132 p^{5} T^{9} + 850012037742 p^{10} T^{10} - 11540799064 p^{15} T^{11} + 32765109 p^{21} T^{12} - 1736676 p^{25} T^{13} + 19038 p^{30} T^{14} - 128 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 7 | \( 1 - 88 T + 61422 T^{2} - 949260 p T^{3} + 2240365389 T^{4} - 246044886312 T^{5} + 58516079040210 T^{6} - 5861910597630492 T^{7} + 23025748817622084 p^{2} T^{8} - 5861910597630492 p^{5} T^{9} + 58516079040210 p^{10} T^{10} - 246044886312 p^{15} T^{11} + 2240365389 p^{20} T^{12} - 949260 p^{26} T^{13} + 61422 p^{30} T^{14} - 88 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 11 | \( 1 - 574 T + 811158 T^{2} - 466187742 T^{3} + 338812822824 T^{4} - 172506210784430 T^{5} + 92432733454486938 T^{6} - 39929786206324687742 T^{7} + \)\(17\!\cdots\!34\)\( T^{8} - 39929786206324687742 p^{5} T^{9} + 92432733454486938 p^{10} T^{10} - 172506210784430 p^{15} T^{11} + 338812822824 p^{20} T^{12} - 466187742 p^{25} T^{13} + 811158 p^{30} T^{14} - 574 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 13 | \( 1 + 122 T + 779238 T^{2} + 385436926 T^{3} + 371625400496 T^{4} + 327262022149266 T^{5} + 202036224651714122 T^{6} + \)\(13\!\cdots\!46\)\( T^{7} + \)\(91\!\cdots\!34\)\( T^{8} + \)\(13\!\cdots\!46\)\( p^{5} T^{9} + 202036224651714122 p^{10} T^{10} + 327262022149266 p^{15} T^{11} + 371625400496 p^{20} T^{12} + 385436926 p^{25} T^{13} + 779238 p^{30} T^{14} + 122 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 17 | \( 1 - 1932 T + 4527412 T^{2} - 10088141748 T^{3} + 16591465855204 T^{4} - 27073433961641628 T^{5} + 40127722341350040332 T^{6} - \)\(52\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(66\!\cdots\!70\)\( T^{8} - \)\(52\!\cdots\!32\)\( p^{5} T^{9} + 40127722341350040332 p^{10} T^{10} - 27073433961641628 p^{15} T^{11} + 16591465855204 p^{20} T^{12} - 10088141748 p^{25} T^{13} + 4527412 p^{30} T^{14} - 1932 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 19 | \( 1 + 1796 T + 10799466 T^{2} + 16300214768 T^{3} + 62616168301933 T^{4} + 86562869216096424 T^{5} + \)\(24\!\cdots\!38\)\( T^{6} + \)\(30\!\cdots\!76\)\( T^{7} + \)\(71\!\cdots\!24\)\( T^{8} + \)\(30\!\cdots\!76\)\( p^{5} T^{9} + \)\(24\!\cdots\!38\)\( p^{10} T^{10} + 86562869216096424 p^{15} T^{11} + 62616168301933 p^{20} T^{12} + 16300214768 p^{25} T^{13} + 10799466 p^{30} T^{14} + 1796 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 23 | \( 1 + 4136 T + 36619692 T^{2} + 100991344968 T^{3} + 550011373416948 T^{4} + 1239146279010822952 T^{5} + \)\(55\!\cdots\!16\)\( T^{6} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(42\!\cdots\!46\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{9} + \)\(55\!\cdots\!16\)\( p^{10} T^{10} + 1239146279010822952 p^{15} T^{11} + 550011373416948 p^{20} T^{12} + 100991344968 p^{25} T^{13} + 36619692 p^{30} T^{14} + 4136 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 29 | \( 1 - 5050 T + 90467766 T^{2} - 364603879022 T^{3} + 3715626651375296 T^{4} - 14491745293364992066 T^{5} + \)\(10\!\cdots\!26\)\( T^{6} - \)\(42\!\cdots\!62\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!22\)\( T^{8} - \)\(42\!\cdots\!62\)\( p^{5} T^{9} + \)\(10\!\cdots\!26\)\( p^{10} T^{10} - 14491745293364992066 p^{15} T^{11} + 3715626651375296 p^{20} T^{12} - 364603879022 p^{25} T^{13} + 90467766 p^{30} T^{14} - 5050 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 37 | \( 1 - 23674 T + 544449474 T^{2} - 8048930768742 T^{3} + 118375472289956544 T^{4} - \)\(13\!\cdots\!10\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!98\)\( T^{6} - \)\(14\!\cdots\!74\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!34\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!74\)\( p^{5} T^{9} + \)\(15\!\cdots\!98\)\( p^{10} T^{10} - \)\(13\!\cdots\!10\)\( p^{15} T^{11} + 118375472289956544 p^{20} T^{12} - 8048930768742 p^{25} T^{13} + 544449474 p^{30} T^{14} - 23674 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 41 | \( 1 - 44828 T + 1557462906 T^{2} - 36917248529664 T^{3} + 751693781170842129 T^{4} - \)\(12\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(18\!\cdots\!22\)\( T^{6} - \)\(23\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(26\!