Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 10·3-s − 4·4-s + 3·7-s − 4·8-s + 45·9-s − 8·11-s + 40·12-s − 5·13-s + 2·16-s + 7·19-s − 30·21-s + 28·23-s + 40·24-s + 9·25-s − 110·27-s − 12·28-s − 9·29-s − 9·31-s + 14·32-s + 80·33-s − 180·36-s − 36·37-s + 50·39-s − 41-s − 11·43-s + 32·44-s + 13·47-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 5.77·3-s − 2·4-s + 1.13·7-s − 1.41·8-s + 15·9-s − 2.41·11-s + 11.5·12-s − 1.38·13-s + 1/2·16-s + 1.60·19-s − 6.54·21-s + 5.83·23-s + 8.16·24-s + 9/5·25-s − 21.1·27-s − 2.26·28-s − 1.67·29-s − 1.61·31-s + 2.47·32-s + 13.9·33-s − 30·36-s − 5.91·37-s + 8.00·39-s − 0.156·41-s − 1.67·43-s + 4.82·44-s + 1.89·47-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{20} \cdot 7^{20} \cdot 13^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{20} \cdot 7^{20} \cdot 13^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(40\) |
| Conductor: | \(3^{20} \cdot 7^{20} \cdot 13^{20}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(5.87212\times 10^{6}\) |
| Root analytic conductor: | \(1.47645\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((40,\ 3^{20} \cdot 7^{20} \cdot 13^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(0.01365988086\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.01365988086\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 + T + T^{2} )^{10} \) |
| 7 | \( 1 - 3 T + 6 T^{2} - 33 T^{3} + 128 T^{4} - 369 T^{5} + 25 p^{2} T^{6} - 3651 T^{7} + 8665 T^{8} - 27480 T^{9} + 96809 T^{10} - 27480 p T^{11} + 8665 p^{2} T^{12} - 3651 p^{3} T^{13} + 25 p^{6} T^{14} - 369 p^{5} T^{15} + 128 p^{6} T^{16} - 33 p^{7} T^{17} + 6 p^{8} T^{18} - 3 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} \) | |
| 13 | \( 1 + 5 T - 17 T^{2} - 115 T^{3} - 8 p T^{4} - 49 T^{5} + 1772 T^{6} + 10201 T^{7} - 33490 T^{8} - 14374 T^{9} + 958780 T^{10} - 14374 p T^{11} - 33490 p^{2} T^{12} + 10201 p^{3} T^{13} + 1772 p^{4} T^{14} - 49 p^{5} T^{15} - 8 p^{7} T^{16} - 115 p^{7} T^{17} - 17 p^{8} T^{18} + 5 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} \) | |
| good | 2 | \( ( 1 + p T^{2} + p T^{3} + 5 T^{4} + 5 T^{5} + 5 p T^{6} + 7 p T^{7} + 27 T^{8} + 15 T^{9} + 71 T^{10} + 15 p T^{11} + 27 p^{2} T^{12} + 7 p^{4} T^{13} + 5 p^{5} T^{14} + 5 p^{5} T^{15} + 5 p^{6} T^{16} + p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} + p^{10} T^{20} )^{2} \) |
| 5 | \( 1 - 9 T^{2} - 6 T^{3} + 12 T^{4} + p T^{5} + 166 T^{6} + 789 T^{7} - 137 p T^{8} - 5348 T^{9} - 3479 T^{10} - 6003 T^{11} + 11856 T^{12} + 189089 T^{13} + 328968 T^{14} - 547923 T^{15} - 1804407 T^{16} - 2446754 T^{17} - 4860757 T^{18} + 2343639 p T^{19} + 68437244 T^{20} + 2343639 p^{2} T^{21} - 4860757 p^{2} T^{22} - 2446754 p^{3} T^{23} - 1804407 p^{4} T^{24} - 547923 p^{5} T^{25} + 328968 p^{6} T^{26} + 189089 p^{7} T^{27} + 11856 p^{8} T^{28} - 6003 p^{9} T^{29} - 3479 p^{10} T^{30} - 5348 p^{11} T^{31} - 137 p^{13} T^{32} + 