Properties

Label 22-5e22-1.1-c33e11-0-0
Degree $22$
Conductor $2.384\times 10^{15}$
Sign $1$
Analytic cond. $4.01320\times 10^{24}$
Root an. cond. $13.1322$
Motivic weight $33$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 9.39e3·2-s + 8.03e7·3-s − 2.25e10·4-s + 7.54e11·6-s + 2.13e13·7-s − 5.62e14·8-s − 1.51e16·9-s − 1.94e17·11-s − 1.80e18·12-s + 5.15e18·13-s + 2.00e17·14-s + 2.16e20·16-s + 2.17e20·17-s − 1.42e20·18-s − 2.30e21·19-s + 1.71e21·21-s − 1.82e21·22-s + 3.97e22·23-s − 4.51e22·24-s + 4.83e22·26-s − 1.47e24·27-s − 4.80e23·28-s + 1.67e24·29-s − 1.87e24·31-s + 7.16e24·32-s − 1.56e25·33-s + 2.04e24·34-s + ⋯
L(s)  = 1  + 0.101·2-s + 1.07·3-s − 2.62·4-s + 0.109·6-s + 0.242·7-s − 0.706·8-s − 2.73·9-s − 1.27·11-s − 2.82·12-s + 2.14·13-s + 0.0246·14-s + 2.93·16-s + 1.08·17-s − 0.277·18-s − 1.83·19-s + 0.261·21-s − 0.129·22-s + 1.35·23-s − 0.760·24-s + 0.217·26-s − 3.54·27-s − 0.636·28-s + 1.24·29-s − 0.464·31-s + 1.04·32-s − 1.37·33-s + 0.109·34-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{22}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{11} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(34-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{22}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+33/2)^{11} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(22\)
Conductor: \(5^{22}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(4.01320\times 10^{24}\)
Root analytic conductor: \(13.1322\)
Motivic weight: \(33\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((22,\ 5^{22} ,\ ( \ : [33/2]^{11} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(17)\) \(\approx\) \(8.029803789\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(8.029803789\)
\(L(\frac{35}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad5 \( 1 \)
good2 \( 1 - 9393 T + 11309825571 p T^{2} + 17263111180575 p^{3} T^{3} + 2238573134098022615 p^{7} T^{4} + \)\(39\!\cdots\!05\)\( p^{11} T^{5} + \)\(86\!\cdots\!05\)\( p^{15} T^{6} + \)\(64\!\cdots\!75\)\( p^{24} T^{7} + \)\(12\!\cdots\!45\)\( p^{31} T^{8} + \)\(17\!\cdots\!15\)\( p^{39} T^{9} + \)\(85\!\cdots\!95\)\( p^{48} T^{10} + \)\(24\!\cdots\!75\)\( p^{55} T^{11} + \)\(85\!\cdots\!95\)\( p^{81} T^{12} + \)\(17\!\cdots\!15\)\( p^{105} T^{13} + \)\(12\!\cdots\!45\)\( p^{130} T^{14} + \)\(64\!\cdots\!75\)\( p^{156} T^{15} + \)\(86\!\cdots\!05\)\( p^{180} T^{16} + \)\(39\!\cdots\!05\)\( p^{209} T^{17} + 2238573134098022615 p^{238} T^{18} + 17263111180575 p^{267} T^{19} + 11309825571 p^{298} T^{20} - 9393 p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
3 \( 1 - 80330849 T + 7217178926424316 p T^{2} - \)\(16\!\cdots\!25\)\( p^{2} T^{3} + \)\(10\!\cdots\!90\)\( p^{5} T^{4} - \)\(23\!\cdots\!55\)\( p^{8} T^{5} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( p^{13} T^{6} - \)\(32\!\cdots\!50\)\( p^{18} T^{7} + \)\(62\!\cdots\!35\)\( p^{24} T^{8} - \)\(42\!\cdots\!85\)\( p^{30} T^{9} + \)\(25\!\cdots\!10\)\( p^{37} T^{10} - \)\(53\!\cdots\!75\)\( p^{44} T^{11} + \)\(25\!\cdots\!10\)\( p^{70} T^{12} - \)\(42\!\cdots\!85\)\( p^{96} T^{13} + \)\(62\!\cdots\!35\)\( p^{123} T^{14} - \)\(32\!\cdots\!50\)\( p^{150} T^{15} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( p^{178} T^{16} - \)\(23\!\cdots\!55\)\( p^{206} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!90\)\( p^{236} T^{18} - \)\(16\!\cdots\!25\)\( p^{266} T^{19} + 7217178926424316 p^{298} T^{20} - 80330849 p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
