LMFDB - L-function 10-3e5-1.1-c65e5-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 2.58e9·2^-s − 9.26e15·3^-s − 4.34e19·4^-s − 8.63e22·5^-s + 2.39e25·6^-s + 5.72e27·7^-s + 9.27e28·8^-s + 5.15e31·9^-s + 2.23e32·10^-s + 2.42e33·11^-s + 4.02e35·12^-s + 1.27e36·13^-s − 1.48e37·14^-s + 7.99e38·15^-s + 1.41e39·16^-s − 1.43e40·17^-s − 1.33e41·18^-s + 5.05e41·19^-s + 3.74e42·20^-s − 5.30e43·21^-s − 6.26e42·22^-s − 2.30e44·23^-s − 8.59e44·24^-s − 2.98e45·25^-s − 3.29e45·26^-s − 2.22e47·27^-s − 2.48e47·28^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.425·2^-s − 2.88·3^-s − 1.17·4^-s − 1.65·5^-s + 1.22·6^-s + 1.96·7^-s + 0.413·8^-s + 5·9^-s + 0.706·10^-s + 0.346·11^-s + 3.39·12^-s + 0.799·13^-s − 0.834·14^-s + 4.78·15^-s + 1.03·16^-s − 1.46·17^-s − 2.12·18^-s + 1.39·19^-s + 1.95·20^-s − 5.65·21^-s − 0.147·22^-s − 1.27·23^-s − 1.19·24^-s − 1.10·25^-s − 0.340·26^-s − 6.73·27^-s − 2.30·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 243 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(66-s) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 243 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+65/2)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$10$
Conductor:	$243$ = $3^{5}$
Sign:	$-1$
Analytic conductor:	$3.33282\times 10^{9}$
Root analytic conductor:	$8.95944$
Motivic weight:	$65$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$5$
Selberg data:	$(10,\ 243,\ (\ :65/2, 65/2, 65/2, 65/2, 65/2),\ -1)$

Particular Values

$L(33)$	$=$	$0$
$L(\frac12)$	$=$	$0$
$L(\frac{67}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
bad	3	$C_1$	$ ( 1 + p^{32} T )^{5} $
good	2	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 646632741 p^{2} T + 48926238133691845 p^{10} T^{2} + $$56\!\cdots\!17$$ p^{18} T^{3} + $$52\!\cdots\!07$$ p^{34} T^{4} + $$21\!\cdots\!21$$ p^{50} T^{5} + $$52\!\cdots\!07$$ p^{99} T^{6} + $$56\!\cdots\!17$$ p^{148} T^{7} + 48926238133691845 p^{205} T^{8} + 646632741 p^{262} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	5	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$86\!\cdots\!94$$ T + $$41\!\cdots\!89$$ p^{2} T^{2} + $$86\!\cdots\!88$$ p^{7} T^{3} + $$39\!\cdots\!22$$ p^{13} T^{4} + $$10\!\cdots\!48$$ p^{22} T^{5} + $$39\!\cdots\!22$$ p^{78} T^{6} + $$86\!\cdots\!88$$ p^{137} T^{7} + $$41\!\cdots\!89$$ p^{197} T^{8} + $$86\!\cdots\!94$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	7	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$11\!\cdots\!76$$ p^{2} T + $$22\!\cdots\!17$$ p^{5} T^{2} - $$70\!\cdots\!64$$ p^{11} T^{3} + $$24\!\cdots\!22$$ p^{17} T^{4} - $$11\!\cdots\!68$$ p^{25} T^{5} + $$24\!\cdots\!22$$ p^{82} T^{6} - $$70\!\cdots\!64$$ p^{141} T^{7} + $$22\!\cdots\!17$$ p^{200} T^{8} - $$11\!\cdots\!76$$ p^{262} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	11	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$22\!\cdots\!32$$ p T + $$57\!\cdots\!89$$ p^{3} T^{2} - $$43\!\cdots\!28$$ p^{5} T^{3} + $$29\!\cdots\!18$$ p^{7} T^{4} - $$13\!\cdots\!16$$ p^{10} T^{5} + $$29\!\cdots\!18$$ p^{72} T^{6} - $$43\!\cdots\!28$$ p^{135} T^{7} + $$57\!\cdots\!89$$ p^{198} T^{8} - $$22\!\cdots\!32$$ p^{261} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	13	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$98\!\cdots\!62$$ p T + $$18\!