789 p^{13} T^{33} + 166 p^{14} T^{34} + p^{16} T^{35} + 12 p^{16} T^{36} - 6 p^{17} T^{37} - 9 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 11 | \( 1 + 8 T - 29 T^{2} - 338 T^{3} + 678 T^{4} + 783 p T^{5} - 12592 T^{6} - 135951 T^{7} + 281594 T^{8} + 1499394 T^{9} - 5003859 T^{10} - 7561948 T^{11} + 68690187 T^{12} - 63525329 T^{13} - 518733068 T^{14} + 2252708683 T^{15} - 92815733 T^{16} - 26221646279 T^{17} + 76217771473 T^{18} + 133701688647 T^{19} - 1137344774903 T^{20} + 133701688647 p T^{21} + 76217771473 p^{2} T^{22} - 26221646279 p^{3} T^{23} - 92815733 p^{4} T^{24} + 2252708683 p^{5} T^{25} - 518733068 p^{6} T^{26} - 63525329 p^{7} T^{27} + 68690187 p^{8} T^{28} - 7561948 p^{9} T^{29} - 5003859 p^{10} T^{30} + 1499394 p^{11} T^{31} + 281594 p^{12} T^{32} - 135951 p^{13} T^{33} - 12592 p^{14} T^{34} + 783 p^{16} T^{35} + 678 p^{16} T^{36} - 338 p^{17} T^{37} - 29 p^{18} T^{38} + 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 17 | \( ( 1 + 4 p T^{2} + 46 T^{3} + 2684 T^{4} + 3420 T^{5} + 4425 p T^{6} + 134358 T^{7} + 1647792 T^{8} + 3340532 T^{9} + 30417524 T^{10} + 3340532 p T^{11} + 1647792 p^{2} T^{12} + 134358 p^{3} T^{13} + 4425 p^{5} T^{14} + 3420 p^{5} T^{15} + 2684 p^{6} T^{16} + 46 p^{7} T^{17} + 4 p^{9} T^{18} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 19 | \( 1 - 7 T - 4 p T^{2} + 869 T^{3} + 1154 T^{4} - 2291 p T^{5} + 84654 T^{6} + 1111438 T^{7} - 4725969 T^{8} - 13638917 T^{9} + 104481797 T^{10} + 22482653 T^{11} - 1048041032 T^{12} + 1548839500 T^{13} - 3255415463 T^{14} - 42540318548 T^{15} + 470573330927 T^{16} + 1167533217522 T^{17} - 17745009702853 T^{18} - 12486540190879 T^{19} + 425907563893296 T^{20} - 12486540190879 p T^{21} - 17745009702853 p^{2} T^{22} + 1167533217522 p^{3} T^{23} + 470573330927 p^{4} T^{24} - 42540318548 p^{5} T^{25} - 3255415463 p^{6} T^{26} + 1548839500 p^{7} T^{27} - 1048041032 p^{8} T^{28} + 22482653 p^{9} T^{29} + 104481797 p^{10} T^{30} - 13638917 p^{11} T^{31} - 4725969 p^{12} T^{32} + 1111438 p^{13} T^{33} + 84654 p^{14} T^{34} - 2291 p^{16} T^{35} + 1154 p^{16} T^{36} + 869 p^{17} T^{37} - 4 p^{19} T^{38} - 7 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 23 | \( ( 1 - 14 T + 178 T^{2} - 1604 T^{3} + 13129 T^{4} - 91757 T^{5} + 599528 T^{6} - 3563352 T^{7} + 20019509 T^{8} - 104652141 T^{9} + 519483490 T^{10} - 104652141 p T^{11} + 20019509 p^{2} T^{12} - 3563352 p^{3} T^{13} + 599528 p^{4} T^{14} - 91757 p^{5} T^{15} + 13129 p^{6} T^{16} - 1604 p^{7} T^{17} + 178 p^{8} T^{18} - 14 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 29 | \( 1 + 9 T - 100 T^{2} - 1387 T^{3} + 2356 T^{4} + 90963 T^{5} + 210036 T^{6} - 2694980 T^{7} - 17107837 T^{8} - 13618045 T^{9} + 352486839 T^{10} + 3623006577 T^{11} + 15346184256 T^{12} - 72555099410 T^{13} - 1137470365377 T^{14} - 3188798609396 T^{15} + 23664886095009 T^{16} + 202510875659604 T^{17} + 315853550313135 