7 \( 1 - 21344025107658 T + \)\(62\!\cdots\!51\)\( p T^{2} - \)\(42\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{3} + \)\(28\!\cdots\!65\)\( p^{3} T^{4} - \)\(27\!\cdots\!10\)\( p^{4} T^{5} + \)\(12\!\cdots\!35\)\( p^{6} T^{6} - \)\(96\!\cdots\!00\)\( p^{6} T^{7} + \)\(45\!\cdots\!30\)\( p^{9} T^{8} - \)\(94\!\cdots\!80\)\( p^{12} T^{9} + \)\(55\!\cdots\!70\)\( p^{16} T^{10} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{20} T^{11} + \)\(55\!\cdots\!70\)\( p^{49} T^{12} - \)\(94\!\cdots\!80\)\( p^{78} T^{13} + \)\(45\!\cdots\!30\)\( p^{108} T^{14} - \)\(96\!\cdots\!00\)\( p^{138} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!35\)\( p^{171} T^{16} - \)\(27\!\cdots\!10\)\( p^{202} T^{17} + \)\(28\!\cdots\!65\)\( p^{234} T^{18} - \)\(42\!\cdots\!00\)\( p^{266} T^{19} + \)\(62\!\cdots\!51\)\( p^{298} T^{20} - 21344025107658 p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
11 \( 1 + 194487534567113523 T + \)\(10\!\cdots\!76\)\( p T^{2} + \)\(12\!\cdots\!35\)\( p^{2} T^{3} + \)\(47\!\cdots\!90\)\( p^{3} T^{4} + \)\(44\!\cdots\!01\)\( p^{4} T^{5} + \)\(15\!\cdots\!33\)\( p^{5} T^{6} + \)\(14\!\cdots\!26\)\( p^{6} T^{7} + \)\(42\!\cdots\!45\)\( p^{7} T^{8} + \)\(37\!\cdots\!55\)\( p^{8} T^{9} + \)\(93\!\cdots\!06\)\( p^{9} T^{10} + \)\(78\!\cdots\!13\)\( p^{10} T^{11} + \)\(93\!\cdots\!06\)\( p^{42} T^{12} + \)\(37\!\cdots\!55\)\( p^{74} T^{13} + \)\(42\!\cdots\!45\)\( p^{106} T^{14} + \)\(14\!\cdots\!26\)\( p^{138} T^{15} + \)\(15\!\cdots\!33\)\( p^{170} T^{16} + \)\(44\!\cdots\!01\)\( p^{202} T^{17} + \)\(47\!\cdots\!90\)\( p^{234} T^{18} + \)\(12\!\cdots\!35\)\( p^{266} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( p^{298} T^{20} + 194487534567113523 p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
13 \( 1 - 5151173641795199804 T + \)\(33\!\cdots\!03\)\( T^{2} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(35\!\cdots\!15\)\( p T^{4} - \)\(63\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{5} + \)\(16\!\cdots\!05\)\( p^{3} T^{6} - \)\(20\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{7} + \)\(37\!\cdots\!90\)\( p^{6} T^{8} - \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{8} T^{9} + \)\(53\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{10} - \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{12} T^{11} + \)\(53\!\cdots\!70\)\( p^{43} T^{12} - \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{74} T^{13} + \)\(37\!\cdots\!90\)\( p^{105} T^{14} - \)\(20\!\cdots\!00\)\( p^{136} T^{15} + \)\(16\!\cdots\!05\)\( p^{168} T^{16} - \)\(63\!\cdots\!20\)\( p^{200} T^{17} + \)\(35\!\cdots\!15\)\( p^{232} T^{18} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{264} T^{19} + \)\(33\!\cdots\!03\)\( p^{297} T^{20} - 5151173641795199804 p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