\cdots\!33$$ p^{3} T^{2} - $$19\!\cdots\!04$$ p^{5} T^{3} + $$17\!\cdots\!10$$ p^{7} T^{4} - $$12\!\cdots\!44$$ p^{10} T^{5} + $$17\!\cdots\!10$$ p^{72} T^{6} - $$19\!\cdots\!04$$ p^{135} T^{7} + $$18\!\cdots\!33$$ p^{198} T^{8} - $$98\!\cdots\!62$$ p^{261} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	17	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$14\!\cdots\!30$$ T + $$34\!\cdots\!05$$ T^{2} + $$15\!\cdots\!60$$ p T^{3} + $$80\!\cdots\!70$$ p^{3} T^{4} + $$15\!\cdots\!64$$ p^{5} T^{5} + $$80\!\cdots\!70$$ p^{68} T^{6} + $$15\!\cdots\!60$$ p^{131} T^{7} + $$34\!\cdots\!05$$ p^{195} T^{8} + $$14\!\cdots\!30$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	19	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$26\!\cdots\!88$$ p T + $$10\!\cdots\!37$$ p^{3} T^{2} - $$19\!\cdots\!96$$ p^{4} T^{3} + $$21\!\cdots\!54$$ p^{7} T^{4} - $$82\!\cdots\!24$$ p^{10} T^{5} + $$21\!\cdots\!54$$ p^{72} T^{6} - $$19\!\cdots\!96$$ p^{134} T^{7} + $$10\!\cdots\!37$$ p^{198} T^{8} - $$26\!\cdots\!88$$ p^{261} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	23	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$23\!\cdots\!68$$ T + $$94\!\cdots\!91$$ T^{2} + $$98\!\cdots\!12$$ p T^{3} + $$10\!\cdots\!86$$ p^{2} T^{4} + $$33\!\cdots\!92$$ p^{4} T^{5} + $$10\!\cdots\!86$$ p^{67} T^{6} + $$98\!\cdots\!12$$ p^{131} T^{7} + $$94\!\cdots\!91$$ p^{195} T^{8} + $$23\!\cdots\!68$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	29	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$65\!\cdots\!74$$ T + $$19\!\cdots\!13$$ p T^{2} - $$31\!\cdots\!16$$ p^{2} T^{3} + $$52\!\cdots\!66$$ p^{3} T^{4} - $$21\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{5} + $$52\!\cdots\!66$$ p^{68} T^{6} - $$31\!\cdots\!16$$ p^{132} T^{7} + $$19\!\cdots\!13$$ p^{196} T^{8} - $$65\!\cdots\!74$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	31	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$37\!\cdots\!24$$ p^{2} T + $$22\!\cdots\!39$$ p^{2} T^{2} - $$58\!\cdots\!36$$ p^{4} T^{3} + $$31\!\cdots\!22$$ p^{6} T^{4} - $$73\!\cdots\!24$$ p^{8} T^{5} + $$31\!\cdots\!22$$ p^{71} T^{6} - $$58\!\cdots\!36$$ p^{134} T^{7} + $$22\!\cdots\!39$$ p^{197} T^{8} - $$37\!\cdots\!24$$ p^{262} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	37	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$11\!\cdots\!26$$ T + $$40\!\cdots\!69$$ T^{2} + $$91\!\cdots\!04$$ p T^{3} + $$47\!\cdots\!66$$ p^{2} T^{4} + $$80\!\cdots\!08$$ p^{3} T^{5} + $$47\!\cdots\!66$$ p^{67} T^{6} + $$91\!\cdots\!04$$ p^{131} T^{7} + $$40\!\cdots\!69$$ p^{195} T^{8} + $$11\!\cdots\!26$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	41	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$31\!\cdots\!26$$ T + $$13\!\cdots\!89$$ T^{2} + $$60\!\cdots\!24$$ T^{3} + $$43\!\cdots\!82$$ p T^{4} + $$27\!\cdots\!16$$ p^{2} T^{5} + $$43\!\cdots\!82$$ p^{66} T^{6} + $$60\!\cdots\!24$$ p^{130} T^{7} + $$13\!\cdots\!89$$ p^{195} T^{8} + $$31\!\cdots\!26$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	43	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$33\!\cdots\!84$$ T + $$18\!\cdots\!81$$ p T^{2} - $$70\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{3} + $$23\!\cdots\!74$$ p^{3} T^{4} - $$67\!\cdots\!32$$ p^{4} T^{5} + $$23\!\cdots\!74$$ p^{68} T^{6} - $$70\!