T^{18} - 3132395374401799 T^{19} - 25691344270711484 T^{20} - 3132395374401799 p T^{21} + 315853550313135 p^{2} T^{22} + 202510875659604 p^{3} T^{23} + 23664886095009 p^{4} T^{24} - 3188798609396 p^{5} T^{25} - 1137470365377 p^{6} T^{26} - 72555099410 p^{7} T^{27} + 15346184256 p^{8} T^{28} + 3623006577 p^{9} T^{29} + 352486839 p^{10} T^{30} - 13618045 p^{11} T^{31} - 17107837 p^{12} T^{32} - 2694980 p^{13} T^{33} + 210036 p^{14} T^{34} + 90963 p^{15} T^{35} + 2356 p^{16} T^{36} - 1387 p^{17} T^{37} - 100 p^{18} T^{38} + 9 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 31 | \( 1 + 9 T - 106 T^{2} - 901 T^{3} + 7139 T^{4} + 45072 T^{5} - 330238 T^{6} - 1222319 T^{7} + 10310318 T^{8} + 10182907 T^{9} - 230064352 T^{10} + 294670180 T^{11} + 5241517140 T^{12} - 689532689 T^{13} - 196999775593 T^{14} - 554388553643 T^{15} + 7947217756626 T^{16} + 22690636411692 T^{17} - 234298563831916 T^{18} - 306931272323998 T^{19} + 6496017365653066 T^{20} - 306931272323998 p T^{21} - 234298563831916 p^{2} T^{22} + 22690636411692 p^{3} T^{23} + 7947217756626 p^{4} T^{24} - 554388553643 p^{5} T^{25} - 196999775593 p^{6} T^{26} - 689532689 p^{7} T^{27} + 5241517140 p^{8} T^{28} + 294670180 p^{9} T^{29} - 230064352 p^{10} T^{30} + 10182907 p^{11} T^{31} + 10310318 p^{12} T^{32} - 1222319 p^{13} T^{33} - 330238 p^{14} T^{34} + 45072 p^{15} T^{35} + 7139 p^{16} T^{36} - 901 p^{17} T^{37} - 106 p^{18} T^{38} + 9 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 37 | \( ( 1 + 18 T + 400 T^{2} + 5099 T^{3} + 67358 T^{4} + 18079 p T^{5} + 6587583 T^{6} + 53308910 T^{7} + 422143659 T^{8} + 2842996902 T^{9} + 18664974511 T^{10} + 2842996902 p T^{11} + 422143659 p^{2} T^{12} + 53308910 p^{3} T^{13} + 6587583 p^{4} T^{14} + 18079 p^{6} T^{15} + 67358 p^{6} T^{16} + 5099 p^{7} T^{17} + 400 p^{8} T^{18} + 18 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 41 | \( 1 + T - 5 p T^{2} - 818 T^{3} + 22903 T^{4} + 137257 T^{5} - 1380217 T^{6} - 13362815 T^{7} + 32377752 T^{8} + 739322050 T^{9} + 2475168072 T^{10} - 17049063265 T^{11} - 276652568671 T^{12} - 1033348936759 T^{13} + 12432419682852 T^{14} + 118984542176972 T^{15} - 113843053966859 T^{16} - 5624676554252308 T^{17} - 18490414019459605 T^{18} + 100411587474189505 T^{19} + 1235225838089138730 T^{20} + 100411587474189505 p T^{21} - 18490414019459605 p^{2} T^{22} - 5624676554252308 p^{3} T^{23} - 113843053966859 p^{4} T^{24} + 118984542176972 p^{5} T^{25} + 12432419682852 p^{6} T^{26} - 1033348936759 p^{7} T^{27} - 276652568671 p^{8} T^{28} - 17049063265 p^{9} T^{29} + 2475168072 p^{10} T^{30} + 739322050 p^{11} T^{31} + 32377752 p^{12} T^{32} - 13362815 p^{13} T^{33} - 1380217 p^{14} T^{34} + 137257 p^{15} T^{35} + 22903 p^{16} T^{36} - 818 p^{17} T^{37} - 5 p^{19} T^{38} + p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 43 | \( 1 + 11 T - 92 T^{2} - 1623 T^{3} - 2704 T^{4} + 55147 T^{5} + 401781 