17 \( 1 - \)\(21\!\cdots\!63\)\( T + \)\(26\!\cdots\!62\)\( T^{2} - \)\(38\!\cdots\!75\)\( p T^{3} + \)\(34\!\cdots\!20\)\( T^{4} - \)\(90\!\cdots\!85\)\( T^{5} + \)\(30\!\cdots\!65\)\( T^{6} - \)\(46\!\cdots\!50\)\( p T^{7} + \)\(69\!\cdots\!15\)\( p^{2} T^{8} - \)\(99\!\cdots\!35\)\( p^{3} T^{9} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( p^{4} T^{10} - \)\(15\!\cdots\!25\)\( p^{5} T^{11} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( p^{37} T^{12} - \)\(99\!\cdots\!35\)\( p^{69} T^{13} + \)\(69\!\cdots\!15\)\( p^{101} T^{14} - \)\(46\!\cdots\!50\)\( p^{133} T^{15} + \)\(30\!\cdots\!65\)\( p^{165} T^{16} - \)\(90\!\cdots\!85\)\( p^{198} T^{17} + \)\(34\!\cdots\!20\)\( p^{231} T^{18} - \)\(38\!\cdots\!75\)\( p^{265} T^{19} + \)\(26\!\cdots\!62\)\( p^{297} T^{20} - \)\(21\!\cdots\!63\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
19 \( 1 + \)\(23\!\cdots\!15\)\( T + \)\(13\!\cdots\!24\)\( T^{2} + \)\(26\!\cdots\!75\)\( T^{3} + \)\(82\!\cdots\!30\)\( T^{4} + \)\(14\!\cdots\!25\)\( T^{5} + \)\(17\!\cdots\!65\)\( p T^{6} + \)\(14\!\cdots\!50\)\( p^{2} T^{7} + \)\(13\!\cdots\!45\)\( p^{3} T^{8} + \)\(99\!\cdots\!75\)\( p^{4} T^{9} + \)\(80\!\cdots\!62\)\( p^{5} T^{10} + \)\(50\!\cdots\!45\)\( p^{6} T^{11} + \)\(80\!\cdots\!62\)\( p^{38} T^{12} + \)\(99\!\cdots\!75\)\( p^{70} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!45\)\( p^{102} T^{14} + \)\(14\!\cdots\!50\)\( p^{134} T^{15} + \)\(17\!\cdots\!65\)\( p^{166} T^{16} + \)\(14\!\cdots\!25\)\( p^{198} T^{17} + \)\(82\!\cdots\!30\)\( p^{231} T^{18} + \)\(26\!\cdots\!75\)\( p^{264} T^{19} + \)\(13\!\cdots\!24\)\( p^{297} T^{20} + \)\(23\!\cdots\!15\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
23 \( 1 - \)\(39\!\cdots\!34\)\( T + \)\(61\!\cdots\!33\)\( T^{2} - \)\(26\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(19\!\cdots\!95\)\( T^{4} - \)\(34\!\cdots\!10\)\( p T^{5} + \)\(78\!\cdots\!15\)\( p^{2} T^{6} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{7} + \)\(22\!\cdots\!10\)\( p^{4} T^{8} - \)\(31\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{9} + \)\(49\!\cdots\!70\)\( p^{6} T^{10} - \)\(60\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{11} + \)\(49\!\cdots\!70\)\( p^{39} T^{12} - \)\(31\!\cdots\!80\)\( p^{71} T^{13} + \)\(22\!\cdots\!10\)\( p^{103} T^{14} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{135} T^{15} + \)\(78\!\cdots\!15\)\( p^{167} T^{16} - \)\(34\!\cdots\!10\)\( p^{199} T^{17} + \)\(19\!\cdots\!95\)\( p^{231} T^{18} - \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{264} T^{19} + \)\(61\!\cdots\!33\)\( p^{297} T^{20} - \)\(39\!\cdots\!34\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