\cdots\!40$$ p^{132} T^{7} + $$18\!\cdots\!81$$ p^{196} T^{8} - $$33\!\cdots\!84$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	47	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$47\!\cdots\!52$$ T + $$15\!\cdots\!87$$ T^{2} + $$83\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{3} - $$54\!\cdots\!38$$ p^{2} T^{4} - $$10\!\cdots\!48$$ p^{3} T^{5} - $$54\!\cdots\!38$$ p^{67} T^{6} + $$83\!\cdots\!40$$ p^{132} T^{7} + $$15\!\cdots\!87$$ p^{195} T^{8} + $$47\!\cdots\!52$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	53	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$17\!\cdots\!38$$ T + $$43\!\cdots\!41$$ T^{2} + $$69\!\cdots\!32$$ p T^{3} + $$20\!\cdots\!66$$ p^{2} T^{4} + $$23\!\cdots\!16$$ p^{3} T^{5} + $$20\!\cdots\!66$$ p^{67} T^{6} + $$69\!\cdots\!32$$ p^{131} T^{7} + $$43\!\cdots\!41$$ p^{195} T^{8} + $$17\!\cdots\!38$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	59	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$47\!\cdots\!52$$ T + $$90\!\cdots\!17$$ p T^{2} + $$64\!\cdots\!36$$ p^{2} T^{3} + $$60\!\cdots\!94$$ p^{3} T^{4} + $$34\!\cdots\!24$$ p^{4} T^{5} + $$60\!\cdots\!94$$ p^{68} T^{6} + $$64\!\cdots\!36$$ p^{132} T^{7} + $$90\!\cdots\!17$$ p^{196} T^{8} + $$47\!\cdots\!52$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	61	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$27\!\cdots\!78$$ p T + $$12\!\cdots\!37$$ p^{2} T^{2} - $$28\!\cdots\!68$$ p^{3} T^{3} + $$71\!\cdots\!42$$ p^{4} T^{4} - $$11\!\cdots\!68$$ p^{5} T^{5} + $$71\!\cdots\!42$$ p^{69} T^{6} - $$28\!\cdots\!68$$ p^{133} T^{7} + $$12\!\cdots\!37$$ p^{197} T^{8} - $$27\!\cdots\!78$$ p^{261} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	67	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$15\!\cdots\!40$$ T + $$10\!\cdots\!75$$ T^{2} + $$19\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$72\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$10\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$72\!\cdots\!10$$ p^{65} T^{6} + $$19\!\cdots\!40$$ p^{130} T^{7} + $$10\!\cdots\!75$$ p^{195} T^{8} + $$15\!\cdots\!40$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	71	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$20\!\cdots\!40$$ T + $$40\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$81\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$19\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!10$$ p^{65} T^{6} + $$81\!\cdots\!80$$ p^{130} T^{7} + $$40\!\cdots\!95$$ p^{195} T^{8} + $$20\!\cdots\!40$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	73	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$16\!\cdots\!78$$ T + $$17\!\cdots\!01$$ T^{2} + $$69\!\cdots\!76$$ T^{3} + $$41\!\cdots\!34$$ T^{4} + $$52\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$41\!\cdots\!34$$ p^{65} T^{6} + $$69\!\cdots\!76$$ p^{130} T^{7} + $$17\!\cdots\!01$$ p^{195} T^{8} + $$16\!\cdots\!78$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	79	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$16\!\cdots\!20$$ T + $$16\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$12\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$78\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$39\!\cdots\!20$$ T^{5} + $$78\!\cdots\!10$$ p^{65} T^{6} + $$12\!\cdots\!20$$ p^{130} T^{7} + $$16\!