T^{6} + 2051884 T^{7} + 11066521 T^{8} - 62141157 T^{9} - 1765645310 T^{10} - 9381843549 T^{11} + 24603966506 T^{12} + 419394259606 T^{13} + 1438118748732 T^{14} + 2641559956354 T^{15} + 6090882188761 T^{16} - 349244499206024 T^{17} - 3994515604568107 T^{18} + 3471136120344649 T^{19} + 197740321325279278 T^{20} + 3471136120344649 p T^{21} - 3994515604568107 p^{2} T^{22} - 349244499206024 p^{3} T^{23} + 6090882188761 p^{4} T^{24} + 2641559956354 p^{5} T^{25} + 1438118748732 p^{6} T^{26} + 419394259606 p^{7} T^{27} + 24603966506 p^{8} T^{28} - 9381843549 p^{9} T^{29} - 1765645310 p^{10} T^{30} - 62141157 p^{11} T^{31} + 11066521 p^{12} T^{32} + 2051884 p^{13} T^{33} + 401781 p^{14} T^{34} + 55147 p^{15} T^{35} - 2704 p^{16} T^{36} - 1623 p^{17} T^{37} - 92 p^{18} T^{38} + 11 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 47 | \( 1 - 13 T - 200 T^{2} + 2193 T^{3} + 32640 T^{4} - 219798 T^{5} - 3660384 T^{6} + 12090593 T^{7} + 306590967 T^{8} - 276720455 T^{9} - 19232344326 T^{10} - 10831181730 T^{11} + 971356699021 T^{12} + 865620671447 T^{13} - 46018111622371 T^{14} + 293361404065 T^{15} + 2478589457001112 T^{16} - 2112997507574892 T^{17} - 143940126804762720 T^{18} + 61401321757935152 T^{19} + 7461499843065866760 T^{20} + 61401321757935152 p T^{21} - 143940126804762720 p^{2} T^{22} - 2112997507574892 p^{3} T^{23} + 2478589457001112 p^{4} T^{24} + 293361404065 p^{5} T^{25} - 46018111622371 p^{6} T^{26} + 865620671447 p^{7} T^{27} + 971356699021 p^{8} T^{28} - 10831181730 p^{9} T^{29} - 19232344326 p^{10} T^{30} - 276720455 p^{11} T^{31} + 306590967 p^{12} T^{32} + 12090593 p^{13} T^{33} - 3660384 p^{14} T^{34} - 219798 p^{15} T^{35} + 32640 p^{16} T^{36} + 2193 p^{17} T^{37} - 200 p^{18} T^{38} - 13 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 53 | \( 1 + 6 T - 320 T^{2} - 1140 T^{3} + 57435 T^{4} + 77811 T^{5} - 7112242 T^{6} + 3859978 T^{7} + 666285230 T^{8} - 1449984877 T^{9} - 49733747483 T^{10} + 178675720591 T^{11} + 3050961152475 T^{12} - 14603134181843 T^{13} - 156394024281417 T^{14} + 876863955899249 T^{15} + 6817020990959855 T^{16} - 37275682894296570 T^{17} - 271661382495958425 T^{18} + 758822681180172515 T^{19} + 12320924123213447574 T^{20} + 758822681180172515 p T^{21} - 271661382495958425 p^{2} T^{22} - 37275682894296570 p^{3} T^{23} + 6817020990959855 p^{4} T^{24} + 876863955899249 p^{5} T^{25} - 156394024281417 p^{6} T^{26} - 14603134181843 p^{7} T^{27} + 3050961152475 p^{8} T^{28} + 178675720591 p^{9} T^{29} - 49733747483 p^{10} T^{30} - 1449984877 p^{11} T^{31} + 666285230 p^{12} T^{32} + 3859978 p^{13} T^{33} - 7112242 p^{14} T^{34} + 77811 p^{15} T^{35} + 57435 p^{16} T^{36} - 1140 p^{17} T^{37} - 320 p^{18} T^{38} + 6 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 59 | \( ( 1 - 15 T + 308 T^{2} - 3770 T^{3} + 47090 T^{4} - 441150 T^{5} + 4209561 T^{6} - 32767851 T^{7} + 262336602 T^{8} - 1866605440 T^{9} + 