29 \( 1 - \)\(16\!\cdots\!40\)\( T + \)\(61\!\cdots\!79\)\( T^{2} - \)\(22\!\cdots\!00\)\( p T^{3} + \)\(20\!\cdots\!55\)\( p^{2} T^{4} - \)\(56\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{5} + \)\(64\!\cdots\!85\)\( p^{4} T^{6} - \)\(19\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{7} + \)\(19\!\cdots\!30\)\( p^{6} T^{8} - \)\(45\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{9} + \)\(41\!\cdots\!58\)\( p^{8} T^{10} - \)\(81\!\cdots\!80\)\( p^{9} T^{11} + \)\(41\!\cdots\!58\)\( p^{41} T^{12} - \)\(45\!\cdots\!00\)\( p^{73} T^{13} + \)\(19\!\cdots\!30\)\( p^{105} T^{14} - \)\(19\!\cdots\!00\)\( p^{137} T^{15} + \)\(64\!\cdots\!85\)\( p^{169} T^{16} - \)\(56\!\cdots\!00\)\( p^{201} T^{17} + \)\(20\!\cdots\!55\)\( p^{233} T^{18} - \)\(22\!\cdots\!00\)\( p^{265} T^{19} + \)\(61\!\cdots\!79\)\( p^{297} T^{20} - \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
31 \( 1 + \)\(18\!\cdots\!38\)\( T + \)\(31\!\cdots\!91\)\( p T^{2} + \)\(16\!\cdots\!60\)\( p^{2} T^{3} + \)\(15\!\cdots\!65\)\( p^{3} T^{4} + \)\(82\!\cdots\!46\)\( p^{4} T^{5} + \)\(53\!\cdots\!73\)\( p^{5} T^{6} + \)\(30\!\cdots\!16\)\( p^{6} T^{7} + \)\(13\!\cdots\!70\)\( p^{7} T^{8} + \)\(80\!\cdots\!80\)\( p^{8} T^{9} + \)\(27\!\cdots\!26\)\( p^{9} T^{10} + \)\(15\!\cdots\!28\)\( p^{10} T^{11} + \)\(27\!\cdots\!26\)\( p^{42} T^{12} + \)\(80\!\cdots\!80\)\( p^{74} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!70\)\( p^{106} T^{14} + \)\(30\!\cdots\!16\)\( p^{138} T^{15} + \)\(53\!\cdots\!73\)\( p^{170} T^{16} + \)\(82\!\cdots\!46\)\( p^{202} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!65\)\( p^{234} T^{18} + \)\(16\!\cdots\!60\)\( p^{266} T^{19} + \)\(31\!\cdots\!91\)\( p^{298} T^{20} + \)\(18\!\cdots\!38\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
37 \( 1 - \)\(18\!\cdots\!98\)\( T + \)\(59\!\cdots\!47\)\( T^{2} - \)\(77\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(14\!\cdots\!95\)\( T^{4} - \)\(14\!\cdots\!10\)\( T^{5} + \)\(20\!\cdots\!65\)\( T^{6} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(19\!\cdots\!10\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!80\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!70\)\( T^{10} - \)\(88\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(13\!\cdots\!70\)\( p^{33} T^{12} - \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{66} T^{13} + \)\(19\!\cdots\!10\)\( p^{99} T^{14} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{132} T^{15} + \)\(20\!\cdots\!65\)\( p^{165} T^{16} - \)\(14\!\cdots\!10\)\( p^{198} T^{17} + \)\(14\!\cdots\!95\)\( p^{231} T^{18} - \)\(77\!\cdots\!00\)\( p^{264} T^{19} + \)\(59\!\cdots\!47\)\( p^{297} T^{20} - \)\(18\!\cdots\!98\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
41 \( 1 - \)\(54\!\cdots\!67\)\( T + \)\(15\!\cdots\!26\)\( T^{2} - \)\(72\!\cdots\!15\)\( T^{3} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( T^{4} - \)\(44\!\cdots\!09\)\( T^{5} + \)\(45\!\cdots\!93\)\( T^{6} - \)\(40\!\cdots\!14\)\( p T^{7} + \)\(13\!\cdots\!95\)\( T^{8} - \)\(43\!\cdots\!95\)\( T^{9} + \)\(29\!\cdots\!96\)\( T^{10} - \)\(84\!\cdots\!77\)\( T^{11} + \)\(29\!\cdots\!96\)\( p^{33} T^{12} - \)\(43\!\cdots\!95\)\( p^{66} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!95\)\( p^{99} T^{14} - \)\(40\!\cdots\!14\)\( p^{133} T^{15} + \)\(45\!\cdots\!93\)\( p^{165} T^{16} - \)\(44\!\cdots\!09\)\( p^{198} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{231} T^{18} - \)\(72\!\cdots\!15\)\( p^{264} T^{19} + \)\(15\!\cdots\!26\)\( p^{297} T^{20} - \)\(54\!\cdots\!67\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
