LMFDB - L-function 10-3e5-1.1-c71e5-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 2.50e10·2^-s + 2.50e17·3^-s − 4.63e21·4^-s + 1.42e24·5^-s − 6.26e27·6^-s − 1.26e30·7^-s + 9.04e31·8^-s + 3.75e34·9^-s − 3.56e34·10^-s + 1.35e36·11^-s − 1.15e39·12^-s − 3.73e39·13^-s + 3.15e40·14^-s + 3.55e41·15^-s + 9.66e42·16^-s − 2.77e41·17^-s − 9.40e44·18^-s + 2.93e45·19^-s − 6.59e45·20^-s − 3.15e47·21^-s − 3.40e46·22^-s − 4.22e48·23^-s + 2.26e49·24^-s − 9.50e49·25^-s + 9.34e49·26^-s + 4.38e51·27^-s + 5.84e51·28^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.515·2^-s + 2.88·3^-s − 1.96·4^-s + 0.218·5^-s − 1.48·6^-s − 1.25·7^-s + 0.788·8^-s + 5·9^-s − 0.112·10^-s + 0.145·11^-s − 5.66·12^-s − 1.06·13^-s + 0.648·14^-s + 0.631·15^-s + 1.73·16^-s − 0.00578·17^-s − 2.57·18^-s + 1.18·19^-s − 0.429·20^-s − 3.63·21^-s − 0.0751·22^-s − 1.92·23^-s + 2.27·24^-s − 2.24·25^-s + 0.548·26^-s + 6.73·27^-s + 2.47·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 243 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(72-s) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 243 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+71/2)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$10$
Conductor:	$243$ = $3^{5}$
Sign:	$-1$
Analytic conductor:	$8.05813\times 10^{9}$
Root analytic conductor:	$9.78641$
Motivic weight:	$71$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$5$
Selberg data:	$(10,\ 243,\ (\ :71/2, 71/2, 71/2, 71/2, 71/2),\ -1)$

Particular Values

$L(36)$	$=$	$0$
$L(\frac12)$	$=$	$0$
$L(\frac{73}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
bad	3	$C_1$	$ ( 1 - p^{35} T )^{5} $
good	2	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 3131409711 p^{3} T + 2569868959484405885 p^{11} T^{2} + $$37\!\cdots\!81$$ p^{22} T^{3} + $$11\!\cdots\!69$$ p^{37} T^{4} + $$81\!\cdots\!13$$ p^{56} T^{5} + $$11\!\cdots\!69$$ p^{108} T^{6} + $$37\!\cdots\!81$$ p^{164} T^{7} + 2569868959484405885 p^{224} T^{8} + 3131409711 p^{287} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	5	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$28\!\cdots\!66$$ p T + $$31\!\cdots\!37$$ p^{5} T^{2} - $$47\!\cdots\!04$$ p^{10} T^{3} + $$32\!\cdots\!54$$ p^{16} T^{4} - $$21\!\cdots\!44$$ p^{26} T^{5} + $$32\!\cdots\!54$$ p^{87} T^{6} - $$47\!\cdots\!04$$ p^{152} T^{7} + $$31\!\cdots\!37$$ p^{218} T^{8} - $$28\!\cdots\!66$$ p^{285} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	7	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$25\!\cdots\!48$$ p^{2} T + $$16\!\cdots\!11$$ p^{4} T^{2} + $$15\!\cdots\!36$$ p^{10} T^{3} + $$20\!\cdots\!74$$ p^{16} T^{4} + $$32\!\cdots\!08$$ p^{24} T^{5} + $$20\!\cdots\!74$$ p^{87} T^{6} + $$15\!\cdots\!36$$ p^{152} T^{7} + $$16\!\cdots\!11$$ p^{217} T^{8} + $$25\!\cdots\!48$$ p^{286} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	11	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$12\!\cdots\!92$$ p T + $$18\!\cdots\!59$$ p^{2} T^{2} - $$46\!\cdots\!08$$ p^{5} T^{3} + $$14\!\cdots\!18$$ p^{8} T^{4} - $$22\!\cdots\!36$$ p^{13} T^{5} + $$14\!\cdots\!18$$ p^{79} T^{6} - $$46\!\cdots\!08$$ p^{147} T^{7} + $$18\!\cdots\!59$$ p^{215} T^{8} - $$12\!\cdots\!92$$ p^{285} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	13	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$28\!