14953859288 T^{10} - 1866605440 p T^{11} + 262336602 p^{2} T^{12} - 32767851 p^{3} T^{13} + 4209561 p^{4} T^{14} - 441150 p^{5} T^{15} + 47090 p^{6} T^{16} - 3770 p^{7} T^{17} + 308 p^{8} T^{18} - 15 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 61 | \( 1 - 302 T^{2} + 390 T^{3} + 39938 T^{4} - 103911 T^{5} - 3389805 T^{6} + 11578196 T^{7} + 265721563 T^{8} - 691851696 T^{9} - 22508825619 T^{10} + 25986737851 T^{11} + 1810882760603 T^{12} - 1186164751900 T^{13} - 134846206712207 T^{14} + 112035864746878 T^{15} + 9296147342818212 T^{16} - 8551579103027740 T^{17} - 566847231045263698 T^{18} + 254244892373902892 T^{19} + 33320795289168552612 T^{20} + 254244892373902892 p T^{21} - 566847231045263698 p^{2} T^{22} - 8551579103027740 p^{3} T^{23} + 9296147342818212 p^{4} T^{24} + 112035864746878 p^{5} T^{25} - 134846206712207 p^{6} T^{26} - 1186164751900 p^{7} T^{27} + 1810882760603 p^{8} T^{28} + 25986737851 p^{9} T^{29} - 22508825619 p^{10} T^{30} - 691851696 p^{11} T^{31} + 265721563 p^{12} T^{32} + 11578196 p^{13} T^{33} - 3389805 p^{14} T^{34} - 103911 p^{15} T^{35} + 39938 p^{16} T^{36} + 390 p^{17} T^{37} - 302 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 67 | \( 1 + 22 T - 175 T^{2} - 4764 T^{3} + 57338 T^{4} + 871063 T^{5} - 10366032 T^{6} - 77725979 T^{7} + 1690470198 T^{8} + 3728044910 T^{9} - 182761539015 T^{10} + 439105560610 T^{11} + 15361871885067 T^{12} - 92171339696063 T^{13} - 734921608396054 T^{14} + 10189212914029713 T^{15} + 6524852351453575 T^{16} - 620471056633156775 T^{17} + 3250936170559726149 T^{18} + 18678146398457746835 T^{19} - \)\(30\!\cdots\!79\)\( T^{20} + 18678146398457746835 p T^{21} + 3250936170559726149 p^{2} T^{22} - 620471056633156775 p^{3} T^{23} + 6524852351453575 p^{4} T^{24} + 10189212914029713 p^{5} T^{25} - 734921608396054 p^{6} T^{26} - 92171339696063 p^{7} T^{27} + 15361871885067 p^{8} T^{28} + 439105560610 p^{9} T^{29} - 182761539015 p^{10} T^{30} + 3728044910 p^{11} T^{31} + 1690470198 p^{12} T^{32} - 77725979 p^{13} T^{33} - 10366032 p^{14} T^{34} + 871063 p^{15} T^{35} + 57338 p^{16} T^{36} - 4764 p^{17} T^{37} - 175 p^{18} T^{38} + 22 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 71 | \( 1 + 11 T - 336 T^{2} - 1613 T^{3} + 88934 T^{4} + 24501 T^{5} - 14606190 T^{6} + 58732250 T^{7} + 24207211 p T^{8} - 14111104721 T^{9} - 130056412219 T^{10} + 2030359296853 T^{11} + 3994798793372 T^{12} - 206713013125712 T^{13} + 524957040012051 T^{14} + 15650032839021200 T^{15} - 108102329307190913 T^{16} - 851506023429968328 T^{17} + 11655294453045536695 T^{18} + 22311133728152643389 T^{19} - \)\(93\!