43 \( 1 - \)\(11\!\cdots\!08\)\( p T + \)\(45\!\cdots\!93\)\( T^{2} - \)\(13\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(93\!\cdots\!95\)\( T^{4} - \)\(54\!\cdots\!80\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!35\)\( T^{6} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!10\)\( T^{8} - \)\(11\!\cdots\!40\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!30\)\( T^{10} - \)\(24\!\cdots\!00\)\( p T^{11} + \)\(13\!\cdots\!30\)\( p^{33} T^{12} - \)\(11\!\cdots\!40\)\( p^{66} T^{13} + \)\(14\!\cdots\!10\)\( p^{99} T^{14} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{132} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!35\)\( p^{165} T^{16} - \)\(54\!\cdots\!80\)\( p^{198} T^{17} + \)\(93\!\cdots\!95\)\( p^{231} T^{18} - \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{264} T^{19} + \)\(45\!\cdots\!93\)\( p^{297} T^{20} - \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{331} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
47 \( 1 - \)\(10\!\cdots\!28\)\( T + \)\(11\!\cdots\!77\)\( T^{2} - \)\(76\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(51\!\cdots\!95\)\( T^{4} - \)\(27\!\cdots\!60\)\( T^{5} + \)\(14\!\cdots\!15\)\( T^{6} - \)\(68\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(32\!\cdots\!10\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!80\)\( T^{9} + \)\(58\!\cdots\!70\)\( T^{10} - \)\(22\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(58\!\cdots\!70\)\( p^{33} T^{12} - \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{66} T^{13} + \)\(32\!\cdots\!10\)\( p^{99} T^{14} - \)\(68\!\cdots\!00\)\( p^{132} T^{15} + \)\(14\!\cdots\!15\)\( p^{165} T^{16} - \)\(27\!\cdots\!60\)\( p^{198} T^{17} + \)\(51\!\cdots\!95\)\( p^{231} T^{18} - \)\(76\!\cdots\!00\)\( p^{264} T^{19} + \)\(11\!\cdots\!77\)\( p^{297} T^{20} - \)\(10\!\cdots\!28\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
53 \( 1 - \)\(33\!\cdots\!74\)\( T + \)\(58\!\cdots\!23\)\( T^{2} - \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(16\!\cdots\!95\)\( T^{4} - \)\(50\!\cdots\!30\)\( T^{5} + \)\(31\!\cdots\!85\)\( T^{6} - \)\(87\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(42\!\cdots\!10\)\( T^{8} - \)\(10\!\cdots\!40\)\( T^{9} + \)\(43\!\cdots\!30\)\( T^{10} - \)\(99\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(43\!\cdots\!30\)\( p^{33} T^{12} - \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{66} T^{13} + \)\(42\!\cdots\!10\)\( p^{99} T^{14} - \)\(87\!\cdots\!00\)\( p^{132} T^{15} + \)\(31\!\cdots\!85\)\( p^{165} T^{16} - \)\(50\!\cdots\!30\)\( p^{198} T^{17} + \)\(16\!\cdots\!95\)\( p^{231} T^{18} - \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{264} T^{19} + \)\(58\!\cdots\!23\)\( p^{297} T^{20} - \)\(33\!\cdots\!74\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