\cdots\!48\)\( T^{8} - \)\(23\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{9} + \)\(18\!\cdots\!22\)\( p^{10} T^{10} - \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{15} T^{11} + 751693781170842129 p^{20} T^{12} - 36917248529664 p^{25} T^{13} + 1557462906 p^{30} T^{14} - 44828 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 43 | \( 1 - 21058 T + 895415850 T^{2} - 15146367568490 T^{3} + 380300675841539048 T^{4} - \)\(52\!\cdots\!34\)\( T^{5} + \)\(98\!\cdots\!38\)\( T^{6} - \)\(11\!\cdots\!50\)\( T^{7} + \)\(17\!\cdots\!98\)\( T^{8} - \)\(11\!\cdots\!50\)\( p^{5} T^{9} + \)\(98\!\cdots\!38\)\( p^{10} T^{10} - \)\(52\!\cdots\!34\)\( p^{15} T^{11} + 380300675841539048 p^{20} T^{12} - 15146367568490 p^{25} T^{13} + 895415850 p^{30} T^{14} - 21058 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 47 | \( 1 - 5348 T + 192246348 T^{2} - 9465903527332 T^{3} + 126495599772415844 T^{4} - 34063926470421611308 p T^{5} + \)\(54\!\cdots\!68\)\( T^{6} - \)\(82\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(71\!\cdots\!94\)\( T^{8} - \)\(82\!\cdots\!84\)\( p^{5} T^{9} + \)\(54\!\cdots\!68\)\( p^{10} T^{10} - 34063926470421611308 p^{16} T^{11} + 126495599772415844 p^{20} T^{12} - 9465903527332 p^{25} T^{13} + 192246348 p^{30} T^{14} - 5348 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 53 | \( 1 - 4926 T + 2017312498 T^{2} - 3352330265250 T^{3} + 2064716005795245472 T^{4} + \)\(35\!\cdots\!26\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!46\)\( T^{6} + \)\(13\!\cdots\!62\)\( T^{7} + \)\(67\!\cdots\!26\)\( T^{8} + \)\(13\!\cdots\!62\)\( p^{5} T^{9} + \)\(13\!\cdots\!46\)\( p^{10} T^{10} + \)\(35\!\cdots\!26\)\( p^{15} T^{11} + 2064716005795245472 p^{20} T^{12} - 3352330265250 p^{25} T^{13} + 2017312498 p^{30} T^{14} - 4926 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 59 | \( 1 - 16944 T + 4536090730 T^{2} - 68048119121532 T^{3} + 9669071119320448069 T^{4} - \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!58\)\( T^{6} - \)\(23\!\cdots\!72\)\( p T^{7} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( T^{8} - \)\(23\!\cdots\!72\)\( p^{6} T^{9} + \)\(12\!\cdots\!58\)\( p^{10} T^{10} - \)\(12\!\cdots\!88\)\( p^{15} T^{11} + 9669071119320448069 p^{20} T^{12} - 68048119121532 p^{25} T^{13} + 4536090730 p^{30} T^{14} - 16944 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 61 | \( 1 + 73682 T + 6153695046 T^{2} + 339879559640630 T^{3} + 17174649441944212816 T^{4} + \)\(73\!\cdots\!66\)\( T^{5} + \)\(28\!\cdots\!66\)\( T^{6} + \)\(95\!\cdots\!98\)\( T^{7} + \)\(29\!\cdots\!90\)\( T^{8} + \)\(95\!\cdots\!98\)\( p^{5} T^{9} + \)\(28\!\cdots\!66\)\( p^{10} T^{10} + \)\(73\!\cdots\!66\)\( p^{15} T^{11} + 17174649441944212816 p^{20} T^{12} + 339879559640630 p^{25} T^{13} + 6153695046 p^{30} T^{14} + 73682 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 67 | \( 1 + 134768 T + 16468626408 T^{2} + 1292540586031792 T^{3} + 92487312397126829084 T^{4} + \)\(51\!\cdots\!68\)\( T^{5} + \)\(26\!\cdots\!40\)\( T^{6} + \)\(11\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(69\!\cdots\!86\)\( p T^{8} + \)\(11\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{9} + \)\(26\!\cdots\!40\)\( p^{10} T^{10} + \)\(51\!\cdots\!68\)\( p^{15} T^{11} + 92487312397126829084 p^{20} T^{12} + 1292540586031792 p^{25} T^{13} + 16468626408 p^{30} T^{14} + 134768 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 71 | \( 1 - 123724 T + 15593257026 T^{2} - 1246876664863136 T^{3} + 93854838771476816501 T^{4} - \)\(56\!\cdots\!04\)\( T^{5} + \)\(31\!\cdots\!22\)\( T^{6} - \)\(15\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(69\!\cdots\!12\)\( T^{8} - \)\(15\!\cdots\!92\)\( p^{5} T^{9} + \)\(31\!\cdots\!22\)\( p^{10} T^{10} - \)\(56\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{11} + 93854838771476816501 p^{20} T^{12} - 1246876664863136 p^{25} T^{13} + 15593257026 p^{30} T^{14} - 123724 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 73 | \( 1 - 70792 T + 10957171176 T^{2} - 603415237689240 T^{3} + 59629722172817036220 T^{4} - \)\(28\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(21\!\cdots\!08\)\( T^{6} - \)\(84\!\cdots\!96\)\( T^{7} + \)\(51\!\cdots\!98\)\( T^{8} - \)\(84\!