\cdots\!54$$ p T + $$70\!\cdots\!97$$ p^{3} T^{2} + $$56\!\cdots\!44$$ p^{6} T^{3} + $$49\!\cdots\!90$$ p^{10} T^{4} - $$85\!\cdots\!24$$ p^{15} T^{5} + $$49\!\cdots\!90$$ p^{81} T^{6} + $$56\!\cdots\!44$$ p^{148} T^{7} + $$70\!\cdots\!97$$ p^{216} T^{8} + $$28\!\cdots\!54$$ p^{285} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	17	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$16\!\cdots\!30$$ p T + $$32\!\cdots\!05$$ p^{2} T^{2} - $$90\!\cdots\!40$$ p^{4} T^{3} + $$97\!\cdots\!70$$ p^{7} T^{4} - $$14\!\cdots\!36$$ p^{10} T^{5} + $$97\!\cdots\!70$$ p^{78} T^{6} - $$90\!\cdots\!40$$ p^{146} T^{7} + $$32\!\cdots\!05$$ p^{215} T^{8} + $$16\!\cdots\!30$$ p^{285} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	19	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$29\!\cdots\!48$$ T + $$12\!\cdots\!17$$ p T^{2} - $$73\!\cdots\!96$$ p^{3} T^{3} + $$10\!\cdots\!34$$ p^{5} T^{4} - $$13\!\cdots\!44$$ p^{9} T^{5} + $$10\!\cdots\!34$$ p^{76} T^{6} - $$73\!\cdots\!96$$ p^{145} T^{7} + $$12\!\cdots\!17$$ p^{214} T^{8} - $$29\!\cdots\!48$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	23	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$42\!\cdots\!24$$ T + $$82\!\cdots\!93$$ p T^{2} + $$39\!\cdots\!36$$ p^{3} T^{3} + $$23\!\cdots\!98$$ p^{5} T^{4} + $$92\!\cdots\!48$$ p^{7} T^{5} + $$23\!\cdots\!98$$ p^{76} T^{6} + $$39\!\cdots\!36$$ p^{145} T^{7} + $$82\!\cdots\!93$$ p^{214} T^{8} + $$42\!\cdots\!24$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	29	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$36\!\cdots\!74$$ T + $$74\!\cdots\!53$$ p T^{2} + $$55\!\cdots\!16$$ p^{4} T^{3} + $$89\!\cdots\!26$$ p^{3} T^{4} + $$92\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$89\!\cdots\!26$$ p^{74} T^{6} + $$55\!\cdots\!16$$ p^{146} T^{7} + $$74\!\cdots\!53$$ p^{214} T^{8} + $$36\!\cdots\!74$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	31	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$24\!\cdots\!64$$ p T + $$18\!\cdots\!79$$ p^{2} T^{2} - $$57\!\cdots\!76$$ p^{3} T^{3} + $$73\!\cdots\!62$$ p^{5} T^{4} - $$66\!\cdots\!04$$ p^{7} T^{5} + $$73\!\cdots\!62$$ p^{76} T^{6} - $$57\!\cdots\!76$$ p^{145} T^{7} + $$18\!\cdots\!79$$ p^{215} T^{8} - $$24\!\cdots\!64$$ p^{285} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	37	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$16\!\cdots\!02$$ T + $$15\!\cdots\!01$$ T^{2} + $$26\!\cdots\!72$$ p T^{3} + $$38\!\cdots\!26$$ p^{2} T^{4} + $$49\!\cdots\!96$$ p^{3} T^{5} + $$38\!\cdots\!26$$ p^{73} T^{6} + $$26\!\cdots\!72$$ p^{143} T^{7} + $$15\!\cdots\!01$$ p^{213} T^{8} + $$16\!\cdots\!02$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	41	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$22\!\cdots\!94$$ T + $$12\!\cdots\!09$$ T^{2} - $$26\!\cdots\!56$$ T^{3} + $$16\!\cdots\!22$$ p T^{4} - $$72\!\cdots\!44$$ p^{2} T^{5} + $$16\!\cdots\!22$$ p^{72} T^{6} - $$26\!\cdots\!56$$ p^{142} T^{7} + $$12\!\cdots\!09$$ p^{213} T^{8} - $$22\!\cdots\!94$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	43	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$67\!\cdots\!92$$ T + $$41\!\cdots\!27$$ T^{2} - $$57\!\cdots\!80$$ p T^{3} + $$39\!\cdots\!62$$ p^{2} T^{4} - $$44\!\cdots\!88$$ p^{3} T^{5} + $$39\!\cdots\!62$$ p^{73} T^{6} - $$57\!