\cdots\!95$$ p^{195} T^{8} + $$16\!\cdots\!20$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	83	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$58\!\cdots\!52$$ T + $$30\!\cdots\!15$$ T^{2} + $$11\!\cdots\!36$$ T^{3} + $$34\!\cdots\!78$$ T^{4} + $$86\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$34\!\cdots\!78$$ p^{65} T^{6} + $$11\!\cdots\!36$$ p^{130} T^{7} + $$30\!\cdots\!15$$ p^{195} T^{8} + $$58\!\cdots\!52$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	89	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$10\!\cdots\!78$$ T + $$69\!\cdots\!53$$ T^{2} + $$33\!\cdots\!16$$ p T^{3} + $$98\!\cdots\!66$$ T^{4} + $$24\!\cdots\!96$$ T^{5} + $$98\!\cdots\!66$$ p^{65} T^{6} + $$33\!\cdots\!16$$ p^{131} T^{7} + $$69\!\cdots\!53$$ p^{195} T^{8} + $$10\!\cdots\!78$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	97	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$32\!\cdots\!90$$ T + $$40\!\cdots\!65$$ T^{2} - $$65\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$62\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$56\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$62\!\cdots\!10$$ p^{65} T^{6} - $$65\!\cdots\!20$$ p^{130} T^{7} + $$40\!\cdots\!65$$ p^{195} T^{8} - $$32\!\cdots\!90$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−7.56655736998308516064670347245, −7.48840505745854238192215495105, −7.30212408325991630053385012421, −6.64151240997474762788661169730, −6.55396388932621647879139635009, −6.29496787858887398854104060226, −5.75387912734677288858999162959, −5.73267531395902614912432727320, −5.52533743881252544852735623552, −5.08401129906699102530212650985, −4.66222954239197466906773832953, −4.60684745742435164537513751002, −4.31879997426977746929217943946, −4.28140543960326410562519323116, −4.24778429472003558914529476965, −3.48159308895923988403890001035, −3.26294550638583143510233387885, −3.20733376932998129898862988440, −2.39566964893720993662143028531, −1.99609422851972905573255207475, −1.81319116593979706001177169350, −1.21878074842749849874325834814, −1.21127922359197061698185647251, −1.16470017988415484517983934825, −0.965107229438343433634859381188, 0, 0, 0, 0, 0, 0.965107229438343433634859381188, 1.16470017988415484517983934825, 1.21127922359197061698185647251, 1.21878074842749849874325834814, 1.81319116593979706001177169350, 1.99609422851972905573255207475, 2.39566964893720993662143028531, 3.20733376932998129898862988440, 3.26294550638583143510233387885, 3.48159308895923988403890001035, 4.24778429472003558914529476965, 4.28140543960326410562519323116, 4.31879997426977746929217943946, 4.60684745742435164537513751002, 4.66222954239197466906773832953, 5.08401129906699102530212650985, 5.52533743881252544852735623552, 5.73267531395902614912432727320, 5.75387912734677288858999162959, 6.29496787858887398854104060226, 6.55396388932621647879139635009, 6.64151240997474762788661169730, 7.30212408325991630053385012421, 7.48840505745854238192215495105, 7.56655736998308516064670347245

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(33)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac12)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac{67}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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