\cdots\!96\)\( T^{20} + 22311133728152643389 p T^{21} + 11655294453045536695 p^{2} T^{22} - 851506023429968328 p^{3} T^{23} - 108102329307190913 p^{4} T^{24} + 15650032839021200 p^{5} T^{25} + 524957040012051 p^{6} T^{26} - 206713013125712 p^{7} T^{27} + 3994798793372 p^{8} T^{28} + 2030359296853 p^{9} T^{29} - 130056412219 p^{10} T^{30} - 14111104721 p^{11} T^{31} + 24207211 p^{13} T^{32} + 58732250 p^{13} T^{33} - 14606190 p^{14} T^{34} + 24501 p^{15} T^{35} + 88934 p^{16} T^{36} - 1613 p^{17} T^{37} - 336 p^{18} T^{38} + 11 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 73 | \( 1 - 332 T^{2} + 764 T^{3} + 62859 T^{4} - 234374 T^{5} - 8261698 T^{6} + 39870450 T^{7} + 828134478 T^{8} - 4523135258 T^{9} - 67388394732 T^{10} + 365849965752 T^{11} + 4804853456804 T^{12} - 21347113761790 T^{13} - 331059974497750 T^{14} + 845715330295198 T^{15} + 23989214943916450 T^{16} - 18621848547326450 T^{17} - 1808886939441047236 T^{18} + 161639867594122444 T^{19} + \)\(13\!\cdots\!96\)\( T^{20} + 161639867594122444 p T^{21} - 1808886939441047236 p^{2} T^{22} - 18621848547326450 p^{3} T^{23} + 23989214943916450 p^{4} T^{24} + 845715330295198 p^{5} T^{25} - 331059974497750 p^{6} T^{26} - 21347113761790 p^{7} T^{27} + 4804853456804 p^{8} T^{28} + 365849965752 p^{9} T^{29} - 67388394732 p^{10} T^{30} - 4523135258 p^{11} T^{31} + 828134478 p^{12} T^{32} + 39870450 p^{13} T^{33} - 8261698 p^{14} T^{34} - 234374 p^{15} T^{35} + 62859 p^{16} T^{36} + 764 p^{17} T^{37} - 332 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 79 | \( 1 + 36 T + 255 T^{2} - 3364 T^{3} - 1280 T^{4} + 982740 T^{5} + 2129879 T^{6} - 101383300 T^{7} + 113978511 T^{8} + 10240056648 T^{9} - 24311922046 T^{10} - 633683912520 T^{11} + 2797196584008 T^{12} + 25264349952408 T^{13} - 55260299721054 T^{14} + 597452218043960 T^{15} - 13206732183909867 T^{16} - 94272370065603252 T^{17} + 2763748929978889225 T^{18} + 3587918673090281444 T^{19} - \)\(27\!\cdots\!92\)\( T^{20} + 3587918673090281444 p T^{21} + 2763748929978889225 p^{2} T^{22} - 94272370065603252 p^{3} T^{23} - 13206732183909867 p^{4} T^{24} + 597452218043960 p^{5} T^{25} - 55260299721054 p^{6} T^{26} + 25264349952408 p^{7} T^{27} + 2797196584008 p^{8} T^{28} - 633683912520 p^{9} T^{29} - 24311922046 p^{10} T^{30} + 10240056648 p^{11} T^{31} + 113978511 p^{12} T^{32} - 101383300 p^{13} T^{33} + 2129879 p^{14} T^{34} + 982740 p^{15} T^{35} - 1280 p^{16} T^{36} - 3364 p^{17} T^{37} + 255 p^{18} T^{38} + 36 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 83 | \( ( 1 - 20 T + 452 T^{2} - 6480 T^{3} + 102365 T^{4} - 1229579 T^{5} + 15564295 T^{6} - 161948689 T^{7} + 1776659906 T^{8} - 16603594886 T^{9} + 163066725962 T^{10} - 16603594886 p T^{11} + 1776659906 p^{2} T^{12} - 161948689 p^{3} T^{13} + 15564295 p^{4} T^{14} - 1229579 p^{5} T^{15} + 102365 p^{6} T^{16} - 6480 p^{7} T^{17} + 452 p^{8} T^{18} - 20 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 89 | \( ( 1 + 2 T + 724 T^{2} + 595 T^{3} + 241906 T^{4} - 13805 T^{5} + 49811037 T^{6} - 30032992 T^{7} + 7084373232 T^{8} - 5666358132 T^{9} + 733301350952 T^{10} - 5666358132 p T^{11} + 7084373232 p^{2} T^{12} - 30032992 p^{3} T^{13} + 49811037 p^{4} T^{14} - 