59 \( 1 + \)\(67\!\cdots\!20\)\( T + \)\(15\!\cdots\!69\)\( T^{2} + \)\(91\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(10\!\cdots\!55\)\( T^{4} + \)\(39\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(41\!\cdots\!35\)\( T^{6} - \)\(16\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!30\)\( T^{8} - \)\(82\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(21\!\cdots\!38\)\( T^{10} - \)\(34\!\cdots\!40\)\( T^{11} + \)\(21\!\cdots\!38\)\( p^{33} T^{12} - \)\(82\!\cdots\!00\)\( p^{66} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!30\)\( p^{99} T^{14} - \)\(16\!\cdots\!00\)\( p^{132} T^{15} + \)\(41\!\cdots\!35\)\( p^{165} T^{16} + \)\(39\!\cdots\!00\)\( p^{198} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!55\)\( p^{231} T^{18} + \)\(91\!\cdots\!00\)\( p^{264} T^{19} + \)\(15\!\cdots\!69\)\( p^{297} T^{20} + \)\(67\!\cdots\!20\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
61 \( 1 + \)\(34\!\cdots\!98\)\( T + \)\(35\!\cdots\!11\)\( T^{2} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(75\!\cdots\!15\)\( T^{4} + \)\(26\!\cdots\!66\)\( T^{5} + \)\(11\!\cdots\!33\)\( T^{6} + \)\(39\!\cdots\!36\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( T^{8} + \)\(45\!\cdots\!80\)\( T^{9} + \)\(14\!\cdots\!46\)\( T^{10} + \)\(41\!\cdots\!88\)\( T^{11} + \)\(14\!\cdots\!46\)\( p^{33} T^{12} + \)\(45\!\cdots\!80\)\( p^{66} T^{13} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( p^{99} T^{14} + \)\(39\!\cdots\!36\)\( p^{132} T^{15} + \)\(11\!\cdots\!33\)\( p^{165} T^{16} + \)\(26\!\cdots\!66\)\( p^{198} T^{17} + \)\(75\!\cdots\!15\)\( p^{231} T^{18} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{264} T^{19} + \)\(35\!\cdots\!11\)\( p^{297} T^{20} + \)\(34\!\cdots\!98\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
67 \( 1 + \)\(24\!\cdots\!11\)\( p T + \)\(48\!\cdots\!12\)\( T^{2} - \)\(82\!\cdots\!75\)\( T^{3} - \)\(37\!\cdots\!30\)\( T^{4} - \)\(18\!\cdots\!85\)\( T^{5} + \)\(44\!\cdots\!15\)\( T^{6} + \)\(28\!\cdots\!50\)\( T^{7} + \)\(92\!\cdots\!35\)\( T^{8} + \)\(31\!\cdots\!45\)\( T^{9} - \)\(34\!\cdots\!30\)\( T^{10} - \)\(22\!\cdots\!25\)\( T^{11} - \)\(34\!\cdots\!30\)\( p^{33} T^{12} + \)\(31\!\cdots\!45\)\( p^{66} T^{13} + \)\(92\!\cdots\!35\)\( p^{99} T^{14} + \)\(28\!\cdots\!50\)\( p^{132} T^{15} + \)\(44\!\cdots\!15\)\( p^{165} T^{16} - \)\(18\!\cdots\!85\)\( p^{198} T^{17} - \)\(37\!\cdots\!30\)\( p^{231} T^{18} - \)\(82\!\cdots\!75\)\( p^{264} T^{19} + \)\(48\!\cdots\!12\)\( p^{297} T^{20} + \)\(24\!\cdots\!11\)\( p^{331} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
71 \( 1 + \)\(55\!\cdots\!68\)\( T + \)\(36\!\cdots\!41\)\( T^{2} + \)\(59\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(22\!\cdots\!15\)\( T^{4} - \)\(67\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(99\!\cdots\!03\)\( T^{6} - \)\(68\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(32\!\cdots\!70\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!20\)\( T^{9} - \)\(27\!\cdots\!54\)\( T^{10} - \)\(39\!\cdots\!92\)\( T^{11} - \)\(27\!\cdots\!54\)\( p^{33} T^{12} - \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{66} T^{13} + \)\(32\!\cdots\!70\)\( p^{99} T^{14} - \)\(68\!\cdots\!84\)\( p^{132} T^{15} + \)\(99\!\cdots\!03\)\( p^{165} T^{16} - \)\(67\!\cdots\!84\)\( p^{198} T^{17} + \)\(22\!\cdots\!15\)\( p^{231} T^{18} + \)\(59\!\cdots\!60\)\( p^{264} T^{19} + \)\(36\!\cdots\!41\)\( p^{297} T^{20} + \)\(55\!\cdots\!68\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
