# Properties

 Degree $6$ Conductor $27$ Sign $-1$ Motivic weight $43$ Primitive no Self-dual yes Analytic rank $3$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 4.85e6·2-s + 3.13e10·3-s − 2.28e12·4-s − 5.07e14·5-s + 1.52e17·6-s − 1.63e18·7-s − 5.98e19·8-s + 6.56e20·9-s − 2.46e21·10-s − 2.77e22·11-s − 7.18e22·12-s − 9.94e23·13-s − 7.93e24·14-s − 1.59e25·15-s − 8.49e25·16-s − 1.60e26·17-s + 3.18e27·18-s − 3.22e27·19-s + 1.16e27·20-s − 5.12e28·21-s − 1.34e29·22-s + 1.14e29·23-s − 1.87e30·24-s − 6.63e29·25-s − 4.83e30·26-s + 1.14e31·27-s + 3.73e30·28-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 1.63·2-s + 1.73·3-s − 0.260·4-s − 0.476·5-s + 2.83·6-s − 1.10·7-s − 2.29·8-s + 2·9-s − 0.779·10-s − 1.13·11-s − 0.450·12-s − 1.11·13-s − 1.80·14-s − 0.824·15-s − 1.09·16-s − 0.563·17-s + 3.27·18-s − 1.03·19-s + 0.123·20-s − 1.91·21-s − 1.85·22-s + 0.606·23-s − 3.97·24-s − 0.583·25-s − 1.82·26-s + 1.92·27-s + 0.287·28-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 27 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(44-s) \end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 27 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+43/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(1-s) \end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$6$$ Conductor: $$27$$    =    $$3^{3}$$ Sign: $-1$ Motivic weight: $$43$$ Character: induced by $\chi_{3} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$3$$ Selberg data: $$(6,\ 27,\ (\ :43/2, 43/2, 43/2),\ -1)$$