13805 p^{5} T^{15} + 241906 p^{6} T^{16} + 595 p^{7} T^{17} + 724 p^{8} T^{18} + 2 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 97 | \( 1 - 21 T - 347 T^{2} + 10996 T^{3} + 42122 T^{4} - 3009605 T^{5} + 2794029 T^{6} + 584168733 T^{7} - 2345035187 T^{8} - 89625413063 T^{9} + 597432607909 T^{10} + 11472365903248 T^{11} - 108891679723934 T^{12} - 1249947572896467 T^{13} + 16428360494198111 T^{14} + 113461279459203638 T^{15} - 2147988007941414645 T^{16} - 7901903446275674603 T^{17} + \)\(24\!\cdots\!74\)\( T^{18} + \)\(28\!\cdots\!72\)\( T^{19} - \)\(25\!\cdots\!46\)\( T^{20} + \)\(28\!\cdots\!72\)\( p T^{21} + \)\(24\!\cdots\!74\)\( p^{2} T^{22} - 7901903446275674603 p^{3} T^{23} - 2147988007941414645 p^{4} T^{24} + 113461279459203638 p^{5} T^{25} + 16428360494198111 p^{6} T^{26} - 1249947572896467 p^{7} T^{27} - 108891679723934 p^{8} T^{28} + 11472365903248 p^{9} T^{29} + 597432607909 p^{10} T^{30} - 89625413063 p^{11} T^{31} - 2345035187 p^{12} T^{32} + 584168733 p^{13} T^{33} + 2794029 p^{14} T^{34} - 3009605 p^{15} T^{35} + 42122 p^{16} T^{36} + 10996 p^{17} T^{37} - 347 p^{18} T^{38} - 21 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.09625339548384863701380082600, −2.99586899739182728967734209103, −2.83040184012263652371514879447, −2.71134729517054572159806691491, −2.56615959682130796416494193966, −2.53130577281602420829985116389, −2.42077509127140124896564883790, −2.39768820835365890789084487643, −2.35276189660600812914145974914, −2.16595505094513585383108778501, −2.11543938985423384066450624162, −1.94556791580524943201476182951, −1.88955969786715609960266021716, −1.80554542428675031867104448807, −1.56126757544239471318631709952, −1.46641617011552300022191161377, −1.36792448664757590046881582080, −1.22971684329218520269418000251, −1.16354847254692681478832615528, −1.02383815149656513418117751200, −0.75541280836021356136935539788, −0.62459898540681522773622354915, −0.45659984131137465812151910042, −0.28371382959203973218495935319, −0.14802010370159687387793001357, 0.14802010370159687387793001357, 0.28371382959203973218495935319, 0.45659984131137465812151910042, 0.62459898540681522773622354915, 0.75541280836021356136935539788, 1.02383815149656513418117751200, 1.16354847254692681478832615528, 1.22971684329218520269418000251, 1.36792448664757590046881582080, 1.46641617011552300022191161377, 1.56126757544239471318631709952, 1.80554542428675031867104448807, 1.88955969786715609960266021716, 1.94556791580524943201476182951, 2.11543938985423384066450624162, 2.16595505094513585383108778501, 2.35276189660600812914145974914, 2.39768820835365890789084487643, 2.42077509127140124896564883790, 2.53130577281602420829985116389, 2.56615959682130796416494193966, 2.71134729517054572159806691491, 2.83040184012263652371514879447, 2.99586899739182728967734209103, 3.09625339548384863701380082600
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.