73 \( 1 - \)\(12\!\cdots\!09\)\( T + \)\(24\!\cdots\!58\)\( T^{2} - \)\(21\!\cdots\!25\)\( T^{3} + \)\(28\!\cdots\!20\)\( T^{4} - \)\(18\!\cdots\!55\)\( T^{5} + \)\(21\!\cdots\!85\)\( T^{6} - \)\(10\!\cdots\!50\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!35\)\( T^{8} - \)\(46\!\cdots\!65\)\( T^{9} + \)\(47\!\cdots\!80\)\( T^{10} - \)\(15\!\cdots\!75\)\( T^{11} + \)\(47\!\cdots\!80\)\( p^{33} T^{12} - \)\(46\!\cdots\!65\)\( p^{66} T^{13} + \)\(11\!\cdots\!35\)\( p^{99} T^{14} - \)\(10\!\cdots\!50\)\( p^{132} T^{15} + \)\(21\!\cdots\!85\)\( p^{165} T^{16} - \)\(18\!\cdots\!55\)\( p^{198} T^{17} + \)\(28\!\cdots\!20\)\( p^{231} T^{18} - \)\(21\!\cdots\!25\)\( p^{264} T^{19} + \)\(24\!\cdots\!58\)\( p^{297} T^{20} - \)\(12\!\cdots\!09\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
79 \( 1 - \)\(28\!\cdots\!90\)\( T + \)\(27\!\cdots\!29\)\( T^{2} - \)\(62\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(37\!\cdots\!55\)\( T^{4} - \)\(74\!\cdots\!50\)\( T^{5} + \)\(34\!\cdots\!35\)\( T^{6} - \)\(60\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(23\!\cdots\!30\)\( T^{8} - \)\(37\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!38\)\( T^{10} - \)\(17\!\cdots\!20\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!38\)\( p^{33} T^{12} - \)\(37\!\cdots\!00\)\( p^{66} T^{13} + \)\(23\!\cdots\!30\)\( p^{99} T^{14} - \)\(60\!\cdots\!00\)\( p^{132} T^{15} + \)\(34\!\cdots\!35\)\( p^{165} T^{16} - \)\(74\!\cdots\!50\)\( p^{198} T^{17} + \)\(37\!\cdots\!55\)\( p^{231} T^{18} - \)\(62\!\cdots\!00\)\( p^{264} T^{19} + \)\(27\!\cdots\!29\)\( p^{297} T^{20} - \)\(28\!\cdots\!90\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
83 \( 1 - \)\(12\!\cdots\!39\)\( T + \)\(21\!\cdots\!88\)\( T^{2} - \)\(18\!\cdots\!75\)\( T^{3} + \)\(18\!\cdots\!70\)\( T^{4} - \)\(11\!\cdots\!05\)\( T^{5} + \)\(82\!\cdots\!35\)\( T^{6} - \)\(41\!\cdots\!50\)\( T^{7} + \)\(24\!\cdots\!35\)\( T^{8} - \)\(10\!\cdots\!15\)\( T^{9} + \)\(56\!\cdots\!30\)\( T^{10} - \)\(22\!\cdots\!25\)\( T^{11} + \)\(56\!\cdots\!30\)\( p^{33} T^{12} - \)\(10\!\cdots\!15\)\( p^{66} T^{13} + \)\(24\!\cdots\!35\)\( p^{99} T^{14} - \)\(41\!\cdots\!50\)\( p^{132} T^{15} + \)\(82\!\cdots\!35\)\( p^{165} T^{16} - \)\(11\!\cdots\!05\)\( p^{198} T^{17} + \)\(18\!\cdots\!70\)\( p^{231} T^{18} - \)\(18\!\cdots\!75\)\( p^{264} T^{19} + \)\(21\!\cdots\!88\)\( p^{297} T^{20} - \)\(12\!\cdots\!39\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
89 \( 1 + \)\(24\!\cdots\!55\)\( T + \)\(95\!\cdots\!34\)\( T^{2} - \)\(11\!\cdots\!25\)\( T^{3} + \)\(50\!\cdots\!80\)\( T^{4} - \)\(21\!\cdots\!75\)\( T^{5} + \)\(18\!\cdots\!85\)\( T^{6} - \)\(13\!\cdots\!50\)\( T^{7} + \)\(51\!\cdots\!55\)\( T^{8} - \)\(52\!\cdots\!25\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{10} - \)\(13\!\cdots\!35\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( p^{33} T^{12} - \)\(52\!\cdots\!25\)\( p^{66} T^{13} + \)\(51\!\cdots\!55\)\( p^{99} T^{14} - \)\(13\!\cdots\!50\)\( p^{132} T^{15} + \)\(18\!\cdots\!85\)\( p^{165} T^{16} - \)\(21\!\cdots\!75\)\( p^{198} T^{17} + \)\(50\!\cdots\!80\)\( p^{231} T^{18} - \)\(11\!\cdots\!25\)\( p^{264} T^{19} + \)\(95\!\cdots\!34\)\( p^{297} T^{20} + \)\(24\!\cdots\!55\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