## Particular Values

 $$L(22)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{45}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad3$C_1$ $$( 1 - p^{21} T )^{3}$$
good2$S_4\times C_2$ $$1 - 75891 p^{6} T + 25273446891 p^{10} T^{2} - 18357626592849 p^{22} T^{3} + 25273446891 p^{53} T^{4} - 75891 p^{92} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
5$S_4\times C_2$ $$1 + 101550664221054 p T +$$$$14\!\cdots\!51$$$$p^{4} T^{2} -$$$$76\!\cdots\!76$$$$p^{10} T^{3} +$$$$14\!\cdots\!51$$$$p^{47} T^{4} + 101550664221054 p^{87} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
7$S_4\times C_2$ $$1 + 233309900529584184 p T +$$$$16\!\cdots\!85$$$$p^{4} T^{2} +$$$$49\!\cdots\!36$$$$p^{7} T^{3} +$$$$16\!\cdots\!85$$$$p^{47} T^{4} + 233309900529584184 p^{87} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
11$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$25\!\cdots\!20$$$$p T +$$$$10\!\cdots\!41$$$$p^{2} T^{2} +$$$$25\!\cdots\!36$$$$p^{3} T^{3} +$$$$10\!\cdots\!41$$$$p^{45} T^{4} +$$$$25\!\cdots\!20$$$$p^{87} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
13$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$76\!\cdots\!50$$$$p T +$$$$80\!\cdots\!47$$$$p^{3} T^{2} +$$$$24\!\cdots\!84$$$$p^{6} T^{3} +$$$$80\!\cdots\!47$$$$p^{46} T^{4} +$$$$76\!\cdots\!50$$$$p^{87} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
17$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$94\!\cdots\!46$$$$p T +$$$$42\!\cdots\!23$$$$p^{2} T^{2} +$$$$55\!\cdots\!96$$$$p^{4} T^{3} +$$$$42\!\cdots\!23$$$$p^{45} T^{4} +$$$$94\!\cdots\!46$$$$p^{87} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
19$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$16\!\cdots\!56$$$$p T +$$$$67\!\cdots\!17$$$$p^{2} T^{2} +$$$$39\!\cdots\!12$$$$p^{4} T^{3} +$$$$67\!\cdots\!17$$$$p^{45} T^{4} +$$$$16\!\cdots\!56$$$$p^{87} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
23$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$11\!\cdots\!04$$$$T +$$$$79\!\cdots\!65$$$$T^{2} -$$$$37\!\cdots\!72$$$$p T^{3} +$$$$79\!\cdots\!65$$$$p^{43} T^{4} -$$$$11\!\cdots\!04$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
29$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$28\!\cdots\!58$$$$T +$$$$20\!\cdots\!63$$$$p T^{2} -$$$$75\!\cdots\!36$$$$p^{2} T^{3} +$$$$20\!\cdots\!63$$$$p^{44} T^{4} +$$$$28\!\cdots\!58$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
31$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$56\!\cdots\!36$$$$T +$$$$88\!\cdots\!87$$$$p T^{2} +$$$$33\!\cdots\!32$$$$p^{2} T^{3} +$$$$88\!\cdots\!87$$$$p^{44} T^{4} +$$$$56\!\cdots\!36$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
37$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$21\!\cdots\!94$$$$p T +$$$$12\!\cdots\!75$$$$p^{3} T^{2} +$$$$80\!\cdots\!16$$$$p^{3} T^{3} +$$$$12\!\cdots\!75$$$$p^{46} T^{4} +$$$$21\!\cdots\!94$$$$p^{87} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
41$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$36\!\cdots\!26$$$$p T +$$$$84\!\cdots\!47$$$$p^{2} T^{2} +$$$$11\!\cdots\!72$$$$p^{3} T^{3} +$$$$84\!\cdots\!47$$$$p^{45} T^{4} +$$$$36\!\cdots\!26$$$$p^{87} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
43$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$50\!\cdots\!88$$$$T +$$$$13\!\cdots\!17$$$$T^{2} +$$$$21\!\cdots\!80$$$$T^{3} +$$$$13\!\cdots\!17$$$$p^{43} T^{4} +$$$$50\!\cdots\!88$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
47$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$51\!\cdots\!36$$$$T +$$$$63\!\cdots\!93$$$$T^{2} -$$$$14\!\cdots\!20$$$$T^{3} +$$$$63\!\cdots\!93$$$$p^{43} T^{4} -$$$$51\!\cdots\!36$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
53$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$31\!\cdots\!34$$$$T +$$$$11\!\cdots\!15$$$$T^{2} -$$$$18\!\cdots\!76$$$$T^{3} +$$$$11\!\cdots\!15$$$$p^{43} T^{4} -$$$$31\!\cdots\!34$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
59$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$17\!\cdots\!76$$$$T +$$$$51\!\cdots\!17$$$$T^{2} +$$$$51\!\cdots\!08$$$$T^{3} +$$$$51\!\cdots\!17$$$$p^{43} T^{4} +$$$$17\!\cdots\!76$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
61$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$12\!\cdots\!18$$$$T +$$$$74\!\cdots\!59$$$$T^{2} +$$$$22\!\cdots\!04$$$$T^{3} +$$$$74\!\cdots\!59$$$$p^{43} T^{4} +$$$$12\!\cdots\!18$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
67$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$12\!\cdots\!48$$$$T +$$$$60\!\cdots\!57$$$$T^{2} -$$$$84\!\cdots\!44$$$$T^{3} +$$$$60\!\cdots\!57$$$$p^{43} T^{4} -$$$$12\!\cdots\!48$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
71$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$22\!\cdots\!16$$$$T +$$$$28\!\cdots\!85$$$$T^{2} -$$$$21\!\cdots\!00$$$$T^{3} +$$$$28\!\cdots\!85$$$$p^{43} T^{4} -$$$$22\!\cdots\!16$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
73$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$31\!\cdots\!54$$$$T +$$$$67\!\cdots\!75$$$$T^{2} -$$$$89\!\cdots\!76$$$$T^{3} +$$$$67\!\cdots\!75$$$$p^{43} T^{4} -$$$$31\!\cdots\!54$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
79$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$43\!\cdots\!80$$$$T +$$$$13\!\cdots\!23$$$$p T^{2} +$$$$34\!\cdots\!40$$$$T^{3} +$$$$13\!\cdots\!23$$$$p^{44} T^{4} +$$$$43\!\cdots\!80$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
83$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$89\!\cdots\!68$$$$T +$$$$32\!\cdots\!21$$$$T^{2} -$$$$24\!\cdots\!88$$$$T^{3} +$$$$32\!\cdots\!21$$$$p^{43} T^{4} -$$$$89\!\cdots\!68$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
89$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$65\!\cdots\!06$$$$T +$$$$14\!\cdots\!07$$$$T^{2} +$$$$34\!\cdots\!72$$$$T^{3} +$$$$14\!\cdots\!07$$$$p^{43} T^{4} -$$$$65\!\cdots\!06$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
97$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$61\!\cdots\!78$$$$T +$$$$84\!\cdots\!47$$$$T^{2} -$$$$32\!\cdots\!64$$$$T^{3} +$$$$84\!\cdots\!47$$$$p^{43} T^{4} -$$$$61\!\cdots\!78$$$$p^{86} T^{5} + p^{129} T^{6}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$