\cdots\!80$$ p^{143} T^{7} + $$41\!\cdots\!27$$ p^{213} T^{8} - $$67\!\cdots\!92$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	47	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$46\!\cdots\!04$$ T + $$20\!\cdots\!23$$ T^{2} + $$56\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$38\!\cdots\!74$$ p T^{4} + $$17\!\cdots\!08$$ p^{2} T^{5} + $$38\!\cdots\!74$$ p^{72} T^{6} + $$56\!\cdots\!80$$ p^{142} T^{7} + $$20\!\cdots\!23$$ p^{213} T^{8} + $$46\!\cdots\!04$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	53	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$16\!\cdots\!86$$ T + $$31\!\cdots\!49$$ T^{2} - $$34\!\cdots\!96$$ p T^{3} + $$22\!\cdots\!46$$ p^{2} T^{4} - $$31\!\cdots\!12$$ p^{3} T^{5} + $$22\!\cdots\!46$$ p^{73} T^{6} - $$34\!\cdots\!96$$ p^{143} T^{7} + $$31\!\cdots\!49$$ p^{213} T^{8} - $$16\!\cdots\!86$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	59	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$39\!\cdots\!08$$ T + $$23\!\cdots\!43$$ T^{2} + $$11\!\cdots\!96$$ p T^{3} + $$69\!\cdots\!86$$ p^{2} T^{4} + $$25\!\cdots\!64$$ p^{3} T^{5} + $$69\!\cdots\!86$$ p^{73} T^{6} + $$11\!\cdots\!96$$ p^{143} T^{7} + $$23\!\cdots\!43$$ p^{213} T^{8} + $$39\!\cdots\!08$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	61	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$11\!\cdots\!98$$ p T + $$25\!\cdots\!37$$ p^{2} T^{2} + $$16\!\cdots\!92$$ p^{3} T^{3} + $$42\!\cdots\!02$$ p^{4} T^{4} + $$43\!\cdots\!32$$ p^{5} T^{5} + $$42\!\cdots\!02$$ p^{75} T^{6} + $$16\!\cdots\!92$$ p^{145} T^{7} + $$25\!\cdots\!37$$ p^{215} T^{8} - $$11\!\cdots\!98$$ p^{285} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	67	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$99\!\cdots\!20$$ p T + $$28\!\cdots\!55$$ p^{2} T^{2} - $$30\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{3} + $$46\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} - $$42\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{5} + $$46\!\cdots\!10$$ p^{75} T^{6} - $$30\!\cdots\!80$$ p^{145} T^{7} + $$28\!\cdots\!55$$ p^{215} T^{8} - $$99\!\cdots\!20$$ p^{285} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	71	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$18\!\cdots\!00$$ T + $$11\!\cdots\!15$$ T^{2} - $$18\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$56\!\cdots\!50$$ T^{4} - $$74\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$56\!\cdots\!50$$ p^{71} T^{6} - $$18\!\cdots\!40$$ p^{142} T^{7} + $$11\!\cdots\!15$$ p^{213} T^{8} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	73	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$31\!\cdots\!74$$ T + $$95\!\cdots\!29$$ T^{2} + $$15\!\cdots\!92$$ T^{3} + $$27\!\cdots\!54$$ T^{4} + $$32\!\cdots\!76$$ T^{5} + $$27\!\cdots\!54$$ p^{71} T^{6} + $$15\!\cdots\!92$$ p^{142} T^{7} + $$95\!\cdots\!29$$ p^{213} T^{8} + $$31\!\cdots\!74$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	79	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$27\!\cdots\!00$$ T + $$14\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$17\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$77\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$47\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$77\!\cdots\!10$$ p^{71} T^{6} + $$17\!\cdots\!00$$ p^{142} T^{7} + $$14\!