97 \( 1 + \)\(67\!\cdots\!22\)\( T + \)\(22\!\cdots\!27\)\( T^{2} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(24\!\cdots\!95\)\( T^{4} + \)\(73\!\cdots\!90\)\( T^{5} + \)\(16\!\cdots\!65\)\( T^{6} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(85\!\cdots\!10\)\( T^{8} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( T^{9} + \)\(36\!\cdots\!70\)\( T^{10} + \)\(34\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(36\!\cdots\!70\)\( p^{33} T^{12} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{66} T^{13} + \)\(85\!\cdots\!10\)\( p^{99} T^{14} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( p^{132} T^{15} + \)\(16\!\cdots\!65\)\( p^{165} T^{16} + \)\(73\!\cdots\!90\)\( p^{198} T^{17} + \)\(24\!\cdots\!95\)\( p^{231} T^{18} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{264} T^{19} + \)\(22\!\cdots\!27\)\( p^{297} T^{20} + \)\(67\!\cdots\!22\)\( p^{330} T^{21} + p^{363} T^{22} \)
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   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{22} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.80255475973463984986689312784, −2.59858336442621186746402452125, −2.50623894312095604069576364860, −2.42190824930577917721275705662, −2.40713966252643380286711003261, −2.27451508371316818571542932833, −2.05603148450512807669540001784, −1.94911071760383938568592370263, −1.83790128806353361105582245541, −1.65454098175903487603848208377, −1.59670858923265381363517782888, −1.51582818424648519883358913219, −1.45377776259097477908066638795, −1.22368124315016435194545764512, −1.11706428538848022471197928282, −1.02690633969053993269941211516, −0.69551460691315709723118978861, −0.68497979110676619758432421309, −0.63777124357625994695377815527, −0.62958905806909807446241335544, −0.54963543261609962836632271496, −0.36210678677000834235801399328, −0.35586225161341964782615353443, −0.18970685829493163860544235682, −0.12356193826103037592252447359, 0.12356193826103037592252447359, 0.18970685829493163860544235682, 0.35586225161341964782615353443, 0.36210678677000834235801399328, 0.54963543261609962836632271496, 0.62958905806909807446241335544, 0.63777124357625994695377815527, 0.68497979110676619758432421309, 0.69551460691315709723118978861, 1.02690633969053993269941211516, 1.11706428538848022471197928282, 1.22368124315016435194545764512, 1.45377776259097477908066638795, 1.51582818424648519883358913219, 1.59670858923265381363517782888, 1.65454098175903487603848208377, 1.83790128806353361105582245541, 1.94911071760383938568592370263, 2.05603148450512807669540001784, 2.27451508371316818571542932833, 2.40713966252643380286711003261, 2.42190824930577917721275705662, 2.50623894312095604069576364860, 2.59858336442621186746402452125, 2.80255475973463984986689312784

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.