\cdots\!96\)\( p^{5} T^{9} + \)\(21\!\cdots\!08\)\( p^{10} T^{10} - \)\(28\!\cdots\!40\)\( p^{15} T^{11} + 59629722172817036220 p^{20} T^{12} - 603415237689240 p^{25} T^{13} + 10957171176 p^{30} T^{14} - 70792 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 79 | \( 1 + 26036 T + 18084607980 T^{2} + 389836431579348 T^{3} + \)\(15\!\cdots\!36\)\( T^{4} + \)\(28\!\cdots\!76\)\( T^{5} + \)\(84\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(30\!\cdots\!66\)\( T^{8} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{9} + \)\(84\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{10} + \)\(28\!\cdots\!76\)\( p^{15} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!36\)\( p^{20} T^{12} + 389836431579348 p^{25} T^{13} + 18084607980 p^{30} T^{14} + 26036 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 83 | \( 1 - 21882 T + 21720537310 T^{2} - 620176079191386 T^{3} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( T^{4} - \)\(68\!\cdots\!34\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!54\)\( T^{6} - \)\(43\!\cdots\!34\)\( T^{7} + \)\(74\!\cdots\!66\)\( T^{8} - \)\(43\!\cdots\!34\)\( p^{5} T^{9} + \)\(15\!\cdots\!54\)\( p^{10} T^{10} - \)\(68\!\cdots\!34\)\( p^{15} T^{11} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{20} T^{12} - 620176079191386 p^{25} T^{13} + 21720537310 p^{30} T^{14} - 21882 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 89 | \( 1 - 164392 T + 38176750620 T^{2} - 4198562888600808 T^{3} + \)\(55\!\cdots\!28\)\( T^{4} - \)\(50\!\cdots\!24\)\( p T^{5} + \)\(43\!\cdots\!32\)\( T^{6} - \)\(29\!\cdots\!28\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!38\)\( T^{8} - \)\(29\!\cdots\!28\)\( p^{5} T^{9} + \)\(43\!\cdots\!32\)\( p^{10} T^{10} - \)\(50\!\cdots\!24\)\( p^{16} T^{11} + \)\(55\!\cdots\!28\)\( p^{20} T^{12} - 4198562888600808 p^{25} T^{13} + 38176750620 p^{30} T^{14} - 164392 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| 97 | \( 1 + 131948 T + 58030194978 T^{2} + 6366126598749688 T^{3} + \)\(15\!\cdots\!97\)\( T^{4} + \)\(14\!\cdots\!68\)\( T^{5} + \)\(24\!\cdots\!42\)\( T^{6} + \)\(18\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!24\)\( T^{8} + \)\(18\!\cdots\!84\)\( p^{5} T^{9} + \)\(24\!\cdots\!42\)\( p^{10} T^{10} + \)\(14\!\cdots\!68\)\( p^{15} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!97\)\( p^{20} T^{12} + 6366126598749688 p^{25} T^{13} + 58030194978 p^{30} T^{14} + 131948 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−7.28677462748690666723021211099, −6.60400207917705976881133268940, −6.47535649714390888093661512812, −6.43557391729691112412513917850, −6.06933399480138151184396663421, −6.06808672184923429264901835912, −5.91919830814006289854210234592, −5.63282101769100240311617433390, −5.51809217678740148805592562016, −5.19890758433503937989047665519, −4.78252982966485646425588184544, −4.55157824471805999782982761384, −4.50256210343775480256102902339, −4.33317333982872271953559897708, −4.07344019244078981623835362330, −3.83968756947356848033986546971, −3.59992433477166822504985499232, −2.96860107779037594605438762610, −2.44836008812998884431067208361, −2.42453793449291922546053501038, −2.15278884317193828436849811929, −1.58487933614431612872407636369, −1.15630509359806457744534614748, −1.10563382065914648717366755486, −0.24799743232735943637832612238, 0.24799743232735943637832612238, 1.10563382065914648717366755486, 1.15630509359806457744534614748, 1.58487933614431612872407636369, 2.15278884317193828436849811929, 2.42453793449291922546053501038, 2.44836008812998884431067208361, 2.96860107779037594605438762610, 3.59992433477166822504985499232, 3.83968756947356848033986546971, 4.07344019244078981623835362330, 4.33317333982872271953559897708, 4.50256210343775480256102902339, 4.55157824471805999782982761384, 4.78252982966485646425588184544, 5.19890758433503937989047665519, 5.51809217678740148805592562016, 5.63282101769100240311617433390, 5.91919830814006289854210234592, 6.06808672184923429264901835912, 6.06933399480138151184396663421, 6.43557391729691112412513917850, 6.47535649714390888093661512812, 6.60400207917705976881133268940, 7.28677462748690666723021211099
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.