\cdots\!95$$ p^{213} T^{8} + $$27\!\cdots\!00$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	83	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$11\!\cdots\!76$$ T + $$34\!\cdots\!75$$ T^{2} + $$56\!\cdots\!92$$ T^{3} + $$11\!\cdots\!78$$ T^{4} + $$10\!\cdots\!36$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!78$$ p^{71} T^{6} + $$56\!\cdots\!92$$ p^{142} T^{7} + $$34\!\cdots\!75$$ p^{213} T^{8} + $$11\!\cdots\!76$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	89	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$92\!\cdots\!98$$ T + $$69\!\cdots\!53$$ T^{2} - $$74\!\cdots\!64$$ T^{3} + $$30\!\cdots\!86$$ T^{4} - $$23\!\cdots\!76$$ T^{5} + $$30\!\cdots\!86$$ p^{71} T^{6} - $$74\!\cdots\!64$$ p^{142} T^{7} + $$69\!\cdots\!53$$ p^{213} T^{8} - $$92\!\cdots\!98$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
	97	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$14\!\cdots\!10$$ T + $$10\!\cdots\!45$$ T^{2} + $$46\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$14\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$44\!\cdots\!36$$ T^{5} + $$14\!\cdots\!10$$ p^{71} T^{6} + $$46\!\cdots\!60$$ p^{142} T^{7} + $$10\!\cdots\!45$$ p^{213} T^{8} + $$14\!\cdots\!10$$ p^{284} T^{9} + p^{355} T^{10} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−7.56863702071020436651264099025, −7.35523926064971191895496193846, −6.92630184088573804415546056816, −6.77467523663736608772413758489, −6.51222467212120350676700534268, −6.10993039473384596781949735028, −5.57406591898591413653151581390, −5.40258336100163876380919685000, −5.18295352248873449622415152215, −4.99113123236038868113440094887, −4.18823633949737669269353989387, −4.12126180136199491769560562534, −4.11639679509709360265947264357, −4.01793062972677848408440139230, −3.55481566980338597636693528662, −3.18742252002819197051770995664, −3.06866036778057119608547747518, −2.84239566248726993243063805310, −2.50413341950248758511885792562, −2.38994095500178699802708786479, −1.80602670791522451365032186073, −1.68993962603653370866643721331, −1.52268485849087914547342268614, −1.13028142172654292726558837275, −1.04567829456314802887228887549, 0, 0, 0, 0, 0, 1.04567829456314802887228887549, 1.13028142172654292726558837275, 1.52268485849087914547342268614, 1.68993962603653370866643721331, 1.80602670791522451365032186073, 2.38994095500178699802708786479, 2.50413341950248758511885792562, 2.84239566248726993243063805310, 3.06866036778057119608547747518, 3.18742252002819197051770995664, 3.55481566980338597636693528662, 4.01793062972677848408440139230, 4.11639679509709360265947264357, 4.12126180136199491769560562534, 4.18823633949737669269353989387, 4.99113123236038868113440094887, 5.18295352248873449622415152215, 5.40258336100163876380919685000, 5.57406591898591413653151581390, 6.10993039473384596781949735028, 6.51222467212120350676700534268, 6.77467523663736608772413758489, 6.92630184088573804415546056816, 7.35523926064971191895496193846, 7.56863702071020436651264099025

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(36)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac12)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac{73}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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